CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL Questionário II

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CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL QUESTIONÁRIO UNIDADE II 
Pergunta 1 
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a interpolação polinomial 
de grau 2 para a função f(x). 
X -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é dado por: 
p(x) = y0L0(x) + y1L1 (x) + y2L2 (x) 
Onde 
 
Calculando L0(x) obtemos: 
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
 e. 
0,5 pontos 
Pergunta 2 
Utilizando a forma de Newton e considerando os dados da tabela a seguir determinamos a interpolação 
polinomial de grau 2 para a função f(x). 
X -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
O polinômio de interpolação encontrado é da forma: 
p(x) = d0 + d1(x - x0) + d2(x - x0)(x - x1) 
Onde 
d0 = f[x0] = f(x0) 
Dessa forma o valor de d0 é: 
 a. -3 
 b. -1 
 c. 2/3 
 d. 1 
https://ava.ead.unip.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_314925_1
 e. 4 
 
0,5 pontos 
Pergunta 3 
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a interpolação polinomial 
de grau 2 para a função f(x). 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é dado por: 
p(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) 
Onde 
Calculando L1(x) obtemos: 
 a. 
 
 b. 
 
 c. 
 
 d. 
 
 e. 
 
0,5 pontos 
Pergunta 4 
Utilizando a forma de Newton, e considerando os dados da tabela a seguir, determinamos a interpolação 
polinomial de grau 2 para a função f(x). 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
O polinômio de interpolação encontrado é da forma: 
p(x) = d0 + d1(x - x0) + d2(x - x0)(x - x1) 
Onde 
 
Dessa forma o valor de d1 é 
 a. -3 
 b. -1 
 c. 2/3 
 d. 1 
 e. 4 
0,5 pontos 
Pergunta 5 
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a interpolação polinomial 
de grau 2 para a função f(x). 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é dado por 
p(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) 
Onde 
 
Calculando L2(x) obtemos: 
 
Pergunta 6 
Utilizando a forma de Newton, e considerando os dados da tabela a seguir, determinamos a interpolação 
polinomial de grau 2 para a função f(x). 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
O polinômio de interpolação encontrado é da forma: 
p(x) = d0 + d1(x -x0) + d2(x - x0)(x - x1) 
Onde 
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
 e. 
Dessa forma o valor de d2 é: 
 a. -3 
 b. -1 
 c. 2/3 
 d. 1 
 e. 4 
0,5 pontos 
Pergunta 7 
A função Logaritmo Natural ou Napieriano, denotada por ln(x), está tabelada a seguir. 
x 1 2 3 4 
in(x) 0 0,6931 1,0986 1,3863 
Pela forma de Newton, a interpolação linear será dada por: 
p(x) = d0 + d1(x -x0) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) 
Dessa forma, escolhendo x0 = 3 e x1 = 4 , a partir da tabela de dados, após os cálculos obteremos o seguinte 
polinômio: 
p(x) = 1,0986 + 0,2877.(x - 3) 
Calculando o valor de ln(3,7) pela interpolação linear p(3,7) obteremos, com 2 casas decimais: 
 a. ln(3,7) ≅ 1,17 
 b. ln(3,7) ≅ 1,21 
 c. ln(3,7) ≅ 1,30 
 d. ln(3,7) ≅ 1,39 
 e. ln(3,7) ≅ 1,46 
0,5 pontos 
Pergunta 8 
Considere os pontos (xi, f(xi)) dados na tabela a seguir: 
x –1 –0,75 –0,6 –0,5 –0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 
Fazendo o diagrama de dispersão dos pontos da tabela obtemos: 
1. Utilizando o método dos quadrados mínimos, qual é o polinômio que melhor aproximará a função f(x)? 
 a. Uma hipérbole com focos na reta y = x. 
 b. Uma elipse com focos no eixo x. 
 c. Uma reta passando pela origem. 
 d. Uma reta constante dada por y = 1,5. 
 e. Uma parábola com o vértice na origem do sistema de coordenadas. 
0,5 pontos 
Pergunta 9 
No ajuste dos dados a seguir foi utilizado o método dos quadrados mínimos e a aproximação por uma reta. 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 
 
Sabemos que uma reta é uma função do 1º grau da forma: 
φ(x) = a1 + a2x 
Assim, considerando g1(x) = 1 e g2(x) = x e veremos que o sistema obtido na otimização do problema é dado 
por A ∙ a = b, onde: 
 
Resolvendo o sistema anterior: 
Assim, o sistema linear A ∙ a = b fica da seguinte maneira: 
 
Resolvendo o sistema linear anterior obtemos a seguinte aproximação: 
 
 a. φ(x) = 0,1748 + 0,2167x 
 b. φ(x) = 0,2748 + 0,3167x 
 c. φ(x) = 0,3748 + 0,4167x 
 d. φ(x) = 0,4748 + 0,5167x 
 e. φ(x) = 0,5748 + 0,6167x 
0,5 pontos 
Pergunta 10 
Considere o seguinte conjunto de dados: 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 
Um determinado problema consiste em aproximar uma função y = f(x), definida pelo conjunto de dados anterior, 
por uma parábola, isto é, uma função do 2º grau da forma 
φ(x) = a1 + a2x + a2x
2 
Dessa forma, temos que g1(x) = 1, g2(x) = x e g3(x) = x
2, e . Além disso, o sistema obtido na otimização do 
problema é dado por 
 
 
Utilizando φ(x) obtida pelo método dos quadrados mínimos como aproximação de f(x) para calcular o valor 
aproximado de f(1) por φ(x), obteremos: 
 a. φ(x) = 0,3994 
 b. φ(x) = 0,4993 
 c. φ(x) = 0,3949 
 d. φ(x) = 0,3493 
 e. φ(x) = 0,9943