Cap 4 ex

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ET720 - Sistemas de energia ele´trica I
Cap´ıtulo 4 – Transformador de poteˆncia
Exerc´ıcios
4.1 Um transformador monofa´sico de dois enrolamentos apresenta os seguintes valores nominais: 20 kVA, 480/120 V, 60 Hz.
Em um ensaio de curto-circuito, onde a corrente nominal e´ aplicada ao enrolamento de 480 V (chamado aqui de prima´rio)
com o enrolamento de 120 V (chamado aqui de secunda´rio) curto-circuitado, as seguintes grandezas foram medidas:
V1 = 35 V, P1 = 300 W. Em um ensaio de circuito aberto, onde tensa˜o nominal e´ aplicada no secunda´rio com o prima´rio
em aberto, foram obtidos: I2 = 12 A, P2 = 200 W.
(a) Do ensaio de curto circuito, determine a impedaˆncia se´rie equivalente referida ao enrolamento prima´rio.
(b) Do ensaio de circuito aberto, determine a admitaˆncia shunt equivalente referida ao enrolamento prima´rio.
(c) Calcule a tensa˜o, a poteˆncia aparente e o fator de poteˆncia no enrolamento prima´rio no caso de uma carga resistiva
de 120 V, 20 kVA ser conectada ao enrolamento secunda´rio.
(d) Repita o item (c) desprezando a admitaˆncia shunt e avalie o erro resultante.
4.2 Um transformador monofa´sico possui as seguintes caracter´ısticas:
N1 = 100 - nu´mero de espiras do enrolamento prima´rio
N2 = 300 - nu´mero de espiras do enrolamento secunda´rio
Rc = 2088Ω - resisteˆncia de perdas no nu´cleo
Xm = 988Ω - reataˆncia de magnetizac¸a˜o
ZT = 0,075 + j 0,45Ω - impedaˆncia se´rie total
(*) Rc e j Xm esta˜o em paralelo
(**) resisteˆncias, reataˆncias e impedaˆncia referidos ao prima´rio (lado de baixa tensa˜o)
Um gerador de 3 kV, 60 Hz e´ conectado ao enrolamento prima´rio para alimentar uma carga de impedaˆncia igual a Zc =
100+ j 30 Ω conectada ao enrolamento secunda´rio. Obtenha a corrente no prima´rio, a corrente no secunda´rio e a eficieˆncia
do transformador, dada por η =
(
Psecundario/Pprimario
)
· 100%, usando:
(a) o modelo de transformador ideal.
(b) o modelo de transformador real. Verifique as diferenc¸as em relac¸a˜o ao item (a).
4.3 Considere o circuito monofa´sico mostrado a seguir.
G
Vs
T1 LT T2∼ C
– 1 –
Os dados relativos ao circuito sa˜o os seguintes:
Gerador (G) Vs = 220 V
Transformador (T1) 30 kVA, 240/480 V, x1 = 0,1 pu
Linha de transmissa˜o (LT) XL = 2 Ω
Transformador (T2) 20 kVA, 460/115 V, x2 = 0,1 pu
Carga (C) Zc = 0,9 + j 0,2 Ω
As resisteˆncias e admitaˆncias shunt dos transformadores sa˜o desprezadas. Utilize uma base de 30 kVA e 240 V para o
gerador.
(a) Obtenha o circuito em por unidade.
(b) Calcule as correntes no gerador e na carga em pu e em Ampe`res.
(c) Calcule as poteˆncias ativa e reativa fornecidas pelo gerador e consumidas pela carga.
(d) Calcule as perdas de poteˆncia ativa e reativa na linha.
4.4 Os dados nominais de um transformador trifa´sico de treˆs enrolamentos sa˜o:
Enrolamento 1 300MVA 13,8 kV
Enrolamento 2 300MVA 199,2 kV
Enrolamento 3 50MVA 19,92 kV
Atrave´s de ensaios de curto-circuito as seguintes reataˆncias foram obtidas1:
x12 = 0,10 pu (calculada na base 300MVA/13,8 kV)
x13 = 0,16 pu (calculada na base 50MVA/13,8 kV)
x23 = 0,14 pu (calculada na base 50MVA/199,2 kV)
As resisteˆncias referentes a perdas cobre e a corrente de excitac¸a˜o sa˜o desprezadas.
(a) Deduza as equac¸o˜es das reataˆncias do circuito equivalente a partir das reataˆncias dos ensaios de curto-circuito.
(b) Calcule as reataˆncias do circuito equivalente do transformador utilizando os valores de base 300 MVA e 13,8 kV para
o enrolamento 1.
(c) Uma das reataˆncias do circuito equivalente calculada no item (b) apresenta sinal negativo. Explique o resultado.
4.5 Um transformador trifa´sico de treˆs enrolamentos apresenta as seguintes caracter´ısticas:
Tensa˜o Poteˆncia
Enrolamento Ligac¸a˜o nominal (kV) nominal (MVA)
prima´rio Y 14,85 15
secunda´rio Y 66 15
tercia´rio ∆ 4,8 5,25
1A reataˆncia xkm indica que o ensaio foi realizado aplicando corrente nominal no enrolamento k com o enrolamento m curto-circuitado.
– 2 –
Foram realizados os ensaios para a determinac¸a˜o dos paraˆmetros do circuito equivalente do transformador, resultando nos
seguintes valores:
Impedaˆncia Enrolamento Poteˆncia
medida no curto- Enrolamento Impedaˆncia de base
Medic¸a˜o enrolamento circuitado aberto (%) (MVA)
z12 prim. sec. terc. 6,9 15
z13 prim. terc. sec. 5,6 5,25
z23 sec. terc. prim. 3,8 5,25
(a) Calcule os paraˆmetros do circuito equivalente z1, z2 e z3.
(b) Um gerador foi conectado ao enrolamento prima´rio para a alimentac¸a˜o de cargas nos enrolamentos secunda´rio e
tercia´rio. As seguintes medidas foram realizadas:
V3 = 4,80 kV P3 = 5,25 MW Q3 = 0
P2 = 8 MW Q2 = 6 Mvar
Obtenha as tenso˜es nos enrolamentos prima´rio e secunda´rio.
(c) Para as mesmas condic¸o˜es do item (b), calcule o carregamento no enrolamento prima´rio e o fator de poteˆncia visto
pelo gerador.
4.6 Considere o diagrama unifilar de um sistema trifa´sico mostrado a seguir.
100 MVA
∼
20 kV
T1
4 + j 22 Ω/fase
2,2 + j 11 Ω/fase
10 + j 50 Ω/fase
T2
T3
2 + j 5 Ω/fase
0,5− j 0,2 Ω/fase
Dados nominais dos transformadores
T1 T2 T3
Y-∆ ∆-Y ∆-Y
110 MVA 70 MVA 40 MVA
22/220 kV 230/11,8 kV 220/10 kV
x1 = 8% x2 = 10% x3 = 10%
Obtenha o circuito em por unidade. Considere os valores de base 100 MVA e 20 kV para o gerador. As poteˆncias dadas
sa˜o trifa´sicas e as tenso˜es sa˜o de linha.
4.7 Um barramento infinito alimenta, por meio de um transformador e de uma linha de transmissa˜o, uma carga indutiva
monofa´sica que consome 50 MVA, 40 MW quando alimentada por uma tensa˜o de 62,8 kV, 60 Hz. Sabe-se ainda que:
• a tensa˜o no barramento infinito e´ de 220 kV;
– 3 –
• o transformador monofa´sico de 100 MVA, 220/69 kV, x = 8% tem um comutador de tap no enrolamento de baixa
tensa˜o que permite um ajuste de ±10% em 20 posic¸o˜es;
• a impedaˆncia da linha de transmissa˜o e´ de 0,04 + j 0,06 pu na base 69 kV, 100 MVA.
Ajuste a posic¸a˜o do tap do transformador tal que a tensa˜o na carga seja a mais pro´xima poss´ıvel de 69 kV.
4.8 Considere o diagrama unifilar do circuito trifa´sico, 60 Hz, mostrado a seguir.
∼
1 2 3 4
T1 T2
LT
Y-∆ ∆-Y
Os transformadores T1 e T2 sa˜o bancos trifa´sicos e os dados de placa dos transformadores monofa´sicos que os compo˜em
sa˜o:
Para T1 Para T2
19,92/345 kV 345/39,84 kV
X = 40Ω (lado BT) X = 120Ω (lado AT)
A linha de transmissa˜o tem 50 km de comprimento e paraˆmetros RL = 0,22 Ω/km e LL = 6,5 mH/km. A capacitaˆncia
da linha e´ desprez´ıvel. Obtenha o circuito equivalente em por unidade visto pela barra 4, utilizando um valor de base de
poteˆncia trifa´sica de 100MVA.
4.9 Considere o circuito trifa´sico mostrado na figura a seguir.
x
∼
T1
Y-∆ 2 + j 10 Ω/fase
2 + j 10 Ω/fase
T2
∆-Y
Z2 = 1 + j 0,2 Ω/fase
Z1 = 2000 Ω/fase
Dados nominais dos
transformadores trifa´sicos
T1 T2
100 MVA 60 MVA
12/220 kV 220/10 kV
x1 = 6% x2 = 8%
(a) Determine o circuito equivalente por fase em por unidade usando como base 100MVA e 12 kV para o gerador.
Despreze a corrente de excitac¸a˜o dos transformadores e as capacitaˆncias das linhas de transmissa˜o.
(b) Sabendo-se que a tensa˜o na carga do lado de baixa tensa˜o do transformador T2 e´ de 8 kV, calcule:
• a tensa˜o em kV nos terminais do gerador (mo´dulo e fase);
• as poteˆncias ativa e reativa em MW/Mvar fornecidas pelo gerador;
• o fator de poteˆncia visto pelo gerador.
– 4 –
4.10 Considere a rede trifa´sica mostrada a seguir.
∼
G
11 kV 60 kV
T1
T2
CB1
CB2
CB3 C
A B
Os transformadores T1 e T2 sa˜o de 50MVA, 11/60 kV, Y-Y, e suas reataˆncias sa˜o iguais a 6%. Eles operam em paralelo,
inicialmente com os taps nas posic¸o˜es nominais, transformando poteˆncia entre uma barra geradora de 11 kV e uma barra
de 60 kVde uma subestac¸a˜o que alimenta uma carga total C de 80MW e 60Mvar. A tensa˜o na barra da subestac¸a˜o e´ de
60 kV. A rede dispo˜e ainda de treˆs disjuntores2, CB1, CB2 e CB3.
(a) Para os treˆs disjuntores fechados, calcule os carregamentos dos transformadores (poteˆncia aparente no prima´rio), a
poteˆncia fornecida pelo gerador e as perdas de poteˆncia reativa em cada transformador.
(b) Repita o item (a) apo´s o disjuntor CB3 ser aberto.
4.11 O transformador T2 do exerc´ıcio 4.10 precisa passar por manutenc¸a˜o preventiva, e para isso devera´ ser retirado de
operac¸a˜o. A empresa possui um u´nico transformador (T3) em condic¸o˜es de substitu´ı-lo, de 50MVA, 11/60 kV, Y-Y, e
reataˆncia de 8%. Em func¸a˜o do valor diferente da reataˆncia de T3, foi solicitado um estudo de viabilidade da substituic¸a˜o
do transformador.
(a) Repita o item (a) do exerc´ıcio 4.10 , considerando que T3 tem o tap na posic¸a˜o nominal. Verifique que a conexa˜o
de T3 resultara´ em maior sobrecarga de T1 (que tem a menor reataˆncia de dispersa˜o).
(b) As relac¸o˜es de transformac¸a˜o de ambos os transformadores podem variar de 95% a 105% do valor nominal em
passos discretos de 0,5%, atrave´s do comutador de tap localizado no lado de alta tensa˜o. Suponha que a relac¸a˜o
de transformac¸a˜o de T1 seja aumentada de 3,5% (1 : 0,965). Repita o item (a) para a nova situac¸a˜o de operac¸a˜o,
que pode ser representada pelo circuito a seguir3. Verifique que ha´ um maior equil´ıbrio entre os carregamentos neste
caso.
∼
G
vg vx
j x1
j x3
ii
i1 i
′
1
i3
vc
sc
1 : α
(c) Repetir o item (b) apo´s a abertura de CB3 (carga e´ desconectada), considerando que se mantenha a tensa˜o na
carga em 60 kV. Verifique que agora ha´ corrente circulando pelos transformadores, e consequentemente, ha´ perdas
de poteˆncia reativa.
2Em ingleˆs Circuit Breaker.
3Foi inclu´ıda uma barra fict´ıcia com tensa˜o vx entre o transformador e a reataˆncia, que podera´ ser usada para facilitar o equacionamento do problema.
– 5 –
(d) E´ poss´ıvel resolver os problemas dos itens (b) (ramos na˜o ideˆnticos em paralelo com carga, tap fora do nominal) e (c)
(ramos na˜o ideˆnticos em paralelo sem carga, tap fora do nominal) de maneira simplificada, aproveitando os resultados
obtidos no item (a) (ramos na˜o ideˆnticos em paralelo com carga, tap na posic¸a˜o nominal). Siga o procedimento
descrito a seguir.
(d.1) Com os disjuntores CB2 e CB3 abertos e CB1 fechado, calcule a tensa˜o vAB medida sobre CB2. Lembrar que a
tensa˜o na barra da subestac¸a˜o deve ser mantida em 60 kV.
(d.2) Pode-se mostrar (teorema de The´venin) que, ao se fechar CB2, uma corrente ic = ∆v/zloop passara´ por ele e
circulara´ pelos transformadores. ∆v e´ a tensa˜o sobre CB2 calculada no item ()(d.1) e zloop e´ a impedaˆncia do
circuito vista dos terminais de CB2. Calcule ic e compare com as correntes nos transformadores obtidas no item
(c).
(d.3) Fechando-se o disjuntor CB3, corrente sera´ fornecida a` carga. Usando o teorema da superposic¸a˜o, calcule as
novas correntes nos transformadores levando em conta a presenc¸a da corrente de circulac¸a˜o ic e das correntes
pelos transformadores quando os taps esta˜o na posic¸a˜o nominal. Verifique que as correntes nos transformadores
sa˜o mais pro´ximas de 1 pu que as calculadas no item (a). Compare-as com as correntes obtidas pelo me´todo
completo do item (b).
(d.4) Calcule os carregamentos dos transformadores na nova situac¸a˜o. Compare os resultados obtidos com os do item
(b).
(e) Repita o item (b) utilizando o me´todo simplificado do item (d) para as seguintes alterac¸o˜es dos taps: aumento de
2% em T1 e reduc¸a˜o de 1,5% em T2. Compare os resultados e verifique que, apesar de ∆v e ic serem praticamente
os mesmos, a tensa˜o na barra de gerac¸a˜o agora pode ser ajustada em um valor menor que no item (b).
(f) Como as impedaˆncias dos transformadores sa˜o puramente reativas, a corrente de circulac¸a˜o estara´ sempre defasada de
90◦ (atrasada ou adiantada, dependendo das relac¸o˜es de transformac¸a˜o adotadas) em relac¸a˜o a` tensa˜o de refereˆncia.
Portanto, pode-se controlar somente a componente reativa das correntes dos transformadores. Isto equivale a dizer
que so´ se pode controlar os fluxos de poteˆncia reativa. Explique como se poderia controlar tambe´m os fluxos de
poteˆncia ativa.
4.12 Duas barras a e b sa˜o conectadas atrave´s de dois transformadores de reataˆncias x1 = 0,1 e x2 = 0,2 por unidade, e posic¸o˜es
dos taps a1 e a2, como mostra a figura a seguir.
a b
j x1
j x2
1 : a1
1 : a2
i
T1
T2
A barra b e´ uma barra de carga, e fornece uma corrente i de 1,0 pu. A sua tensa˜o e´ mantida constante igual a 1,0 pu e
o fator de poteˆncia e´ de 86,6% atrasado. Inicialmente os taps dos transformadores esta˜o em suas posic¸o˜es nominais, ou
seja, a1 = a2 = 1.
– 6 –
(a) Determine a tensa˜o no barramento a.
(b) Determine a poteˆncia fornecida pelo barramento a e as perdas de poteˆncia nos transformadores.
(c) A posic¸a˜o do tap do transformador T2 e´ alterada no sentido de aumentar a tensa˜o no lado da carga em 3% (a2 = 1,03).
Como a tensa˜o na barra b e´ mantida constante, espera-se que a tensa˜o na barra a diminua. Calcule a poteˆncia fornecida
pela barra a e verifique que ha´ alterac¸o˜es significativas nas poteˆncias reativas pelos transformadores. (Sugesta˜o: utilize
o procedimento simplificado baseado no ca´lculo da corrente de circulac¸a˜o apresentado no exerc´ıcio 4.11 .)
(d) Repita o item (c) considerando que T2 seja um transformador defasador, e que a posic¸a˜o do seu tap seja ajustada de
forma a avanc¸ar a fase da barra de carga em 2◦, ou seja, a2 = e
j pi/90. Verifique agora que as alterac¸o˜es significativas
ocorrem nas poteˆncias ativas.
4.13 Dois transformadores T1 e T2 operam em paralelo. Suas reataˆncias sa˜o iguais a 0,10 e 0,14 pu (base de 100 MVA),
respectivamente. T2 possui tap varia´vel, estando inicialmente na posic¸a˜o nominal. A posic¸a˜o do tap de T2 pode variar de
0,9 a 1,1, em passos de 0,01. Uma carga de 1,0 pu, fator de poteˆncia 0,8 atrasado, esta´ conectada ao barramento de
carga, cuja tensa˜o e´ mantida constante em 1,0 pu.
(a) Calcule a poteˆncia fornecida pelo barramento fonte.
(b) Deseja-se fazer com que o fluxo de poteˆncia reativa pelo transformador T2 diminua de 12 Mvar, fluxo esse que sera´
assumido por T1. Obtenha a posic¸a˜o do tap de T2 a ser ajustada de forma a atender o objetivo.
4.14 Para fins de medic¸a˜o e protec¸a˜o utiliza-se transformadores de corrente (TC) e de potencial (TP) ligados ao barramento
da alta tensa˜o, como mostra a figura a seguir.
corrente alta
tensa˜o alta
A V
TC
TPmedic¸a˜o de
corrente
medic¸a˜o de
tensa˜o
(a) Se a relac¸a˜o de transformac¸a˜o e´ definida como a = Nat/Nm, em que os ı´ndices at e m indicam respectivamente os
lados de alta tensa˜o e medic¸a˜o, por que se tem normalmente a ≫ 1 para o TP e a ≪ 1 para o TC?
(b) Por que deve-se conectar ao secunda´rio de um TC uma impedaˆncia ta˜o pequena quanto poss´ıvel e de um TP uma
ta˜o grande quanto poss´ıvel? Sugesta˜o: fac¸a a ana´lise baseada no circuito equivalente do transformador.
(c) Se um TC for acidentalmente colocado em vazio, o equipamento podera´ ser danificado devido a perdas excessivas no
nu´cleo. Se um TP for curto-circuitado, ele podera´ ser danificado devido a perdas excessivas no cobre. Justifique as
duas afirmac¸o˜es.
– 7 –
Respostas
4.1 x
(a) 0,84∠78,3◦ Ω
(b) 0,0063∠− 82◦ S
(c) 489,57∠4◦ V; 20,71 kVA; 0,99 atrasado
(d) 488,3∠4◦ V; 20,35 kVA
4.2 x
(a) 258,61∠− 16,7◦ A; 86,20∠− 16,7◦ A; η = 100%
(b) 256,19∠− 19,2◦ A; 84,64∠− 18,68◦ A; η = 98,7%
4.3 x
(a) x1 = 0,1 pu; x2 = 0,1378 pu; xL = 0,2604 pu; zc = 1,9207∠12,53
◦ pu
i
vs ∼
x1 xL x2
zc
a´rea 1 a´rea 2 a´rea3
(b) 109,85∠− 26,01◦ A; 54,925∠− 26,01◦ A
(c) 10,86 kW; 5,30 kvar; 2,41 kvar
(d) 0; 1,51 kvar
4.4 x
(a) x1 =
1
2
(x12 + x13 − x23); x2 =
1
2
(x12 + x23 − x13); x3 =
1
2
(x13 + x23 − x12)
(b) x1 = 0,11 pu; x2 = −0,01 pu; x3 = 0,85 pu
(c)
4.5 x
(a) 0,0602 pu; 0,0088 pu; 0,0998 pu
(b) 65,8 kV; 15,25 kV
(c) 15,03 MVA; 0,881 indutivo
– 8 –
4.6 x1 = 0,088 pu; zL1 = 0,0559∠79,70
◦ pu; zL2 = 0,1275∠78,69
◦ pu; zL3 = 0,0280∠78,69
◦ pu; x3 = 0,3025 pu; x2 =
0,1889 pu; zc3 = 6,5164∠68,20
◦ pu; zc2 = 0,4749− j 0,1900 = 0,5115∠21,81
◦ pu
∼
j x1
j x2
j x3zL1
zL2
zL3
zc2
zc3
4.7 8%
4.8 x
∼
4
0,0092 + j 3,4971 pu
4.9 x
(a) x2 = 0,1333 pu; zL = 0,0041 + j 0,0207 pu; z1 = 4,1322 pu; z2 = 1 + j 0,2 pu
(b) x
• 10,19 kV
• 78,28 MW; 27,23 Mvar
• 94,45% indutivo
4.10 x
(a) Carregamento dos transformadores: 51,9 MVA; poteˆncia fornecida pelo gerador: 103,7MVA; perdas nos transforma-
dores: 3Mvar
(b) Todos os valores nulos
4.11 x
(a) Carregamento dos transformadores: 59,6 MVA, 44,7 MVA; poteˆncia fornecida pelo gerador: 104,3MVA; perdas nos
transformadores: 3,9Mvar, 2,9Mvar
(b) Carregamento dos transformadores: 52,5 MVA, 54,2 MVA; poteˆncia fornecida pelo gerador: 104,4MVA; perdas nos
transformadores: 2,9Mvar, 4,2Mvar
(c) Carregamento dos transformadores: 13,0 MVA, 13,4 MVA; poteˆncia fornecida pelo gerador: 0,47MVA; perdas nos
transformadores: 0,2Mvar, 0,3Mvar
(d) x
(d.1) 0,0363∠0◦ pu
– 9 –
(d.2) 0,2593∠− 90◦ pu
(d.3) 1,0092∠− 25,01◦ pu; 1,0341∠− 48,44◦ pu
(d.4) 53,7 MVA; 55,0 MVA
(e) 0,0357∠0◦ pu; 0,2550∠− 90◦ pu; 1,0111∠− 25,23◦ pu; 1,0309∠− 48,36◦ pu; 53,0 MVA; 54,0 MVA
(f) Utilizar transformador defasador
4.12 x
(a) 1,0350∠3,2◦ pu
(b) 0,866 + j 0,567 pu; 0,0444 pu; 0,0222 pu
(c) 0,8574 + j 0,562 pu
(d) 0,8722 + j 0,556 pu
4.13 x
(a) 0,8 + j 0,6583 pu
(b) 0,97
4.14 x
(a) x
(b) x
(c) x
– 10 –