Matematica Negocios - Ebook - Livro 8 mod 8

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Profa. Esp. Josane Rocha Cadeira Bernardino
MATEMÁTICA PARA 
NEGÓCIOS
LIVRO 8
1ª EDIÇÃO
GOIÂNIA
Centro Universitário de Goiás Uni-ANHANGUERA 
2020
Livro 8
Web Aula 8
Catalogação: Biblioteca Anhanguera
____________________________________________________________
Matemática para Negócios – Web Aula 8 / Mayra Caiado Para-
nhos (organizadora); Josane Rocha Cadeira Bernardino – Goi-
ânia : Centro Universitário de Goiás Uni-ANHANGUERA, 
2020.
27 p. : il.
ISBN XXX-XX-XXXXX-XX-X
1.Matemática para Negócios. I. Paranhos, Mayra Caiado. II. 
Bernardino, Josane Rocha Cadeira. IV. Título. 
CDU: 658
____________________________________________________________
2020
Direitos exclusivos em língua portuguesa cedidos ao
Centro Universitário de Goiás Uni-ANHANGUERA
Avenida João Cândido de Oliveira, 115,
Cidade Jardim Cep: 74423-115- Goiânia - GO
Tel: (62) 3246 1404Fax: 3246 1444
site: www.anhanguera.edu.br
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Organização
Pró-Reitoria de Ensino a Distância
Profª. Ms. Mayra Caiado Paranhos
Autora
Profª. Esp. Josane Rocha Cadeira Bernardino
Produção
Supervisão do Processo Instrucional (SPI) 
Supervisora Prof.ª Esp. Karina Adorno de La Cruz
Instrução de Material Didático Impresso (IMADIM)
Diagramador Hugo Sávio de Carvalho Melo
Revisor de Conteúdo
Profª. Ms. Ionara Lúcio Melo Castro Oliveira
Revisor de Língua Portuguesa
Profª. Ms. Mairy Aparecida Pereira Soares Ribeiro
©2020 por Centro Universitário de Goiás Uni-ANHANGUERA
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida 
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autorização por escrito, do Centro Universitário de Goiás Uni-ANHANGUERA.
FUNÇÕES 5
SUMÁRIO
WEB AULA 8
Funções ....................................................................... 5
8.1 Função ......................................................................... 5
8.1.1 Definição de Função ........................................ 5
8.1.2 Diagrama de uma Função .............................. 9
8.1.3 Gráfico de uma Função .................................. 9
8.1.4 Função Afim................................................... 13
8.1.5 Função Linear ................................................ 20
8.1.6 Função Quadrática ........................................ 21
WEB AULA 8
FUNÇÕES 
8.1 FUNÇÃO 
8.1.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Imagine a situação de colocar combustível em um veí-
culo. Quanto mais combustível colocar, maior será o valor a ser 
pago pelo consumidor. Neste exemplo, estamos falando de dois 
elementos que variam, o valor a ser pago e a quantidade de 
combustível, que podemos chamar de variáveis. Existe uma 
relação de dependência entre essas variáveis e uma regra que 
estabelece o valor a ser pago, pois considera o valor do litro do 
combustível. Por exemplo, se a gasolina custa R$ 4,87 o litro, 
podemos multiplicar a quantidade de litros por este valor e 
encontrar o total a ser pago. Desta forma, 2 litros custarão o 
dobro de R$ 4,87; 3 litros custarão o triplo de R$ 4,87 e assim 
por diante. Este é um exemplo prático de função. 
Função é uma relação entre dois conjuntos estabelecida 
por uma regra em que cada elemento de um conjunto (chama-
mos de variável x) está relacionado a um único elemento do 
outro conjunto (chamamos de variável y). Ou seja, para cada 
valor de x podemos determinar um valor de y. Dizemos então 
que “y está em função de x”. Por exemplo, considere uma fun-
ção de números naturais de forma que, para cada número 
natural x, obtemos o seu dobro. Então se x = 1, teremos o seu 
correspondente y = 2; para x = 2, o correspondente y será 4, y = 
4; se for x = 3, então y será 6, y = 6, e assim por diante. O 
digrama de flechas define essa relação, veja:
FUNÇÕES 76 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
nio. Um mesmo elemento do contradomínio pode até ser ima-
gem de dois ou mais elementos do domínio, mas não pode 
sobrar.
Se surgiu a dúvida se pode ou não sobrar no domí-
nio, releia a parte inicial em que diz que para cada ele-
mento de x possui um único correspondente em y, ou seja, 
para ser função, jamais sobrará elementos no domínio. 
Essa é a definição de função!
• Função Injetora – A função é injetora quando cada 
elemento do domínio possui uma imagem distinta de outro 
domínio. Ou seja, é uma seta (injeção) para cada um dos ele-
mentos. Poderá sobrar elementos no contradomínio, pois as 
imagens não são coincidentes.
• Função Bijetora – Uma função é bijetora se ela for 
sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Isto é, não pode sobrar 
elementos no contradomínio e cada imagem é correspondente 
a um único elemento do domínio.
• Função Simples – Quando a função não é injetora nem 
sobrejetora, ela é uma função simples.
Veja o diagrama de flechas exemplificando as situações:
Vamos resolver o seguinte problema:
O Diagrama de flechas ou diagrama de setas é usado 
para representar funções
Observe que no exemplo há dois conjuntos numéricos, 
um que chamamos de domínio e o outro que chamamos de 
contradomínio. No interior do conjunto do contradomínio há 
um subconjunto chamado de imagem. Esse subconjunto é 
composto pelos elementos que têm alguma relação com o 
domínio e por isso recebem a seta.
A regra que estabelece a relação, é como uma fórmula e 
recebe o nome de lei da função. Através dela, escolhemos um 
valor para x e calculamos o valor de y. Por isso, dizemos que há 
uma relação de dependência, em que a variável dependente é y 
e a variável independente é x. 
Por exemplo, quando os elementos do domínio e da ima-
gem pertencem ao conjunto dos números inteiros dizemos que 
f: Z → Z, lemos que “ f é uma função de inteiros em inteiros” ou, 
simplesmente, “ f é uma função cujo domínio pertence aos intei-
ros e cuja imagem pertence aos inteiros”.
Classificação das funções
As funções podem ser classificadas em:
• Função sobrejetora – A função é sobrejetora quando 
os elementos do contradomínio coincidem com a imagem, ou 
seja, sobrejetora é a função que não pode sobrar contradomí-
FUNÇÕES 98 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Para representarmos a função dessa equação de duas 
variáveis, x e y, podemos substituir a variável dependente y por 
f(x) (lê-se: f de x). Fica, f(x) = 6 + x.
Quando x = 9, tem-se f(9) = 6 + 9 → f(9) = R$ 15,00; 
Quando x = 15, f(15) = 6 + 15 → f(15) = R$ 21,00; e assim por 
diante.
8.1.2 DIAGRAMA DE UMA FUNÇÃO
Vamos considerar o exemplo do João. Pegar os valores de 
x e de y que estão na tabela.
8.1.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Primeiramente, usaremos o exemplo anterior para fazer 
o gráfico da função. Depois faremos outros exemplos para 
demonstrar melhor como funciona o gráfico de uma função.
Sabendo que em uma corrida de táxi, João vai pagar R$ 
6,00 reais fixos mais R$ 1,00 por km rodado. João deseja fazer 
uma corrida de 7 km. Quanto ele irá pagar?
Nesse caso, o problema nos dá duas grandezas: a quilo-
metragem rodada por João e o preço cobrado pelo taxista por 
km rodado. Logo, podemos criar uma função para o problema:
Valor a ser pago = R$ 6,00 + R$ 1,00 ∙ km (km rodado)
Podemos chamar de y o Valor a ser pago e de x o km 
rodado pelo João. Portanto:
y = 6 + 1x 
Para descobrirmos quanto João terá que pagar ao moto-
rista, basta substituirmos o x da função pelos 7 km que ele 
deseja andar.
y = 6 + 1∙7 
y = 6 + 7
y = 13
Então, João terá que pagar R$ 13,00 ao taxista.
E se o João quisesse fazer outras viagens?
Com a ajuda da tabela acima, tente fazer os cálculos para 
os outros valores da Distância da viagem (9, 15, 20, 27). Substi-
tua x por esses valores e veja se encontra os respectivos valores 
a serem cobrados.
FUNÇÕES 1110 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Exemplos:
• Larissa quer encher um balde com uma mangueira 
com vazão de 2 litros por minuto. A tabela abaixo mostra a 
quantidade de água despejada no balde em função do tempo 
que a torneira fica aberta.
Perceba que, a cada minuto,os litros de água no balde 
aumentam em 2 litros. Vamos chamar o tempo de x e a quan-
tidade de água em litros de y, logo podemos escrever a função 
do problema da seguinte forma:
y = 2x
f(x) = 2x
FUNÇÕES 1312 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
• Vamos resolver agora uma função do segundo grau 
y = x² + 2
f(x) = x² + 2
Usaremos os valores de (0, 1, 2, 3, 4 e 5) para x, logo:
O gráfico dessa função ficará assim:
8.1.4 FUNÇÃO AFIM
Função afim nada mais é do que uma função do pri-
meiro grau, como já vimos, do tipo f(x) = ax + b, onde a é um 
número real e diferente de zero, e b é um número real.
Exemplos:
• f(x) = x + 3
a = 1 e b = 3
• g(x) = 3x
a = 3 e b = 0
• h(x) = 5 x – 4
 3
a = 5 e b = -4
 3
Note nos exemplos acima, podemos chamar o y de qual-
quer letra em função de x, (f(x), g(x), h(x)).
 
Uma função afim pode ser do tipo crescente ou decres-
cente. Quando x assume valores cada vez maiores e encontra-
mos y com valores cada vez maiores também, chamamos de 
função crescente. Da mesma forma, se x assume valores cada 
vez menores e encontramos y com valores diminuindo, é tam-
bém função crescente.
 
Porém, se x assume valores cada vez maiores e encontra-
mos y com valores cada vez menores, a função é descrente. Ou, 
se x assume valores cada vez menores e encontramos y aumen-
tando, a função é decrescente.
 
É possível verificar se a função afim é crescente ou 
decrescente observando apenas o coeficiente a. Na função f(x) 
= ax + b, se a for maior do que zero (a>0), a função afim é cres-
cente, e se a for menor do que zero(a<0) a função é decrescente.
FUNÇÕES 1514 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Figura
8.1.4.1 Gráfico de uma Função Afim
No início desse módulo, já vimos como fazer um gráfico 
de uma função do primeiro grau e do segundo. Agora vamos 
ver com mais detalhe como construir um gráfico de uma fun-
ção afim.
Vamos usar a função y = x + 1. Primeiramente, para 
construirmos um gráfico dessa função, devemos atribuir 
alguns valores para x. Vamos usar uma sequência qualquer de 
valores para x com a intenção de observar o comportamento 
dos valores de y, por exemplo essa sequência: (-2, -1, 0, 1, 2, 3). 
Após estabelecer tais valores, vamos criar uma tabela, que terá 
uma coluna para eles, uma para a função e outra para os valo-
res de y que serão encontrados.
Na terceira coluna (x,y), note que temos os valores de x e 
de y. Esses valores são as coordenadas que marcaremos no 
plano cartesiano para que possamos traçar nossa reta. Então 
vamos ligar essas coordenadas que achamos:
Depois que marcarmos os pontos, basta traçar a reta 
seguindo o alinhamento dos encontros das coordenadas:
FUNÇÕES 1716 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
O exemplo acima representa uma função positiva ou 
função crescente, pois o termo que acompanha o x, no caso 1, 
é positivo. Vamos fazer um exemplo onde a função será nega-
tiva, veremos o que acontecerá com a reta.
Usaremos a função y = -x + 2 para esse exemplo.
Note na tabela, que, diferente do exemplo anterior, 
quando a função era crescente, o valor de y vai diminuindo 
enquanto o valor de x vai aumentando, fazendo dessa função, 
uma função decrescente. Agora vamos para o gráfico:
Veja que a reta vem do segundo para o quarto quadrante 
do plano cartesiano, diferente da reta crescente que vinha do 
terceiro para o primeiro.
FUNÇÕES 1918 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
8.1.4.2 Zero de uma Função Afim
Para encontrarmos o zero de uma função afim y = ax + b, 
basta achar um valor para x que retorne o valor zero para y, ou 
seja, podemos igualar a função a zero ax + b = 0.
Exemplos:
• f(x) = 4x + 8
-8 = 4x
(-8)/4 = x
x = -2
Logo, temos que o zero da função, ou seja, quando o x for 
-2 o y será zero. É o ponto onde a reta cortará o eixo X do plano.
• g(x) = -3x + 3
-3 = -3x
(-3)/(-3) = x
x = 1
A reta cortará o eixo x no ponto (1,0), ou seja, x = 1 e y = 0.
8.1.4.2 Interseção com o Eixo Y
Para sabermos onde a reta do gráfico de uma função 
afim irá cortar o eixo y, basta considerarmos x = 0. Teremos:
f(x) = ax + b
f(0) = a∙0 + b 
f(0) = b
A reta cortará o eixo Y quando o ponto de coordenadas 
for (0, b)
Exemplo:
• f(x) = x + 2
f(0) = 0 + 2
f(0) = 2
FUNÇÕES 2120 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Note que, a reta passa pelo centro do plano cartesiano (0,0).
8.1.6 FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função quadrática, nada mais é do que uma equação do 
2º grau. Toda função quadrática será do tipo f(x) = ax² + bx + c, 
onde a tem que ser real e diferente de zero, b tem que ser real e c 
também.
As funções quadráticas onde b = 0, c = 0 ou ambas são 
iguais a zero, são chamadas de incompletas.
Exemplos:
• f(x) = x² + 2x + 3
• g(x) = 5x² 
• h(x) = -4x² - 5
8.1.6.1 Gráfico de uma Função Quadrática
No início desse módulo, já vimos como fazer um gráfico 
de uma função do segundo grau. Agora vamos ver com mais 
detalhe como construir um gráfico de uma função deste tipo.
Logo, a reta cortará o eixo Y no ponto 2, ou seja, no ponto 
(0,2).
8.1.5 FUNÇÃO LINEAR
É uma forma de função afim, porém é quando temos a fun-
ção y = ax + b, onde b = 0 e a é um número real diferente de zero.
Com isso, o gráfico de uma função linear sempre terá a 
reta passando pelo ponto (0,0). Vejamos o seguinte exemplo:
y = 0,2x
Vamos fazer a tabela e considerar os seguintes valores 
para x:
FUNÇÕES 2322 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
O coeficiente a, que acompanha o x², no caso 1, é posi-
tivo, logo a concavidade da parábola é voltada para cima. 
Vamos fazer um exemplo onde o coeficiente a é menor do que 
zero, veremos o que acontecerá com a parábola.
Usaremos a função y = -x² + 2x - 2 para esse exemplo.
Vamos usar a função y = x² + 2x - 2. Primeiramente, para 
construirmos um gráfico dessa função, devemos atribuir 
alguns valores para x. Vamos usar (-2, -1, 0, 1, 2, 3). Após esta-
belecer tais valores, vamos criar uma tabela, que terá uma 
coluna para eles, uma para a função e outra para os valores de 
y que serão encontrados.
Na terceira coluna (x,y), note que temos os valores de x e 
de y. Esses valores são as coordenadas que marcaremos no 
plano cartesiano para que possamos traçar nossa reta. Então 
vamos ligar essas coordenadas que achamos:
FUNÇÕES 2524 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Ou, podemos calcular Xv pela fórmula e substituir o seu 
valor na função original para encontrarmos o Yv, veja:
Xv = -b
 2a
Yv = a(Xv)² + bXv + cNote que, diferente do exemplo anterior, a concavidade 
da parábola aparece voltada para baixo ( ).
Na função quadrática, f(x) = ax² + bx + c, se:
• a > 0 o gráfico é uma parábola de concavidade 
para cima. 
• a < 0 o gráfico é uma parábola de concavidade 
para baixo. 
8.1.6.2 Coordenadas do Vértice da Parábola
O vértice de uma parábola (Xv, Yv), o ponto mais alto 
(quando se tratar de uma função com a<0 ) ou ponto mais 
baixo (quando se tratar de uma função com a>0 ), pode ser 
determinado a partir de duas fórmulas :
Considerando uma função f(x) = ax² + bx + c
FUNÇÕES 2726 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
A função é crescente para os valores de x que são meno-
res do que x do vértice (Xv), pois a medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y aumentam também. Já para os valo-
res de x maiores que Xv, a função é decrescente, pois apesar 
dos valores de x estarem aumentando, os valores de y estão 
diminuindo.
Exemplos:
• Vamos encontrar o ponto de máximo ou de mínimo da 
função f(x) = x² + 2x – 3.
Xv = -b
 2a
Xv = -2
 2∙1
Xv = - 1
Depois que encontramos o Xv, basta jogarmos na fór-
mula do Yv:
Yv = a(Xv)² + bXv + c
Yv = 1∙(-1)² + 2∙(-1) – 3
Yv = 1 – 2 – 3
Yv = - 4
Agora a gente monta o gráfico dessa função, sabendo que 
seu vértice será na coordenada (-1, -4) e como a função é cres-
cente, positiva, o ponto será de mínimo:
É no vértice que a função muda de comporta-
mento. Que interessante!
Referências
Básica
ÁVILA, G. S. de S., Cálculo das funções de uma variá-
vel. 7ª Ed. - Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SMOLE, K. S. Resolução de problemas [recurso 
eletrônico] – Porto Alegre: Penso, 2014.
NETO,Alexandre Assaf, Matemática Financeira e suas 
Aplicações. São Paulo: Atlas. 2002.
Complementar
SAMAREZ,Carlos Patrício. Matemática Financeira: 
aplicações à analise de investimentos. 2ª.ed. São Paulo: 
Makron Books, 2002.
FUNÇÕES 2928 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
3. SANTOS, Edno Oliveira dos. Administração Finan-
ceira da Pequena e Média Empresa. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
2010.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Calculo um 
curso moderno e suas aplicações – 10ª Ed. – Rio de Janeiro, 
2012.
CUNHA, F.; FANBRINI, A. S., Matemática Aplicada 
– São Paulo, 1990.
Imagens: Banco institucional Shutterstock.