Exercício de Física I (349)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 349
12. Usando o solo como posição de referência para a energia potencial, a lei de conservação da 
energia mecânica nos dá
U K U mgh mv I mgliberada alto alto CM2= + ⇒ = + +
1
2
1
2
22 RR( ).
Fazendo I mr= 25 2 [Tabela 10-2(f)] e ω = vCM/r (Eq. 11-2), temos:
mgh mv mr
v
r
mgR g= + 







+ ⇒1
2
1
2
2
5
22
2
CM
2 CM hh v gR= +7
10
2CM2
sendo que, no lado direito, a equação foi dividida pela massa m.
(a) Para a bola estar na iminência de perder contato com o trilho no ponto mais alto do percurso, 
a força normal deve se anular nesse ponto. Sendo assim, a aplicação da Segunda Lei de Newton 
na direção do eixo y leva a
mg ma g
v
R r
r= ⇒ = CM
2
–
em que usamos a Eq. 10-23 para expressar a aceleração radial (centrípeta) do centro de mas-
sa, que, nesse instante, está a uma distância R – r do centro da curva. Substituindo o resultado 
v g R rCM2 = −( ) na expressão obtida anteriormente, temos:
gh g R r gR= ( ) −( ) +7
10
2
o que nos dá h 5 2,7 R 2 0,7r  2,7 R. Para R = 14,0 cm, temos 
h = (2,7)(14,0 cm) = 37,8 cm.
(b) As considerações de energia usadas no item anterior (agora com h = 6R) podem ser aplica-
das ao ponto Q, o que nos dá
g R v gR( )6
7
10
2= +CM
ou vCM2 = 50gR/7. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo horizontal no ponto Q e usando 
o raciocínio anterior quanto à aceleração radial, temos:
N m
v
R r
m
gR
R r
=
−
=
−( )
CM
2 50
7
que, para R r>> , nos dá
 
N
mg≈ = × = ×
−50
7
50 2 80 10
7
1 96 1
4( ,
,
kg)(9,80m/s )2
00 2− N.
(c) A orientação é para o centro da curva.
13. O estudo dos objetos que rolam requer uma discussão que vai além dos princípios básicos da 
rotação analisados no Capítulo 10; isso é feito nas primeiras três seções do Capítulo 11. A força 
normal exercida sobre um objeto que descreve uma trajetória circular é discutida na Seção 6-6. 
Adaptando a Eq. 6-19 às forças presentes na parte mais baixa da curva, temos:
 
FN – Mg = Mv2/r,
o que mostra (já que sabemos que FN = 2Mg) que a velocidade do centro de massa (ao quadra-
do é v2 = gr, em que r é o raio da pista (0,48 m). Assim, a velocidade angular da bola (ao qua-
drado) é 
ω2 = v2/R2 = gr/R2,
na qual R é o raio da bola. Substituindo na Eq. 10-5 e explicitando o momento de inércia (em 
relação ao centro de massa), temos:
ICM = 2MhR2/r – MR2 = MR2[2(0,36/0,48) – 1] .