E2_GEES-1

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Geometria Espacial 
1 
 
DISCIPLINA 
GEOMETRIA ESPACIAL 
E-BOOK 02_GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL: SÓLIDOS 
GEOMÉTRICOS 
APARECIDO DOS SANTOS 
 
 
1. Introdução 
Os sólidos geométricos fazem parte do mundo e de tudo o que está a nossa volta, 
estando presentes no nosso dia a dia. É inegável que o seu estudo proporciona ao 
homem melhor “desempenho geométrico” nas oficinas mecânicas, nos consultórios 
dos dentistas, nas pranchetas dos engenheiros, nas decisões dos empreiteiros, nas 
observações dos astrônomos ou mesmo no assentamento de um tijolo pelo pedreiro. 
Nesta unidade de estudo tem-se por objetivo identificar, dentre as figuras espaciais, 
os poliedros. Resolver situações problema que envolvam os poliedros levando em 
consideração a contextualização e a conexão com outros temas matemáticos. 
Reconhecer, dentre os poliedros, os prismas, as pirâmides e os troncos de 
pirâmides, bem como suas propriedades e elementos levando você a uma natural 
compreensão desses conceitos; por isso, neste texto, o caminho escolhido, em 
princípio, não é o do formalismo, mas sim um caminho intuitivo, experimental, lúdico, 
indutivo, que parte de ações concretas e leva em consideração a criatividade e o 
prazer que se possa ter em exercer essas ações e aprender. 
 
 
2. Poliedros 
Definição: Um poliedro é uma figura espacial formada por várias faces. A 
terminação -edro provém da palavra hedra, que em grego quer dizer “face”. Os 
sólidos a seguir são exemplos de poliedros. Tem-se, respectivamente, um prisma, 
uma pirâmide, um poliedro regular e um tronco de pirâmide: 
 
Geometria Espacial 
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Um poliedro é um conjunto finito de polígonos planos, em que cada lado de um 
desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. 
• Cada um desses polígonos chama-se uma face do poliedro; 
• Cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro; 
• Cada vértice de uma face chama-se vértice do poliedro; 
• À figura composta por um vértice V e pelas arestas com extremidade V, dá-se o 
nome de ângulo poliédrico. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
face 
 aresta lateral 
 
 vértice 
 aresta da base 
http://4.bp.blogspot.com/_kLtsIEXMyrg/STPC4CrGOhI/AAAAAAAAACY/XPQLpO0c2XE/s1600-h/PRISMAS.bmp
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No primeiro sólido tem-se: 4 vértices e 6 arestas 
No segundo sólido tem-se: 8 vértices e 12 arestas 
No terceiro sólido tem-se: 6 vértices e 9 arestas 
Dentre os poliedros temos: 
• os prismas, que possuem duas faces congruentes que estão contidas em 
planos paralelos distintos; a essas, chamamos bases do prisma. As demais 
faces, chamadas faces laterais, têm todas 4 arestas cada (paralelogramos). 
Exemplos: 
 
• as pirâmides, que possuem uma face, chamada base, contida em um dado 
plano e apenas um vértice, chamado vértice da pirâmide, fora desse plano. 
As demais faces, faces laterais, têm todas 3 arestas cada, ou seja, são os 
triângulos determinados, cada um deles, por um lado da base e o vértice da 
pirâmide. Exemplo: 
 
 
• os troncos de pirâmide que são obtidos ao fazermos um corte em uma 
pirâmide, paralelo a sua base. Exemplo: 
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• e os poliedros que não são nem prismas, nem pirâmides. Exemplos: 
 
 
Alturas de prismas e pirâmides: 
A altura de um prisma é a medida da distância entre os dois planos da base. Já a 
altura de uma pirâmide é dada dela distância entre o vértice e o plano da base da 
referida pirâmide. Observe: 
 
 
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Poliedro convexo e poliedro não convexo 
 Um poliedro é convexo se o plano de cada face o deixa num mesmo 
semiespaço determinado pelo plano. Se existir pelo menos uma face que não o 
deixa no mesmo semiespaço determinado pelo plano que contém essa face, o 
poliedro é não convexo. Informalmente, os poliedros convexos são aqueles que não 
apresentam reentrâncias ou “furos” em sua superfície. Exemplos: 
 
 Poliedros convexos Poliedros não convexos 
 
Dando nome aos poliedros 
 Da mesma maneira que demos nomes aos polígonos, levando em conta o 
número de lados ou de ângulos, damos nomes aos poliedros, considerando o seu 
número de faces. 
 O número de faces também é designado por uma palavra de origem grega, 
que é justaposta ao sufixo edro. Assim, um poliedro de 4 faces chama-se tetraedro 
(tetra significa quatro), um poliedro de 5 faces chama-se pentaedro, um poliedro de 
6 faces chama-se hexaedro, e assim por diante. 
 No caso das pirâmides e prismas, é usual nomeá-los de acordo com suas 
bases. Assim, falamos em pirâmide ou prisma de base triangular, pirâmide ou prisma 
de base quadrada, de base retangular, de base hexagonal etc. É claro que, por 
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exemplo, uma pirâmide de base retangular é um pentaedro, mas chamá-la de 
pirâmide de base retangular nos dá uma ideia mais exata do sólido a que nos 
referimos. 
 Dizemos que um prisma é reto quando suas arestas laterais são 
perpendiculares aos planos das bases, ou seja, sua altura coincide com a medida de 
suas arestas laterais. Num prisma reto, as faces laterais são retângulas. 
 O prisma é oblíquo quando suas arestas laterais são oblíquas aos planos das 
bases. 
 O prisma é regular se é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há prismas que têm nomes especiais: 
• paralelepípedo é um prisma cujos polígonos das bases são paralelogramos. 
• paralelepípedo reto é um prisma reto cujos polígonos das bases são 
paralelogramos. 
• paralelepípedo retângulo (ortoedro) é um prisma reto cujos polígonos das bases 
são retângulos. 
• cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. 
• romboedro é um paralelepípedo que possui as 12 arestas congruentes entre si 
(os polígonos das faces são losangos). 
 Dizemos que uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice 
sobre o plano da base é o centro da base; nesse caso, todas as arestas laterais são 
congruentes. Caso contrário, dizemos que a pirâmide é oblíqua. Observe os 
exemplos: 
Prisma reto 
(triangular) 
Prisma oblíquo 
(quadrangular) 
Prisma regular 
(hexagonal) 
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 pirâmide hexagonal reta pirâmide hexagonal oblíqua 
 
 
 
 
 
 
INSERIR PODCAST 02_TODO PRISMA É POLIEDRO, MAS NEM TODO POLIEDRO É 
UM PRISMA 
 
 
Observação: Numa pirâmide reta, as faces laterais são triângulos isósceles. 
Toda pirâmide reta cujo polígono da base é regular é uma pirâmide regular 
(as faces laterais são triângulos isósceles congruentes). Observe os exemplos: 
 
 pirâmide triangular regular pirâmide quadrangular regular 
 (tetraedro regular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação dos conceitos e propriedades: exemplos resolvidos 
Exemplo 01: Dados os poliedros abaixo, classifique-os em convexo ou não convexo 
e complete a tabela, sabendo que V é o número de vértices, F é o número de faces 
e A é o número de arestas do poliedro: 
 
SAIBA MAIS: Na pirâmide triangular regular, a base é um triângulo equilátero e as 
faces laterais são triângulos isósceles congruentes. O tetraedro regular tem as 4 
faces constituídas por triângulos equiláteros congruentes. 
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a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Poliedro V F A V + F V + F - A Nome do poliedro 
a) convexo 12 8 18 20 2 Octaedro ou prisma de base hexagonal 
b) convexo 8 6 12 14 2 Hexaedro ou prisma oblíquo de base 
quadrangularou paralelepípedo 
c) convexo 5 5 8 10 2 Pentaedro ou pirâmide de base 
quadrangular 
d) convexo 6 8 12 14 2 Octaedro 
e) não convexo 12 8 18 20 2 Octaedro 
 
A partir da observação dos dados da tabela pode-se deduzir uma relação 
importante, qual seja a relação de Euler: em todo poliedro convexo vale a relação 
V + F – A = 2; onde V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o 
número de arestas do poliedro. 
 
FIQUE ATENTO: Os poliedros para os quais vale a relação de Euler são 
chamados de poliedros eulerianos. Pode-se mostrar que todo poliedro convexo é 
euleriano, mas a recíproca dessa afirmação é falsa, isto é, existem poliedros 
eulerianos não convexos. 
 
Geometria Espacial 
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Exemplos 02: Um poliedro convexo possui 16 vértices e 10 faces. 
Resolução: Incialmente você deve calcular o número de arestas desse poliedro 
utilizando a relação de Euller. Observe: 
Como V = 16 e F = 10, aplicando a Relação de Euler, temos: 
V + F – A = 2 
16 + 10 – A = 2 
A = 24 arestas 
Exemplo 03: Consideremos a bola de futebol (ou a molécula de carbono) descrita 
cima. O poliedro em questão é formado por 12 faces pentagonais e 20 faces 
hexagonais, todas regulares. 
Resolução: Determinemos o número A de arestas e o número V de vértices do 
poliedro: 
• Como ele tem 12 faces pentagonais, temos: 
 12 . 5 = 60 arestas 
• Como ele tem 20 faces hexagonais, temos: 
 20 . 6 = 120 arestas 
• Como cada aresta é lado de exatamente duas faces, então elas foram contadas 
duas vezes. Dessa forma, o número total de arestas é: 
 A = 
2
12060+
 = 90 arestas 
• Como o número total de faces é 12 + 20 = 32 faces, aplicando a relação de 
Euler, temos: 
 V + F – A = 2  V + 32 – 90 = 2  V = 60 vértices 
Poliedros de Platão 
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se satisfaz às três condições: 
• Todas as faces têm o mesmo número n de arestas; 
• Em todos os vértices concorrem o mesmo número m de arestas; 
• Vale a relação de Euler. 
 
Exemplo: 
 
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Esse poliedro é de Platão, pois: 
• Todas as faces são quadrangulares; 
• Em todos os vértices concorrem 3 arestas; 
• Como V = 8, F = 6 e A = 12, vale a relação de Euler: 8 + 6 – 12 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
Esse poliedro não é de Platão, pois tem 2 faces hexagonais e 6 faces 
quadrangulares. 
É possível justificar que só existem cinco classes de poliedros de Platão que são: 
• tetraedro (4 faces triangulares e ângulos poliédricos de 3 arestas) 
• hexaedro (6 faces quadrangulares e ângulos poliédricos de 3 arestas) 
• octaedro (8 faces triangulares e ângulos poliédricos de 4 arestas) 
• dodecaedro (12 faces pentagonais e ângulos poliédricos de 3 arestas) 
• icosaedro (20 faces triangulares e ângulos poliédricos de 5 arestas) 
Observe os poliedros de Platão: 
Tetraedro: 
 
 
 
 
Hexaedro: 
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Octaedro: 
 
Dodecaedro: 
 
Icosaedro: 
 
Poliedros regulares 
Um poliedro convexo que tenha como faces apenas polígonos regulares e 
congruentes e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas é 
um poliedro regular. Intuitivamente, pode parecer que, como no caso dos polígonos, 
podemos construir poliedros regulares com tantas faces quantas desejarmos. No 
entanto, isso não é possível. Na verdade, só é possível construir cinco tipos de 
poliedros regulares: 
• de três modos distintos, utilizando triângulos (tetraedro, octaedro e icosaedro) 
• de um só modo, utilizando pentágonos (dodecaedro) 
• de um só modo, utilizando quadrados (hexaedro) 
 
Observe: 
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Uma explicação mais formal de que não podemos ter mais do que cinco poliedros 
regulares é dada a seguir: 
Suponhamos que exista um poliedro regular em que cada face é formada por um n-
ágono regular. 
Cada ângulo desse n-ágono regular tem medida 
( )
o
n
2n180





 −
. Por quê? 
Se no poliedro regular considerado, tivermos p n-ágonos em torno de cada vértice, a 
soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice do poliedro será: p 
( )
o
n
2n180





 −
. Entretanto, sabemos que p  ( )
o
n
2n180





 −
 deve ser menor que 360º. 
 
Portanto, temos: 
octaedro 
icosaedro 
tetraedro 
dodecaedro 
hexaedro (cubo) 
como n > 0 
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( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42p2n42n22np44n22np
0n22np0
n
n22np
2
n
2n
p360
n
2n180
p
−−−−−+−−
−−
−−

−





 −

 
Como cada face do poliedro deve ter mais do que 2 lados e, como é preciso mais do 
que 2 faces em torno de cada vértice, n e p devem ser maiores que 2. Portanto, 
temos a seguinte tabela: 
n p (n - 2) (p - 2) (n - 2)(p - 2) 
3 3 1 1 1 
3 4 1 2 2 
3 5 1 3 3 
4 3 2 1 2 
5 3 3 1 3 
 
Nenhum outro valor inteiro para n e p satisfaz a inequação (n - 2)(p - 2) < 4; pois, se 
um deles for 6 ou mais e o outro for pelo menos 3, então um fator na inequação será 
4 ou mais e o outro, será pelo menos 1. Em qualquer caso, o produto (n - 2)(p - 2) 
não será menor que 4. Portanto, temos somente cinco poliedros regulares. 
Exemplos resolvidos: 
Exemplo 01: Com 6 triângulos equiláteros é possível construir um hexaedro, 
conforme a figura. Trata-se de um poliedro regular? Por quê? 
 
Resolução: 
C E
D
A
B
FIQUE ATENTO: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo 
poliedro de Platão é regular. 
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Não é um poliedro regular, pois, por exemplo, no vértice A concorrem 3 arestas e no 
vértice D concorrem 4 arestas 
Exemplo 02: Os poliedros podem ser planificados. Observe a planificação do 
tetraedro regular e do hexaedro regular. 
Planificações do tetraedro regular: São duas planificações possíveis 
 
Planificações do cubo: São apresentadas 11 planificações possíveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora que já você já conhece algumas características e propriedades dos poliedros, 
vamos explorar, por meio de alguns exemplos resolvidos e comentados, o conceito 
de área de volume de objetos espaciais. É importante salientar que para o cálculo 
da área total e do volume serão necessários alguns conceitos da geometria plana. 
Áreas da superfície de um prisma 
Dado um prisma qualquer, definimos: 
• A área da base (Ab) é a área do polígono da base; 
• A área lateral (Al) é a soma das áreas das faces laterais; 
• A área total (At) é a soma da área lateral com as áreas das bases: 
At = Al + 2Ab 
 
Exemplos resolvidos: 
Geometria Espacial 
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Exemplo 01: Determine a área da base, a área lateral e a área total de um prisma 
triangular reto de altura igual a 12 cm, sabendo que o triângulo da base é retângulo 
de catetos 6 cm e 8 cm. 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Sendo a base do prisma um triângulo retângulo, temos: 
2
b cm24
2
86
A =

= 
A área lateral é dada pela soma das áreas dos retângulos que compõem as faces 
laterais. 
Calculando a medida da hipotenusa do triângulo da base, temos: 
 x2 = 62 + 82 (Teorema de Pitágoras) 
x = 10 cm 
Portanto: 
Al = 6 . 12 + 8 . 12 + 10 . 12 
Al = 288 cm2 
E a área total é: 
tA = Al + 2Ab 
tA = 288 + 2 . 24 
tA = 336 cm2 
Exemplo 02: Determine a área total do prisma oblíquo de base quadrada da figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
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Resolução: Sendo a base um quadrado, temos: 
Ab = 102 = 100 cm2 
Para calcularmos a área lateral que é formada por quatro paralelogramos de base 
10 cm, precisamos calcular a medida da altura h. 
Para isso, vamos usar uma relação trigonométrica no triângulo retângulo formado 
conforme a figura: 
cm315h
30
h
2
3
30
h
60sen o
=
=
=
 
Portanto: 
( ) 2
ramologparale
doarea
l cm3600315104A ==  
E a área total é: 
tA = Al + 2Ab 
( ) 2t cm33120010023600A +=+= 
Volume de um prisma 
Podemos dizer que o volume de um sólido é aquantidade de espaço ocupada por 
ele. Assim, você pode calcular o volume dos sólidos por meio de uma medida 
padrão, um cubo de aresta uma unidade, por exemplo. Assim, o volume de um 
prisma deve ser o número que exprima quantas vezes o sólido contém o cubo 
unitário. 
 
O volume do cubo é 1 x 1 x 1 = 1u3, ou seja, 1 x 1 (área da base) e 1 x 1 x 1 é a área 
da base vezes a altura. 
Exemplos resolvidos 
Exemplo 01: Vamos calcular o volume de um paralelepípedo retângulo de 
dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm. 
Geometria Espacial 
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Analisando a figura, você pode observar que o paralelepípedo é formado por 8 (4 x 
2) cubos unitários na base e que tem 3 camadas iguais à camada da base. Logo, 
tem 3 x 8 = 24 cubos unitários no total. Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 x 
2 x 3 = 24 cubos de 1cm3 e dizemos que o seu volume é de 24cm3. 
De modo geral, o volume V de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é 
dado por: 
Vparalelepípedo = a . b . c 
 
Observação 
Como a . b é a área da base e c é a altura do paralelepípedo, podemos escrever: 
V = Ab . h → V = a.b.c 
Exemplo 02: Uma indústria de embalagens gastou 600 cm2 de papelão para 
construir uma caixa cúbica. Calcule o volume dessa caixa. 
Resolução: 
A área total de um cubo é dada por tA = 6a2 (lembrar que o cubo possui 6 faces 
quadradas) 
Assim, temos: 
600 = 6a2 
a = 10 cm 
Logo, o volume da caixa é: 
V = a . a. a = a3 
 
 
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V = 103 
V = 1000 cm3 
Princípio de Cavalieri 
Falamos sobre o cubo e o paralelepípedo retângulo. Mas e os outros prismas, como 
se calcula o volume? 
Para qualquer outro sólido, temos que usar um axioma (ou seja, uma afirmação que 
assumimos como verdade na Matemática), que se chama Princípio de Cavalieri 
(Francisco Bonaventura Cavalieri: matemático italiano que viveu entre 1598 e 1647): 
Dados dois sólidos S1 e S2 e um plano α, se todo plano paralelo ao plano dado 
secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área (A), então esses sólidos 
têm mesmo volume (V). 
 
Como S2 é um paralelepípedo retângulo, sabemos que V2 = área da base x altura. 
Então, sendo S1 um prisma qualquer, sem nenhuma característica particular, seu 
volume é dado por: Vprisma = área da base x altura 
 
 
Exemplo 03: Determine o volume do prisma triangular reto da figura: 
 
Geometria Espacial 
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Resolução: A base do prisma é um triângulo onde conhecemos dois de seus lados 
(a e b) e o ângulo () formado por eles: 
 
Conhecendo-se dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, podemos calcular 
a sua área pela fórmula: = senba
2
1
A Logo, sua área é dada por: 
2
b cm10
2
1
85
2
1
º30sen85
2
1
A === Portanto, o volume do prisma é: 
V = Ab . h 
V = 10 . 10 = 100 cm3 
Pirâmides 
Definição: Consideremos um plano α, p um polígono contido em α e V um ponto 
não pertencente a α. Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os 
segmentos de reta, tais que uma de suas extremidades é um ponto de polígono p e 
a outra extremidade é o ponto V. 
 
 
 
 
Elementos 
Numa pirâmide, consideramos os seguintes elementos: 
• O ponto V é o vértice da pirâmide; 
• O polígono p é a base; 
• Os triângulos AVB, BVC, etc. são as faces laterais; 
• Os lados AB , BC , etc. do polígono da base, são as arestas da base; 
• Os segmentos CV,BV,AV , etc. são as arestas laterais; 
• A distância entre o vértice V e o plano α é a altura da pirâmide (h). 
 
Relações importantes das pirâmides regulares 
Geometria Espacial 
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Toda pirâmide reta cujo polígono da base é regular é uma pirâmide regular (as 
faces laterais são triângulos isósceles congruentes). O apótema do polígono da 
base ( )OM 
é chamado apótema da base (m) e a altura de uma face lateral (altura relativa à 
base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide (g). 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo retângulo MOA temos: 
2
22
2
l
mr 





+= 
No triângulo retângulo MVO temos: g2 = h2 + m2 
No triângulo retângulo MVA temos: 
2
22
2
l
ga 





+= 
 
Exemplo 04: Calcule a altura, a área da base, a área lateral e a área total de uma 
pirâmide triangular regular de aresta da base 6 cm e aresta lateral 5 cm. 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para o cálculo do apótema da base de um pirâmide você pode 
utilizar as seguintes relações: triângulo equilátero, quadrado e hexágono, 
 
6
3l
m
2
3l
m
2
l
mou
2
r
m
=
=== 
Geometria Espacial 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Como estudamos anteriormente: 
● m = 
6
3l
 
6
36
m = 
cm3m = 
● 
2
22
2
l
ga 





+= 
g2 = 52 – 32 
g = 4 cm 
● g2 = h2 + m2 
h2 = 16 – 3 
h = 13 cm 
Logo, a altura da pirâmide mede 13 cm. 
Como a pirâmide é regular, a sua base é um triângulo equilátero e, portanto: 
Ab = 
4
362
 
39Ab = cm2 
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Logo: 
Al = 3 . (área do triângulo) 
Al = 3 . 




 
2
gl
 
Geometria Espacial 
22 
 
Al = 
2
463 
 
Al = 36 cm2 
E a área total é dada por: 
At = Al + Ab 
At = 36 + 9 3 
At = 9 (4 + 3 ) cm2 
Volume de uma pirâmide 
Para obtermos o volume de uma pirâmide qualquer, vamos primeiramente calcular o 
volume de uma pirâmide triangular. E, para isso, usaremos o seguinte teorema: 
“Pirâmides com áreas das bases iguais e que têm mesma altura, possuem o mesmo 
volume”. Consideremos então, o prisma triangular abaixo de volume V que foi 
decomposto em três pirâmides triangulares de mesma área da base e mesma altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo resolvido: Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular que tem 
aresta da base 2 cm e aresta lateral 10 cm. 
Resolução: 
Como já vimos: 
Ab = 
2
323
2
3l3 22 
= = 6 3 cm2 
m = 
2
3l
= 
2
32
 = 3 cm 
 a2 = g2 + 
2
2
l






 
g2 = 10 – 1 = 9 
g = 3 cm 
Geometria Espacial 
23 
 
 
g2 = h2 + m2 
h2 = 9 – 3 = 6 
h = 6 cm 
Logo, o volume da pirâmide é: 
V = 
3
1
Ab . h 
V = 636
3
1
 
V = 6 2 cm3 
Sólidos de Arquimedes ou poliedros semirregulares 
Definição: São poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de 
um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, ou seja, existe o mesmo arranjo 
de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser 
transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existe na literatura treze 
poliedros arquimedianos. Um deles é obtido a partir de um cubo, retirando-se de 
cada vértice uma pirâmide triangular regular, de modo que todas as arestas do 
sólido remanescente tenham a mesma medida, observe a sequência de sólidos na 
figura a seguir. 
 
Outro desses poliedros é obtido a partir de um icosaedro regular, retirando de cada 
vértice uma pirâmide regular pentagonal, cujas arestas laterais medem 1/3 da aresta 
do icosaedro. Observe: 
 
 
Poliedro arquimediano com 14 
faces: 6 octogonais e 8 triangulares Cubo 
Icosaedro 
Poliedro arquimediano com 32 faces: 
12 pentagonais e 20 hexagonais 
Geometria Espacial 
24 
 
Esse poliedro arquimediano teve um papel de destaque no século 20 (1970), 
utilizou-se pela primeira vez uma bola de futebol construída com base nesse 
poliedro; em 1985 foi descoberta uma nova forma de carbono, o 
buckminsterfullereno, cujos 60 átomos localizam-se nos vértices desse poliedro 
arquimediano e suas arestas representam as ligações químicas. 
 
3. Considerações finais 
Na presente unidade de estudo você teve a oportunidade de saber mais sobre os 
poliedros (propriedades e definições). Por meio de exemplos resolvidos e 
comentados, você pôde observar todos os procedimentos (passo a passo) para o 
cálculo da área total e o volume de primas e pirâmides. 
É recomendável que, além da observação das resoluções, você refaça cada 
exemplo, procurando detalhar todas as etapas de resolução.Por fim, para o cálculo 
da área e do volume, utilizamos muitos conceitos da geometria plana; por essa 
razão, recomenda-se que, no caso de dúvida, revisite esses conceitos, 
especialmente aqueles referentes ao cálculo de área de polígonos. 
 
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CATRUCCI, B. Geometria: curso moderno. Vol. 3. 3. ed. Disponível em: 
http://www2.unifesp.br/centros/ghemat/DVD_s/HISTORIA/LIVROS_DIDATICOS/196
SAIBA MAIS: você pode acessar o link para saber mais sobre sólidos 
semirregulares ou arquimedianos. Você ainda poderá observar animações com 
tais poliedros. Acesse: 
 http://www.es.iff.edu.br/poliedros/animacoes_arquimedianos.html 
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf
http://www.es.iff.edu.br/poliedros/animacoes_arquimedianos.html
Geometria Espacial 
25 
 
4__1980/1964__1980_15.pdf. Acesso em: 23 ago. 2019. 
 
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. volume 10: 
Geometria Espacial: posição e métrica. São Paulo: Atual, 2000. 
 
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	Áreas da superfície de um prisma