Fenômeno de Transporte - Análise Dimensional e Transferência de Calor

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Muitos dos problemas envolvendo fenômenos de transporte são resolvidos por meio de experimentos e análise de dados experimentais. Um dos objetivos de qualquer experimento é obter resultados que podem ser usados em uma enorme gama de aplicações. O conceito de semelhança pode ser utilizado para garantir este objetivo.
Teoria da Semelhança
De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004, p. 344):
o conceito de semelhança garante que as medidas obtidas em um sistema (por exemplo, em uma simulação com um protótipo feito em escala reduzida) possam ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar (fora do laboratório). O estudo dos fenômenos no modelo pode resultar em formulações empíricas que serão capazes de fornecer predições específicas de uma ou mais características de outro sistema similar.
Modelos e Semelhanças
Utilizamos modelos para simular grandes estruturas ou projetos como aviões, navios, portos, barragens. Um modelo em Engenharia pode ser definido como uma representação de um sistema físico que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica de um sistema. O sistema físico para o qual as predições são feitas é chamado de protótipo. Existem modelos maiores que os originais, como modelos que utilizam células de glóbulos vermelhos do nosso sangue.
Teoria dos Modelos
Esta teoria pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional, sendo uma função de um conjunto de termos pi, ou seja:
Π1= ϕ (Π2,Π3,…,Πn)        (Equação 4.1)Π1= 𝝓 (Π2,Π3,…,Π�)        (Equação 4.1)
A formulação desta relação necessita do conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e das variáveis importantes do fenômeno. Não precisamos dos valores específicos. Podemos aplicar a equação 4.1 em qualquer sistema que seja descrito pelas mesmas variáveis. Se a equação 4.1 descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo deste protótipo, dada por:
Π1 m= ϕ (Π2 m,Π3 m,…,Πn m)        (Equação 4.2)Π1 �= 𝝓 (Π2 �,Π3 �,…,Π� �)        (Equação 4.2)
Onde a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos no protótipo e no modelo sejam os mesmos. As variáveis com o termo m serão utilizadas para o protótipo.
Agora vamos considerar que:
Π2 m=Π2 Π2 �=Π2 
Π3 m=Π3             (Equação 4.3)Π3 �=Π3             (Equação 4.3)
Πn m=Πn Π� �=Π� 
Como a forma de 𝝓 é a mesma para o protótipo e para o modelo, temos:
Π1 m=Π1                      (Equação 4.4)Π1 �=Π1                      (Equação 4.4)
A equação 4.4 nos mostra que o valor medido no modelo Π1 mΠ1 � será igual ao valor Π1 Π1  do protótipo, desde que os outros termos π� sejam iguais. As condições especificadas na equação 4.3 fornecem as condições de projeto do modelo e são chamadas de condições de semelhança ou leis do modelo.
Um ou mais termos π� precisam ter semelhança geométrica entre eles, ou seja, o protótipo precisa ser uma versão em escala do modelo. Também precisamos que um ou mais parâmetros sejam semelhantes, como a rugosidade superficial ou o número de Reynolds. A igualdade entre os termos π� requer que a relação entre estas forças no modelo e no protótipo sejam as mesmas.
Análise dos Coeficientes de Transferência
As razões entre quantidades semelhantes do modelo e do protótipo precisam ter condições de semelhança. Por exemplo, se num dado problema existem dois comprimentos importantes l11 e l22, os critérios de semelhança nos termos pi precisam ser:
l1l2=l1ml2m            (Equação 4.5)�1�2=�1��2�            (Equação 4.5)
De modo que:
l1ml1=l2ml2            (Equação 4.6)�1��1=�2��2            (Equação 4.6)
A razão l1ml1�1��1 é chamada de escala de comprimento. Só existirá uma escala de comprimento e todos os comprimentos estarão fixados com esta escala. O mesmo é válido para os outros parâmetros, como velocidade, viscosidade etc.
A escala de comprimento é representada por λl�� e as outras escalas por λv��, λμ�� etc., onde o subscrito indica o parâmetro. A indicação da escala é feita em razões 1/10 ou proporções 1: 10.
Se um ou mais critérios π� não forem satisfeitos, como, por exemplo, se Π2 mΠ2 � ≠≠ Π2 , Π2 ,  o modelo será chamado de modelo distorcido. Modelos distorcidos são usados no estudo de escoamentos em canais abertos ou escoamentos com superfícies livres devido à dificuldade de encontrarmos um protótipo que satisfaça a relação Π2 mΠ2 � = Π2Π2.
Balanços Diferenciais
Algumas vezes precisamos acrescentar equações à análise dimensional. Neste caso, podemos utilizar as leis de semelhança conjuntamente com as equações diferenciais que descrevem o fenômeno.
Vamos estudar o escoamento de um fluido Newtoniano com escoamento bidimensional para ilustrar esse caso.
A equação que descreve o escoamento é a equação da continuidade, dada por:
dudx+dvdy=0            (Equação 4.7)����+����=0            (Equação 4.7)
E as equações de Navier - Strokes (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) para esse escoamento são dadas por:
ρ (dudt + u dudx + v dudy )=−dpdx+μ (d2udx2 + d2udy2)      ( Equação 4.8)� (���� + � ���� + � ���� )=−����+� (�2���2 + �2���2)      ( Equação 4.8)
ρ (dvdt + u dvdx + v dvdy )=−dpdy−ρg+μ (d2vdx2 + d2vdy2)      (Equação 4.9)� (���� + � ���� + � ���� )=−����−��+� (�2���2 + �2���2)      (Equação 4.9)
Como podemos notar, o eixo y é vertical e a força gravitacional ρ� g está presente apenas no eixo y. Agora temos que estabelecer as condições de contorno. Vamos especificar as velocidades em todas as fronteiras da região que está sendo analisada. Adotaremos u = uu = uBB e v = vv = vBB em todos os pontos da fronteira com x = xx = xBB e y = yy = yBB. Podemos também especificar a pressão na região da fronteira, ou, se nossa análise for de um escoamento transitório, temos que estabelecer as condições iniciais, usualmente adotamos t = 0t = 0.
Nossas variáveis são u, v, p, x, y e t, de modo que necessitamos de uma velocidade de referência (pode ser a velocidade de escoamento em um ponto distante, onde o escoamento não será turbulento, ou a velocidade na seção de entrada de um canal), uma pressão de referência p0�0, um comprimento de referência l (pode ser o comprimento de um corpo imerso em um fluido ou a largura de um canal) e um tempo de referência τ�. As variáveis adimensionais (indicadas com asterisco) são dadas por:
u∗=uV    v∗=vV    p∗=pp0        (Equação 4.10)�∗=��    �∗=��    �∗=��0        (Equação 4.10)
x∗=xl    y∗=yl    t∗=tτ        (Equação 4.11)�∗=��    �∗=��    �∗=��        (Equação 4.11)
As equações que descrevem o fenômeno podem, então, ser reescritas em função destas novas variáveis. Logo:
dudx=dVu∗dx∗dx∗dx=Vl du∗dx∗        (Equação 4.12)����=���∗��∗��∗��=�� ��∗��∗        (Equação 4.12)
d2udx2=Vl ddx∗(du∗dx∗)dx∗dx=Vl2 d2u∗dx∗2        (Equação 4.13)�2���2=�� ���∗(��∗��∗)��∗��=��2 �2�∗��∗2        (Equação 4.13)
Todos os outros termos das equações podem ser expressos da mesma forma. Logo, as equações que descrevem o fenômeno em função das novas variáveis serão:
du∗dx∗+du∗dy∗=0          (Equação 4.14)��∗��∗+��∗��∗=0          (Equação 4.14)
[ρ Vτ]du∗dt∗+[ρ V2l](u∗ du∗dx∗ + v∗ du∗dy∗ )=−[p0l]dp∗dx∗+[μ Vl2](d2u∗dx∗2 + d2u∗dy∗2)    (Equação 4.15)[� ��]��∗��∗+[� �2�](�∗ ��∗��∗ + �∗ ��∗��∗ )=−[�0�]��∗��∗+[� ��2](�2�∗��∗2 + �2�∗��∗2)    (Equação 4.15)
[ρ Vτ]dv∗dt∗+[ρ V2τ](u∗ dv∗dx∗ + v∗ dv∗dy∗ )=−[p0l]dp∗dy∗−[ρ g]+[μ Vl2](d2v∗dx∗2 + d2v∗dy∗2)    (Equação 4.16)[� ��]��∗��∗+[� �2�](�∗ ��∗��∗ + �∗ ��∗��∗ )=−[�0�]��∗��∗−[� �]+[� ��2](�2�∗��∗2 + �2�∗��∗2)    (Equação 4.16)
Sendo [ρ Vτ][� ��] = FilFil (força de inércia local); [ρ V2l][� �2�] = FicFic (força de inércia convectiva); [p0l][�0�] = FpFp (força de pressão); [ρ g][� �] = FgFg (força gravitacional) e [μ Vl2][� ��2] = FvFv (força viscosa).
Os termos que aparecem entre colchetes são quantidades de referência que podem ser interpretadas como indicativos das várias forças (por unidade de volume). Agora, vamos dividir as equações (4.15) e (4.16) por ρ V2l� �2�, que é o indicativo da força de inércia convectiva:
[lτ V]du∗dt∗+u∗ du∗dx∗ + v∗ du∗dy∗=−[p0ρ V2]dp∗dx∗+[μ ρ V l](d2u∗dx∗2 + d2u∗dy∗2)    (Equação 4.17)[�� �]��∗��∗+�∗ ��∗��∗ + �∗ ��∗��∗=−[�0��2]��∗��∗+[� � � �](�2�∗��∗2 + �2�∗��∗2)    (Equação 4.17)
[lτ V]dv∗dt∗+u∗ dv∗dx∗ + v∗ dv∗dy∗=−[p0ρ V2]dp∗dy∗−[g lV2]+[μ ρ V l](d2v∗dx∗2 + d2v∗dy∗2)      (Equação 4.18)[�� �]��∗��∗+�∗ ��∗��∗ + �∗ ��∗��∗=−[�0� �2]��∗��∗−[� ��2]+[� � � �](�2�∗��∗2 + �2�∗��∗2)      (Equação 4.18)
Os termos entre colchetes são os grupos adimensionais (ou seus recíprocos) que foram desenvolvidos na análise dimensional, sendo que [lτ V][�� �] é o número de Strouhal; [p0ρ V2][�0� �2] é o número de Euler; [g lV2][� ��2] é o recíproco do número de Froude e [μ ρ V l][� � � �] é o recíproco do número de Reynolds.
Podemos concluir que cada um dos grupos adimensionais pode ser interpretado como uma razão entre duas forças e que estes grupos adimensionais aparecem de maneira natural das equações que descrevem os escoamentos.
Teoria da Camada Limite
Quando um corpo se move através de um fluido, há uma interação entre estes, ou seja, surgem forças que atuam na interface fluido-corpo. Estas forças podem ser descritas em função da tensão de cisalhamento na parede τp�� e da tensão normal, que é devida à pressão p. Podemos obter o arrasto e a sustentação pela integração das tensões de cisalhamento e normais ao corpo.
Como a obtenção das integrais das tensões normais e de cisalhamento são complexas, utilizamos coeficientes adimensionais de arrasto e de sustentação, conhecidos por CL (coeficiente de sustentação) e CD (coeficiente de arrasto). Estes coeficientes são dados por:
CL=L12 ρ U2A    e      CD=D12 ρ U2A      (Equação 4.19)CL=�12 � �2�    e      CD=�12 � �2�      (Equação 4.19)
Onde A é a área do objeto e U é a velocidade do escoamento em um ponto bem distante (quando a diferença entre duas medidas for menor que 1%).
Os escoamentos externos possuem características que dependem de inúmeras variáveis. Para simplificar os cálculos, nós utilizamos os parâmetros adimensionais como o número de Reynolds, o número de Froude, o número de Mach etc. Neste momento, vamos focar nossa atenção no número de Reynolds e considerar um escoamento variando de acordo com este parâmetro.
A maior parte dos escoamentos (água e ar) estão associados a objetos de tamanho moderado, com comprimento entre 0,01 < l < 10 m e com velocidade variando entre 0,01 m/s < U < 100 m/s. Assim, teremos números de Reynolds variando entre 10 < Re <1099. Utilizamos como regra geral que escoamentos com número de Reynolds Re > 100 são controlados pelos efeitos da inércia, enquanto que Re < 1 são controlados pelos efeitos viscosos.
Agora vamos nos concentrar nos escoamentos com número de Reynolds bem menores do que 1, como óleos, lagos, estações de tratamento de esgoto etc. A Figura 4.1 mostra três escoamentos sobre uma placa plana com comprimento l.
Figura 4.1 - Características do escoamento em regime permanente sobre uma placa plana paralela ao escoamento ao longe. Escoamento com número de Reynolds a) baixo = 0,1, b) moderado = 10 e c) alto = 107
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 487).
Quando o número de Reynolds é pequeno, os efeitos da viscosidade são fortes e a placa afetará bastante o escoamento uniforme. Por isso deveremos medir U em uma região muito longe da placa.
Quando o número de Reynolds se torna moderado, a região onde se pode sentir o efeito da viscosidade se limita à jusante da placa. Já para números de Reynolds grandes, o escoamento será controlado pelos efeitos da inércia.
O físico alemão Ludwing Prandtl estudou os efeitos do escoamento na camada limite, que pode ser definida por uma região muito fina e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes.
Fora da camada limite esses efeitos podem ser desprezados. Portanto, temos que estudar algumas grandezas, como a velocidade em dois momentos:
· Dentro da camada limite e
· Fora da camada limite.
Vamos estudar a estrutura da camada limite considerando o movimento de uma partícula fluida no campo de escoamento, conforme a Figura 4.2.
Figura 4.2 - Distorção de uma partícula fluida enquanto escoa em uma camada limite
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 491).
Quando a partícula entra na camada limite, o gradiente de velocidade faz com que ela comece a distorcer, ou seja, o escoamento será rotacional dentro da camada limite. A partir de uma distância, o escoamento se torna turbulento devido a esta distorção. O valor crítico para que esta turbulência ocorra varia entre 2 x 1033 a 3 x 1066, essa variação é função da rugosidade e da intensidade da turbulência presente no escoamento.
A função da camada limite na placa é permitir que o fluido mude sua velocidade do valor U para zero na placa, ou seja, teremos um perfil de velocidade dado pela Figura 4.3.
Figura 4.3 - Espessuras da camada limite: a) espessura normal e b) espessura de deslocamento
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 492).
O perfil de velocidade será dado por u = u(x, y) que satisfaça as condições V = 0 em y e V ≈≈ U i^�^ em y = δ�, ou seja, para δ� = y, será adotado u = 0,99U.
Devido à diferença de velocidades U - u dentro da camada limite, a vazão através da seção b - b é menor do que aquela apresentada na seção a - a. Assim:
δ∗=∫0∞(1 − uU) dy      (Equação 4.20)�∗=∫0∞⁡(1 − ��) ��      (Equação 4.20)
Ou seja, a espessura de deslocamento representa o aumento de espessura necessário do corpo para que a vazão do escoamento uniforme U seja igual a do escoamento viscoso apresentado no resto do fluido. Portanto, podemos adicionar uma espessura de deslocamento na parede real para simular este efeito.
Vamos Praticar
Na figura a seguir temos a seção transversal de um componente estrutural longo de uma ponte. Munson, Young e Okiishi (2004, p. 369) afirmam que:
ocorre o desenvolvimento de vórtices na parte posterior do corpo e que estes são desprendidos em uma forma regular e com frequência definida quando o vento escoa em torno deste corpo. Estes vórtices podem criar forças periódicas que atuam na estrutura e é importante sabermos a frequência de emissão destes componentes.
Para a estrutura mostrada na Figura 4.4, temos que D = 0,2 m, H = 0,6 m e a velocidade do vento é igual a 25 km/h.
Figura 4.4  - Seção transversal de um componente estrutural de uma ponte
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 369).
Admitindo que as condições do ar são as normais, a frequência de emissão dos vórtices deve ser determinada utilizando um modelo (Dmm = 40 mm) que deve ser testado em um túnel de água. A temperatura da água no túnel é de 20ºC. Considerando que as propriedades do ar na condição padrão são μ = 1,79 x 10-5-5 kg/ms e ρ = 1,23 kg/m33 e as da água a 20ºC são μ = 1,00 x 10-5-5 kg/ms e ρ = 998 kg/m33, após a determinação Hm do modelo e da velocidade do escoamento de água no teste, se a frequência do modelo for de 25 Hz, a frequência de desprendimento dos vórtices será um número entre:
Parte superior do formulário
a) 0 e 10 Hz.
b) 11 e 20 Hz.
c) 21 e 30 Hz.
d) 31 e 40 Hz.
e) Acima de 41 Hz.
Parte inferior do formulário
Os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito viscoso e possuem a propriedade de aderência do fluido às superfícies sólidas. A seguir, vamos estudar como obter um balanço de massa, quantidade de movimento e calor para esses escoamentos.
Analogias Entre Balanço de Massa, Quantidade de Movimento e Calor
A perda de carga, de acordo com Livi (2017, p. 112):
representada por hp, é a parcela de energia mecânica do escoamento que é irreversivelmente convertida em energia térmica por causa do atrito viscoso entre duas seções consideradas. Ela também representa a energia mecânica por unidade de peso do fluido que é dissipada devido ao atrito viscoso.
Temos dois tipos diferentes de perda de carga, ainda de acordo com Livi (2017, p. 112), dados por:
• Perda de carga distribuída, hp,d, que ocorre devido ao atrito viscoso ao longo da tubulação entre duas seções;
• Perda de carga localizada ou acidental, hp,l, que ocorre devido aos acessórios ou acidentes localizados em determinadas posições nas tubulações como, por exemplo, as válvulas, as variações de diâmetro nas seções datubulação, as curvas etc.
A perda de carga total dada por hp será a soma de todas as perdas de cargas distribuídas e localizadas entre 2 seções, dada por:
hp=∑hp,d+∑hp,l    (Equação 4.21)ℎ�=∑⁡ℎ�,�+∑⁡ℎ�,�    (Equação 4.21)
Tomemos como exemplo um duto horizontal de diâmetro D constante, conforme está mostrado na Figura 4.5, onde temos um escoamento permanente de um fluido incompressível de massa específica ρ�, não havendo perda de carga localizada.
Figura 4.5 - Representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento com atrito viscoso em um duto horizontal de diâmetro pequeno e constante
Fonte: Livi (2017, p. 110).
Na seção (1) temos uma pressão estática p1 e na seção temos uma pressão p2. A perda de carga distribuída, devido ao atrito viscoso entre as seções (1) e (2) que são separadas por um comprimento L, pode ser dada pela equação de Bernoulli somada a perda de carga, dada por:
y1+V212 g+p1ρ g=y2+V222 g+p2ρ g+hp,d      (Equação 4.22)�1+�122 �+�1� �=�2+�222 �+�2� �+ℎ�,�      (Equação 4.22)
Neste exemplo, temos duto horizontal de diâmetro constante, então V1=V2�1=�2 e y1=y2�1=�2, logo, a equação (4.22) fica reduzida a:
hp,d=p1 − p2ρ g      (Equação 4.23)ℎ�,�=�1 − �2� �      (Equação 4.23)
Ou seja, segundo Livi (2017, p. 112), “a perda de carga distribuída, em um escoamento dentro de um duto horizontal com diâmetro constante, é dada pela queda de carga da pressão entre as duas seções consideradas”.
Através de simulações, verificamos que, para escoamentos dentro de seções tubulares constantes, a queda de pressão estática, devido ao atrito viscoso entre duas seções, depende do diâmetro do duto, da rugosidade da parede do tubo, da velocidade média do escoamento, da massa específica e da viscosidade do fluido. A equação de Darcy-Weisbach relaciona estas variáveis e é dada por:
hp,d=fLD V2−−−2 g              (Equação 4.24)ℎ�,�=��� �2_2 �              (Equação 4.24)
Onde f é um coeficiente de proporcionalidade chamado de fator de atrito, L é o comprimento considerado do duto, D é o diâmetro interno da tubulação e V−�− é a velocidade média do escoamento.
Livi (2017, p. 113) ressalta que se pode obter  “o fator de atrito f� experimentalmente, ele é função de dois parâmetros adimensionais dados por:
f=f (Re, eD)            (Equação 4.25)�=� (��, ��)            (Equação 4.25)
Onde Re é o número de Reynolds do escoamento e eD�� é a rugosidade relativa do duto”.
Ainda recorrendo a Livi (2017, p. 113), temos que esta rugosidade pode ser definida “como a altura média das saliências da superfície interna do duto e a rugosidade relativa é o quociente entre a rugosidade e o diâmetro interno do duto, sendo que ambos são expressos nas mesmas unidades”.
O fator de atrito f� pode ser obtido pelo diagrama de Moody dado na figura 4.6, este fator é adimensional.
Figura 4.6 - Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção circular
Fonte: Livi  (2017, p. 113).
Podemos determinar a rugosidade relativa eD�� quando conhecermos o diâmetro do duto e o material que ele foi construído através do diagrama mostrado na Figura 4.7.
Figura 4.7 - Diagrama de Moody para a rugosidade relativa de dutos de seção circular
Fonte: Livi  (2017, p. 114).
A perda de carga localizada (também chamada de acidental) hp,lhp,l é obtida por meio da equação:
hp,l=KV2−−−2 g                (Equação 4.26)ℎ�,�=��2_2 �                (Equação 4.26)
Sendo que K é o coeficiente de perda de carga localizada. Ele é determinado experimentalmente para cada componente da tubulação e pode ser encontrado em tabelas e manuais do fabricante.
Aplicação da Análise Dimensional
A seguir, estudaremos a análise dimensional no estudo dos modelos de escoamentos em condutos fechados, em torno de corpos imersos e com superfície livre, assim teremos um padrão que poderá ser aplicado na maioria das análises de fenômenos de transporte.
Escoamento em Condutos Fechados
Estes escoamentos ocorrem em tubos, válvulas, conexões ou outros dispositivos e geralmente são usados para a medida de características dos escoamentos. A maioria destes componentes possui seção transversal circular, mas podem apresentar outros formatos. Como não existe uma interface com a atmosfera, as forças dominantes são as de inércia e as devido à viscosidade do fluido.
Se o número de Ma for menor do que 0,3, os efeitos da compressibilidade podem ser desprezados. Geralmente estes escoamentos são descritos por uma série de termos de comprimento dados por l11, l22, ...lii, onde l é alguma dimensão de comprimento. Esta série nos leva a uma série de termos π� que possuem a forma:
Πi=lil              (Equação 4.27)Π�=���              (Equação 4.27)
Sendo i = 1, 2, … Dois fatores são importantes nesse tipo de escoamento: a rugosidade das superfícies internas e a geometria básica do sistema. Se definirmos a altura média da rugosidade da superfície como ε�, o termo π� que representa a rugosidade será definido por εl��. A rugosidade da superfície tem que estar em escala para podermos obter a semelhança geométrica completa. Para isto, a superfície do modelo tem que ser mais lisa do que aquela do protótipo se a escala de comprimento for menor do que 1.
Um termo do nosso interesse, por exemplo, a queda de pressão, pode ser obtido por:
Termo π� dependente = 𝝓 (lil,εl, ρ V lμ )(���,��, � � �� )           (Equação 4.28)
Esta é a fórmula geral para qualquer tipo de problema. Os dois primeiros termos π� no lado direito da equação (4.28) dizem respeito ao critério da semelhança geométrica, dado por:
limlm=lil    e    εmlm=εl              (Equação 4.29)�����=���    e    ����=��              (Equação 4.29)
ou
limli=εmε=lml=λi          (Equação 4.30)�����=���=���=��          (Equação 4.30)
Ou seja, podemos escolher a escala, mas uma vez escolhida temos que utilizá-la em todos os comprimentos.
Outro critério de semelhança será dado pelo número de Reynolds:
ρm Vm lmμm=ρ V lμ          (Equação 4.31)�� �� ����=� � ��          (Equação 4.31)
Logo, a relação entre a velocidade no modelo e a no protótipo será igual a:
VmV=μmμ ρρm llm          (Equação 4.32)���=��� ��� ���          (Equação 4.32)
Ou seja, o valor real da escala de velocidade será função das escalas de viscosidade dinâmica, de massa específica e de comprimento. Se utilizarmos o mesmo fluido no modelo e no protótipo, podemos simplificar a equação (4.32), porque μm=μ��=� e ρm=ρ��=�. O resultado desta simplificação será dado por:
VmV=llm        (Equação 4.33)���=���        (Equação 4.33)
Ou seja, a velocidade do fluido no modelo será maior do que aquela no protótipo se a escala for menor do que 1, porque Vm=V/λi��=�/��.
O termo π� dependente será igual no modelo e no protótipo se os critérios de semelhança forem satisfeitos. Vamos considerar que a variável dependente é a variação de pressão (ΔΔp) entre dois pontos ao longo de um conduto fechado. Então, o termo π� dependente será dado por:
Π1=Δpρ V2          (Equação 4.34)Π1=Δ�� �2          (Equação 4.34)
Portanto, a queda de pressão no protótipo pode ser então calculada com a relação:
Δp=ρρm (VVm)2Δpm      (E'quação 4.35)Δ�=��� (���)2Δ��      (E'quação 4.35)
Ou seja, a queda de pressão varia de acordo com a densidade do fluido, dividida pela densidade do modelo, o quadrado da velocidade do fluido dividida pela velocidade do modelo e a variação da pressão no modelo. Deste modo, é possível se calcular a pressão no protótipo a partir da pressão no modelo.
Escoamentos em Torno de Corpos Imersos
Estes modelos são utilizados no estudo das características dos escoamentos associados a aviões, automóveis, bolas de golfe, construções etc. Os critérios de semelhança são similares aos estudados em escoamentos em dutos fechados, ou seja, temos que manter a semelhança geométrica e os números de Reynolds no modelo e no protótipo devem ser iguais.
Para escoamentos incompressíveis (onde o número de Mach é desprezado), a fórmula geral aplicada a este problema será a mesma equação 4.28.
Geralmente, a variável que queremos neste tipo de problema é o arrasto desenvolvido no corpo, representado pelaletra D, ou melhor, o coeficiente de arrasto dado por:
CD=D12 ρ V2 l2            (Equação 4.36)��=�12 � �2 �2            (Equação 4.36)
Onde l22 é usado para representar a área do objeto. Se igualarmos a equação 4.36 à equação geral dada por 4.28, teremos:
D12 ρ V2 l2=CD=ϕ(lil,εl, ρ V lμ )        (Equação 4.37)�12 � �2 �2=��=𝝓(���,��, � � �� )        (Equação 4.37)
O critério de semelhança geométrica também será dado pelas equações 4.29  a 4.31. Logo, teremos:
D12 ρ V2 l2=Dm12 ρ2m V2m l2m          (Equação 4.38)�12 � �2 �2=��12 ��2 ��2 ��2          (Equação 4.38)
ou
D=ρρm (VVm)2  (llm)2Dm        (Equação 4.39)�=��� (���)2  (���)2��        (Equação 4.39)
Esta equação fornece um modo para calcular o arrasto no protótipo D a partir da medição do arrasto no modelo Dm�.
Escoamento em Superfície Livre
Os escoamentos em canais, rios, vertedouros e cascos de navios são exemplos de escoamentos em superfícies livres. Nesta classe de problema, as forças gravitacional e de inércia são muito importantes, portanto, o número de Froude é um parâmetro importante de semelhança, assim como as forças de tensão superficial e o número de Weber. A fórmula geral para problemas em uma superfície livre pode ser expressa como:
Termo π� dependente = 𝝓 (lil,εl, ρ V lμ , V(g l)1/2, ρ V2lσ)(���,��, � � �� , �(� �)1/2, � �2��)           (Equação 4.40)
O número de Froude do modelo e do protótipo devem ser iguais, ou seja:
Vm(gm lm)1/2=V(g l)1/2      (Equação 4.41)��(�� ��)1/2=�(� �)1/2      (Equação 4.41)
Fazemos isso operando o modelo e o protótipo no mesmo campo gravitacional, ou seja:
VmV=(lml)1/2=λi−−√      (Equação 4.42)���=(���)1/2=��      (Equação 4.42)
Portanto, a escala da velocidade será determinada pela raiz quadrada da escala de comprimento.
Do mesmo modo, podemos obter a relação entre o número de Reynolds e a velocidade que será dado por:
VmV = (λi)3/2          (Equação 4.43)��� = (��)3/2          (Equação 4.43)
Como utilizamos no protótipo água doce ou salgada e a escala de comprimento é pequena, precisamos que o critério de semelhança seja mantido também no número de Weber dado por:
σmρmσρ=(λi)2        (Equação 4.44)������=(��)2        (Equação 4.44)
É claro que muitas vezes temos que utilizar algumas simplificações devido a dificuldade de igualar todos os critérios de semelhança.
Vamos Praticar
“Dados a vazão do escoamento, a massa específica ρ, o diâmetro e o comprimento do tubo, podemos calcular o número de Reynolds” (LIVI, 2017, p. 152).  
A água está escoando em uma tubulação onde a parede é de aço comercial. Esse fluido possui viscosidade de 0,001 Pa.s e massa específica igual 1.000 kg/m3. Nestas condições, a vazão da água é igual a 0,04 m3/s. A seção circular da tubulação apresenta diâmetro de 20 e comprimento de 600 m. A perda de carga distribuída ao longo da tubulação será um número entre:
Parte superior do formulário
a) 0 a 10 m.
b) 11 a 20 m.
c) 21 a 30 m.
d) 31 a 40 m.
e) Acima de 40 m.
Parte inferior do formulário
A termodinâmica, de acordo com Moran (2005, p. 07), estuda:
as relações entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor e trabalho com a vizinhança, fornecendo informações sobre a quantidade de energia (calor) envolvida para o sistema passar de um estado inicial a um estado final em um dado processo termodinâmico.
De acordo com Livi (2017, p. 157), podemos definir “o calor como a energia que é transferida em função de uma diferença de temperatura”.
Além disso, o autor afirma que  “a transferência de calor é a área da ciência que estuda os mecanismos de transporte de calor e a determinação das distribuições de temperatura e dos fluxos ou taxas de transferência de calor” (LIVI, 2017, p. 157).
Temos três formas de transferir calor ilustradas na Figura 4.8:
· Condução: ocorre devido ao aquecimento do metal que está interno ao cabo da panela;
· Convecção: ocorre devido ao aquecimento da água;
· Radiação: ocorre nas chamas do fogão.
Estas três formas de calor podem ocorrer simultaneamente ou separadas. Muitas vezes uma aplicação começa utilizando a transferência de calor por condução, depois utiliza a convecção e, por fim, termina também usando a radiação, como é o caso de quando fervemos água em uma panela de ferro, que aquece através das chamas do fogão. A água ferverá mais rapidamente devido às várias formas de transferência de calor.
Figura 4.8 - Ilustração da transferência de calor por condução, convecção e radiação
Fonte: Blueringmedia / 123RF.
Segundo Livi (2017, p. 157):
o fluxo de calor é a taxa de transferência de calor, ou a quantidade de calor que é transferida através de uma superfície por unidade de tempo e a densidade de fluxo de calor é a quantidade de calor que é transferida por unidade de tempo e por unidade de área.
Condução
De acordo com Livi (2017, p. 157), “a condução é caracterizada pela transferência de energia térmica em um meio material sólido ou fluido, causada pela existência de um gradiente de temperatura”.
Livi (2017, p. 157) adicionalmente estabelece que  “a densidade de fluxo de calor por condução é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, em um processo na direção do eixo x”, sendo assim, temos:
qx=−kdTdx        (Equação 4.45)��=−�����        (Equação 4.45)
Sendo que Livi (2017, p. 157) denomina “qx�� como sendo a densidade de fluxo de calor por condução na direção x; dTdx���� como o gradiente de temperatura na direção x e k como o coeficiente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material”. Esta equação também é conhecida como equação unidimensional de Fourier para a condução de calor.
Finalmente, Livi (2017, p. 158) estabelece que “a densidade de fluxo de calor é a taxa de transferência de calor por unidade de área” e é dada por:
QxA=−kdTdx        (Equação 4.46)���=−�����        (Equação 4.46)
Sendo “Qx como  o fluxo de calor por condução na direção x e A como a área da seção normal ao fluxo de calor” (LIVI, 2017, p. 158).
A equação geral de Fourier para a condução de calor escrita na forma vetorial é dada por:
q−=−k−T          (Equação 4.47)�−=−�−�          (Equação 4.47)
O sinal negativo na equação é devido ao fato de que o fluxo de calor por condução se dá no sentido contrário ao gradiente (ᐁ) de temperatura.
Recorrendo novamente a Livi (2017, p. 158), temos que “a condução de calor é uma transferência de energia térmica através de um meio material sólido ou fluido em função de um gradiente (diferença) de temperatura”. Este fluxo ocorre da região de maior temperatura para a região de menor temperatura.
Os materiais que são bons condutores de calor são, em geral, bons condutores de eletricidade como os metais (cobre, ouro, alumínio), ou seja, a condutividade térmica é a propriedade do material de conduzir calor e, na maioria das vezes, essa propriedade é dependente da temperatura.
Convecção
Esta transferência de calor ocorre pelo deslocamento de uma massa fluida. Quando um fluido está em movimento, existe uma distribuição não uniforme de temperatura que produz um gradiente de temperatura (condução) e o transporte dessa massa fluida também produz calor.
Esta transferência é classificada em função do escoamento em:
· Convecção forçada que é causada por agentes externos como ventiladores e bombas;
· Convecção natural ou livre que é causada por forças devida ao gradiente de massa específica que produz diferenças de temperatura no fluido.
Como já aprendemos, quando um fluido se movimenta sobre uma superfície sólida podemos dividir o campo da velocidade em duas regiões principais: uma junto à superfície sólida e outra mais distante (fora da camada limite) que apresenta uma distribuição uniforme de velocidade chamada de escoamento livre.
Do mesmo modo, quando existir uma diferença de temperatura entre a superfície sólida e o fluido adjacente a ela, podemos dividir o campo da temperatura do fluido em dois: um junto à superfície sólida chamado de camada limite térmica e um outro mais distante onde o fluido apresenta distribuição uniforme de temperatura.
Considerando uma situação de transferência de calor, porconvecção forçada, de uma placa sólida aquecida, vamos manter a superfície da placa a uma temperatura constante T, sendo que o fluido adjacente possui Temperatura T∞�∞ conforme é mostrado na Figura 4.9.
Figura 4.9 - Gradiente de transferência de calor por convecção forçada em uma placa aquecida por um fluido
Fonte: Livi (2017, p 159).
Temos a formação de uma película fluida em repouso aderida à placa devido à propriedade da aderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas. A velocidade de escoamento nesta película é zero, sendo que o calor é transferido somente por condução.
À medida que o fluido escoa sobre a superfície sólida, temos um efeito retardado exercido pela placa sobre o movimento das partículas do fluido, de maneira que a espessura $\delta $ da camada limite hidrodinâmica aumenta em função do eixo x, que tem origem no bordo de ataque da placa.
Se a superfície da placa e o escoamento livre do fluido apresentarem temperaturas diferentes, aparecerá uma camada limite térmica com espessura δT�� que aumentará à medida que o fluido escoar sobre a superfície sólida.
Alguns valores típicos do coeficiente de transferência de calor por convecção são dados na Tabela 4.1.
	Processo
	H (W/m2.K)
	Convecção natural
	 
	Gases
	2 – 25
	Líquidos
	50 – 1.000
	Convecção forçada
	 
	Gases
	25 – 250
	Líquidos
	100 – 20.000
	Convecção com mudança de fase
	 
	Ebulição ou condensação
	2.500 – 100.000
Tabela 4.1 - Valores típicos do coeficiente de transferência de calor por convecção
Fonte: Bergman e Lavine (2019, p. 06).
O número de Prandtl é dado pela relação entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica, e é um parâmetro adimensional que representamos por Pr, que é definido como o quociente entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica do fluido, dado por:
Pr=να                (Equação 4.48)��=��                (Equação 4.48)
Para os gases, o número de Prandtl é próximo da unidade. Já para os metais líquidos, temos Pr <<1 e para os óleos viscosos, Pr >> 1.
Para a mesma situação representada pela figura 4.8, a densidade de fluxo de calor por convecção é diretamente proporcional à diferença entre as temperaturas da superfície sólida e do fluido e é dada por:
q=h(Ts−T∞)                  Equação4.49)�=ℎ(��−�∞)                  ����çã�4.49)
Onde q é a densidade de fluxo de calor por convecção, Ts é a temperatura da superfície sólida, T∞�∞ é a temperatura do fluido e h é o coeficiente de transferência de calor por convecção também chamado de coeficiente de película. A equação (4.49) é conhecida por Lei de Newton do resfriamento.
Este coeficiente h depende do tipo de escoamento, da geometria do sistema, das propriedades do fluido, se a convecção é forçada ou natural, e da posição ao longo da superfície. Geralmente este coeficiente é determinado experimentalmente.
Vamos Praticar
“Um forno industrial foi construído com tijolo refratário de 0,25 cm de espessura, conforme mostra a Figura 4.10. A condutividade térmica do tijolo usado na construção é de 1,7 W/m.K. Os medidores de temperatura instalados na parede externa e interna deste registraram medidas de 1.200 e 1.500ºC, respectivamente. Este forno foi construído com 1,4 m de comprimento por 0,75 m de altura. A taxa de calor perdida neste sistema será um número entre:
Figura 4.10 - Parede de um forno construído com tijolo refratário
Fonte: Bergman e Lavine  (2019, p. 04).
Parte superior do formulário
a) Entre 0 e 500 W.
b) Entre 501 e 1.000 W.
c) Entre 1.001 e 1.500 W.
d) Entre 1.501 e 2.000 W.
e) Acima de 2.001 W.
Parte inferior do formulário
Continuando nosso estudo de transferência de calor, agora vamos estudar a radiação, a Lei dos Gases Perfeitos e o conceito de resistividade térmica, ou seja, a maior ou menor facilidade que um material possui de absorver calor e a relação deste conceito com a Termodinâmica.
Radiação
Livi (2017, p. 161) afirma que “a  radiação é quando ocorre uma transferência de calor sem a necessidade de um meio material, o transporte de energia tem eficiência máxima através do vácuo absoluto”.
Qualquer superfície com temperatura acima de 0 K emite radiação térmica. Um corpo negro pode ser definido como uma superfície que absorve totalmente a radiação incidente sobre ele. Este corpo negro (radiador ideal) emite radiação térmica com uma densidade de fluxo dada pela Lei de Stefan-Boltzmann (quando o nome de uma lei aparece separado por hífen, o hífen indica que a lei foi descoberta por dois cientistas), dada por:
q=σT4s              (Equação 4.50)�=���4              (Equação 4.50)
Onde q é a densidade de fluxo de energia radiante emitida pela superfície, $\sigma $é a constante de Stefan-Boltzmann e Ts é a temperatura absoluta da superfície.
As superfícies reais emitem menos energia que um corpo negro, então a densidade de fluxo destas superfícies será dada por:
q=εσT4s                (Equação 4.51)�=����4                (Equação 4.51)
Onde ε� é a emissividade da superfície.
Segundo Livi (2017, p. 161), “a emissividade ε� é uma propriedade da superfície e indica a eficiência com que a radiação térmica é emitida pela superfície em comparação com um corpo negro”, como é o caso das substâncias não metálicas que possuem emissividade alta, enquanto que os metais polidos apresentam emissividade baixa.
Lei dos Gases Perfeitos
Gases são mais compressíveis que líquidos. De acordo com Munson (2004, p. 11-12), “a massa específica de um gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação:
p=ρRT               (Equação 4.52)�=���               (Equação 4.52)
Sendo que p é a pressão absoluta, ρ� é a massa específica,  T é a temperatura absoluta (em Kelvin) e R é a constante do gás. A equação (4.52) é chamada de Lei dos gases perfeitos ou de equação de estado para os gases perfeitos, porque aproxima o comportamento dos gases reais nas condições normais. A pressão é dada em N/m2 ou Pa e a pressão absoluta pode ser obtida somando-se a pressão relativa com a pressão atmosférica local (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004,  p. 11-12).
Resistência Térmica
Bergman (2019, p. 08) afirma que  “os três modos de transferência de calor, condução, convecção e radiação, apresentam uma taxa de transferência de calor” que pode ser representada na forma:
q=dxdtA=ΔTRi                (Equação 4.53)�=�����=Δ���                (Equação 4.53)
Onde ΔΔ T é a diferença de temperatura e A é a área perpendicular à direção da transferência de calor. Chamamos Ri de resistência térmica.
A energia térmica é constituída por uma componente sensível, chamada de Usens, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação e vibração dos átomos que compõem a matéria e um componente latente Ulat, que é relacionado com as forças intermoleculares ligadas a mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso.
Os índices de Usens e Ulat são associados ao calor específico, chamado de c de um material. Imaginemos um volume de controle em regime estacionário e na ausência de geração de energia térmica ou mecânica, ou seja, a energia de entrada é igual a energia de saída. O coeficiente de energia chamado de calor específico c é conhecido, assim como a temperatura de entrada e saída do nosso volume de controle. A relação entre estas grandezas é dada pela 1ª Lei da Termodinâmica, ou seja:
q=mc (Tsai−Tent)            (Equação 4.54)�=�� (Tsai−Tent)            (Equação 4.54)
O lado direito da equação 4.54 representa a taxa líquida de saída da entalpia (a energia térmica mais trabalho do escoamento) para um gás ideal ou de saída de energia térmica de um líquido incompressível.
A Figura 4.11 mostra uma tubulação de vapor d’água, esta não tem isolamento térmico e atravessa uma sala que está a uma temperatura ambiente de 25 ºC. Medimos a temperatura externa de tubo de diâmetro externo de 50 mm e a leitura foi de 300 ºC, sendo que esta superfície possui emissividade igual a 0,9.
Adotar  que σ = constante de Stefan-Boltzmann que vale 5,67 x 10-8 W/(m2. K4).
Figura 4.11 - Tubulação sem isolamento térmico
Fonte: Bergman e  Lavine (2019, p. 08).
Dado que o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar é igual a 15 W/m2K, a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo será um número entre:
Parte superior do formulário
a) 0 a 500 W/m.
b) 501 a 1.000 W/m.
c) 1.001 a 1.500 W/m.
d) 1.501 a 2.000 W/m.
e) acima de 2.001 W/m.
Parte inferior do formulário
FILME
Volcano
Ano: 1997
Comentário: O filme conta o caos que seria se um terremoto provocasse uma erupção vulcânica na cidade de Los Angeles. A lava utiliza as diversas tubulações de água e do metrô para queimar e destruir a cidade. Bombeiros, engenheiros e geólogos se juntam para criar um plano e tentar desviar a lava para o mar. No vídeo, é possível acionar as legendas.
TRAILER
LIVRO
Princípios de Termodinâmica para Engenharia
Editora: LTC
Autores: MICHAEL, J. M.; SHAPIRO, H. N., BOETTNER, D. D.; BAILEY, M. B.
ISBN: 978-85-216-3489-8
Comentário: Este livro estuda de uma forma prática a Termodinâmica e suas Leis. Ele tem uma explicação muito didática sobre o ciclo de Rankine que é apresentada nas páginas 357 a 364, inclusive com exemplo muito ilustrativo.
conclusão
Conclusão
Chegamos ao final de nosso estudo e nesta unidade foi possível entender as vantagens da análise dimensional aliadas com a aplicação de equações diferenciais para podermos simular situações reais em laboratório.
Também aprendemos sobre as perdas nas tubulações por calor ou atrito e como incluí-las no estudo do balanço de energia, massa e movimento.
Além disso, estudamos a transferência de calor por convecção e condução, assim como suas aplicações técnicas.
Encerramos nosso estudo com a radiação e a resistividade térmica dos materiais. Assim, pudemos ter um amplo panorama dos fenômenos de transporte, sua utilização e aplicações na Engenharia.
referências
Referências Bibliográficas
BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S. Incropera Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Tradução e revisão técnica de Fernando Luiz Pellegrini Pessoa, Eduardo Mach Queiroz & André Luiz Hemerly Costa. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte: um texto para Cursos Básicos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N.; MUNSON B. R.; DEWITT, D. P.  Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos: Termodinâmica, Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor. Tradução de Carlos Alberto Biolchini da Silva. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
RAIMO, P. A. Aquecimento de Água no Setor Residencial. Dissertação (Mestrado em Energia) - Programa Interunidades de Pós-Graduação de Energia, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2007.