Física - Ondas, Eletrcidade e Magnetismo - Introdução ao Magnetismo

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A força magnética ocorre sem pre que uma carga em movimento entra em um campo magnético. Assim, a força magnética será dada por uma relação envolvendo o produto vetorial da velocidade com o campo magnético. Desse modo, usando a Regra da Mão Direita, podemos determinar a direção e o sentido da força magnética. Para compreender mais um pouco de produto vetorial e a Regra da Mão Direita, faremos um estudo desses temas.
Produto Vetorial
Ao contrário do produto escalar de dois vetores que gera um escalar, o produto vetorial gera um terceiro vetor. O produto vetorial entre os vetores u⃗ =u1i^+u2j^+u3k^�→=�1�^+�2�^+�3�^ e v⃗ =v1i^+v2j^+v3k^�→=�1�^+�2�^+�3�^ é denotado como u⃗ ×v⃗ �→×�→ e é definido em coordenadas cartesianas com
u⃗ ×v⃗ =(u2v3−u3v2)i^+(u3v1−u1v3)j^+(u1v2−u2v1)k^�→×�→=(�2�3−�3�2)�^+(�3�1−�1�3)�^+(�1�2−�2�1)�^    (1)
A princípio, a definição do produto vetorial parece arbitrária, porém, o produto vetorial admite uma formulação intrínseca, que não depende do sistema de coordenadas escolhido. Além disso, veremos que o produto vetorial, assim como o produto escalar, surge naturalmente no estudo de Física.
Algumas das propriedades do produto vetorial são:
u⃗ ×v⃗ =−v⃗ ×u⃗ ,                                                                     (anticomutatividade)              (2)�→×�→=−�→×�→,                                                                     (������������������)              (2)
u⃗ ×(αv⃗ +βw⃗ )=α(u⃗ ×v⃗ )+β(u⃗ ×w⃗ ),                                         (linearidade)              (3)�→×(��→+��→)=�(�→×�→)+�(�→×�→),                                         (�����������)              (3)
(u⃗ ×v⃗ ).u⃗ =(u⃗ ×v⃗ ).v⃗ =0,                                                         (ortogonalidade)            (4)(�→×�→).�→=(�→×�→).�→=0,                                                         (��������������)            (4)
|u⃗ ×v⃗ |=uv sen (u⃗ ,v⃗ ),                                                                                    (norma)            (5)|�→×�→|=�� ��� (�→,�→),                                                                                    (�����)            (5)
A relação sen (u⃗ , v⃗ )��� (�→, �→) denota o seno do ângulo entre os vetores u⃗ �→ e v⃗ �→. Nota-se que, quando u⃗ �→  ou v⃗ �→  é nulo, o ângulo não está bem-definido.
Podemos encontrar a relação entre o produto vetorial de u⃗ �→  e v⃗ �→  a partir da Regra da Mão Direita, conforme Figura 4.1. Pela Regra da Mão Direita, ao dobrar os dedos que estão na direção do vetor u⃗ �→ na direção do vetor v⃗ �→, o polegar apontará na direção de u⃗ ×v⃗ �→×�→.
Figura 4.1 - Regra da Mão Direita
Fonte: Winterle (2014, p. 89).
O módulo do produto vetorial pode ser representado como a área do paralelogramo cujos lados são u⃗ �→  e v⃗ �→, conforme Figura 4.2, de modo que o produto vetorial u⃗ ×v⃗ �→×�→ é ortogonal ao plano, e o sentido é dado pela Regra da Mão Direita.
Figura 4.2 - Representação geométrica do produto vetorial
Fonte: Elaborada pelo autor.
A determinação do produto vetorial da equação (1) pode ser encontrada por meio da determinante:
u⃗ ×v⃗ =∣∣i^ j^ k^ u1 u2 u3 v1 v2 v3 ∣∣                         (6)�→×�→=|�^ �^ �^ �1 �2 �3 �1 �2 �3 |                         (6)
Força Magnética
Anteriormente, discutimos o campo elétrico a partir das cargas elétricas. Agora vamos discutir o comportamento da carga elétrica em movimento em um campo magnético.
O campo magnético é um campo vetorial, assim como o campo elétrico, tendo módulo, direção e sentido. O vetor campo magnético B⃗ �→ é ilustrado na Figura 4.3.
Figura 4.3 - Linhas de Campo Magnético ao redor de uma barra magnética
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 173).
Definimos então que:
· a direção da linha de campo magnético é tangente ao campo em qualquer ponto.
· a intensidade (módulo) do campo magnético é proporcional à densidade de linhas que passam em uma determinada região: quanto mais espaçadas as linhas, menos intenso será o campo.
Todas as linhas do campo magnético formam uma curva fechada, entrando pelo polo sul e saindo pelo polo norte. Apesar de vários experimentos realizados com a intenção de provar a existência de um monopolo magnético, nunca foi possível essa comprovação. Dizemos que o campo magnético se comporta como um dipolo magnético.
A força magnética F⃗ B�→� é definida a partir da aplicação de um campo magnético  B⃗ �→ em uma carga em movimento com uma velocidade v⃗ �→. Assim,
F⃗ B=qv⃗ ×B⃗                               (7)�→�=��→×�→                              (7)
em que q é a carga da partícula.
A partir da ilustração na Figura 4.4, se uma partícula está se movendo com uma velocidade v⃗ �→ fazendo um ângulo θ com o campo magnético  B⃗ �→, podemos escrever o módulo da força magnética:
FB=|q|vB senθ                             (8)��=|�|�� ����                             (8)
A força será nula sempre que a partícula estiver parada ou se a velocidade estiver na mesma direção do campo magnético, e será máxima sempre que v⃗ �→ for perpendicular a  B⃗ �→.
Figura 4.4 - Relação entre velocidade, campo magnético e força resultante do produto vetorial
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 175-176).
A unidade de  B⃗ �→ no Sistema Internacional é o tesla:
1T=1NC.m/s.1�=1��.�/�.
Além da forma de apresentar vetores, conforme ilustrações anteriores, podemos mostrar os vetores que estão para dentro (como uma cruz) ou para fora (como um ponto) da página, como na Figura 4.5.
Figura 4.5 - Representação vetorial: (a) para fora; (b) para dentro
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 178).
empre é negativo. Então a força magnética sobre um elétron sempre terá o sinal invertido.
Perceba que a imagem apresentada na Figura 4.5 pode ser usada para qualquer tipo de vetor.
praticar
Vamos Praticar
Suponha que exista um campo magnético que aponta para o norte da Terra. Assim, podemos inferir que a direção da força magnética sobre uma carga positiva em um deslocamento para o oeste deverá ser:
Parte superior do formulário
a) para dentro da Terra.
b) para o oeste.
c) para o sul.
d) para fora da Terra.
e) para o leste.
Parte inferior do formulário
Na Figura 4.6, vemos que o campo magnético B⃗ �→  aponta para dentro da página, e a partícula tem uma velocidade v⃗ �→  que muda de direção devido à força magnética que leva a partícula sempre para o centro da trajetória.
Figura 4.6 - Partícula carregada em movimento circular
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 179).
A força da partícula tem uma intensidade que é proporcional a qvB, sendo essa força perpendicular à velocidade e ao campo magnético. No caso ilustrado na Figura 4.6, se a carga fosse negativa, a rotação seria no sentido horário. Podemos partir da Segunda Lei de Newton para tratar o caso:
∑F=FB=ma                       (9)∑⁡�=��=��                       (9)
Como o movimento é circular,
FB=qvB=mv2r                       (10)��=���=��2�                       (10)
Que nos leva à seguinte relação:
r=mvqv                                            (11)�=����                                            (11)
que é o raio da trajetória, proporcional ao momento linear da partícula. A velocidade angular da partícula pode ser expressa como:
ω=vr=qBm                                   (12)�=��=���                                   (12)
O período do movimento circular pode ser escrito como:
T=2πrv=2πmqB                            (13)�=2���=2����                            (13)
A velocidade angular ω é geralmente chamada de “frequência cíclotron”, devido à relação observada com as partículas que viajam nessa velocidade nos aceleradores cíclotron.
É possível observar que, se a partícula se movimenta em um campo magnético uniforme com velocidade v⃗ �→  e campo magnético B⃗ �→ , a sua trajetória é uma hélice, conforme Figura 4.7.
Figura 4.7 - Trajetória helicoidal de uma partícula
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 179).
Caso uma partícula carregada se mova em um campo magnético não uniforme, teremos um movimento complexo, pois haverá um campo magnético forte nas extremidades e fraco no meio.
Força de Lorentz
Se uma carga se movimenta com uma velocidadev⃗ �→  em um campo elétrico e em um campo magnético simultaneamente, a força total que essa partícula experimenta é:
F⃗ =q(E⃗ +v⃗ ×B⃗ )                     (14)�→=�(�→+�→×�→)                     (14)
conhecida como Força de Lorentz.
· Seletor de velocidade: uma das aplicações da Força de Lorentz é o seletor de velocidade, conforme Figura 4.8. Quando as forças elétricas e magnéticas são proporcionais, a partícula se move em linha reta pela região entre os campos, e podemos averiguar que
v=EB                                         (15)�=��                                         (15)
Partículas com velocidades diferentes desse valor tendem a ser desviadas pelos campos.
Figura 4.8 - Esquema de um seletor de velocidade
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 182).
· Espectrômetro de massa: separa íons a partir da relação entre a carga e a massa. Conforme a relação:
mq=rB0v                              (16)��=��0�                              (16)
Ao entrar no dispositivo, os íons se movem em uma trajetória semicircular de raio r antes de atingir o conjunto detector. É possível notar que, se os íons são positivos, o feixe deve ser desviado para a esquerda, conforme Figura 4.9; quando o feixe é composto de cargas negativas, a trajetória é desviada para a direita.
Figura 4.9 - Esquema ilustrativo de um espectrômetro de massa
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 182).
Essa técnica foi utilizada por Thomson em 1987 para medir a proporção entre a carga e a massa da partícula.
Força Magnética sobre um Fio
A força magnética sobre um fio condutor percorrido por uma corrente pode ser verificada na Figura 4.10. O fio suspenso entre dois polos de um imã (Figura 4.10a) não gera nenhuma força sobre o condutor (Figura 4.10b). Contudo, ao observarmos a corrente fluindo para cima (Figura 4.10c), uma força magnética F⃗ B�→� surge para a esquerda do fio, fazendo com que ele se mova. No caso em que a corrente flui para baixo (Figura 4.10d), verificamos que a força surge no sentido oposto ao caso em que a corrente flui para cima.
Figura 4.10 - Campo magnético B⃗ �→  aplicado a um fio condutor:  (a) fio entre dois polos do ímã; (b) sem corrente fluindo; (c) com corrente fluindo para cima; (d) com corrente fluindo para baixo
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 185).
A força magnética sobre uma carga q que se movimenta com velocidade v⃗ d�→� é dada por F⃗ B=qv⃗ d×B⃗ �→�=��→�×�→, conforme Figura 4.11.
Figura 4.11 - Fio percorrido por corrente em um campo magnético B⃗ �→
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 185).
Sabemos que a velocidade com que cada partícula atravessa o segmento é v=L/t�=�/�. Tínhamos visto anteriormente que a corrente é definida por I=q/t�=�/�. Realizando as substituições, chegamos a:
F⃗ B=IL⃗ ×B⃗                      (17)�→�=��→×�→                     (17)
Onde L⃗ �→ é um vetor na direção da corrente I�.
Vamos Praticar
Uma partícula é constituída por dois prótons e dois nêutrons. Se essa partícula se desloca com uma velocidade de 6,15×105 m/s6,15×105 �/�, em uma direção perpendicular ao campo magnético que tem módulo igual a B=0,17 T�=0,17 �, qual será o valor da força magnética sobre a partícula?
Parte superior do formulário
a) 3,35×10−14 N3,35×10−14 �.
b) 3,35×105 N3,35×105 �.
c) 2,7×10−14 N2,7×10−14 �.
d) Nula.
e) 4,8×105 N4,8×105 �.
Parte inferior do formulário
Nas seções anteriores, estudamos o comportamento das partículas em um campo magnético existente. Vimos que, quando uma carga elétrica em movimento é colocada em um campo magnético, ela sofre força magnética. Agora, veremos que, quando um fio é percorrido por uma corrente, ele também é uma fonte de campo magnético.
Lei de Biot-Savart
Ao contrário do campo elétrico, em que uma carga pontual produz campo elétrico, não existe uma corrente pontual. Desse modo, devemos analisar o campo magnético proveniente de uma distribuição de corrente a partir de elementos infinitesimais, conforme Figura 4.12. A Lei de Biot-Savart denota essa relação através da seguinte expressão:
dB⃗ =μ04πIds⃗ ×r^r2                 (18)��→=�04����→×�^�2                 (18)
Onde μ0=4π×10−7 T.m/A�0=4�×10−7 �.�/�, ds é o comprimento do elemento percorrido pela corrente I, r é a distância entre o fio e o ponto P e r^�^ é o vetor unitário na direção do ponto P.
Figura 4.12 - Fio percorrido por corrente gerando um campo magnético B⃗ �→
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 205).
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Na Figura 4.13, o polegar direito aponta no sentido da corrente e, os dedos, no sentido do campo magnético. Verificamos a relação entre a passagem de corrente por um fio e a formação de campo magnético ao redor do fio. Podemos notar que, no caso da Figura 4.13, a corrente que está subindo produz um campo rotacional no sentido anti-horário.
Figura 4.13 - Regra da Mão Direita - geração de campo magnético
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 211).
Assim, a Lei de Ampère descreve a criação dos campos magnéticos a partir da existência de uma corrente contínua.
Campo Magnético devido a um Fio Infinito
Considere um fio de comprimento infinito que transporta uma corrente constante I e está posicionado ao longo do eixo x, conforme a Figura 4.14. O campo magnético é calculado a partir da equação 18.
A princípio, precisamos analisar o produto vetorial
ds⃗ ×r^=dx sen(π2−θ)k^=dxcos θ  k^��→×�^=�� ���(�2−�)�^=����� �  �^
Substituindo esse resultado na equação 18, temos:
dB⃗ =μ0I4πdxcos θ r2k^                        (19)��→=�0�4������ � �2�^                        (19)
Na Figura 4.14, é fácil observar que r=acoscos θ �=������� �  e x=−atan θ �=−���� � 
Logo,
dx=−aθ dθ=−adθθ ��=−�� ��=−���� 
Fazendo as substituições na equação 19, temos:
dB=−μ0I4π(adθθ )(θ a2)cos θ =−μ0I4πacosθdθ��=−�0�4�(���� )(� �2)��� � =−�0�4��������
Realizando a integração para encontrar o campo total, assumindo que, quando o fio vai para infinito, θ→π/2,
B=−μ0I4πa∫+π2−π2cos θ dθ�=−�0�4��∫−�2+�2⁡��� � ��
Figura 4.14 - Segmento de fio transportando uma corrente contínua
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 206).
Assim, temos que o campo magnético para um fio tem valor em módulo igual a:
B=μ0I2πa                     (20)�=�0�2��                     (20)
Onde a é a distância entre o fio a o ponto em que queremos medir a intensidade do campo.
Vamos Praticar
Assuma dois fios retilíneos e paralelos entre si, afastados por uma distância de 6 cm6 ��. Cada um transporta uma corrente de 190 mA190 ��, em sentidos opostos. Assim, o módulo do campo magnético em um ponto P�, na linha central e a uma distância de 3 cm3 �� de cada fio, será de:
Parte superior do formulário
a) 1,25 μT1,25 ��.
b) 3 μT3 ��.
c) Zero����.
d) 2,5 μT2,5 ��.
e) 1,5 μT1,5 ��.
Parte inferior do formulário
Como pode ser visto na Figura 4.15, o campo magnético circula o fio longo que transporta corrente. Devido à simetria do fio, as linhas de campo magnético são círculos concêntricos. O campo magnético B⃗ �→ tem módulo constante em qualquer parte do círculo com mesmo raio e direção sempre tangente ao círculo. Se invertermos o sentido da corrente, verificaremos que o campo tem sentido invertido também.
Figura 4.15 - Direção do campo magnético devido à corrente que flui para fora do plano
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 212).
Avalia-se o campo ao longo do comprimento B⃗ .ds⃗ �→.��→, de modo que ds⃗ ��→ é um elemento de comprimento infinitesimal ao longo do caminho circular. Por todo o círculo, o comprimento ds⃗ ��→ é paralelo ao campo B⃗ �→. Podemos assumir que esse produto ao longo de um caminho fechado é equivalente a:
∮B⃗ .ds⃗ =μ0I                  (21)∮⁡�→.��→=�0�                  (21)
A Lei de Ampère descreve a relação entre a criação de campos magnéticos devido às correntes. Vamos nos ater sempre a problemas que envolvam alto grau de simetria, assim temos um uso muito parecido com o da Lei de Gauss.
Campo Magnético devido a um Fio Infinito
Devido à Lei de Ampère, verificamos a relação entre a corrente I que passa em um fio longo de raio R, criando uma amperiana em um caminho circular 1, de raio r como mostrado na Figura 4.16.
Figura 4.16 - Fio longo de raio R
Fonte: Serway e Jewett (2017,p. 213).
Devido à simetria, o campo B⃗ �→ deve ser constante em módulo e paralelo ao comprimento ds⃗ ��→  em cada ponto do círculo. Assim,
∮B⃗ .ds⃗ =B∮ds⃗ =B(2πr)=μ0I∮⁡�→.��→=�∮⁡��→=�(2��)=�0�
Isolando o campo,
B=μ0I2πr                                    (22)�=�0�2��                                    (22)
onde a equação 22 é semelhante à equação 20, desde que r=a.
Vamos Praticar
A Figura 4.17 mostra quatro correntes iguais a i� e uma amperiana envolvendo as correntes:
Figura 4.17 - Correntes passando por uma amperiana
Fonte: Elaborada pelo autor.
Calculando a integral de linha ∮B⃗ ⋅dL⃗ ∮⁡�→⋅��→ ao longo da curva amperiana, é possível afirmar que o resultado é igual a:
Parte superior do formulário
a) 2μ0i2�0�.
b) 00.
c) −2μ0i−2�0�.
d) 4μ0i4�0�.
e) 3μ0i3�0�.
Parte inferior do formulário
FILME
Tesla
Ano: 2018
Comentário: O filme conta a história de Nikola Tesla, grande gênio inventor da corrente alternada (AC). No documentário são discutidos os problemas enfrentados pelo cientista durante sua vida, inclusive os psiquiátricos. Faça uma reflexão sobre toda a vida desse grande cientista e saiba uma parte importante da sua história.
Para conhecer mais sobre o filme, acesse o trailer (é possível acionar as legendas) a seguir.
TRAILER
LIVRO
A pedra com alma: a fascinante história do magnetismo
Alberto P. Guimarães
Editora: Civilização Brasileira
ISBN: 978-8520009543
Comentário: O livro conta parte da história da ciência com uma perspectiva erudita, e da tecnologia sob a perspectiva do magnetismo e dos materiais magnéticos. Após lê-lo, fica claro como o magnetismo influenciou a ciência. Além disso, o autor passeia por áreas como Filosofia, Psicologia, Economia, entre outras.
conclusão
Conclusão
Você estudou a força magnética e suas aplicações. Entendeu o que é um campo magnético, que a força magnética só existe se a partícula estiver em movimento e, além disso, que, por se tratar de um produto vetorial, o vetor campo magnético e o vetor velocidade não podem estar na mesma direção, para termos uma força diferente de zero.
Você compreendeu também a relação entre a corrente e o campo magnético por ela gerado. Viu que essa relação obedece à Lei de Biot-Savart, e ainda verificou que a Lei de Ampère trata a relação entre a corrente e o campo de um modo muito mais simples, obedecendo à simetria dos problemas.
referências
Referências Bibliográficas
SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros . 9. ed. São Paulo: Cengage, 2017.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica . 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.