aula 4

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 4: A derivada – parte II
/
Apresentação
Na aula 3, começamos a trabalhar a ideia de derivada. Porém, a complementação da ideia de derivada é fundamental, a �m
de que possamos usá-la plenamente nas diferentes aplicações que serão vistas nas aulas 5 e 6.
Além disso, nesta aula, veremos a abordagem das relações entre quantidades físicas ou matemáticas, que podem ser
descritas por meio de grá�cos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Tais relações constituem um dos temas mais
importantes da Análise Matemática.
Desta forma, vamos continuar nossa jornada avaliando algumas funções particulares e algumas “mais complexas”.
Objetivos
Determinar a derivada de funções inversas;
Aplicar o conceito de derivada em funções logarítmicas;
Desenvolver o conceito de derivadas sucessivas de uma função.
/
Famílias de funções
As funções e as equações paramétricas são as principais ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos.
É comum que as funções sejam agrupadas em famílias, de acordo com as fórmulas ou
características comuns pelas quais as funções são de�nidas.
O grá�co de uma função constante é o grá�co da equação , que é a reta horizontal. Se você variar c, obterá um
conjunto ou uma família de retas horizontais como ilustra a Figura 1.
f (x) = c y = c
 Figura 1: Gráfico para uma família de curvas gerada pela função 
.f (x) = c
Denomina-se parâmetro a constante que pode ser variada para a produção de uma família de curvas.
Exemplo
/
Por exemplo, a função de que representa uma reta é dada por: , onde a inclinação é representada pelo parâmetro ,
enquanto representa o ponto de corte com o eixo .
Nas Figuras 2 e 3, veja o que ocorre quando mantemos um dos parâmetros �xo enquanto o outro varia.
y = mx + b m
b y
 Figura 2: Família de curvas para a função . O parâmetro foi mantido fixo.f (x) = mx+ b b
/
 Figura 3: Família de curvas para a função . O parâmetro foi mantido fixo.f (x) = mx+ b m
/
Função potência
A função potência é uma função de forma .
Primeiro caso: parâmetro é um número inteiro e positivo
O primeiro caso a ser visto é quando o parâmetro é um número inteiro e positivo, por exemplo, .
Você encontra na Figura 4 o esboço de algumas curvas para a função potência .
Na Figura 4 podem ser observadas funções pares e funções ímpares quando .
f (x) = xp
p
p p = n
y = xn
 Figura 4: Gráficos para as diferentes curvas geradas pela função .f (x) = xn
n ≥ 2
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Uma função é par se, para todo valor de no domínio de , . Isso ocorre quando os valores do parâmetro 
são pares.
Veri�que ainda na Figura 4 que os grá�cos de para pares são simétricos em relação ao eixo .
Função par 
x f f(−x) = f(x) n
f (x) = xn n y
Uma função é denominada ímpar se, para todo valor de no domínio de , . Isso ocorre quando os
valores do parâmetro são ímpares.
Veri�que na Figura 4 que os grá�cos de para ímpares são simétricos em relação à origem.
Função ímpar 
f x f f(−x) = −f(x)
n
f (x) = xn n
/
Segundo caso: parâmetro é um número inteiro e negativo
O segundo caso a ser discutido é quando o parâmetro é um número inteiro, porém, desta vez, negativo.
Neste caso, e a função potência assume a forma .
O grá�co da função é o grá�co da �gura geométrica conhecida como hipérbole equilátera, uma das cônicas.
Novamente, cabe a discussão sobre a simetria dos grá�cos das diferentes funções .
p
p
p = −n f (x) = =x−n 1 xn/
f (x) = 1 x/
 Figura 5: Gráficos para as diferentes curvas geradas pela função .f (x) = x 1 n/
f (x) = x
1
n/
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Quando o parâmetro é um número inteiro, negativo e par, as funções são ditas funções pares, com
grá�cos simétricos em relação ao eixo .
Função par 
n f(x) = 1 / xn
y
Quando o parâmetro é um número inteiro, negativo e ímpar, as funções são ditas ímpares com grá�cos
simétricos em relação à origem.
Função ímpar 
n f (x) = 1 xn/
/
Seja par ou seja ímpar, veri�que que os grá�cos das diferentes funções apresentam sempre uma descontinuidade,
pois (não é permitido a divisão por zero).
Terceiro caso: parâmetro assume o formato de , onde é um inteiro
positivo
O último caso acontece quando o parâmetro assume o formato de , onde n é um inteiro positivo.
As funções potências tomam, então, a forma .
f (x) = 1 xn/
x ≠ 0
p 1 n/  n
p 1 / n
f (x) = xp f (x) = =x
1
n/ x√n
Exemplo
; etc.
Também são possíveis outros expoentes fracionários, por exemplo, , etc.
As funções do tipo gra�camente se estendem sobre todo o eixo quando é ímpar. Contudo, somente sobre o
intervalo quando assume valores pares.
f (x) = =x1/2 x√ f (x) = =x
1
5/ x√5
f (x) = =x
2
7/ x2
−−√7 f (x) = =x
3
5/ x3
−−√5
f (x) = x
1
n/ x n
[0,   + ∞) n
Funções algébricas
Quando um número �nito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e multiplicação) é aplicado aos polinômios, uma
nova família de funções são criadas: as funções algébricas.
Exemplos: , etc.f (x) = 3 ⋅ − 25x2
− −−−−−√ f (x) = ⋅ (1 − x)x√3
Funções trigonométricas
Em geometria, um ângulo é de�nido como a união de dois raios chamados de lados, tendo um extremo em comum denominado
vértice.
Esse breve conceito é o ponto de partida da trigonometria e das funções denominadas de funções trigonométricas.
Analisando apenas as funções seno e cosseno, poderíamos representá-las genericamente por:
 e 
Onde: , e são parâmetros não nulos.
O papel do parâmetro é determinar o fator através do qual os grá�cos e serão alongados,
comprimidos, transladados ou re�etidos.
Por sua vez, o parâmetro também é capaz de fazer o mesmo com os grá�cos e , porém o faz de
forma horizontal.
f (x) = A ⋅ sin (Bx − C)  g (x) = A ⋅ cos (Bx − C)
A B C
A y = sin x y = cos x
B y = sin x y = cos x
Exemplo
/
Veja os grá�cos das funções e na Figura 6.
O grá�co da função foi obtido através do alongamento vertical, por um fator 2, e da compressão horizontal, por
um fator 4, do grá�co de .
y = cos x  y = 2 ⋅ cos 4x
y = 2 ⋅ cos 4x
y = cos x 
 Figura 6: Gráfico da função , em vermelho. Gráfico da função , em
azul.
y = cos x y = 2 ⋅ cos 4x
Uma característica importante das funções trigonométricas é que as mesmas são
periódicas.
/
Uma função é periódica se existir um número satisfazendo a condição:
O menor valor de que satisfaz a condição acima é chamado período de .
A função seno, , exibe um período de . Por sua vez, a imagem (amplitude) da função seno é o intervalo 
, isto é, , real.
A função cosseno, , também exibe amplitude no intervalo e período .
A função pode ser escrita como: 
Onde: ; ; 
Note que o grá�co em verde foi transladado para em esquerda em unidades.
f : A → B p > 0 
f (x + p) = f (x),  ∀x ∈ A
p f
 f(x) = sin x 2π
[−1 ,1] −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x 
f(x) = cos x [−1 ,1] 2π
 Figura 7: Gráfico das funções 
 (em vermelho) 
 (em azul) 
 (em verde)
y = sin x
y = 3 ⋅ sin 2x
y = 3 ⋅ sin (2x+ )π
2
y = 3 ⋅ sin [2 ⋅ (x − (− ))]π
4
A = 3 B = 2 = −C
B
π
4
π / 4 
/
Funções inversas
Uma função é uma regra que associa um único valor de sua imagem a cada ponto de seu domínio .
Algumas funções, porém, assumem o mesmo valor em mais de um ponto.
Exemplo: .
Neste tópico o objetivo é encontrar a inversa de uma função .
Dados os conjuntos e , considere a função de em de�nida por .
Você pode veri�car que a função é bijetora formadas pelos pares ordenados , onde 
 e .
Uma função de em é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento pertencente a , existe um único elemento 
 pertencente a tal que .
A relação , inversa de , é também um função, pois é uma bijeção de em , isto é, para
todo existe um único tal que .
A função é formada pelos pares ordenados , onde e 
.
Observe que a função é de�nida pela sentença , enquanto é de�nida pela sentença x=y-1, isto é:
 leva cada elemento até o tal que ;
 leva cada elemento até o tal que .
(Im) (D)
y = x2
f(x)
A = {0, 1, 2, 3}B = {1, 2, 3, 4} f A B f (x) = x + 1
f f = {(0 ,1), (1 ,2), (2 ,3), (3 ,4)}
D(f) = A  Im (f) = B
f A B y B
x A f(x) = y
= {(y, x) |(x, y) ∈ f}f−1 f f A B
y ∈ B  x ∈ A  (y, x) ∈ f−1
f−1 = {(1 ,0), (2 ,1), (3 ,2), (4 ,3)}f−1 D ( ) = Bf−1
Im ( ) = Af−1
f y = x + 1 f−1
f x ∈ A  y ∈ B  x = y + 1
f−1 y ∈ B x ∈ A  x = y − 1
Teorema:
“Seja . A relação é uma função de em se, e somente se, é
bijetora”.
f : A → B f−1 B A f
Atenção
Assim, se é uma função bijetora de em , a relação inversa de é uma função de em que denominamos função
inversa de e indicamos por .
f A B f B A
f f−1
Um procedimento simples que permite a obtenção da função inversa é baseado em dois passos:
Na sentença , faça uma mudança de variável, isto é, troque por e por , obtendo ;
Transforme algebricamente a expressão , expressando em função de para obter .
y = f (x) x y y x x = f(y)
x = f(y) y x y = (x)f−1
/
Exemplo 1
Seja a função , encontre a inversa de :f (x) = x + 2− −−−−√3 f(x)
Quais são as condições, então, que garantem a existência uma
função inversa?
1. Primeiramente, é necessário que a função seja injetora. Uma função de em é injetora se, e somente se, quaisquer
que sejam e de , se então .
2. Em segundo lugar, por meio da representação cartesiana da função , é necessário analisar o número de pontos de
intersecção de retas paralelas ao eixo dos (teste da reta horizontal).
Se cada uma dessas retas cortar o grá�co em um só ponto ou não cortar o grá�co, então, a função é injetora e, portanto, há .
f f A B
x1 x2 A ≠x1 x2 f( ) ≠ f( )x1 x2
f
x
f−1
 Figura 9: Teste da reta horizontal para a determinação da existência da função inversa de . (ANTON et al, 2007).f
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A função de�nida por é crescente no conjunto se, para dois valores quaisquer e 
pertencentes a , com , tivermos .
Em uma linguagem prática, não matemática, a função é crescente no conjunto se, ao aumentarmos o valor atribuído a 
, o valor de também aumentar.
Função crescente 
f : A → B  y = f(x)  ⊂ AA1 x1 x2
A1 <x1 x2 f ( ) < f ( )x1 x2
f A1
x y
A função de�nida por é decrescente no conjunto se, para dois valores quaisquer e 
pertencentes a , com , tivermos .
Em uma linguagem prática, não matemática, a função é decrescente no conjunto se, ao aumentarmos o valor atribuído
a , o valor de diminuir.
Função decrescente 
f : A → B  y = f (x) ⊂ AA1 x1 x2
A1 <x1 x2 f( ) > f( )x1 x2
f A1
x y
/
 Figura 10: Funções crescente e decrescente e o teste da reta horizontal. (ANTON et al., 2007).
A Figura 10 ilustra genericamente uma função crescente e decrescente. Em ambos os casos, passa no
teste da reta horizontal e, portanto, possui uma função inversa.
f f
 Figura 11: Gráfico de algumas funções com suas respectivas funções . Observe a reta e como as funções e são imagens espelhadas. (ANTON et
al., 2007).
f f−1 y = x   f  f−1
Uma propriedade interessante dos grá�cos cartesianos de e é que os mesmos são simétricos em
relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
Observe a Figura 11.
 f f−1
/
 Figura 12: Gráfico das funções e . As funções são invertíveis e as respectivas funções são apresentadas. (ANTON et
al., 2007).
(x) = , x ≥ 0f1 x2 (x) = , x ≤ 0f2 x2 (x)f−1
Em algumas situações, por meio da imposição de restrições adequadas ao domínio de , torna-se possível
a obtenção de .
Um exemplo pode ser visto na Figura 12.
f
f−1
Derivada de funções inversas
Teorema:
Suponha que o domínio de uma função seja um intervalo aberto e que seja diferenciável e injetora nesse intervalo. Então, 
 é diferenciável em qualquer ponto da imagem de no qual e sua derivada é:
Outra maneira de se escrever é:
f I f
f−1 f ( − 1)(x)) ≠ 0f ′ f (
[ (x)] =d
dx
f−1 1
( (x))f ' f −1
=
dy
dx
1
dx
dy/
Exemplo 2
Dada a função , prove que a suposição de que é verdadeira.f (x) = + 1x3 [ (x)] =d
dx
f−1 1
( (x))f ' f −1
/
Funções trigonométricas inversas
Quando se consideram as seis funções trigonométricas básicas, tais funções não apresentam inversas, pois seus grá�cos se
repetem periodicamente e, desta forma, violam o critério imposto pelo teste da reta horizontal.
A �m de de�nir as “funções trigonométricas inversas”, torna-se necessária a imposição de restrições aos domínios das funções
trigonométricas. Dessa forma, obtemos funções injetoras e, consequentemente, as inversas dessas funções restritas.
As funções inversas obtidas são:
arc   sen  (x) arc   cos  (x) arc   tg  (x) arc   sec  (x)
Também podemos representá-las por:
xsin−1 xcos−1 xtan−1 xsec−1
 Figura 13: Funções com as restrições necessárias para a definição das funções inversas . (ANTON
et al., 2007).
sin x,   cos x,   tan x e  sec x x,   x,   x e  xsin−1 cos−1 tan−1 sec−1
Funções exponenciais e logarítmicas
Uma função exponencial de base é uma função cuja forma é dada por , em que .
Exemplos: , , .
As funções exponenciais são de particular importância nas aplicações da Ciência e da Engenharia.
b f(x) = bx b > 0
f(x) = 2x f(x) = (1 / 4)x f (x) = πx
Atenção
/
Um detalhe importante que você deve lembrar da de�nição da função exponencial é que uma função do tipo 
 e similares não são classi�cadas como funções exponenciais. A razão disso é que em tais exemplos
há uma base variável, enquanto o expoente é uma constante.
f (x) = ,  f (x) =x3 x
3
5/
Propriedades da função exponencial
Na função exponencial , temos: 
. Isto é, o par ordenado (0,1)
pertence à função para todo . Isso
signi�ca que o grá�co cartesiano de toda função
exponencial corta o eixo no ponto de ordenada 1.
f (x) = bx
x = 0  ⇒ f (0) = = 1b0
b ∈ − {1}N*+
y
A função exponencial é crescente
(decrescente) se, e somente se, .
Portanto, dados os reais e , temos:
Quando : 
Quando : 
f(x) = bx
b > 1 (0 < b < 1)
x1 x2
b > 1 <   f ( ) < f ( )x1 x2 x1 x2
0 < b < 1 <   f ( ) > f ( )x1 x2 x1 x2
A função exponencial , com é
injetora, pois dados e tais que temos:
Quando : 
Quando : 
e, portanto, nos dois casos 
f (x) = bx 0 < b ≠ 1
x1 x2 ≠x1 x2
b > 1 <   ⇒ f ( ) < f ( )x1 x2 x1 x2
0 < b < 1 < ⇒  f ( ) > f ( )x1 x2 x1 x2
f ( ) ≠ f ( )x1 x2
Função exponencial natural
 Figura 14: Gráficos de diversas funções do . Quando , temos funções
crescentes. Por outro lado, quando , temos funções decrescentes. Em qualquer caso, a
imagem da função exponencial é 
y = ,  b > 0bx b > 0
 0 < b < 1
Im = N*+
/
Embora tenhamos uma in�nidade de funções exponenciais, sem dúvida, a mais
importante em termos de aplicações práticas é a função exponencial de base de�nida
pela letra .e
/
O número , denominado número de Euler, é um número irracional e seu valor, até a sexta casa decimal, é:
A função exponencial cuja base é o número é denominada função exponencial natural.
A representação formal é ou .
Se é um número qualquer positivo diferente de 1, a função exponencial de base é injetora e, portanto, possui uma
função inversa. Sua função inversa é denominada função logarítmica de base .
(que se lê: “o logaritmo de na base ”) denota aquele expoente ao qual devemos elevar para obter .
Assim, por exemplo:
O denominado logaritmo natural é o mais importante em aplicações da Engenharia e das Ciências. O logaritmo natural é a função
inversa da função exponencial . A notação mais comum é .
e
e = 2 ,718281
e
f (x) = ex f (x) = exp(x)
 Figura 15: Gráfico da função (curva em vermelho). A reta em verde é tangente à curva
da função no ponto (0,1). Observe também que se encontra entre as curvas 
(em preto) e (em laranja).
y = ex
y = ex y = ex y = 2x
y = 3x
a f (x) = ax a
a
xloga
x a a x
100 = 2   ou    = 100log10 10
2
ex ln x
/
 Figura 16: Gráfico da função (em vermelho), (em azul) e (em
preto). A reta foi desenhada para destacar a função e a sua inversa .
y = ex y = ln x y = xlog10
y = x y = ex y = ln x
Achando a derivada de funções trigonométricas
De forma resumida, veja as derivadas das seis funções trigonométricas:
sin(x) = cos(x)d
dx
cos(x) = −sin(x)d
dx
tg(x) = se (x)d
dx
c2 cosec(x) = − cosec(x) cotg(x)d
dx
sec(x) = sec(x) tg(x)d
dx
sec(x) = sec(x) tg(x)d
dx
Exemplo 3
Encontre se :dy dx/ y =
sin(x)
1+cos(x)
Exemplo 4
Encontre se :dy dx/ y = sin ( )1 + cos x
− −−−−−−√
/
Achando a derivada das funções exponenciais e logarítmicas
As derivadas das funções exponenciais e logarítmicas estão resumidas abaixo:
Se for uma função diferenciável de e se , então, a aplicação da regra da cadeia produz: 
 
 
 
 
 
Se for uma função diferenciável de , então, tem-se: 
 
 
 
[ln x] =  para x > 0d
dx
1
x
[ x] =  para x > 0d
dx
logb
1
x⋅ln b
u x u(x) > 0
[ln u] = ⋅d
dx
1
u
du
dx
[ u] = ⋅d
dx
logb
1
u⋅ln b
du
dx
[ln |x|] =  se x ≠ 0d
dx
1
x
[ ] = ⋅ ln bd
dx
bx bx
[ ] =d
dx
ex ex
u x
[ ] = ⋅ ln b ⋅d
dx
bu bu du
dx
[ ] = ⋅d
dx
eu eu du
dx
Exemplo 5
Encontre :[ln ( + 1)]d
dx
x2
Diferenciação logarítmica
Você verá agora uma técnica chamada diferenciação (ou derivação) logarítmica, que será muito útil para derivar funções
compostas de produtos, quocientes e potências.
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 6
Calcule a derivada de:
y =
⋅x2 (7x−14)√3
(1+ )x2 4
/
Exemplo 7
Use a derivação logarítmica para encontrar :[ ]d
dx
( + 1)x2 sin x
Derivadas de potências irracionais de 
Você já sabe que
é válida para valores racionais de .
A diferenciação logarítmica é útil para mostrar que essa fórmula é válida se for qualquer número real (racional ou irracional).
Veja os exemplos:
x
[ ] = r ⋅d
dx
xr xr−1
r
r
[ ] = π ⋅ ;    [ ] = 2e ⋅d
dx
xπ xπ−1 d
dx
x2e x2e−1
Derivadas das funções trigonométricas inversas
No início desta aula, veri�camos que o grá�co da inversa de uma função pode ser obtido pela re�exão do grá�co de na reta 
.
Se combinarmos essa informação com o conceito daquilo que faz uma função ser derivável, é possível entender a derivação de
funções inversas de forma mais fácil.
f f
y = x
Comentário
/
As derivadas das funções trigonométricas inversas são dadas abaixo:
Se é uma função derivável de , com : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u x |u| < 1
(arc   sen  u) = ⋅d
dx
1
1−u2√
du
dx
(arc   cos  u) = − ⋅d
dx
1
1−u2√
du
dx
(arc   tg  u) = ⋅d
dx
1
1+u2
du
dx
(arc   cotg u) = − ⋅d
dx
1
1+u2
du
dx
(arc   sec u) = ⋅d
dx
1
|u| −1u2√
du
dx
(arc   cosec  u) = − ⋅d
dx
1
|u| −1u2√
du
dx
Exemplo 8
Encontre se dy dx/ y = arc   sen( )x3
Derivadas de ordens superiores
1. A derivada de uma função é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada.
2. Se for derivável, então, sua derivada é denotada por e é denominada derivada segunda de .
Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta,
e até derivadas superiores de .
Essas derivadas são denotadas como:
Outras notações comuns:
f ′ f
f ′ f '' f
f
,   = ,   = ,   = ,   = , …f ' f '' ( )f ' ' f ''' ( )f '' ' f (4) ( )f ''' ' f (5) ( )f (4)
'
,   , , , , …y ' y '' y ''' y(4) y(5)
= = [f(x)]y '
dy
dx
d
dx
= = [f(x)]y ''
yd2
dx2
d2
dx2
= = [f(x)]y '''
yd3
dx3
d3
dx3
= = [f(x)]yn
ydn
dxn
dn
dxn
/
Exemplo 9
Se , encontre as derivadas de ordens superiores de :f (x) = 3 − 10 + − 6 + 15x − 2x5 x4 x3 x2 f
Comentário
A importância da derivada segunda e das derivadas superiores será discutida nas próximas aulas sobre derivadas.
Atividade
1. A derivada primeira da função é corretamente escrita como:f (x) = − 2x + 5x3
− −−−−−−−−√
a) + 2x
2
2 −2x+5x3√
b) 3 −2xx
2
−2x+5x3√
c) 3 −2x
2
2 −2x+5x3√
d) 3 + 2x
2
3 −2x+5x3√
e) N.D.A.
2. A primeira derivada da função é corretamente representada por:f (x) = ⋅ (5x)x3 sin2
a) ⋅ (5x) + ⋅ cos 5xx2 sin2 x3
b) 3 ⋅ (5x) − 10 ⋅ cos 5x ⋅ sin 5xx2 sin2 x3
c) ⋅ (5x) + 5 ⋅ cos 5xx2 sin2 x3
d) 3 ⋅ (5x) + 10 ⋅ cos 5x ⋅ sin 5xx2 sin2 x3
e) N.D.A.
3. Encontre da função :f (x)d
dx
f (x) = (3 )cos2 x√
a) 
−3⋅cos(3 )⋅sin(3 )x√ x√
x√
b) 
3⋅cos(3 )⋅sin(3 )x√ x√
x√
c) 
3⋅cos( )⋅sin( )x√ x√
2 x√
d) 
−3⋅cos(3 )⋅sin(3 )x√ x√
2 x√
e) 
− cos( )⋅sin(3 )x√ x√
2 x√
/
4. Encontre da função :f (x)d
dx
f (x) = ( − 5)x3 35
5. A derivada segunda da função é:y = 1+x
1−x
a) =y '' 4
−3 +3x−1x3 x2
b) = −y '' 4
−3 +3x−1x3 x2
c) = −y '' 4
+3 +3x+1x3 x2
d) =y '' 4
−3 −3x−1x3 x2
e) = −y '' 4
2 −3 +x+1x3 x2
6. Seja . Determine por diferenciação logarítmica a derivada primeiraf (x) = ( )3x+1
x2
3
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Noção de taxa de variação;
Máximos e mínimos;
Teorema de Rolle;
Teorema do Valor Médio.
Explore mais
Sugestões de ferramentas de Matemática:
O império dos números <https://pt.numberempire.com/> .
Sugestões de vídeos:
Derivada da função inversa <https://youtu.be/DkuwgStXSz0> ;
Derivada da função exponencial <https://youtu.be/nfARXFLUKMc> ;
https://pt.numberempire.com/
https://youtu.be/DkuwgStXSz0
https://youtu.be/nfARXFLUKMc
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Derivada da função logarítmica <https://youtu.be/ghdUmIqIImI> .
https://youtu.be/ghdUmIqIImI