Apostila de Conjuntos (8 páginas, 37 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
CONJUNTOS 
 
1 . CONCEITO 
 Conjuntos é qualquer coleção de objetos, 
pessoas, números, etc. 
 
Exemplos: 
 Uma sala de aula é um conjunto de alunos; 
 Um bairro é um conjunto de casas; 
 O universo é um conjunto de estrelas, plane-
tas, etc. 
 
2 . ELEMENTOS DE CONJUNTOS 
 São objetos que formam esse conjunto. 
 
3 . REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 Os conjuntos são representados por letras 
maiúsculas e quando os elementos são letras, es-
sas são letras minúsculas. 
 
3.1 Por chaves: 
 
Exemplos: 
a) Representar o conjunto A dos dias da semana, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sex-
ta, sábado}. 
 
b) Representar o conjunto B dos números pares, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
B = {0, 2, 4, 6, ...}. 
 
Observação: No exemplo anterior, o conjunto A é 
finito (tem nº limitado de elementos) e o conjun-
to B é infinito (tem nº ilimitado de elementos). 
 
3.2 Por diagrama de Venn1 
 
 
Vitral no refeitório do Caius College, Universidade de 
Cambridge, Inglaterra, em homenagem a Venn e a 
seus diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 John Venn (1834-1923), matemático inglês, criador dos famosos diagramas de 
Venn, que ultrapassam as fronteiras das ciências e são aplicados na Lógica, na 
Matemática, na Informática, etc. Se licenciou e foi professor na Universidade de 
Cambridge, onde desenvolveu estudos sobre lógica e teoria das probabilidades. 
Desenvolveu a lógica matemática de Boole, tendo estabelecido uma forma de 
representação gráfica das intersecções e uniões de conjuntos, através de diagra-
mas. 
Exemplo: Representar o conjunto C das vogais, 
por diagrama. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
Observação: Não se representa conjuntos infinitos 
em diagramas. 
 
3.3 Por propriedade 
 
Exemplos: 
 
a) A = {x/ x é planeta do Sistema Solar} 
 
 
 
 O conjunto A é formado por todos os pla-
netas do Sistema Solar. 
 
Observação: Vale lembrar que a figura acima é 
apenas uma representação artística, os planetas 
têm orbitas diferentes, portanto não se mantém 
alinhados. Os planetas do Sistema Solar são Mer-
cúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano 
e Netuno. 
 
b) B = {x/ x é vogal} 
O conjunto B é formado por todas as vo-
gais. 
 
c) C = {x/ x é número natural menor que 6} 
O conjunto C é formado por todos os nú-
meros naturais menores que seis. 
 
4 . SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 
4.1 Símbolos de pertinência 
Entre elementos e conjunto utiliza-se os 
símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence). 
 
Exemplo: Seja A = {1, 3, 5, 6}, segue que 
 
1 ∈ A, 2 ∉ A, 3 ∈ A, 4 ∉ A, 5 ∈ A, 6 ∈ A. 
 
4.2 Outros símbolos matemáticos 
 
Operadores Símbolos 
Igual = 
Diferente ≠ 
Maior que > 
Menor que < 
Maior ou igual a ≥ 
2 
Menor ou igual a ≤ 
Conjuntos dos núme-
ros naturais 
ℕ 
Conjuntos dos núme-
ros inteiros 
ℤ 
Tal que / 
 
Exemplo: 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Escreva o conjunto expresso pela propriedade: 
a) A = {x/ x é número natural menor que 8} 
 
b) B = {x ∈ ℕ/ x é par} 
 
c) C = {x ∈ ℕ/ x é ímpar} 
 
d) D = {x ∈ ℕ/ x é número múltiplo de 2} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x é múltiplo de 3 e menor que 15} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x ≤ 8} 
 
g) G = {x ∈ ℕ/ x > 8} 
 
h) H = {x ∈ ℕ/ x ≥ 8} 
 
i) I = {x/ x é número múltiplo de 3 e x ≤ 15} 
 
j) J = {x/ x é múltiplo de 5 e menor do que 31} 
 
l) L = {x ∈ ℤ/ x > 10 e x ≤ 20} 
 
m) M = {x ∈ ℤ/ x ≥ 10 e x < 20} 
 
n) N = {x ∈ ℤ/ 10 < x ≤ 20} 
 
o) O = {x ∈ ℤ/ x ≤ 8} 
 
p) P = {x/ x é letra da palavra “conjunto”} 
 
5 . CONJUNTO UNITÁRIO 
É o conjunto que possui um único elemen-
to. 
 
Exemplo: A = {x/ x é dia da semana que começa 
com a letra D} 
 
Resolução: 
 
A = {domingo}. 
 
6 . CONJUNTO VAZIO 
 
 
 
 É o conjunto que não possui elementos. O 
conjunto vazio é representado por { } ou . 
 
Exemplo: B = {x/ x é mês do ano com 25 dias} 
 
Resolução: 
 
B =  
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
2) Classifique o conjunto como unitário ou vazio: 
 
a) A = {x/ x é um número natural menor do que 
1}. 
 
b) B = {x ∈ ℕ/ x é maior do que 10 e menor do que 
11} 
 
c) C = {x/ x é número par maior do que 3 e menor 
do que 5} 
 
d) D = {x/ x é número primo maior do que 7 e 
menor do que 11} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x + 7 = 4} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x < 0} 
 
g) G = {x ∈ ℕ/ 5x = 60} 
 
h) H = {x/ x é uma figura plana de três lados} 
 
Lembrete: Números primos são todos aqueles que 
obedecem as seguintes condições: 
 São maiores que 1; e 
 Possuem somente dois divisores. 
Portanto, seja P o conjunto dos números 
primos, observe a sua representação abaixo 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …} 
 
7 . UNIÃO DE CONJUNTOS 
 Dado os conjunto A e B, define-se como 
união dos conjuntos A e B ao conjunto representa-
do por A ∪ B, formado por todos os elementos per-
tencentes a A ou B. Simbolicamente, 
 
 
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} 
 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
3) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {0, 2, 3, 5}, 
C = {x/ x é número par menor que 10} e 
D = {x/ x é número ímpar entre 4 e 10}. 
 
Determine: 
 
a) C = 
 
b) D = 
 
c) A ∪ B = 
 
d) A ∪ C = 
 
e) B ∪ C = 
 
f) C ∪ D = 
 
g) (A ∪ B) ∪ C = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
4) Considere os diagramas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) A ∪ B = 
 
b) A ∪ C = 
 
c) B ∪ C = 
 
d) A ∪ B ∪ C = 
 
5) Seja P o conjunto dos núme-
ros pares, I o conjunto dos nú-
meros ímpares, ℕ o conjunto dos 
números naturais e ℤ o conjunto 
dos números inteiros, conforme 
abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ
–
∗
 = {... –3, –2, –1} 
 
Determine, sabendo que a resposta é sempre um 
conjunto exposto acima: 
 
a) P ∪ I = c) ℤ+
∗ ∪ {0} = 
 
b) ℕ ∪ ℤ
–
∗ = d) ℤ+
∗ ∪ ℤ
–
∗ ∪ {0} = 
 
EXERCÍCIO DESAFIO 
 
6) Seja ℚ o conjunto dos números racionais e 𝕀 o 
conjunto dos números irracionais, ℚ ∪ 𝕀 forma que 
conjunto? Pesquise e dê a resposta mostrando em 
diagramas. 
 
8 . INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto re-
presentado por A ∩ B, formado por elementos per-
tencentes aos conjuntos A e B, ao mesmo tempo, 
isto é, elementos comuns, que se repetem em A e 
B. Simbolicamente, 
 
 
A ∩ B = {x/ x ∈ A e x ∈ B} 
 
 
Observação: Quando A ∩ B = , os conjuntos A e 
B são chamados disjuntos. 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
7) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3, 4}, 
B = {0, 1, 2}, 
C = {x/ x é par menor que 10} e 
D = {x/ x é ímpar compreendido entre 0 e 6}. De-
termine: 
 
a) C = d) A ∩ C = 
 
b) D = e) B ∩ C = 
 
c) A ∩ B = f) C ∩ D = 
 
8) Considere os diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) X ∩ Y = c) Y ∩ Z = 
 
b) X ∩ Z = d) X ∩ Y ∩ Z = 
 
9) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {x/ x é natural ímpar menor que 10}, 
B = {x/ x é par entre 3 e 11} e 
C = {x/ x é natural menor do que 5}. Determine: 
 
a) A = e) A ∪ C = 
 
b) B = f) A ∩ C = 
 
c) C = g) A ∩ B = 
 
d) A ∪ B = h) (A ∪ B) ∩ C = 
 
10) Seja P o conjunto dos nú-
meros pares, I o conjunto dos 
números ímpares, ℕ o conjunto 
dos números naturais e ℤ o con-
junto dos números inteiros, con-
forme abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ
–
∗
 = {... –3, –2, –1} 
 
Determine: 
 
a) P ∩ I = c) I ∩ ℕ = 
 
b) P ∩ ℕ = d) ℕ ∩ ℤ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
EXERCÍCIO DESAFIO 
 
11) Seja ℚ o conjunto dos números racionais e 𝕀 
o conjunto dos números irracionais, ℚ ∩ 𝕀 forma 
que conjunto? Dê a resposta mostrando em dia-gramas. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
12)(UEPA-2009) A Teoria dos Conjuntos nos 
ajuda a interpretar situações como o compartilha-
mento de arquivos de música entre aparelhos mó-
veis. Os arquivos do FolkMusic, um software de 
aparelhos móveis, represen-
tam conjuntos e as músicas 
são elementos desses conjun-
tos. O diagrama ao lado re-
presenta uma situação de 
compartilhamento de músicas 
entre arquivos do FolkMusic. 
Com base no diagrama, é 
correto afirmar que: 
 
(a) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C possu-
em músicas em comum. 
 
(b) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o ar-
quivo D possuem músicas em comum. 
 
(c) O arquivo B e o arquivo D possuem músicas 
em comum. 
 
(d) O arquivo C só possui músicas em comum 
com o arquivo B. 
 
(e) O arquivo C só possui músicas em comum com 
o arquivo A. 
 
13)(PUC-SP) Considerando N = {0,1,2,3,4, …}, 
A = {x ∈ ℕ∗/
24
x
= n, com n ∈ ℕ} e B = {x ∈ ℕ/ 3x + 4 < 
2x + 9}, podemos afirmar que: 
 
(a) A ∪ B tem 8 elementos (c) A ∪ B = A 
 
(b) A ∩ B tem 4 elementos (d) A ∩ B = A 
 
9 . DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A ‒ B, formado por todos os ele-
mentos pertencentes a A, mas que não pertencem 
a B. Ou seja, A ‒ B é um conjunto formado por 
elementos que pertencem somente a A. Simboli-
camente, 
 
A ‒ B = {x/ x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ‒ B = {1, 2}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
14) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {1, 2, 3} e 
C = {2, 3, 4, 5}. Determine: 
 
a) A – B = d) C – B = 
 
b) A – C = e) (A – B) ∩ (A – C) = 
 
c) B – C = f) A –  = 
 
15) Seja P o conjunto dos nú-
meros pares, I o conjunto dos 
números ímpares, ℕ o conjunto 
dos números naturais e ℤ o con-
junto dos números inteiros, con-
forme abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ
–
∗
 = {... –3, –2, –1} 
 
Determine: 
 
a) ℕ – P = d) ℤ – ℕ = 
 
b) ℕ – I = e) (ℤ – ℤ+
∗ ) – ℤ
–
∗ = 
 
c) ℤ – ℤ
–
∗ = 
 
16) Considere os diagramas: 
 
 
 
Escreva os seguintes conjuntos: 
 
a) E = c) E ∪ F = e) E – F = 
 
b) F = d) E ∩ F = f) F – E = 
 
EXERCÍCIO DESAFIO 
 
17) Seja ℝ o conjunto dos números reais e 𝕀 o 
conjunto dos números irracionais, ℝ – 𝕀 forma que 
conjunto? Dê a resposta mostrando em diagra-
mas. 
 
Resumo: 
 A intersecção B A união B 
 
 
 
 A ∩ B A ∪ B 
 
A diferença B B diferença A 
 
 
 
A ‒ B B ‒ A 
 
5 
10 . PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CON-
JUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estu-
dam inglês, 210 estudam espanhol e 90 deles es-
tudam as duas matérias (inglês e espanhol). Per-
gunta-se: 
 
a) Quantos alunos estudam somente inglês? 
b) Quantos alunos estudam somente espanhol? 
c) Quantos alunos estudam inglês ou espanhol? 
d) Quantos alunos estudam inglês e espanhol? 
e) Quantos alunos não estudam nenhuma das 
duas matérias? 
 
19) Numa pesquisa sobre preferência em relação 
a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o 
resultado foi o seguinte: 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Per-
gunta-se: 
 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
 
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B? 
 
c) Quantas pessoas lêem jornais? 
 
d) Quantas pessoas não lêem jornais? 
 
20) Uma prova com duas questões foi dada a 
uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as 
duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 
20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos 
erraram as duas questões? 
 
21) Na porta de um ginásio esportivo foi feita 
uma pesquisa com 100 pessoas, sobre o gosto de 
dois esportes. As respostas foram: 60 pessoas 
gostam de vôlei, 50 pessoas gostam de basquete e 
20 gostam de vôlei e basquete. Faça o que se pe-
de: 
a) O esboço em diagramas. 
 
b) Quantas pessoas gostam somente de vôlei? 
 
c) Quantas pessoas gostam somente de basque-
te? 
 
d) Quantas pessoas gostam de vôlei e basquete? 
 
e) Quantas pessoas gostam de vôlei ou basque-
te? 
 
f) Quantas pessoas responderam que não gostam 
desses esportes? 
 
22) Um professor de Português sugeriu em uma 
classe a leitura dos livros Helena, de Machado de 
Assis, e Iracema de José de Alencar. Vinte alunos 
leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os 
dois livros e 15 não leram nenhum deles. 
 
a) Quantos alunos leram só Helena? 
 
b) Quantos alunos leram só Iracema? 
 
c) Quantos alunos leram Iracema? 
 
d) Qual o número de alunos dessa classe? 
 
23) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para 
se verificar a audiência dos programas de televi-
são, os seguintes resultados foram encontrados: 
510 famílias assistem ao programa A, 305 assis-
tem ao programa B e 386 assistem ao programa C, 
sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos pro-
gramas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 
25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos 
três programas. 
a) Quantas famílias assistem somente ao progra-
ma A? 
 
b) Quantas famílias não assistem a nenhum des-
ses programas? 
 
c) Quantas famílias não assistem nem ao progra-
ma A nem ao programa B? 
 
24) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas 
para saber que esporte elas apreciavam entre fu-
tebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 
23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vô-
lei; 10 gostam de futebol e basquete; 9 gostam de 
futebol e vôlei; 8 gostam de basquete e vôlei e 5 
gostam das três modalidades. 
 
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol? 
 
b) Quantas pessoas não gostam de nenhum des-
ses esportes? 
 
c) Quantas gostam só de basquete? 
 
d) Quantas gostam apenas de vôlei? 
 
e) E quantas não gostam nem de basquete nem de 
vôlei? 
 
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de 
basquete ou de ambos? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
25)(UEPA-2011) Imagine que, após uma reunião 
sobre o tema “degradação do meio ambiente”, da 
qual participaram 20 empresários do setor 
supermercadista da região metropolitana de Belém, 
todos tenham tomado suas decisões sobre as ações 
que iriam adotar. Se 8 deles decidiram pelo 
incentivo ao uso das sacolas retornáveis, 9 
decidiram pela adoção da coleta seletiva e 3 
disseram que iriam aderir às duas iniciativas 
propostas, o número de empresários que decidiu 
não adotar nenhuma das iniciativas foi de: 
 
(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 11 (e) 13 
 
26)(UEPA-2007, modificada) Os carros podem 
ser adquiridos dentre três alternativas em termo 
de combustíveis. Podem ser movidos a gasolina, a 
álcool ou aos dois combustíveis(flex). Desta forma, 
foi verificado que no pátio de uma concessionária 
de veículos há: 120 automóveis que podem ser 
movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a 
álcool e 93 que podem ser movidos com os dois 
combustíveis(flex). O número de carros existente 
no pátio dessa concessionária é: 
 
6 
(a) 325 (b) 232 (c) 213 (d) 205 (e) 139 
 
27)(UEPA-2006) Uma pesquisa realizada com 50 
famílias sobre o consumo de dois tipos de peixes, A 
e B, apresentou os seguintes resultados: 25 famí-
lias consomem o peixe A, 15 famílias consomem o 
peixe B, e 5 famílias consomem os dois tipos de 
peixes. O número de famílias que não consomem 
nenhum tipo de peixe é: 
 
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 35 (e) 45 
 
28)(UEPA-2006) A Câmara dos Deputados reu-
niu-se extraordinariamente para decidir sobre a 
instalação de duas comissões Parlamentares de 
inquéritos CPI: A do FUTEBOL e a do CAIXA 2. 
Dos 320 Deputados presentes, 190 votaram a fa-
vor da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da 
CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da CPI da 
duas comissões e X deputados foram contrários à 
instalação das CPIs. O número X de deputados que 
votaram contra a instalação das CPIs é: 
 
(a) 160 (b) 90 (c) 70 (d) 50 (e) 20 
 
29)(Unifenas-MG) O tipo sanguíneo de uma pes-
soa é classificadosegundo a presença, no sangue, 
dos antígenos A e B. Podemos ter: 
 
 
 Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. 
Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. 
Tipo AB: pessoas que têm A e B. 
Tipo O: pessoas que não têm A e B. 
 
 
 
Em 55 amostras do sangue, observamos que 20 
apresentam o antígeno A, 12 apresentam B e 7 
apresentam ambos os antígenos. O número de 
amostras de sangue tipo O é: 
 
(a) 51 (b) 25 (c) 30 (d) 7 
 
30)(UEPA–2005) "Cabelo e o vestuário são itens 
que se destacam no rol de preocupações das ado-
lescentes que costumam frequentar as baladas 
belenenses", é o que aponta a pesquisa realizada 
com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 
anos. Destas 205 comparecem a esse tipo de festa 
se adquirem um traje inédito; 382 se fazem pre-
sentes após uma boa escova no cabeleireiro; 102 
aparecem nos locais onde acontecem as baladas 
com traje inédito e depois de uma escova no cabe-
leireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes 
consultadas que não se preocupam em ir ao cabe-
leireiro fazer escova, nem em vestir uma roupa 
inédita? 
 
(a) 39 (b) 63 (c) 102 (d) 165 (e) 177 
 
11 . INTERVALOS 
Os intervalos reais são subconjuntos dos 
números reais. Como entre dois números distintos 
quaisquer há infinitos números, seria impossível 
listar todos os elementos destes subconjuntos. Por 
isso, os intervalos reais são caracterizados por 
desigualdades, englobando assim todos os ele-
mentos dentro do intervalo. 
 
11.1 Intervalo aberto 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: ]a, b[ = {x ∈ ℝ/ a < x < b} 
 
Significado: São todos os elementos entre a e b. 
 
11.2 Intervalo fechado 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: [a, b] = {x ∈ ℝ/ a ≤ x ≤ b} 
 
Significado: São todos os elementos entre a e b, 
mais o a e o b. 
 
11.3 Intervalo aberto à esquerda 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: ]a, b] = {x ∈ ℝ/ a < x ≤ b} 
 
Significado: São todos os elementos entre a e b, 
mais o b. 
 
11.4 Intervalo aberto à direita 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: [a, b[ = {x ∈ ℝ/ a ≤ x < b} 
 
Significado: São todos os elementos entre a e b, 
mais o a. 
 
11.5 Intervalo aberto e infinito para a 
direita 
 
Na reta real: 
 
 
 
Notação: ]a, +∞) = {x ∈ ℝ/ x > a} 
 
Significado: São todos os elementos maiores que 
a. 
 
11.6 Intervalo fechado e infinito para a 
direita 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: [a, +∞) = {x ∈ ℝ/ x ≥ a} 
 
Significado: São todos os elementos maiores que 
a, mais o a. 
 
11.7 Intervalo aberto e infinito para a 
esquerda 
 
Na reta real: 
 
7 
 
 
Notação: (–∞, a[ = {x ∈ ℝ/ x < a} 
 
Significado: São todos os elementos maiores que 
a. 
 
11.8 Intervalo fechado e infinito para a 
esquerda 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: (–∞, a] = {x ∈ ℝ/ x ≤ a} 
 
Significado: São todos os elementos maiores que 
a, mais o a. 
 
Observação: Os intervalos de 11.1, 11.2, 11.3 e 
11.4 são chamados de intervalos limitados, pois 
não são infinitos para +∞ e –∞. 
 
Exemplos: 
a) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores que 2 e menores que 3. 
Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
]2, 3[ = {x ∈ ℝ/ 2 < x < 3} 
 
b) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores e igual a 2 e menores 
que 3. Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
[2, 3[ = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x < 3} 
 
c) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores que 2 e menores e igual 
a 3. Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
]2, 3] = {x ∈ ℝ/ 2 < x ≤ 3} 
 
d) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x ≤ 3} 
 
Resolução: 
 
 
 
e) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ x > 3} 
 
Resolução: 
 
 
 
f) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ x ≥ 3} 
 
Resolução: 
 
 
 
EXERCÍCIO DE PROPOSTO 
31) Represente na reta numérica os seguintes 
intervalos: 
a){x ∈ ℝ/ 3 < x < 5} h)]10, +∞) 
 
b){x ∈ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 5} i){x ∈ ℝ/ x > 2} 
 
c){x ∈ ℝ/ 3 < x ≤ 5} j){x ∈ ℝ/ x < 2} 
 
d){x ∈ ℝ/ 3 ≤ x < 5} l){x ∈ ℝ/ x > –2} 
 
e){x ∈ ℝ/ –3 < x < 5} m){x ∈ ℝ/ x < –1} 
 
f)(–∞, 10] n)[10, 15] 
 
g)[10, +∞) o)]10, 15[ 
 
11.9 União de intervalos 
 
Símbolo: ∪ 
 
A união de intervalos inclui todos os ele-
mentos de cada um dos intervalos, mesmo que o 
elemento apareça apenas em um deles. É a “jun-
ção” de todos os elementos dos intervalos em 
questão. 
 
Exemplo: 
 
 
 
(A) ∪ (B) = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x ≤ 6} 
 
11.10 Intersecção de intervalos 
 
Símbolo: ∩ 
 
A intersecção de intervalos inclui apenas 
os elementos que constarem simultaneamente em 
todos os intervalos. É a análise do que há em co-
mum entre todos os intervalos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
(A) ∩ (B) = {x ∈ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 5} 
 
11.11 Diferença entre intervalos 
 
Símbolo: – 
 
A diferença de intervalos exclui do intervalo 
original os elementos que constam no intervalo 
que se subtrai. Retira-se do intervalo original os 
elementos a serem subtraídos. 
 
Exemplo: 
 
8 
 
 
(A) ‒ (B) = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x < 3} 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
32) Sendo o conjunto A = {x ∈ ℝ/ –5 < x < –2} e 
B = {x ∈ ℝ/ –3 ≤ x < 0}. Faça o que se pede: 
a) Represente geometricamente o intervalo A. 
b) Represente geometricamente o intervalo B. 
c) Represente geometricamente a união de A e B. 
d) Represente geometricamente a intersecção de 
A e B. 
e) Represente geometricamente a diferença de 
A e B. 
 
33) Dados os intervalos: A = ]5, 9], B = [7, 11], 
C = ]–2, +∞[ e D = ]–∞, 8], determine: 
 
a) A ∪ B c) C ∩ D 
 
b) A ∩ B d) C ∪ D 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
34)(UEPA-2005) Em consequência da aquisição 
de hábitos nada saudáveis, como sedentarismo e 
alimentação excessivamente calórica, Camilla, 
Daniela e Giselle estão engordando. Para combater 
o sobrepeso, resolveram seguir uma dieta e prati-
car exercícios físicos. Porém, devido ao intenso 
ritmo dos estudos dedicados ao cumprimento das 
tarefas escolares, estão com dificuldades para 
destinar um horário em que, juntas, as três pos-
sam frequentar a mesma academia. Os horários 
disponíveis de cada uma correspondem aos se-
guintes intervalos fechados: Camilla, das 17h às 
20h; Daniela, das 18h às 21h; Giselle, de 16h às 
19h. Neste caso, o intervalo que corresponde ao 
horário disponível comum às três para a prática de 
exercícios físicos é: 
 
(a) [16; 17] (c) [18; 19] (e) [20; 21] 
 
(b) [17; 18] (d) [19; 20] 
 
35)(UEPA-2001) Segundo pesquisas realizadas 
no Laboratório Vida, cientistas descobriram que 
bactérias do tipo A resistiram a temperaturas 
compreendidas entre os valores reais de 100 °C e 
450 °C, incluindo neste intervalo os seus limites. 
Por sua vez, bactérias do tipo B resistiram a tem-
peraturas entre os valores reis de 50 °C e 350 °C, 
excluindo deste intervalo os seus limites. Esses 
pesquisadores, desejando estudar relações entre 
essas bactérias, necessitam colocá-las juntas num 
mesmo ambiente. Qual dos intervalos abaixo rela-
cionados, relativos a temperatura ambiente permi-
te que esse estudo seja feito para que tais bacté-
rias permaneçam vivas? 
 
(a) ]100 ; 350[ (c) [100; 350] (e) ]100 ; 350] 
 
(b) [100; 350[ (d) ]0 ; 450] 
 
36)(Cesgranrio-RJ) Se A = {x ∈ ℝ/ x < 1}, B = {x 
∈ ℝ/ –1 < x ≤ 3} e C = {x ∈ ℝ/ x ≥ 0} o intervalo que 
representa (A ∩ B) – C é: 
 
(a){x ∈ ℝ/ –1 < x < 0} (d){x ∈ ℝ/ x ≤ 3} 
 
(b){x ∈ ℝ/ –1 < x ≤ 0} (e){x ∈ ℝ/ x > –1} 
 
(c){x ∈ ℝ/ –1 < x < 1} 
 
37)(PUC-MG) Se A = ]–2, 3], B = [0, 5], então os 
números inteiros em B – A são: 
 
(a) –1 e 0 (c) 4 e 5 (e) 0, 1, 2 e 3 
 
(b) 1 e 0 (d) 3, 4 e 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 28/1/2020 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1. 
 
PAIVA, M. Matemática: Matemática Paiva 1 3. Ed. São Paulo: 
Moderna, 2015, v.1. (Ensino Médio) 
 
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