Fórmulas mec flu

Prévia do material em texto

1 
FORMULÁRIO 
 
 Conservação de Massa: 


 
t
V C SC
d V n d A    
.
 
0 
 


t
div V ( )

0 ou 
D
D t
V

   
 
0 
 derivada material, ou total ou substantiva 
D
D t t
V
( ) ( )
( )  


 
 
Obs: 
       
V u i v j w k V u e u e u er r z z     ,   
 
1. Coordenadas cartesianas:  
 

 

 

 
t
u
x
v
y
w
z
    0 
2. Coordenadas cilíndricas:  
 

 

 

 


t
r u
r r
v
r
v
z
r z
    0 
 função de corrente  u
y
v
x
  
 

 

, ou u
r
u
rr
  
 
 
 

, 
 
 função potencial   u
x
v
y
w
z
     
 

 

 

, , ou 
u
r
u
r
u
zr z
     
 

 
 
 

, ,
1
 
 Rotação de Fluidos 
   
     x y zi j k , 
 
   
1
2
V 














x y z
w
y
v
z
u
z
w
x
v
x
u
y
 





  





  






1
2
1
2
1
2
, , 
 
 Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear (2a Lei de Newton) 
     
F F V d V V n d As c t
V.C SC
       


  
 Equação de Navier-Stokes 
  
D V
D t
g p


  grad div [ ] Vpg
tD
VD 2 

 
Equação de Euler:  
D V
D t
g p


  grad 
 coordenadas cartesianas: :  










u
t
u
x
u
y
u
z x
u v w g
p
x
  


 

   , 
  










v
t
v
x
v
y
v
z y
u v w g
p
y
  


 

   ,  










w
t
w
x
w
y
w
z z
u v w g
p
z
  


 

   
 Equação de Bernoulli: 

 
V
t
ds
V
g z
d p
cons te
s s
    
2
2
tan 
 
 2 
 
 Equação de Conservação de Energia(1a. Lei da termodinâmica) [ Q entrando positivo, W saindo positivo] 
 










SCC.V
toutrose
AdnV
p
edeWWWQ

 zg
2
V
ie
2
 
 Equação de Bernoulli Modificada:    








  










 ,2
W
m g
p
g
V
g
z
p
g
V
g
z h
e
L
2 2
2
2
1 1
2
1 12 2 
 
 
 Perda de Carga: h f
L
D
V
gL
m
12
2
2
 fator de atrito: f
dp
dx
D
V V
h
m
s
m









1
2
4
1
2
2 2



 
 
 No. de Reynolds:


 hm
DV
Re Diâmetro Hidráulico: D
A
P
h
t
m

4 
 Potência: Pot F V Pot Q p ,  , Q V A V dAm T
A
   
 
 Equação de Navier-Stokes: coordenadas cartesianas: 
direção x: 


















u
t
u
u
x
v
u
y
w
u
z
gx
p
x
u
x
u
y
u
z
  





     








2
2
2
2
2
2 
direção y: 


















v
t
u
v
x
v
v
y
w
v
z
gy
p
y
v
x
v
y
v
z
  





     








2
2
2
2
2
2 
direção z: 


















w
t
u
w
x
v
w
y
w
w
z
gz
p
z
w
x
w
y
w
z
  





     








2
2
2
2
2
2 
 Eq de Navier-Stokes coordenadas cilíndricas 
direção r: 




 

 


 








 


 
 
u
t
ur
u
r
u
u
r
uz
u
z
u
r
gr
p
r
r r
r
ur
r
ur
r
u
r
u
z r
v
r r r r
r r
   








  





    








2
1
2
2
2
2
2 2
2
2
 
 
direção 




 

 


  

 



 

 
 



 
   
 
u
t
ur
u
r
u
u
r
uz
u
z
ur u
r
g
p
r
r r
r
u
r
u
r
u
r
u
z r
vr
   





   





    








1
2
2
2
2
2 2
2
2
 
direção z: 



 

 











 


u
t
ur
u
r
u
u
r
uz
u
z
gz
p
z r r
r
uz
r
u
r
u
z
z z z z z z  





   





  








1 2
2 2
2
2 
 conversões: 1 in = 25,4 mm 1HP = 745 Watts K= C + 273 R = F + 460 
Integrais: sen d d sen       cos , cos ; sen d
sen
d
sen2 2
2
2
4 2
2
4
 
 
 
 
   
( )
, cos
( )
 
sen d sen d
sen3 2 3 2
3
2
3
2 

  

    
cos
[ ] , cos [ cos ] 
 3 
 Escoamento Hidrodinâmicamente Desenvolvido 
 
 Número de Reynolds: Re 


u Dm h Diâmetro Hidráulico: D
A
P
h
t
m

4 
 
 Potência: Pot F V Pot Q p ,  , 

A
Tm dAVAuQ 
 fator de atrito: 
 
f
p x D
u
h
m

  
0 5
2
,
 
 
 Regime laminar 2300Re 

 hmDV 
 placas paralelas: fRe=96, Duto circular: fRe=64 
 Regime turbulento Re  


V Dm h
2300 
 











5,0
fRe
51,2
7,3
D/
log0,2
f
1 h
5,0
 
 estimativa inicial de Miller 
2
9,0
h
o
Re
74,5
7,3
D/
log25,0f















 
 
 4 
 Equações da Camada Limite Bi-dimensional 
 




u
x
v
y
  0 e 









u v
p
x
u
y
u
x
u
y



 

   
2
2   
d p
d x
U
d U
d x
 
 Solução de Blasius: Re Re , ReL c c x  5 10
5
 Rex
U x


 
espessura da camada limite: 

x x

5
Re
 perfil de velocidade aproximado 
3
y
2
1y
2
3
U
u
















 
fator de atrito: (a) local: Cf x
U
s
x
( )
,
,
Re
 


0 5
0 664
2 (b) médio: Cf U
L
s
L
 


0 5
1 328
2,
,
Re
 
 escoamento turbulento 
5
cL 10x5ReRe   turbulento 
espessura da camada limite: 
xxx Re
/Re
, 10270
51
3810


 , perfil de velocidade
7/1
y
U
u









 
 fator de atrito: (a) local: 
5/1
x
2
s
Re
0592,0
U5,0
)x(Cf 




 para Rex<107 (b) médio: 
2
s
U5,0
Cf L


 
Cf
U
L
s
L L
L   


0 5
0 074 1740
10
2 1 5
7
,
,
Re Re
, Re
/
 ou 
 
Cf L
L L
L  
0 455 1610
10
2 58
9,
log Re Re
, Re
,
 
 Coeficiente de Arraste (CD) e Coef. de Sustentação (CL): C
F A
V
D
D ef

/
/
2
2
,
2/V
A/F
C
2
efL
L

 
 
 Escoamento perpendicular a uma placa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re  103 
 5 
 
 
 
 
 coeficiente de arraste para esfera e cilindro 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO – ESCOAMENTO COMPRESSIVEL 
 
 Ar : R = 287 Nm/(Kg K), k = cp/cv = 1,4, cp= 1004 N m/(Kg K) 
 gás perfeito:  /1v,vpuh,Tdcvud,Tdcphd,TRp , 
 s2- s1 = cp ln (T2/T1) - R ln (p2/p1) 
 Número de Mach: M = V/c , TRkc  
 
 Equações de conservação Uni-dimensionais 
1) mAVAV 222111  2) )(
''
122211 VVmApApRx   
3) )2/Vh()2/Vh(m/Q 21
2
2
12
 4) )ss(mAd
T
A/Q
12
SC
 
 , s2- s1 = cp ln (T2/T1) - R ln (p2/p1) 
5) 
22
2
11
1
T
p
T
p



 6)  1212 TTcphh  
 
 Escoamento isoentrópico: k/p  = constante 
2o M
2
1k
1
T
T 
 ,
)1k/(k
oo
T
T
p
p







 , 
)1k/(1
oo
T
T










, 
)1k(2
1k
2
* )1k(5,01
M)1k(5,01
M
1
A
A 











 
 Choque Normal: 2
122
1
2
1
22
2
2
22
2
1
1
2
1
1
2
M
kM
M
k
kM
M
kM






























)()(
 , 
1o
1
1
2
2
2o
1o
2o
p
p
p
p
p
p
p
p
 
 6 
2
2
1
2
2
1
M)1k(5,01
M)1k(5,01
T
T


 , 
2
2
1
2
2
1
Mk1
Mk1
p
p


 , 
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M



 
 
 Fanno: 





 



2
*
M
2
1k
12
1k
T
T
 ; 
T
T
M
1
V
V ***



 ; 
** T
T
M
1
p
p
 
)]1k(2/[)1k(
2
*
o
o M
2
1k
1
1k
2
M
1
p
p












 







 ;

















 





2
2
2
2
h
max
M
2
1k
12
M)1k(
ln
k2
1k
Mk
M1
D
Lf
 
 Rayleigh: 
2* Mk1
k1
p
p


 
2
*
2
* p
p
M
T
T






 ; 
**
*
T
T
M
V
V



 


























 



2
1k
k
2
*
o
o
Mk1
1k
2
1k
M
2
1k
1
p
p
 ; 
 
2
2
2
*
o
o
Mk1
1kM
1k
M
2
1k
12
T
T














 

 
s 
T 
s 
T