Exerício de Física Básica II - Moysés - 55

Prévia do material em texto

4.2 Questão 2
De acordo com o enunciado o decréscimo de energia a cada segundo é de 4 vezes
a energia cinética, portanto:
∆E = −2γ〈Ec〉 = −4〈Ec〉 =⇒ γ = 2s−1
A partir do fator de mérito é posśıvel relacionar o fator de amortecimento γ e
a frequência natural ω0 do sistema:
Q =
ω0
γ
=⇒ ω0 = Qγ = 10γ
Ou seja, γ
2
< ω0 e o amortecimento é subcŕıtico, e a solução para x é:
x(t) = e−
γ
2
t[A cos (ωt) +B sin (ωt)] (4.2.1)
Aplicando a primeira condição inicial x(0) = 0:
x(0) = 0 = A =⇒ A = 0
Derivando x e utilizando a segunda condição inicial é posśıvel encontrar a cons-
tante B:
ẋ(t) = −γ
2
x(t) + e−
γ
2
t[−ωA sin (ωt) +B cos (ωt)]
ẋ(0) = 5 = ωB =⇒ B = 5
ω
O valor de ω é dado por:
ω =
√
ω20 −
γ2
4
Como ω0 = 10γ:
ω =
√
100γ2 − γ
2
4
≈ 10γ = 20s−1
Assim, a constante B vale:
B =
5
ω
= 0.25
Substituindo os valores encontrados para A, B , γ e ω na (4.2.1):
x(t) ≈ e−
2
2
t[0× cos (20t) + 0.25× sin (20t)]
x(t) ≈ 0.25e−t sin (20t)
I Escola Oĺımpica - Curso de Fı̀sica Básica II 65
	Capítulo 4
	Questão 3