teorico (4)

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Processo do Pensamento 
Lógico-Matemático
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Esp. Marcia Maria Ferrari Ortiz
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
A Resolução de Problemas
A Resolução de Problemas
 
• Aplicar o esquema de Polya para a resolução de problemas;
• Conhecer a teoria dos campos conceituais;
• Distinguir o campo conceitual aditivo do multiplicativo;
• Investigar o material Cuisenaire;
• Conhecer o Geoplano.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Resolução de Problemas;
• Campos Conceituais;
• Campo Conceitual Aditivo;
• Campo Conceitual Multiplicativo;
• Material Didático;
• Jogo.
UNIDADE A Resolução de Problemas
Introdução
Nesta Unidade trataremos dos aspectos envolvidos na resolução de problemas mate-
máticos e uma ferramenta organizadora que auxilia esse processo, o esquema de Polya.
Entraremos em contato com a ideia de campo conceitual, de Vergnaud, e investiga-
remos os campos aditivo e multiplicativo.
Dois materiais didáticos serão explorados, a escala Cuisenaire e o Geoplano, úteis 
para o desenvolvimento das operações nos campos aditivo e multiplicativo.
O jogo Tangram será apresentado como recurso para a identificação das dificuldades 
e intervenção psicopedagógica.
Finalmente, abordaremos os aspectos envolvidos na resolução de problemas mate-
máticos e o esquema de Polya.
Resolução de Problemas
A resolução de problemas é um rumo para o processo de ensino da Matemática 
comumente discutido no decorrer dos últimos anos, de modo que vem mostrando-se 
como um método educacional bastante revolucionário, pois a sua base metodológica 
consiste em considerar os problemas como “motores” que impulsionam a construção 
significativa da aprendizagem matemática, conquistando bons resultados, pois instiga o 
aluno a questionar e fazer descobertas através de investigações 
No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples, 
pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e 
proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sen-
tido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a 
se interessar pela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno 
adquire criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o 
seu conhecimento matemático. (RAMOS et al., 2001, p. 3)
A história da Matemática mostra que os seus pilares de construção têm relação direta 
com a resolução de problemas, pois foi construída para solucionar e dar respostas a 
questionamentos advindos de diferentes origens e contextos. Diante desse ínterim os 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ressaltam o seguinte:
A História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a 
perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por 
problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por pro-
blemas vinculados a outras Ciências (Física, Astronomia), bem como por 
problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. 
(BRASIL, 1998, p. 40)
No ensino tradicional, porém, os problemas não desempenham o seu verdadeiro papel 
devido ao fato de serem utilizados apenas como métodos de aplicação de conhecimentos 
previamente estabelecidos e adquiridos pelos alunos.
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Assim, uma prática frequente baseia-se em ensinar determinado conceito, procedi-
mento ou técnica e logo em seguida apresentar um problema para avaliar se os alunos 
são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande parte dos estudantes, 
fazer a resolução de um problema significa elaborar cálculos com os números do enunciado 
ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Dessa maneira, o explorado pelo docente 
na atividade matemática não é necessariamente a atividade, ela mesma, mas os seus 
resultados, as suas definições, técnicas e demonstrações. O problema consequentemente 
aparece como um pretexto – e não no contexto –, ou seja, o saber matemático não se 
apresenta ao aluno como sistema de conceitos, permitindo-lhe resolver um conglomerado 
de problemas, mas como um cansativo e interminável discurso simbólico, abstrato e até 
mesmo incompreensível.
A concepção de ensino-aprendizagem adotada nesse caso é de que o aluno aprende 
através de reprodução/imitação.
Ao focar exclusivamente na resolução de problemas, o que se conclui é a defesa de 
uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios:
• O pontapé para o início da atividade matemática não é a definição, mas o pro-
blema. É no decorrer do processo de ensino-aprendizagem que os conceitos, 
as ideias e os métodos matemáticos devem ser desenvolvidos mediante a ex-
ploração de problemas, ou seja, de situações nas quais os discentes necessitem 
desenvolver algum tipo de método ou estratégia para que possam resolvê-las;
• É quase certo que não é um exercício onde o aluno aplica, de forma mecânica, 
fórmula ou um processo operatório, que é considerado o problema. Só existe 
problema se o aluno for impulsionado a interpretar o enunciado da questão 
que lhe é apresentada;
• Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo 
tipo de problema; em outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para re-
solver outros, o que exige transferências, retificações e rupturas segundo um 
processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática;
• O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói 
um campo de conceitos que tomam sentido em um campo de problemas. Um 
conceito matemático se constrói articulando com outros conceitos, por meio de 
uma série de retificações e generalizações;
• A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo 
ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, 
pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, atitudes e 
procedimentos matemáticos.
Analisados estes princípios é conveniente destacar algumas características das situações 
que necessitem de realização de uma sequência de ações ou operações para a obtenção 
de um resultado, o que nos leva a concluir que a solução não se encontra disponível inicial-
mente, entretanto, é possível construí-la durante o percurso
Em boa parte dos casos, os problemas frequentemente expostos aos estudantes não 
constituem verdadeiros problemas, porque, geralmente, não existe um sólido desafio, 
nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. 
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UNIDADE A Resolução de Problemas
O que é problema para um estudante pode não o ser para outro, em função de seu 
nível de desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe. Logo, resolver 
um problema pressupõe que o estudante: 
• Elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar 
simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);
• Compare os seus resultados com os de outros colegas;
• Valide os seus procedimentos.
Formular uma resolução para um problema não se resume em entender o que foi 
proposto e dar uma solução (resposta) aplicando métodos adequados. Aprender a dar 
uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que esta seja aceita e 
até seja convincente, mas não é a garantia de apropriação do conhecimento envolvido. 
Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam colocar à prova os resul-
tados, testar os seus efeitos, comparar os diferentes caminhos para obter a solução. Nessa 
forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução.
O fato de o estudante ser estimulado a questionar a sua própria resposta, a questionar o 
problema, a transformar um dado problema em uma fonte de novos problemas, evidencia 
uma concepção de ensino-aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, 
mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.
Dentre os vários procedimentos de resolução de problemas, há um proposto pelo mate-
mático George Polya. Não se trata de uma técnica (modo de fazer), mas sim de um método 
(modode pensar) baseado em uma série de perguntas, tratando-se de um método heurístico.
Heurística: são regras, sugestões ou guias que podem ser úteis no processo de resolução do 
problema. Foi o nome de um ramo de estudo da Lógica, Filosofia ou Psicologia que explora 
os métodos e as regras do descobrimento e da invenção.
Polya denomina heurística moderna o estudo que procura compreender o processo 
solucionador de problemas; em particular as operações mentais, típicas desse processo 
que foram úteis. 
George Polya defende a teoria na qual o estudante resolve problemas matemáticos através 
de uma linha de raciocínio montada por ele mesmo, ou seja, o próprio estudante desenvolve 
o método de resolver os questionamentos e o professor seria apenas o intermediador que 
lhe faria as indagações para que o mesmo a solucione. Ao fazer questionamentos ao aluno, 
o docente terá dois objetivos: proporcionar ao aluno o auxílio para a resolução do problema, 
e desenvolver os seus próprios meios para solucionar problemas vindouros.
Trocando Ideias...
George Polya nasceu na Hungria em 1887. Estudou Direito, Línguas, Literatura, Filosofia, 
Física e Matemática. Faleceu nos Estados Unidos em 1985.
Polya sabia que uma pessoa ao resolver sozinha um problema, experimenta a sensação 
de triunfo, sentindo-se estimulada a resolver qualquer outro desafio; de modo que para 
que todos possam experimentar essa sensação, Polya formulou quatro etapas essenciais 
para a resolução de problemas:
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1° Compreender o problema:
• Leia o enunciado;
• Identifique os dados fornecidos (informações);
• Identifique as incógnitas (o que se quer saber);
• Pense nas possíveis relações entre os dados e as incógnitas;
• Se possível, crie um esquema que represente a situação.
2° Traçar um plano:
• Você já resolveu algum problema parecido?
• É possível resolvê-lo por partes?
• Quais são as operações matemáticas adequadas para essa situação?
• Todos os dados do problema estão envolvidos no seu plano?
3° Colocar o plano em prática: ao executar o plano, explique cada um dos passos e 
tente responder:
• O que eu obtenho com este passo?
• Ao encontrar dificuldades, volte ao princípio e reordene as ideias.
4° Comprovar os resultados:
• Leia o enunciado novamente e verifique se o que foi perguntado é o que foi respondido;
• Há algum outro modo de resolver esse problema?
• Emitir uma resposta.
É claro que estas etapas não são rígidas, fixas ou infalíveis. O processo de solução de um 
problema é algo mais complexo e rico, que não se limita a seguir instruções passo a 
passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo. Entretanto, de um modo geral 
ajudam o solucionador a se orientar durante o processo. É um recurso muito útil em 
atendimentos psicopedagógicos com estudantes que necessitam desenvolver inúmeras 
habilidades – de leitura, seleção de informações, identificação de dados etc. 
Vejamos com mais detalhes cada uma dessas etapas, 
já aplicadas em um exemplo de problema-padrão consi-
derado bastante simples.
Em Síntese
• Compreender;
• Planejar;
• Praticar;
• Checar.
Veja como resolver um problema seguindo o procedimento de Polya:
Joaquim anunciou em um site de compra e venda 4 pneus, 3 novos e 1 usado 
(em bom estado de uso). Cada pneu novo ele colocou a um custo de R$ 250 reais, 
O material concreto deve 
ser utilizado.
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UNIDADE A Resolução de Problemas
de modo que o valor total dos quatro pneus resulta na quantia de R$ 870. Qual é 
o valor do pneu usado?
1. Compreender o problema: quais são os dados do problema?
Lendo o problema atentamente, levantamos que:
• Joaquim colocou à venda 3 pneus novos com o valor de 250 reais, cada; 
• O valor dos 3 pneus novos mais o valor do usado resulta em 870 reais; 
• Incógnita – o que é pedido? O valor do pneu usado;
• Valor dos 4 pneus = 870 reais.
2. Traçar um plano: como temos os valores dos pneus novos, podemos racioci-
nar da seguinte forma: multiplicar três vezes o valor dos pneus novos para, em 
seguida, subtrair o valor encontrado de 870 (que é o valor total dos 4 pneus);
3. Colocar o plano em prática: efetuamos, então, os procedimentos previstos 
no plano que traçamos:
3 × 250 = 750 (valor dos 3 pneus novos);
870 – 750 = 120;
Logo, o valor do pneu usado é 120 reais.
4. Comprovar os resultados: esta é uma etapa interessante e que pode confir-
mar se o caminho que escolhemos foi adequado, vejamos:
3 × 250 = 750 + 120 = 870;
Portanto, o valor do pneu usado é R$ 120.
Este é um método que instiga o aprendiz a pensar, a relacionar dados, a comparar 
procedimentos, a reordenar ideias e a comprovar resultados, entre outras habilidades. 
Por meio dessa reflexão torna-se viável a construção e apropriação de conhecimento 
matemático para resolver problemas.
O papel do psicopedagogo é mediar a aprendizagem do aprendente, incentivá-lo a 
fazer perguntas, a expressar as suas dúvidas e ideias, a confrontar as suas respostas, a 
aprender com os próprios erros. Trata-se de um dos caminhos possíveis para o apren-
dente ser sujeito autor de sua aprendizagem.
Campos Conceituais 
Dando sequência ao nosso estudo, ampliaremos o tema resolução de problemas 
ao abordarmos uma concepção diferente daquela que tradicionalmente conhecemos 
como problemas de adição e problemas de subtração. Segundo Vergnaud (2009), 
esses dois tipos de problema devem ser reunidos em um só grupo, denominado proble-
mas do campo aditivo.
Gérard Vergnaud é um psicólogo francês que aprecia os caminhos que o aluno trilha 
para resolver um problema. Discípulo de Jean Piaget (1896-1980), Vergnaud (2009) 
sugere que diversas áreas do conhecimento sejam ensinadas sob o ponto de vista dos 
campos conceituais. Esse autor entende um campo conceitual como um conjunto de 
situações, problemas, relações, estruturas, conceitos e teoremas inter-relacionados.
Em Matemática, concebeu a teoria dos campos conceituais (aditivo e multiplicativo). 
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Importante!
As operações de adição e subtração envolvem apenas elementos, enquanto a multiplicação 
e divisão envolvem grupos e elementos.
Vergnaud (2009) sugere que esses problemas sejam classificados de uma maneira 
diferente: a partir das ideias que envolvem – e não mais por uma só operação. Assim, 
os problemas do campo aditivo são aqueles que envolvem ideias de adição e subtração, 
sendo considerados pertencentes a uma mesma família, a um mesmo campo conceitual. 
Repararemos que no campo dos problemas aditivos existem tipos de problemas mais 
complexos que outros, mas as dificuldades não se devem ao fato de eles serem “de adição” 
ou “de subtração”, ou de envolverem números grandes ou pequenos (embora este seja um 
fator importante a ser considerado). Veremos que há outros fatores que tornam os proble-
mas mais ou menos complexos e desafiantes para os alunos: as ideias envolvidas (juntar, 
transformar, comparar), a própria forma como o problema é proposto (o seu enunciado) 
e o que é pedido nele (a incógnita). 
Tal concepção traz novas reflexões e indicações a respeito do ensino das operações 
fundamentais. Classicamente, o ensino da adição tem sido sugerido antes do ensino 
da subtração, porque a adição é qualificada como uma operação mais fácil. Contudo, 
quando nos empenhamos na concepção do campo aditivo, descartamos essa separação 
e ordem no ensino das operações. Passamos a apreciar a importância de trabalhar com 
uma grande diversidade de problemas do campo aditivo durante todos os anos iniciais do 
Ensino Fundamental, explorando a variedade de ideias, com o alvo de ampliar progressi-
vamente os conhecimentos das crianças a respeito das operações de adição e subtração. 
Para saber mais sobre o trabalho desse pesquisador e da sua opinião sobre a didática da 
Matemática brasileira. Leia a entrevista que poderá lhe auxiliar no entendimento dos campos 
conceituais e nas reflexões a respeito do ensino das operações fundamentais.
Disponível em: https://bityl.co/732e
Efetuar cálculos e resolver problemas são duas dimensões que se complementam. 
De nadaadianta um aluno ser exímio calculador, se não conseguir eleger as operações 
adequadas para resolver as situações que lhes são propostas, seja pelo professor ou pela 
realidade em que vive; de modo que focaremos no campo conceitual aditivo.
Campo Conceitual Aditivo
Vejamos um conjunto de problemas, pertencentes ao campo conceitual aditivo e clas-
sificados a partir das características dos enunciados e das ideias das operações.
Problemas de Transformação
Uma quantidade aumentou ou diminuiu, enfim, ocorreu uma mudança positiva ou 
negativa (ideia de acrescentar, da adição, ou de tirar, da subtração). 
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UNIDADE A Resolução de Problemas
• Tipo 1: transformação + ou transformação –:
Esta classe de problemas inclui aqueles nos quais encontramos um estado inicial, 
uma transformação que opera sobre ele e que conduz a um estado final. 
Rafaela tinha uma coleção com 68 canecas. Em seu aniversário ela foi presen-
teada com algumas canecas, aumentando a sua coleção para 81. Quantas canecas 
Rafaela ganhou?
Tinha 68 Ganhou X
Ficou com 81
Figura 1
Dentro desta estrutura a transformação pode ser positiva ou negativa:
• Transformação positiva: “Tinha 68 canecas e ganhou 13 [...]” (ideia de acrescen-
tar), ou:
Tinha 68 Ganhou 13
Ficou com X
Figura 2
• Transformação negativa: “Tinha 68 canecas e perdeu 13 [...]” (ideia de tirar), ou:
Perdeu 13 Ficou com X
Tinha 68
Figura 3
É possível ainda variar o lugar da incógnita do termo desconhecido.
• Pode estar no estado final: “Tinha 68 canecas e ganhou 13, com quantas ficou?”
Tinha 68 Ganhou 13
Ficou com X
Figura 4
• Pode se encontrar na transformação: “Tinha 68 canecas, ganhou algumas, ficou 
com 81. Quantas ganhou?”
Tinha 68 Ganhou X
Ficou com 81
Figura 5
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• Ou no estado inicial: “Tinha algumas canecas, ganhou 13 e ficou com 81. Quantas 
canecas tinha inicialmente?”
Ficou com 81
Tinha X Ganhou 13
Figura 6
Dentro desta categoria os problemas de transformação positiva ou negativa cujas pergun-
tas se referem ao estado final são os que, em geral, apresentam o menor grau de dificuldade 
em sua resolução, porque basta aplicar a transformação que se propõe ao estado inicial.
Segundo Vergnaud (2009), no campo dos problemas aditivos existem tipos de proble-
mas mais complexos que outros, como é o caso da procura pelo estado inicial – muito 
mais complexo para as crianças.
Combinação 
São problemas em que duas ou mais medidas se combinam para formar outra medida 
(ideia de juntar da adição e de separar da subtração).
No guarda-roupa de Rute há 10 casacos pretos e 7 coloridos. Quantos casacos 
Rute tem?
10 7
Total = 17
Figura 7
Neste caso, não ocorrem transformações, nem acontecem mudanças em uma sequência 
temporal, de modo que 10 e 7 são medidas das duas coleções e 17 é o resultado de uma 
composição de medidas.
A partir dessa situação podemos encontrar dois tipos de problemas: um mais sim-
ples, quando é preciso localizar o total – como no exemplo anterior – e outro mais 
complexo, quando é necessário encontrar uma das medidas, por exemplo, na seguinte 
ideia de separar ou completar:
Rute tem, ao todo, 17 casacos em seu guarda-roupa; sabendo que 10 são pre-
tos, quantos são vermelhos?
17
10 pretos X vermelhos
Figura 8
15
UNIDADE A Resolução de Problemas
Comparação
São problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação), envolvendo uma 
relação estática entre ambas as medidas, uma comparação entre elas – não existem 
transformações, por exemplo: 
Flávio comprou 18 canetinhas e Marcelo comprou 26. Quantas canetinhas 
Marcelo comprou a mais que Flávio?
?18
26
Figura 9 – Flávio = 18; Marcelo = 26
Percebe-se que a quantidade de canetinhas compradas por cada um dos meninos não 
se altera.
Neste caso é possível variar o lugar onde está a pergunta, assim como formular um 
enunciado em que a pergunta recaia sobre a relação entre as medidas, como no exemplo 
anterior, mas também é possível formular enunciados em que a pergunta incida sobre 
uma das coleções. Por exemplo: 
Marcelo comprou 26 canetinhas. Flávio comprou 8 a menos que Marcelo. 
Quantas canetinhas Flávio tem?
Flávio X 8
26
Figura 10
As variações também podem ocorrer na maneira como se formula a relação entre 
as medidas mais que ou menos que, quantos a mais, quantos a menos, qual é a 
diferença etc.
Este tipo de problema é de uma complexidade maior que os dois precedentes porque 
não é simples a associação de uma operação com a ideia de comparação. A compreensão 
da situação enunciada representa um obstáculo para as crianças, pois a relação com a sub-
tração não é evidente inicialmente. Além disso, os termos mais que ou quantos a mais 
podem se configurar como pistas falsas da operação a ser utilizada, levando os estudantes 
a realizarem uma adição ao invés da subtração.
Composição
São problemas que envolvem a composição de duas ou mais transformações que dão 
lugar a outra transformação, ou seja: 
Márcio fez uma aposta de R$ 10 em uma rifa pela manhã, e à tarde fez mais uma de 
R$ 15. Quanto Márcio apostou na rifa? Resposta: R$ 25,00.
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Ou:
Um time de futebol ganhou 8 partidas na primeira rodada de um campeonato, perdeu 
4 na segunda rodada e na terceira venceu 6. Com quantas vitórias o time finalizou o 
campeonato? Resposta: 14 vitórias.
Neste grupo, os problemas podem variar de acordo com as transformações – positivas 
ou negativas. As duas podem ser do mesmo tipo ou de tipos diferentes. O segundo caso 
torna o problema bem mais complexo.
É possível ainda variar o lugar da pergunta, que pode recair sobre a transformação 
composta – como no primeiro exemplo citado –, ou também pode se pedir para que 
encontre uma das transformações elementares, por exemplo: 
Na primeira rodada o time ganhou 8 partidas e perdeu 2, na segunda ganhou 6, 
finalizando o campeonato com 20 partidas jogadas. Quantas derrotas o time sofreu 
em todo o campeonato?
Resposta: primeira rodada = 10 partidas; segunda rodada = X partidas; final = 
20 partidas.
• Total - Primeira rodada = 20 – 10 = 10;
• A segunda rodada teve 10 partidas;
• Primeira rodada (10 partidas), venceu 8 e perdeu 2;
• Segunda rodada (10 partidas), venceu 6 e perdeu X; 
• Total (segunda rodada) – Vencidas = Perdidas = 10 – 6 = 4;
• Perdeu 4 partidas;
• Final 2 + 4 = 6 derrotas;
• Portanto, o time sofreu 6 derrotas.
Outros exemplos de questões que exploram a composição de transformações são 
os seguintes:
Roberto está juntando uma quantia para fazer uma viagem. Ele já juntou R$ 2.500. 
Precisou comprar um telefone celular, que custou R$ 1.500. Quanto Roberto ainda 
precisará juntar para fazer a viagem cujo pacote é R$ 3.000? Resposta: R$ 2.000,00.
Rita comprou 12 livros ano passado, ganhou outros 4 de presente e doou 5 para 
biblioteca pública. Quantos livros Rita tinha no final do ano? Resposta: 11 livros.
Ademais, desenhos e esquemas são recursos imperativos em atendimento a pessoas 
com dificuldades de aprendizagem. 
Retomando Polya e as 4 etapas para a resolução de um problema, a teoria dos campos 
conceituais pode ser aplicada na primeira etapa – da compreensão do enunciado. 
Seguiremos com a apresentação dos campos conceituais, desta vez sobre o cam-
po multiplicativo.
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UNIDADE A Resolução de Problemas
Campo Conceitual Multiplicativo
Gérald Vergnaud (2009) propõe agrupar as operações segundo as ideias que elas 
contêm, ou melhor, segundo o campo de conceitos que elas envolvem. Esse autor sugere 
que as quatro operações sejam reunidas em dois grandes grupos: o campo aditivo, que 
une a adição e subtração, e o campo multiplicativo, que une a divisão e multiplicação. 
Nessa concepção, a divisão e multiplicação compõem um mesmo campo conceitual, 
pois envolvem ideias que se ligam conceitualmente.
A partir disso, os problemas do campo multiplicativo são classificados segundo as ideias 
que eles envolvem, diferentemente da tradicional separação em “problemas de multiplica-
ção” e “problemas de divisão”.
Assim como acontece com a adição e subtração, háproblemas de naturezas diferentes 
que são resolvidos por uma multiplicação, o mesmo acontecendo com a divisão.
Soma de Parcelas Iguais/Proporcionalidade
No caso da multiplicação, os problemas mais conhecidos e trabalhados nas escolas 
consistem naqueles em que a ideia de que multiplicar é a mesma que somar parcelas 
iguais. A partir do sexto ano, esse conteúdo passa a ser trabalhado de forma mais ampla 
e recebe o nome de proporcionalidade: a relação – direta ou indireta – de valores de 
duas grandezas, sendo que a grandeza é algo que pode ser medido, tal como o tempo 
e as unidades.
Nos problemas esse procedimento é expresso pela formação de grupos com quantidades 
iguais de elementos. Nesse tipo de circunstância, há duas grandezas de naturezas diferentes 
relacionadas e o resultado que se busca é da mesma natureza de uma delas – vejamos como 
isto acontece:
Marisa e a sua turma fizeram 4 experimentos na aula de Química. Em cada experi-
mento eles colocaram 3 substâncias diferentes. As grandezas aqui envolvidas são: 
“a quantidade de experimentos” e a “quantidade de substâncias”, de modo que o 
resultado se refere à “quantidade total de substâncias”. Quantas substâncias dife-
rentes foram utilizadas?
3 substâncias 3 substâncias
4 experimentos
3 substâncias 3 substâncias
Figura 11
Por meio de representações fica claro que a situação é resolvida a partir de uma adição de 
parcelas iguais: 3 + 3 + 3 + 3, 4 × 3, ou ainda 4 grupos de 3 substâncias = 12 substâncias.
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Nessa escrita, o 4 faz o papel de operador, pois indica quantos grupos de 3 uni-
dades são somados.
Neste contexto, a escrita multiplicativa é vista como um modo mais econômico de 
representar uma adição com muitas parcelas iguais.
Deve-se observar que a escrita 3 × 4, indicando que 3 grupos de 4 unidades são 
somados, não é adequada para representar a situação dada (embora o resultado da 
operação seja o mesmo), pois 3 × 4 significa 3 vezes o número 4, ou seja, 3 × 4 = 4 
+ 4 + 4.
Porém, 4 não representa o número de substâncias utilizadas, nem 3 representa o 
número de experimentos realizados pela turma de Marisa.
Portanto, o modo de fazer esta multiplicação não representa a quantidade de subs-
tâncias utilizadas por Marisa e a sua turma – representaria se ela fizesse 3 experimentos 
com 4 substâncias em cada um dos experimentos.
Do ponto de vista quantitativo, podemos dizer que 3 × 4 = 4 × 3, porque quando 
desmanchamos os grupos, a quantidade é a mesma; mas do ponto de vista qualitativo, 
não é a mesma coisa, representando realidades diferentes, afinal, 3 experimentos com 4 
substâncias em cada um é diferente de 4 experimentos com 3 substâncias em cada um.
Discutindo, analisando e resolvendo situações como essa, em que um mesmo número 
ora faz o papel do operador (que é o caso do 4 no primeiro problema do experimento), 
ora faz o papel da parcela que se repete (o caso do 4 no segundo problema), o aprendiz 
vai construindo a ideia da multiplicação como adição de parcelas iguais e, ao mesmo 
tempo, vai se familiarizando com os fatos fundamentais da multiplicação.
Assim, quando o aprendiz compreende a ideia da multiplicação e o que uma escrita 
multiplicativa representa, ele pode aplicar esse conhecimento para encontrar resultados 
desconhecidos de multiplicação, a partir de resultados que já conhece.
 Tal procedimento de resolução de problemas por soma de parcelas iguais ou sinteti-
camente pela multiplicação nem sempre é suficiente para os problemas de proporciona-
lidade mais complexos.
Neste tipo de problema, que envolve o conceito de proporcionalidade, a relação de 
valores de duas grandezas pode ser direta ou inversa, e a primeira dificuldade está em 
discernir essa relação. Os recursos de organizar as informações em colunas ou tabelas, 
bem como utilizar setas indicativas do aumento ou da diminuição das grandezas são 
facilitadores para esta diferenciação e resolução.
Em Síntese
• Compreender;
• Planejar;
• Praticar;
• Checar.
Problemas que envolvem duas séries proporcionais, isto é, existe uma relação fixa 
entre duas variáveis, tais como:
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UNIDADE A Resolução de Problemas
Heitor comprou 6 caixas de tinta com 8 potes, cada uma. Quantos potes de tinta ele 
tem ao todo? 
• Pode ser resolvido pela soma de parcelas iguais: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 6 × 8 = 48; ou 
• Pelo raciocínio proporcional.
1. Compreender o problema:
• 1 caixa de tinta tem 8 potes;
• Unidades: 6 caixas têm?
• Quantos potes de tinta têm ao todo?
2. Traçar um plano:
Qual é o tipo de relação? Proporcionalidade direta ou indireta?
Em uma proporcionalidade direta, ou as duas grandezas aumentam, ou as duas 
diminuem; ou ainda aumenta o número de:
• Caixas ↑;
• Potes de tinta ↑;
Se as duas grandezas aumentam, então a proporcionalidade é direta.
Qual é a constante de proporcionalidade? Trata-se do valor constante, ou seja, 
o valor que permanece, aquele que não muda.
No problema, 1 caixa tem 8 potes, de modo que o valor que permanece fixo é o 8. 
 Toda caixa tem 8 potes, logo, a constante de proporcionalidade é 8.
3. Colocar o plano em prática:
A seguinte organização dos dados do problema em colunas e com o uso de 
setas indicativas facilita a compreensão:
Tabela 1
Quantidade de Caixas Quantidade de potes de tinta
1 8
6 ?
→ Multiplicando (constante) 8
X6 → Multiplicador (repetodor) 
→ Produto 48
4. Comprovar os resultados:
1 caixa × 8 potes = 1 × 8 = 8
2 caixas..................2 × 8 = 16
3 caixas..................3 × 8 = 24
.
.
6 caixas..................6 × 8 = 48
Resposta: Heitor tem ao todo 48 potes de tinta.
6x x6
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Vamos a outro exercício:
Marcio percorre, diariamente de casa para o trabalho, um trajeto de 2 horas, com 
velocidade média de 40 km/h. Se a velocidade média fosse 80 km/h, quanto tempo 
Marcio levaria para percorrer o mesmo trajeto? 
1. Compreender o problema:
Velocidade de 40 km/h → em 2 horas
Velocidade de 80 km/h → em ? horas
Quanto tempo Marcio levaria?
2. Traçar um plano:
Qual é o tipo de relação? Proporcionalidade direta ou indireta?
Proporcionalidade indireta: uma grandeza aumenta e a outra diminui, ou o inverso.
Aumenta a velocidade ↑ diminui o tempo ↓
Uma grandeza aumenta e a outra diminui, então, a proporcionalidade é indireta.
Qual é a constante de proporcionalidade?
A constante é o valor que não muda, de modo que o valor da constante é o 2.
A velocidade aumenta dobra (2x) e o tempo diminui pela metade (x 1/2).
3. Colocar o plano em prática:
Tabela 2
Velocidade (km/h) Tempo (hora)
40 2
80 ?
Logo:
2 × 1/2 = 2 ÷ 2 = 1 
4. Comprovar os resultados:
40 km em 1 hora.
2 X 40, dobra a velocidade.
Diminui o tempo pela metade.
2h ÷ 2 = 1 hora.
Resposta: Márcio levaria 1 hora para percorrer o mesmo trajeto. 
Problemas de Configuração Retangular 
São problemas que se referem à organização de elementos em linha e coluna, ou que 
envolvem uma análise dimensional (como a de área), por exemplo:
2x x 1/2
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UNIDADE A Resolução de Problemas
Em uma igreja, as cadeiras estão dispostas em 15 fileiras de 18 cadeiras em cada 
fileira. Quantas cadeiras há ao todo? 
1. Compreender o problema:
15 fileiras com 18 cadeiras, cada.
1 fileira tem 18 cadeiras.
Quantas cadeiras há ao todo?
Quadro 1
Fileira 1 18 cadeiras
Fileira 2 18 cadeiras
............ 18 cadeiras
Fileira 15 18 cadeiras
2. Traçar um plano:
Operação de multiplicação:
1 × 18, 2 × 18, 3 × 18... 15 × 18
3. Colocar o plano em prática:
x 18
120
15
15 +
270
4. Comprovar os resultados:
270 cadeiras ÷ 15 fileiras = 18 cadeiras
Resposta: na igreja há 270 cadeiras ao todo.
Vejamos outro exercício:
Calcule a área de um quadrado que possui lados medindo 6 cm, cada. 
1. Compreender o problema:
Quadrado Lado = 6 1, 2, 3, 4, 5, 6
1 cm
Área do quadrado = ?
1
2
3
4
5
6
Figura 12
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2. Traçar um plano:
Área do quadrado = lado × lado = 6 × 6 
3. Colocar o plano em prática:
x 6
36
6
4. Comprovar os resultados:
Primeira linha = 6 quadrados; segunda linha = 6quadrados...
Resultado: a área do quadrado é 36 cm. 
Para os problemas relacionados à área de figuras, sugerimos o uso da malha quadri-
culada por ser um recurso auxiliador na organização viso-espacial. 
O recurso da malha quadriculada está de acordo com as orientações da Base Nacional 
Comum Curricular (BNCC):
(EF04MA21) Medir, comparar e estimar área de figuras planas dese-
nhadas em malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de 
metades de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos 
diferentes podem ter a mesma medida de área. 
Fonte: https://bit.ly/3peXWFt
Problemas de Análise Combinatória 
São problemas que envolvem combinar diferentes elementos entre si.
Uma das formas de resolução é por meio da árvore de possibilidades; a outra forma 
de resolução deste tipo de problema é por meio de uma tabela de dupla entrada. Vere-
mos um modelo de cada resolução:
Para pintar uma parede um pintor deve escolher 2 tons de amarelo e 3 tons de verde. 
Quantas paredes ele pode pintar utilizando os tons de verde, usando um só tipo de 
amarelo em cada uma?
Amarelo 1 
Verde 1 Verde 2 Verde 3
Amarelo 2 
Verde 1 Verde 2 Verde 3
Figura 13
Resposta: 2 tons de amarelo × 3 tons de verde = poderá pintar 6 paredes de 
diferentes tons.
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UNIDADE A Resolução de Problemas
Vamos a outro exercício:
Danilo tem 3 camisas brancas e 2 calças pretas, para o seu uniforme de trabalho. De 
quantas maneiras diferentes ele poderá combinar estas peças de roupa?
Tabela 3
Camisa Branca A Camisa Branca B Camisa Branca C
Calça Preta 1 
Calça Preta 2
Resposta: 3 camisas × 2 calças = 12 combinações.
Problemas deste tipo tornam-se mais complexos aumentando-se as possibilidades de 
combinação.
Material Didático
A seguir, exploraremos dois recursos estruturados da disciplina Matemática, muito 
úteis para fazermos avaliação e intervenção psicopedagógica.
O primeiro deles é a escala Cuisenaire, criada pelo professor Cuisenaire; e o segundo 
é o geoplano, instrumento útil para o trabalho com espaço e forma.
Material Cuisenaire
 O material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em 
unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades; cada tamanho corresponde 
a uma cor específica.
Figura 14
Fonte: Acervo do Conteudista 
Com o material Cuisenaire é possível trabalhar habilidades e construir conceitos ne-
cessários ao pensamento matemático, tais como comparação de tamanho; noção de 
conjunto e subconjunto; adição e subtração; multiplicação e divisão; noção de metade e 
dobro; terço e triplo etc.
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Conheça uma proposta para o ensino de Matemática por meio de uma metodologia alterna-
tiva para a compreensão das operações fundamentais dos números naturais. Esta proposta 
tem por objetivo apresentar uma nova estratégia voltada aos alunos que têm dificuldades 
na compreensão dos conceitos das operações fundamentais dos números naturais com a 
utilização e aplicação de materiais didáticos com a escala Cuisenaire e os jogos matemáticos. 
Disponível em: https://bityl.co/74Me
Geoplano
Conheça o geoplano um dos recursos que podem auxiliar o trabalho com a geometria, desen-
volvendo atividades com figuras e formas geométricas para pessoas com ou sem dificuldades 
na compreensão dos conceitos de espaço e forma. Disponível em: https://bityl.co/74My
Figura 15
Fonte: Getty Images
Jogo
Sabemos que os jogos são recursos preciosos na aprendizagem, em geral, figurando 
como instrumentos que podemos usar nas avaliações e intervenções psicopedagógicas.
Neste sentido, o quebra-cabeças Tangram é o jogo sugerido para esta Unidade sobre 
a resolução de problemas. 
Em Síntese
Que esta Unidade tenha ampliado o seu conhecimento sobre a resolução de problemas 
e a ideia de Vergnaud acerca de campo conceitual.
Em relação aos materiais didáticos explorados, estudamos a escala Cuisenaire, o geoplano e 
jogo Tangram, tendo investigado e explorado estes valiosos recursos psicopedagógicos.
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UNIDADE A Resolução de Problemas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
A Lenda do Tangram 
Jogo que possibilita a criação de várias atividades, inclusive com temas relativos à Matemá-
tica, assim como descobrir proporções entre as peças, fazer cálculos sobre áreas, estabele-
cer relações geométricas etc. 
https://youtu.be/fKdEYytQvm0
 Leitura
Base Nacional Comum Curricular (BNCC)
As atividades desenvolvidas nesta Unidade estão em consonância com as recomendações 
da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), a saber: “(EF03MA15) Classificar e compa-
rar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a 
seus lados (quantidade, posições relativas e comprimento) e vértices”.
https://bit.ly/3pi9jww
Gérard Vergnaud: “Todos perdem quando a pesquisa não é colocada em prática”
https://bityl.co/76u9
Os Desafios da Escola Pública Paranaense na Perspectiva do Professor PDE
Conheça uma proposta para o ensino de Matemática por meio de uma metodologia alterna-
tiva para a compreensão das operações fundamentais dos números naturais. Esta proposta 
tem por objetivo apresentar uma nova estratégia voltada aos alunos que têm dificuldades na 
compreensão dos conceitos das operações fundamentais dos números naturais com a uti-
lização e aplicação de materiais didáticos com a escala Cuisenaire e os jogos matemáticos.
https://bityl.co/7NEh
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Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais – Matemática: 
o recurso à resolução de problemas. 2. ed. Rio de Janeiro, 2000.
______ __. Parâmetros curriculares nacionais – (1ª a 4ª série), Matemática. Brasília, 
DF, 1998.
CAMPO conceitual. [20--]. Disponível em: <https://www.fundacaovale.org/Paginas/
Publication-Cadernos-Matemática.aspx>. Acesso em: 19/02/2021.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 
1991.
GOMES, R. A. de O. Processo de ensino-aprendizagem da Matemática para alunos 
portadores de síndrome de Down. 2011. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura 
Plena em Matemática) – Universidade Estadual da Paraíba, Campina Grande, PB, 2011. 
Disponível em: <http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/428/1/
PDF%20-%20Rayssa%20Alves%20Oliveira%20Gomes.pdf>. Acesso em: 19/02/2021.
MACEDO, L. de; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. Aprender com jogos e situações-
-problema. Porto Alegre, RS: Artmed, 2000. 
RAMOS, A. P. et al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e estraté-
gias de resolução. São Paulo: IME/USP, 2001.
YOKOYAMA, L. A. Matemática e síndrome de Down. Rio de Janeiro: Ciência Mo-
derna, 2014.
Sites Visitados
GEOPLANO. [20--]. Disponível em: <https://conceitos.com/geometria>. Acesso em: 
19/02/2021.
MATERIAL Cuisenaire. [20--a]. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/
fichaTecnicaAula.html?aula=3570>. Acesso em: 19/02/2021.
 ________. Um pouco de história. Pró-Letramento Matemática, [20--b]. Disponível 
em: <https://proletramentomatematicapocosdecaldas.blogspot.com>. Acesso em: 
20/02/2021.
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