AD2-ICF1-2015-1 gabarito

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2015 AD2 de ICF1 
Profes Lúcia Coutinho e André Saraiva 
 
1
 
0,20 
0,20 
GABARITO DA AD2 DE ICF1-2015-1 
 
Questão 1 (3,0 pontos) 
Só ganham pontos na questão os alunos que fizeram o Laboratório. 
Esta questão não tem gabarito porque é individual. 
O aluno perde metade dos pontos de cada item em que ele errar os algarismos significativos. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) Tabela 1 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
e) 
 
f) Tabela 2 
 𝛿𝐹1𝑥 𝛿𝐹1𝑦 𝛿𝐹2𝑥 𝛿𝐹2𝑦 
 
 
g) Tabela 3 
 𝛿𝑅𝑥 𝛿𝑅𝑦 
 
 
h) 
 
i) Tabela 4 
 3
 𝛿𝐹3 𝛿𝜃3 
 
 
 
j) Tabela 5 
 
 𝛿𝑅′𝑥 𝛿𝑅𝑦
′ 
 
 
k) 
 
 
l) 
 
F1x F1y F2 x F2 y
Rx Ry
F3
R'x R'y
 𝜃1 𝜃2 𝛿𝐹1 𝛿𝜃1 𝛿𝐹2 𝛿𝜃2 
 
F1 F2
0,15 (0,025 para cada componente escrita ) 
F1x,F1y,F2x,F2y,Rx,Ry
0,20 (0,025 para cada termo da tabela) 
0,15 (0,025 para cada componente da incerteza escrito 
𝜹𝑭𝟏𝒙,𝜹𝑭𝟏𝒚,𝜹𝑭𝟐𝒙,𝜹𝑭𝟐𝒚,𝜹𝑹𝒙,𝜹𝑹𝒚) 
 
0,20 (0,05 para cada componente que será transferida para a Tabela 2) 
0,20 (0,05 para cada componente da Tabela 3) 
0,20 (0,05 para cada componente) 
0,10 (0,025 para cada componente da Tabela 4) 
0,20 (0,05 para cada componente que será transferida para a Tabela 2) 
0,3 (0,1 para cada intervalo, 0,1 para a representação gráfica). 
0,2 
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2
 
m) 
 
 
 
 
n) 
 
o) 
 
 
 
Questão 2 (4,0 pontos) 
 
A figura mostra duas caixas, uma caixa A de massa mA = 3,0 kg sobre um plano inclinado sem atrito 
de ângulo A = 30°, e outra caixa B de massa mB = 2,0 kg, que por sua vez está em um plano 
inclinado também sem atrito de ângulo B = 60°. As caixas estão conectadas por uma corda de massa 
desprezível e inextensível. A polia não tem atrito e sua massa também é desprezível. Despreze a 
resistência do ar. Considere a aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s2. 
 
(a) Considere como objeto de estudo a caixa A. Desenhe a caixa A separada do exterior e 
coloque todas as forças que atuam sobre ela. Onde estão aplicadas as reações a estas 
forças? Escreva a segunda Lei de Newton na representação simbólica e em componentes 
para a caixa A. 
 
 
Estão em contato com o bloco a corda, a superfície inclinada e o ar. O problema diz que a 
força exercida pelo ar é desprezível. As forças de contato que atuam sobre ele são a força 
exercida pela corda 𝑻𝑨⃗⃗ ⃗⃗ e a força exercida pela superfície, a força normal 𝑵𝑨⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. A única força 
gravitacional não desprezível sobre o bloco é a que a Terra exerce chamada força peso 𝑷𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
A reação à força exercida pela corda é a força −𝑻𝑨⃗⃗ ⃗⃗ e está aplicada na corda. A reação à 
força normal é −𝑵𝑨⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e está aplicada na superfície inclinada. A reação à força peso é a força 
𝑁𝐴⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑇𝐴⃗⃗ ⃗ = 𝑚𝐴𝑎𝐴⃗⃗⃗⃗ 
 
{
𝑁𝐴𝑥 + 𝑃𝐴𝑥 + 𝑇𝐴𝑥 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥
𝑁𝐴𝑦 + 𝑃𝐴𝑦 + 𝑇𝐴𝑦 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑦
 
1,2 (0,1 para cada vetor desenhado, 0,1 para cada reação, 0,2 para a equação vetorial 
e 0,2 para cada equação dos componentes) 
0,3 (0,1 para cada intervalo, 0,1 para a representação gráfica). 
0,2 
0,2 
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3
 
−𝑷𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗ e está aplicada no centro da Terra. 
 
 
(b) Agora considere a caixa B. Desenhe a caixa B separada do exterior e coloque todas as forças 
que atuam sobre ela. Onde estão aplicadas as reações a estas forças? Escreva a segunda 
Lei de Newton na representação simbólica e em componentes para a caixa B. 
 
 
Estão em contato com o bloco a corda, a superfície inclinada e o ar. O problema diz que a 
força exercida pelo ar é desprezível. As forças de contato que atuam sobre ele são a força 
exercida pela corda 𝑻𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗ e a força exercida pela superfície, a força normal 𝑵𝑩⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. A única força 
gravitacional não desprezível sobre o bloco é a que a Terra exerce chamada força peso 𝑷𝑩⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
A reação à força exercida pela corda é a força −𝑻𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗e está aplicada na corda. A reação à 
força normal é −𝑵𝑩⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e está aplicada na superfície inclinada. A reação à força peso é a força 
−𝑷𝑩⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e está aplicada no centro da Terra. 
 
 
(c) Calcule a aceleração do sistema composto pelas duas caixas e a corda. Qual o sentido desta 
aceleração? Os blocos se movem para o lado direito ou para o lado esquerdo? 
 
A força 𝑻𝑨𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ exercida pela corda no bloco A possui módulo igual ao da força 𝑻𝑩𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ exercida 
pela outra extremidade da corda no bloco B.Assim, usaremos 𝑻 = 𝑻𝑨𝒙 = 𝑻𝑩𝒙. 
O módulo da aceleração do bloco A será o mesmo do bloco B, e usaremos 𝒂 = 𝒂𝑨𝒙 = 𝒂𝑩𝒙. 
 
Os blocos se movem para 
o lado direito, o bloco A 
𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑇𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝐵𝑎𝐵⃗⃗ ⃗⃗ 
 
{
𝑁𝐵𝑥 + 𝑃𝐵𝑥 + 𝑇𝐵𝑥 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑥
𝑁𝐵𝑦 + 𝑃𝐵𝑦 + 𝑇𝐵𝑦 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑦
 
𝑁𝐴𝑥 = 0; 𝑇𝐴𝑦 = 0; 𝑎𝐴𝑦 = 0 
𝑃𝐴𝑥 = −𝑃𝐴 sin 𝜃𝐴 ; 𝑃𝐴𝑦 = −𝑃𝐴 cos 𝜃𝐴 
 
−𝑃𝐴 sin 𝜃𝐴 + 𝑇𝐴𝑥 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 
𝑁𝐴𝑦 − 𝑃𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0 
𝑁𝐵𝑥 = 0; 𝑇𝐵𝑦 = 0; 𝑎𝐵𝑦 = 0 
𝑃𝐵𝑥 = 𝑃𝐵 sin 𝜃𝐵 ; 𝑃𝐵𝑦 = −𝑃𝐵 cos 𝜃𝐵 
 
𝑃𝐵 sin 𝜃𝐵 − 𝑇𝐵𝑥 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑥 
𝑁𝐵𝑦 − 𝑃𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0 
{
−𝑃𝐴 sin 𝜃𝐴 + 𝑇 = 𝑚𝐴𝑎
𝑃𝐵 sin 𝜃𝐵 − 𝑇 = 𝑚𝐵𝑎
 
 
𝑎 =
(𝑚𝐵 sin 𝜃𝐵 − 𝑚𝐴 sin 𝜃𝐴)𝑔
𝑚𝐴 + 𝑀𝐵
 
 
𝑎 = 0,45 𝑚/𝑠2. 
1,2 (0,1 para cada vetor desenhado, 0,1 para cada reação, 0,2 para a equação vetorial 
e 0,2 para cada equação dos componentes) 
1,0 
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subindo a rampa de inclinação A, e o bloco B descendo a rampa de inclinação B. 
 
(d) Calcule a tensão na corda. 
 
 
 
Questão 3(2,0 pontos) 
 
Dois garotos estão brincando de atirar dardos em um alvo, posicionado a uma distância de 6,0 m de 
onde eles estão. Pedro atira os dardos a uma altura de 1,40 m do chão, com um ângulo de 7° com a 
horizontal e velocidade inicial de 15 m/s, enquanto Marcelo atira os dardos a 1,43 m do chão, com 
inclinação de 5° a partir da horizontal e com velocidade inicial de 18 m/s. O centro do alvo está a 1,38 
m de altura. Considere que a resistência do ar é desprezível e que os dardos viajam em um plano xy, 
onde as direções de x e y são as dadas na figura. 
 
 
 
a) Escreva o vetor da velocidade inicial do dardo atirado por Pedro, de acordo com o sistema de 
coordenadas xy da figura. 
 
 
 
b) Escreva o vetor da velocidade inicial do dardo atirado por Marcelo, também de acordo com o 
sistema de coordenadasxy da figura. 
 
 
 
 
 
𝑃𝐵 sin 𝜃𝐵 − 𝑇 = 𝑚𝐵𝑎 
𝑇 = 𝑚𝐵(𝑔 sin 𝜃𝐵 − 𝑎) 
 
T=16,07 N 
𝑣𝑃𝑥 = 𝑣𝑃 cos 𝜃𝑃 = 15 cos 7° = 14,9 𝑚/𝑠 
𝑣𝑃𝑦 = 𝑣𝑃 sin 𝜃𝑃 = 15 sin 7° = 1,8 𝑚 𝑠⁄ 
 
𝑣𝑃⃗⃗⃗⃗ = (14,9𝑖̂ + 1,8𝑗̂) 𝑚/𝑠. 
𝑣𝑀𝑥 = 𝑣𝑀 cos 𝜃𝑀 = 18 cos 5° = 17,9 𝑚/𝑠 
𝑣𝑀𝑦 = 𝑣𝑀 sin 𝜃𝑀 = 18 sin 5° = 1,6 𝑚 𝑠⁄ 
 
𝑣𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (17,9 𝑖̂ + 1,6 𝑗̂) 𝑚/𝑠. 
0,4 (0,2 cada componente 
da velocidade) 
0,6 
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c) Quanto tempo o dardo lançado por Pedro irá demorar para atingir o alvo? E o dardo lançado por 
Marcelo? 
d) Qual a altura atingida pelo dardo de Pedro na parede onde está o alvo? Pedro atingiu o centro do 
alvo? Se não, seu dardo chegou acima ou abaixo do centro do alvo? 
 
 
 
O dardo atirado por Pedro atingiu abaixo do centro do alvo. 
 
e) Qual a altura atingida pelo dardo de Marcelo na parede onde está o alvo? Marcelo atingiu o centro 
do alvo? Se não, seu dardo chegou acima ou abaixo do centro do alvo? 
 
 
O dardo atirado por Marcelo atingiu acima do centro do alvo. 
 
Questão 4 ( 1,0 ponto) 
 
Um escalador está subindo uma “chaminé” – nome dado por escaladores ao vão entre duas paredes 
verticais, no qual o escalador consegue se apoiar nas duas paredes opostas, como mostrado na 
figura. O escalador, cuja massa é m=75kg, descansa apoiando apenas a sua perna na parede oposta 
(aplicando uma força 𝐹 ), a um ângulo de 26º com a horizontal (normal à parede), e as suas costas se 
firmam pelo atrito com a outra parede. Considere a aceleração da gravidade g=9,8 m/s2 e que o 
coeficiente de atrito estático entre o escalador e ambas as paredes é o mesmo. Considere ainda que 
a força que o escalador aplica é a mínima necessária, ou seja, que o escalador está na iminência de 
cair. 
 
∆𝑥 = 6 𝑚 
 
𝑣𝑃𝑥 =
∆𝑥
𝑡𝑃
 
𝑡𝑃 =
∆𝑥
𝑣𝑃𝑥
= 0,40 𝑠. 
∆𝑥 = 6 𝑚 
 
𝑣𝑀𝑥 =
∆𝑥
𝑡𝑀
 
𝑡𝑀 =
∆𝑥
𝑣𝑀𝑥
= 0,34 𝑠. 
𝑦𝑃 = 𝑦𝑃0 + 𝑣𝑃𝑦𝑡𝑃 −
1
2
𝑔𝑡𝑃
2 
𝑦𝑃0 = 1,40 𝑚 
 
𝑦𝑃 = 1,34 𝑚 
𝑦𝑀 = 𝑦𝑀0 + 𝑣𝑀𝑦𝑡𝑀 −
1
2
𝑔𝑡𝑀
2 
𝑦𝑀0 = 1,43 𝑚 
 
𝑦𝑀 = 1,41 𝑚 
0,4 (0,2 cada componente 
da velocidade) 
0,4 (0,2 cada tempo 
calculado) 
0,4 (0,3 pelo cálculo da altura e 
0,1 pela resposta em relação ao 
centro do alvo) 
0,4 (0,3 pelo cálculo da altura e 
0,1 pela resposta em relação ao 
centro do alvo) 
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a) Isole o corpo do escalador, mostrando todas as forças externas que agem sobre ele. Onde 
estão aplicadas as reações a estas forças? A força 𝐹 aplicada pelo escalador é a reação à 
soma de duas forças aplicadas sobre o escalador: quais são elas? Escreva a segunda Lei de 
Newton na representação simbólica e em componentes para o escalador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 x 
A força �⃗⃗� é reação às forças que a parede esquerda fazem no escalador, logo é reação a 𝑭𝒂⃗⃗ ⃗⃗ 𝑬 e 
�⃗⃗� 𝑬, isto é, �⃗⃗� 𝑬 + 𝑭𝒂⃗⃗ ⃗⃗ 𝑬 = −�⃗⃗�
 . 
 
�⃗⃗� 𝑬 + 𝑭𝒂⃗⃗ ⃗⃗ 𝑬 + �⃗⃗�
 
𝑫 + 𝑭𝒂⃗⃗ ⃗⃗ 𝑫 + �⃗⃗�
 = 𝒎�⃗⃗� 
 
𝑵𝑬𝒙 + 𝐅𝐚𝑬𝒙 + 𝑵𝑫𝒙 + 𝑭𝒂𝑫𝒙 + 𝑷𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 
𝑵𝑬𝒚 + 𝐅𝐚𝑬𝒚 + 𝑵𝑫𝒚 + 𝑭𝒂𝑫𝒚 + 𝑷𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 
 
b) Sabendo o ângulo da força 𝐹 é possível determinar o coeficiente de atrito𝜇. Mostre que 
𝜇=tan(26𝑜)≈0.49. 
 
O ângulo que a força �⃗⃗� faz com a horizontal é dado por 𝜽 = 𝒂𝒕𝒂𝒏(
|𝑭𝒚|
|𝑭𝒙|
). Usando o resultado 
anterior temos |𝐅𝐲| = 𝝁𝑵𝑬, |𝑭𝒙| = 𝑵𝑬 ∴ |
𝑭𝒚
𝑭𝒙
| = 𝝁 = 𝒕𝒂𝒏(𝜽) = 𝟎, 𝟒𝟗. 
 
 
Ação Reação aplicada 
𝐹𝑎⃗⃗ ⃗𝐸 
Na parede esquerda 
�⃗⃗� 𝐸 Na parede esquerda 
𝐹𝑎⃗⃗ ⃗𝐷 
Na parede direita 
�⃗⃗� 𝐷 Na parede direita 
�⃗� No centro da Terra 
0,3 (0,1 por isolar o corpo e 
mostrar as reações, 0,1 pela 2ª 
lei de Newton e 0,1 por 
determinar a reação a 𝐹 ) 
0,2 
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c) Assumindo que o escalador não escorrega, determine a intensidade da força |𝐹 |. Escreva também 
𝐹 na forma vetorial, obtendo suas componentes. Você pode utilizar o resultado do ítem anterior 
diretamente, mesmo que não tenha conseguido deduzí-lo. 
 
𝑵𝑬𝒙 + 𝐅𝐚𝑬𝒙 + 𝑵𝑫𝒙 + 𝑭𝒂𝑫𝒙 + 𝑷𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 
|�⃗⃗� 𝐸| + 0 − |�⃗⃗� 𝐷| + 0 + 0 = 0 ∴ |�⃗⃗� 𝐸| = |�⃗⃗� 𝐷| 
 
𝑵𝑬𝒚 + 𝐅𝐚𝑬𝒚 + 𝑵𝑫𝒚 + 𝑭𝒂𝑫𝒚 + 𝑷𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 
 0 + | 𝐹𝑎⃗⃗ ⃗𝐸| + 0 + |𝐹𝑎
⃗⃗ ⃗
𝐷
| − |�⃗� | = 0 
 μ NE + μ ND − P = 0 
 2 μ NE = P ∴ 2 × 0,49 × 𝑁𝐸 = 75 × 9,8 
 
NE = 750N 
e 
FaE = μ NE = 367,5N 
 
Então temos 
 
�⃗⃗� = (-750 N , -367,5 N) 
 
|�⃗⃗� | = √(−𝟕𝟓𝟎)𝟐 + (−𝟑𝟔𝟕, 𝟓)𝟐 = 835,2N 
 
 
d) Obtenha, vetorialmente, a força total que a parede imprime às costas do escalador. Não se 
esqueça que essa força é composta pela normal e pelo atrito. 
 
Já determinamos que |�⃗⃗� 𝐸| = |�⃗⃗� 𝐷|, e que o coeficiente de atrito é o mesmo nas duas paredes, de 
forma que basta cuidarmos dos sinais. Chamando essa força de 𝐹 𝐷, temos 
 
�⃗⃗� 𝑫 = (-750 N , 367,5 N) 
 0,2 
0,3