Matemática para Ensino Superior gabarito (4)

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UEPB 
 MA 13 – GEOMETRIA 
TURMA 2013.1 
Professores: Luciana e Thiciany 
 
 
 
 
 
 
1ª Semana: 05 a 11 de Agosto 
 
Unidade 00 – Conceitos Básicos 
Unidade 01 – Polígonos 
Unidade 02 – Congruência de Triângulos 
 
 
 
 
 
 
Edison Fernando da Silva Lima 
U 2 – Questão 6 
Construa com régua e compasso o triângulo ABC, conhecendo os comprimentos 
 ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ e da mediana relativa a . 
Resolução 
Para construção do triângulo ABC, onde são conhecidos ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ da 
mediana relativa a BC, seguiremos os passos: 
1) Tracemos uma reta r e nela marquemos os pontos A e B, tais que ̅̅ ̅̅ ; 
2) Com o compasso, tracemos dois círculos: com centro em B e raio igual a c e 
 com centro em A e raio igual a b; 
3) Na interseção de e marquemos o ponto C; 
4) Com uma régua, tracemos ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ ; 
5) Com o compasso, tracemos o círculo com centro em C e raio igual a a; 
6) Pelas interseções de e tracemos a reta s; 
7) Na interseção de s com BC, marquemos o ponto M, que é o ponto médio de BC; 
8) Tracemos, de A a M, a mediana ̅̅̅̅̅ . 
 
 
Portanto, ao seguirmos os passos descritos, teremos o processo concluído. 
U 2 – Questão 7 
Construa com régua e compasso o triângulo ABC, conhecidos os comprimentos ̅̅ ̅̅ 
e da bissetriz interna relativa ao lado , bem como a medida . 
(Sugestão: divida o ângulo em duas partes iguais (com auxílio da construção da 
bissetriz) e, em seguida, construa o triângulo ABP, onde P é o pé da bissetriz interna de 
ABC relativa ao lado BC. Em seguida, obtenha o vértice C como a interseção de ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
com ⃗⃗⃗⃗ ⃗, onde ̂ .) 
Resolução 
Para construirmos o triângulo ABC, como sugerido no enunciado, seguiremos os 
seguintes passos: 
1) Tracemos uma reta r e, sobre ela, marquemos os pontos A e B, tais que ̅̅ ̅̅ ; 
 
2) Com o auxílio do compasso, vamos transferir o ângulo para 
 ; 
 
 
3) Marquemos os pontos ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e . Com o auxílio do compasso, tracemos 
a bissetriz ⃗⃗⃗⃗ ⃗, do ângulo ; 
 
 
4) Sendo P o pé da bissetriz ⃗⃗⃗⃗ ⃗, onde ̅̅ ̅̅ , tracemos a semirreta ⃗⃗⃗⃗ ⃗, que ao 
interceptar a semirreta ⃗⃗⃗⃗ ⃗, forma o ponto C. 
 
 
 
Portanto, concluímos a construção do triângulo ABC. 
 
 
U 2 – Questão 8 
*Se ABC é um triângulo isósceles de base BC, prove que a bissetriz, a mediana e a 
altura relativas a BC coincidem. (Sugestão: se M é o ponto médio do lado BC, 
mostramos na Proposição 13 que os triângulos ABM e ACM são congruentes por LLL. 
Conclua, daí, que AM é bissetriz de e que ̂ ̂. Por fim, use o fato de 
 ̂ ̂ para concluir que AM é altura.) 
Resolução 
Considere o triângulo ABC isósceles de base ̅̅ ̅̅ ( ). 
 
Mostraremos que a bissetriz, a mediana e a altura relativas a BC coincidem, ou seja, que 
o pé da bissetriz (I), o pé da mediana (M) e o pé da altura (H) relativos ao lado BC, 
coincidem. 
De fato, 
Sendo AI a bissetriz relativa ao lado BC, os ângulos ̂ ̂ são congruentes. Como 
o triângulo ABC é isósceles, ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ e os ângulos são congruentes. 
Logo, pelo caso ALA, os triângulos ABI e ACI são congruentes. 
Sendo AM a mediana relativa ao lado BC, os segmentos BM e MC são congruentes. 
Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos são congruentes e 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . Logo, pelo caso LAL, os triângulos ABM e ACM são congruentes. 
Como, os triângulos ABI e ACI são congruentes, por ALA e, os triângulos ABM e ACM 
são congruentes, por LAL, então . 
Por outro lado, e , daí, . Mas, 
é um ângulo de , logo, , onde . 
Assim, AH é perpendicular à BC. 
Portanto, verifica-se que . 
 
 
U 2 – Questão 9 
*Sejam ABC um triângulo e P, M e H, respectivamente, os pés da bissetriz interna, 
mediana e altura relativas ao lado BC. Se P e H ou M e H coincidirem, prove que ABC 
é isósceles de base BC. (Sugestão: se P e H coincidirem, mostre que por 
ALA; se M e H coincidirem, use LAL em vez de ALA.) 
Resolução 
Sejam P, M e H, respectivamente, os pés da bissetriz interna, mediana e altura relativas 
ao lado BC. 
Mostraremos que o triângulo ABC é isósceles de base BC, em dois casos: 
a) Se P e H coincidirem, temos: 
 
i) Se AP é bissetriz interna de , então ; 
ii) Se AH é altura relativa ao lado BC, então são retos; 
iii) Como , são retos e o lado AP é comum aos 
triângulos , pelo caso ALA, temos que ; 
Portanto, se , então e são congruentes (ângulos da base BC), 
o que nos garante que o triângulo ABC é isósceles de base BC. 
 
b) Se M e H coincidirem, temos: 
 
i) Se AM é mediana relativa ao lado BC, então ; 
ii) Se AH é altura relativa ao lado BC, então são retos; 
iii) Como, ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅, e AM é comum aos triângulos 
 , pelo caso LAL, temos que . 
 
Portanto, se , então e são congruentes (ângulos da base BC), 
o que nos garante que o triângulo ABC é isósceles de base BC.