Resposta Cálculo Integral

Prévia do material em texto

Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
0/0 
Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações exponenciais de uma maneira geral. Compreender 
algumas equivalências logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses elementos matemáticos 
a fim de resolver tais equações. 
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as manipulações logarítmicas possíveis, analise as 
afirmativas a seguir com relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) log (27) = 3 log (3). 
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4). 
III. ( ) 2log(2) = log(4). 
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, V, F. 
V, V, F, F. 
Correta: 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
F, V, F, V. 
F, F, V, V. 
2. Pergunta 2 
0/0 
O conhecimento acerca de métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de variações. 
Entender suas propriedades é de fundamental importância para que eles façam parte do repertório matemático dos 
estudantes. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos distintos métodos de derivação, associe os métodos a 
seguir com suas características: 
1) Diferenciação implícita. 
2) Regra da Cadeia. 
3) Regra do tombo. 
4) Regra do produto. 
( ) Deriva-se um produto de duas funções. 
( ) Deriva-se funções compostas. 
( ) Deriva-se funções polinomiais. 
( ) Deriva-se funções que não têm variáveis isoladas. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
4, 2, 3, 1. 
Resposta correta 
4, 2, 1, 3. 
1, 4, 3, 2. 
2, 1, 3, 4. 
4, 1, 2, 3. 
 
 
 
 
3. Pergunta 3 
0/0 
Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um determinado problema pode auxiliar no 
encaminhamento para a solução. É fundamental compreender as distinções e semelhanças das funções transcendentes, 
explícitas e implícitas. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções transcendentes, explícitas e implícitas, associe 
as funções apresentadas a seguir com suas respectivas categorias: 
1) y= cos(x). 
2) x²+y² = 25. 
3) y= 2. 
4) lnx + 2y = 0. 
( ) Função transcendente definida explicitamente. 
( ) Função transcendente definida implicitamente. 
( ) Função algébrica definida implicitamente. 
( ) Função algébrica definida explicitamente. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta: 
1, 2, 4, 3. 
4, 2, 3, 1. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3, 4, 2, 1. 
2, 1, 3, 4. 
4. Pergunta 4 
0/0 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física ele é utilizado para 
descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da equação 
horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da equação horária do 
movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t). 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir: 
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante. 
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante. 
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s. 
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma função quadrática e a aceleração é 
variável. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I, II e IV. 
I, II e III. 
II e III. 
Resposta correta 
II e IV. 
Incorreta: 
III e IV. 
 
 
 
 
 
5. Pergunta 5 
0/0 
O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns problemas matemáticos que seriam difíceis de se 
resolver de outra forma, como é o caso da derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o conhecimento básico 
sobre a definição e propriedades dos logaritmos. 
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos, analise as afirmativas a seguir com relação à 
veracidade e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) log(e) = ln(e). 
II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir de um limite fundamental. 
III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica 
IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, V, F, V. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
V, F, F, V. 
Incorreta: 
V, V, V, F. 
F, F, V, V. 
6. Pergunta 6 
0/0 
O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por exemplo. 
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre limites exponenciais e o número de Euler, 
analise as afirmativas a seguir, com relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e. 
II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72. 
III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7 
IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, V, V, F. 
V, F, F, F. 
V, F, V, V. 
Correta: 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
F, F, V, F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Pergunta 7 
0/0 
As funções explícitas são aquelas que não possuem variáveis que estejam de forma isolada na expressão. O estudo delas 
de modo separado das demais é relevante, pois esse tipo de função é um impeditivo para o cálculo de algumas derivadas 
pelo método condicional. Porém, existem alguns fatores não muito claros quando se estuda essa categoria de expressão 
algébrica. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções explícitas, implícitas e transcendentes, é 
correto afirmar que em alguns casos as funções explícitas sequer são funções, porque: 
Ocultar opções de resposta 
apresentam as condições necessárias para serem chamadas de função, porém, esse nome só é atribuído quando se 
escreve na forma explícita. 
não são escritas na forma y=ax + b. 
impedem o cálculo das derivadas. 
Correta: 
não respeitam as condições necessárias para serem chamadas de função, tal como a não atribuição de dois valores 
diferentes do contra domínio para um mesmo valor do domínio. 
Resposta correta 
não são diferenciáveis. 
8. Pergunta 8 
0/0 
As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. Mudanças de 
perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre o mesmo 
problema. Transitar entre as definições explicitas e implícitas de uma função é uma manipulação algébrica importante 
para a resolução de alguns problemas. 
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e 
explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita. 
II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita. 
III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita. 
IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
V, V, V, F. 
V, V, F, F. 
F, F, V, V. 
V, F, V, F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Pergunta 9 
0/0 
Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de algumas funções são a imagem de outras, ou 
seja, uma função composta H(x) pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes, o que 
significa que não possuem formulação algébrica. 
Dado que se f(x) = sen(x), f’(x)= cos(x), e considerando seus conhecimentos sobre a regra da cadeia para derivação de 
funções compostas, analise as afirmativas a seguir. 
I. A derivada de f(x) = (x+2)² é 2x + 4. 
II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x²+x, tem derivada H’(x) = (2x+1)*cos (x²+x). 
III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para derivadas de funções polinomiais. 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos²(x)sen(x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e III. 
I, III e IV. 
I, II e IV. 
II, e IV. 
Correta: 
I e II. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
0/0 
A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. Saber reconhecer quando uma 
função é ou não algébrica auxilia em algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação. 
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a seguir: 
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da álgebra. 
II. Existem funções explícitas não algébricas. 
III. As funções transcendentes são funções algébricas. 
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II e III. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
I, III e IV. 
Incorreta: 
I e IV. 
II, III e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem inúmeras relações presentes 
nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio 
unitário do círculo trigonométrico, entre outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e acerca dessas 
relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma relação trigonométrica. 
II. ( ) é uma relação trigonométrica. 
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x). 
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, V, V. 
V, F, F, F. 
F, F, V, V. 
V, V, V, F. 
Correta: 
V, F, V, F. 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
0/0 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. A 
inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da 
curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos acerca de 
funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de 
g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
F, F, V, V. 
V, F, V, F. 
V, V, F, F. 
V, V, V, F. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Pergunta 3 
0/0 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são muito úteis para 
resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e encontrar a 
inclinação da reta tangente são funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e 
integral, associe os itens a seguir com seus respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1, 2, 3, 4. 
1, 2, 4, 3. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3, 4, 2, 1. 
Incorreta: 
2, 1, 3, 4. 
4. Pergunta 4 
0/0 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o 
denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, 
nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que 
x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o 
cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções 
para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser aplicada a 
qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I, II, III. 
I, II, III e IV. 
Correta: 
II, III e IV. 
Resposta correta 
III e IV. 
II, e IV. 
 
5. Pergunta 5 
0/0 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas alternam entre 
senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes, onde 
na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma função cosseno. Entender esse padrão 
permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos acerca da regra 
da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
V, V, F, F. 
V, V, F, V. 
F, F, V, F. 
V, F, V, V. 
6. Pergunta 6 
0/0 
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de outra, e a 
notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe uma regra 
para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o argumento g(x) 
constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas de funções 
circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e IV. 
Resposta correta 
II e III. 
Incorreta: 
I e III. 
II, IIIe IV. 
II e IV 
 
 
 
 
 
 
7. Pergunta 7 
0/0 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações contrárias. As 
integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), que é obtida 
realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos 
novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta: 
I, III e IV. 
I e IV. 
II e III. 
I, II e III. 
Resposta correta 
II, III e IV. 
8. Pergunta 8 
0/0 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das 
expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático 
deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este limite e a regra 
de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 
ou infinito/infinito em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II, III e IV. 
I e IV. 
II e III. 
Correta: 
I, II e III. 
Resposta correta 
I, II e IV. 
 
 
9. Pergunta 9 
0/0 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento de algumas 
funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x de uma função pelo 
valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas propriedades, analise as 
afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda estiver 
valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
III e IV. 
I e II. 
Correta: 
I, II e III. 
Resposta correta 
II e III. 
I, II e IV. 
10. Pergunta 10 
0/0 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma curva em um 
determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é 
preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se descobrir 
a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e antiderivadas, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e IV. 
II, III e IV. 
Correta: 
I e III. 
Resposta correta 
II e III. 
I, III e IV. 
 
 
 
 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos 
onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um 
intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é D = [-6,0]. 
Porque: 
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo 
então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a 
integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36. 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
2. Pergunta 2 
0/0 
As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses 
conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões 
etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre 
funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C. 
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da derivada, é possível calcular 
uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto. 
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x). 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
F, F, V, F. 
V, V, F, F. 
Incorreta: 
F, V, F, V. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
V, F, F, V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Pergunta 3 
0/0 
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites 
do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo 
x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4. 
Porque: 
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva 
dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Incorreta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. Pergunta 4 
0/0 
Calcular a integral de umafunção significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos 
onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um 
intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1. 
Porque: 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou então 
reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em 
uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Pergunta 5 
0/0 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio delas que se tem uma 
mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais definidas é 
essencial para a sua manipulação. 
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
F, F, V, F. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
V, V, F, V. 
Incorreta: 
V, V, F, F. 
V, F, V, V. 
6. Pergunta 6 
0/0 
O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não 
somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, 
também porque: 
Ocultar opções de resposta 
ele permite o cálculo de integrais definidas. 
ele refuta a integral de Riemann. 
ele torna dispensável a utilização das derivadas. 
ele é o único teorema que envolve integrais. 
Correta: 
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial. 
Resposta correta 
 
 
7. Pergunta 7 
0/0 
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida 
analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas a seguir: 
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma . 
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível. 
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto. 
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
I e IV. 
Resposta correta 
II, III. 
I, II e IV. 
II e IV. 
I, II, III. 
8. Pergunta 8 
0/0 
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o estudante de exatas, ainda mais aquele que 
busca aplicações no dia a dia. Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser essencial para 
o desenvolvimento desse aluno. 
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os itens a seguir com os significados 
descritos: 
1) Integral exponencial geral. 
2) Integral exponencial. 
3) Integral com número de Euler na base. 
4) Função exponencial. 
( ) 
( ) , em que d é uma constante. 
( ) 
( ) 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1, 2, 4, 3. 
1, 2, 3, 4. 
3, 4, 2, 1. 
Incorreta: 
2, 1, 3, 4. 
2, 1, 4, 3. 
Resposta correta 
 
 
 
 
 
9. Pergunta 9 
0/0 
Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação válida é dada pela igualdade 
a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise as afirmativas a seguir: 
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo. 
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos. 
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo. 
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I, II e IV. 
Correta: 
I, II e III. 
Resposta correta 
III e IV. 
II e IV. 
I e II. 
10. Pergunta 10 
0/0 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais e, por esse 
motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo 
se faz indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre 
funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
F, F, V, V. 
V, V, V, F. 
Correta: 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
V, V, F, V. 
V, F, F, F. 
 
 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o 
recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por 
exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método 
da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w). 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ 
ou [pi, 3pi/2]. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, 
pi/2]. 
Correta: 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
Resposta correta 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
2. Pergunta 2 
0/0 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são 
compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, 
tais como sen(x), sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos 
conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição 
descritos:1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
1, 3, 2, 4. 
2, 3, 1, 4. 
2, 1, 3, 4. 
1, 4, 3, 2. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Pergunta 3 
0/0 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, 
com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma 
estrutura determinada do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, F, F. 
V, V, V, F. 
F, F, V, V. 
V, V, F, F. 
Correta: 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
0/0 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de 
forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom 
aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações 
parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer 
alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são 
mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde 
que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta: 
II e IV. 
II e III. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
I e III. 
III e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Pergunta 5 
0/0 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de 
funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para 
a determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
 
 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento acerca 
de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria 
em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, F, V. 
Incorreta: 
F, V, F, F. 
V, F, V, F. 
F, F, V, V. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
0/0 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como 
verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais 
como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante 
para a integração por partes porque: 
Ocultar opções de resposta 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes. 
Correta: 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes. 
Resposta correta 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
ambas são axiomas da matemática. 
7. Pergunta 7 
0/0 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições 
trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são 
as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a 
um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois 
isolando y encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido 
ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos 
específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar 
a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é 
preciso retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
I, II e III. 
Resposta correta 
I e III. 
II e III. 
I, II e IV. 
II e IV. 
8. Pergunta 8 
0/0 
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos 
integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método 
ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por 
partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II, III e IV. 
I, II e III. 
III e IV. 
II e IV. 
Correta: 
I, II e IV. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
0/0 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais 
complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função 
em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se 
integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = 
(e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e 
novamente é realizadaa técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para 
encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
0/0 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida 
analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros 
métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é extremamente 
útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações 
algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um 
termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I, III e IV. 
I, II e IV. 
II e IV. 
Correta: 
I, II e III. 
Resposta correta 
II e III.