Apostila 2º ensino medio Matriz e função

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PROFESSORA SUELE KASNODZEI - MATEMATICA 2ªSERIE –ENSINO MEDIO 
2020 
NOME 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
A geometria espacial é a área da matemática que estuda as figuras espaciais, ou 
seja, as figuras dispostas no espaço. 
Figuras espaciais são figuras com três dimensões: comprimento, largura e altura. 
É na geometria espacial que estudamos o conceito de volume, que é a medida de 
capacidade dos sólidos geométricos. Estes sólidos são limitados por planos que 
formam as suas superfícies. 
Conceitos Básicos da Geometria 
Os sólidos geométricos ou figuras espaciais são formadas por elementos da 
geometria que não precisam ser demonstrados ou provados, e portanto são 
chamados de axiomas. 
Assim, para começar a entender algumas das figuras geométricas espaciais, 
precisamos entender esses conceitos básicos: 
• Ponto: o ponto é um elemento na geometria que não possui dimensão, é 
definido como alguma coisa que não possui partes. O ponto é importante 
pois os planos, retas, e todos os sólidos geométricos são formados por um 
conjunto de pontos reunidos; 
• Reta: as retas são pontos alinhados infinitamente, possuindo apenas 
comprimento. As retas são representadas por letras minúsculas do 
alfabeto; 
Linha: a linha é diferente do conceito de retas. 
Apesar de ser formada por pontos, a linha pode ser 
curva ou não. Por exemplo, a circunferência é 
formada por uma linha curva; 
• Vértice: o vértice é um ponto que define o 
encontro de segmentos de retas que formam os 
lados dos sólidos geométricos; 
• Plano: planos são regiões infinitas bidimensionais 
(duas dimensões). 
ATIVIDADES 
1. Escreva com suas palavras oque você entendeu por Geometria Espacial: 
 
 
2. conceitue Reta, e de um modelo: 
 
 
3. Marque a INCORRETA nas alternativas abaixo: 
(a) O ponto é importante pois os planos, retas, e todos os sólidos geométricos são 
formados por um conjunto de pontos reunidos 
(b) É na geometria espacial que estudamos o conceito de volume, que é a medida 
de capacidade dos sólidos geométricos 
(c) o vértice é um ponto que define o encontro de segmentos de retas que formam 
os lados dos sólidos geométricos 
(d) as retas são pontos alinhados infinitamente, possuindo apenas comprimento 
(e) Apesar de ser formada por pontos, a linha não pode ser curva não. 
 
4. Relacione: 
(a) Ponto ( ) é diferente do conceito de retas 
(B)Reta ( ) é um ponto que define o encontro 
(C) Linha ( ) elemento que não possui dimensão 
(D) Vertice ( ) são pontos alinhados infinitamente 
( E) Plano ( ) são regiões infinitas bidimensionais 
 
Figuras Geométricas Espaciais 
A geometria espacial estuda diversos sólidos geométricos, entre as principais 
temos: cilindro, cubo, cone, esfera, paralelepípedo e a pirâmide. 
As figuras geométrica espaciais são chamadas 
de poliedros, que são figuras geométricas 
tridimensionais, e possuem largura, comprimento e 
altura. 
Cilindro 
O cilindro é um poliedro com duas bases circulares 
e congruentes. Além disso, os lados tem formato 
circular. 
Entre os principais elementos do cilindro, temos: 
• Base: duas bases com formato circular e 
paralelas entre si; 
• Raio: as bases são círculos que possuem 
uma medida do centro até a extremidade, chamada 
de raio; 
• Geratriz: as geratrizes são segmentos de retas que formam o lado do 
cilindro; 
• Diretriz: a diretriz é o ponto na base da geratriz que indica a direção da 
geratriz. 
https://matematicabasica.net/retas/
https://matematicabasica.net/circunferencia/
https://matematicabasica.net/segmento-de-reta/
https://matematicabasica.net/segmento-de-reta/
https://matematicabasica.net/retas/
https://matematicabasica.net/poliedro/
https://matematicabasica.net/cilindro/
Cubo 
O cubo é um hexaedro regular, ou seja, possuem 6 faces com as mesmas medidas, 
tanto para área, ângulos e quantidade de arestas. 
O cubo é formado pelos seguintes elementos: 
• Arestas: possui 12 arestas congruentes; 
• Faces: possui 6 faces quadrangulares; 
• Diagonais: possui 4 diagonais internamente no cubo; 
• Vértices: possui 8 vértices; 
• Ângulos: possui 24 ângulos retos. 
Cone 
O cone é outro sólido geométrico bem popular, que tem o formato de uma 
pirâmide. 
 
O cone possui os seguintes elementos na sua formação: 
• Raio da base: a base é um círculo que possui um raio; 
• Geratriz: segmentos de retas que formam os lados do 
cone; 
• Vértice: ponto que não pertence ao plano da base; 
 
 
Esfera 
A esfera é uma figura geométrica espacial que é limitada por uma superfície 
esférica. A superfície da esfera é formado por um conjunto de pontos que ficam a 
uma distância do centro por uma medida que é chamada de raio. 
A esfera possui algumas partes importantes chamadas 
de partes da esfera: 
• Superfície Esférica: é a região superficial da 
esfera; 
• Cunha Esférica: a cunha é uma região entre dois 
semicírculos; 
• Fuso Esférico: o fuso é uma parte da esfera obtida 
pelo giro de uma semicircunferência a um certo ângulo; 
• Calota Esférica: a calota esférica é uma parte da 
esfera cortada por um plano perpendicular ao eixo de 
rotação; 
• Polos: os polos são pontos nas extremidades do eixo de rotação da esfera; 
• Paralelo: é uma circunferência perpendicular ao eixo de rotação da esfera; 
• Meridiano: é uma circunferência na superfície na mesma direção do eixo 
de rotação da esfera. 
 
 
Paralelepípedo 
O paralelepípedo é um poliedro formado por paralelogramos. Suas faces opostas 
são paralelas, com ângulos retos. 
O paralelepípedo possui os seguintes elementos na sua 
formação: 
• Faces: possui 6 faces; 
• Vértices: possui 8 vértices; 
• Arestas: possui 12 arestas. 
 
Pirâmide 
É um poliedro com base poligonal e os lados são formadas por polígonos 
triangulares, unidas num vértice que não pertence ao plano da base. 
A pirâmide é formada pelos seguintes elementos: 
• Arestas laterais: segmentos de retas da base até o vértice; 
• Faces laterais: formadas por triângulos; 
• Arestas da base: segmentos de retas ligando os vértices; 
• Altura da pirâmide: definida pelo vértice; 
• Apótema da pirâmide: altura da face da pirâmide. 
 
ATIVIDADES - continuação 
5. com base no texto acima vamos preencher oque se pede nas figuras abaixo: 
a) 
 
 
 
 
https://matematicabasica.net/cubo/
https://matematicabasica.net/esfera/
https://matematicabasica.net/paralelogramo/
https://matematicabasica.net/triangulo/
b) 
 6. observe as imagens a seguir e depois responda: 
NOME IMAGEM VERTCE ARESTA FACES 
 
 
 
a. Determine o número de faces de um poliedro convexo de 12 vértices, cujo 
número de arestas é o dobro do número de faces. 
__________________________________________________________________. 
b. Determine o número de vértices de um poliedro convexo de 9 faces, das quais 4 
são triangulares e 5 são quadrangulares. 
__________________________________________________________________. 
c. Determine o número de faces de um poliedro convexo de 6 vértices, sabendo 
que de cada vértice partem 4 arestas.___________________________________. 
 
7. Lembrando que qualquer dúvida é só voltar ao inicio do conteúdo. Responda à 
perguntas no espaço entre parênteses usando (P) para ponto, (R) para reta e (S) 
para plano. 
a) ( ) Olhando para o mapa do seu estado, você identifica a cidade onde você mora. 
Qual é a idéia que você tem dessa representação? 
 b) ( ) Lendo uma página do livro de matemática, qual é a idéia que uma folha este 
livro lhe traz? 
c) ( ) Assistindo a um jogo de futebol, você observa a linha divisória do campo. Qual 
é a idéia que esta linha divisória lhe dá? 
 d) ( ) Quando você olha o vidro colocado em uma janela, qual a idéia que este 
vidro lhe dá? 
e) ( ) Você está vendo um palito de churrasco. Que idéia esse palito lhe traz? 
 
O que são poliedros de Platão? 
O QUE É? 
Os poliedros de Platão são aqueles que possuem características em comum, como é 
o caso do tetraedro, hexaedro, octaedro,dodecaedro e icosaedro. 
Os poliedros são sólidos geométricos cujos lados, chamados de faces, são formados 
por polígonos. Limitando as faces, temos as arestas e, no encontro destas, há a 
ocorrência dos vértices. Se um poliedro obedecer às seguintes classificações, ele 
será chamado de poliedro convexo: 
a) duas faces distintas que não pertencem ao mesmo plano; 
b) cada aresta pertence apenas a duas faces; 
c) as faces são formadas por polígonos planos; 
d) o plano de cada face deixa o sólido todo em um semiespaço. 
Mas existe uma classificação especial de poliedros chamada de poliedros de Platão 
ou sólidos de Platão. Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o 
poliedro obedeça às seguintes disposições: 
a) todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas; 
b) todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas; 
c) a Relação de Euler deve valer: V – A + F = 2, em que V é o número de 
vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces. 
Mapa Mental: Poliedros de Platão 
 
Um poliedro convexo é dito um poliedro regular apenas 
se for um poliedro de Platão e também se todas as suas 
faces forem formadas por polígonos regulares idênticos. 
Portanto, podemos dizer que um poliedro regular é um 
poliedro de Platão, mas não vale a recíproca. 
Só existem cinco tipos de sólidos geométricos que podem 
ser classificados como poliedros de Platão, são eles: 
o tetraedro, o octaedro e o icosaedro regulares → possuem faces triangulares; 
 
O tetraedro, o octaedro e o icosaedro são poliedros de Platão com faces triangulares 
o hexaedro regular → poliedro com faces quadradas; 
 
O hexaedro é o único poliedro de Platão com faces quadradas 
 
o dodecaedro regular→ poliedro com faces pentagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-euler.htm
O dodecaedro é o único poliedro de Platão com faces pentagonais 
Conta-se que Platão, que, além de matemático, era também filósofo, relacionava 
esses sólidos geométricos com a construção do Universo, associando o tetraedro ao 
fogo, o cubo a terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao Cosmos. 
Platão acreditava que foi a partir da combinação desses elementos que o Universo 
foi feito. 
Relação entre os poliedros de Platão e os elementos que teriam constituído o 
Universo, segundo esse filósofo. Existem apenas cinco tipos de poliedros que podem 
ser classificados como poliedros de Platão 
 
Relação de Euler 
 
A relação de Euler é usada para relacionar o número de faces, vértices e arestas de 
poliedros convexos. Assim, ela 
pode facilitar a contagem 
desses elementos. 
A relação criada pelo 
matemático suíço Leonhard 
Euler possui extrema 
importância na determinação 
do número de arestas, vértices e 
faces de qualquer poliedro 
convexo e de alguns não 
convexos. Dessa forma, essa 
relação permite que os cálculos 
sejam realizados no intuito de 
indicar o número de 
elementos de um poliedro. A 
fórmula criada por Euler é a 
seguinte: 
V – A + F = 2 
Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número 
de faces. 
1º Exemplo: 
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. 
Resolução: 
V – A + F = 2 
6 – 10 + F = 2 
–4 + F = 2 
F = 4 + 2 
F = 6 
O sólido possui, portanto, 6 faces. 
2º Exemplo: 
Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: 
 
Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 
8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar 
esses elementos da pirâmide de base quadrangular. 
Resolução: 
Vértices 
V – A + F = 2 
V – 8 + 5 = 2 
V = 2 + 3 
V = 5 
Arestas 
V – A + F = 2 
5 – A + 5 = 2 
–A = 2 – 10 
–A = –8 x(–1) 
A = 8 
Faces 
V – A + F = 2 
5 – 8 + F = 2 
–3 + F = 2 
F = 2 + 3 
F = 5 
Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação 
dos elementos de um sólido convexo. 
AGORA VENDO OS EXEMPLOS 1 E 2 FAÇA O EXERCICIO 08, VOU TE 
AJUDAR NESSE COM O PASSO A PASSO, FIQUE LIGADO!!! 
 
08.O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de 
vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro. 
Resolução: 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-poliedro.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-poliedro.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-poliedros-platao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-poliedros-platao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-piramide.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-euler.htm
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos 
representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. 
TEREMOS QUE APLICAR ( a relação de Euler): 
V – A + F = 2 
x – 22 + x = 2 
2x = 2 + 22 CONTINUE VOCÊ CONSEGUE, SOME OS NUMEROS... 
2x = _____ 
x = _______(AQUI LEMBRA DO 2X LÁ ENTÃO ELE ESTA 
MULTIPLICANDO, ELE VAI DESCER DIVIDINDO O RESULTADO DA 
TUA SOMA( AQUELA CONTINHA COM CHAVE, LEMBRA)) 
 
Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a ________. 
 
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÃO DE EULER 
 
QUESTÃO 11 Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice 
se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 
LEMBRE-SE SEMPRE QUE Temos QUE o número de vértices é igual a 20 → V = 20 
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir 
por dois o número total de arestas. CONTINUE: 
1º PRIMEIRO MULTIPLICA 5X20____ 
2º SEGUNGO DEPOIS DE ENCONTRAR O RESULTADO 
DIVIDE POR 2 
A= 
De acordo com a relação de Euler, temos que: 
F + V = A + 2 
F + 20 = 50 + 2 (FAÇA O CÁLCULO) 
F = 
F = 
O poliedro em questão possui _____ faces. 
 
QUESTÃO 12 Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 
2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de 
vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 
 
(APENAS TERMINE A SUBTRAÇÃO QUE ESTA FALTANDO( DE TIRAR) 
E COMPLETE AS INFORMAÇÕES ABAIXO) 
V: vértice 
A: arestas 
F: faces 
 
F = V – 3 
F = 10 – 3 
F = ________ 
O poliedro possui __faces, ____ arestas e _____ vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 13 Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de 
Hexaedro? 
R: O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter faces quadrangulares. 
DEIXAREI EXPOSTO PARA QUE FIQUE MAIS CLARO, PORÉM SE 
HOUVER DUVIDAR VOLTAR NA APOSTILA QUE O TEXTO FALA E 
EXPLICA CERTO. 
 
Faces: ________ 
Vértices: ______ 
Arestas: _______ 
 
QUESTÃO 14 (FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o 
número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 
 
* F + V = A + 2 
* A = V + 6 
F + V = V + 6 + 2 
F + V – V = ___ 
F = ________ 
O poliedro possui _______ faces. 
 
QUESTÃO 15 (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas 
é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 
Arestas (A) = 22 
Faces (F) = Vértices (V) 
Pela relação de Euler, temos: 
F + V = A + 2 
No problema sugerido temos que F = V, portanto: 
V + V = 22 + 2 
2V = 24 
V = 24/2 ( SÓ DIVIDIR O 24 POR 2 QUE ENCONTRA O RESULTADO) 
V = _____________ 
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro 
possui __________ faces. 
 
QUESTÃO 16. Diferencie Poliedro Regular de Poliedro Convexo: 
 
 
 
 
QUESTÃO 17. Quem foi o criador da relação de Euler? E para que finalidade foi 
criada? 
 
 
 
 
QUESTÃO 18. Fale um pouco sobre os Poliedros de Platão:REFERENCIAS: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-euler.htm em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-euler.htm. Acesso em 26 de 
maio de 2020. 
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "O que são poliedros de Platão?"; Brasil Escola. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-
poliedros-platao.htm. Acesso em 26 de maio de 2020. 
https://matematicabasica.net/geometria-espacial/ 
http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidia-
professor/matematica/novaeja/m3u01/25_Folha_Atividades_EXERCICIOS_COM
PLEMENTARES.pdf 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-euler.htm
https://matematicabasica.net/geometria-espacial/
http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidia-professor/matematica/novaeja/m3u01/25_Folha_Atividades_EXERCICIOS_COMPLEMENTARES.pdf
http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidia-professor/matematica/novaeja/m3u01/25_Folha_Atividades_EXERCICIOS_COMPLEMENTARES.pdf
http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidia-professor/matematica/novaeja/m3u01/25_Folha_Atividades_EXERCICIOS_COMPLEMENTARES.pdf