Álgebra Linear - Apol 1

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considere os 
vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor 
u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3: 
Nota: 10.0 
 
A u=v1−2v2+3v3. 
 
B u=2v1−v2+4v3. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Queremos encontrar α,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3, isto 
é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=
5.Resolvendo o sistema linear anterior, 
obtemos α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3 (livro-base p. 89-93). 
 
C u=−2v1+v2+4v3. 
 
D u=10v1−7v2+4v3. 
 
E u=2v1−v2−4v3. 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de k de 
modo que o sistema linear: 
 
{x+2y=35x−3y=22x−2y=k 
 
admita solução única. 
 
Nota: 10.0 
 
A k=1 
 
B k=−1 
 
C k=0 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Faça os escalonamentos: 
 
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3 
{x+2y=35x−3y=22x−2y=k 
 
{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6 
 
k−6=−6k=0 
 
(Livro-base p. 96) 
 
D k=−2 
 
E k=2 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações a seguir: 
 
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente 
de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua inversa, o resultado deve 
ser a matriz identidade de mesma ordem. 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, analise a matriz A=[1021] e assinale a alternativa 
que indica sua inversa: 
Nota: 10.0 
 
A 
A−1=[10−21] 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A inversa de A é a matriz A−1, tal que: 
 
A.A−1=I. assim, temos: 
[1021].[abcd] = [1001] 
 
[ab2a+c2b+d] = [1001] 
 
assim, A−1=[10−21] 
 
(Livro-base p. 52-56). 
 
B 
A−1=[1021] 
 
 
C 
A−1=[−10−2−1] 
 
 
D 
A−1=[10−212] 
 
E 
A−1=[01−212] 
 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, 
nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos 
classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e 
indeterminado, respectivamente. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema: 
 
{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0 
 
Assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 
A Este sistema é indeterminado. 
 
B Este sistema é possível e sua 
solução é (0,0,0). 
 
C Este sistema é possível e sua 
solução é (0,1,1). 
 
D Este sistema é impossível. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Comentário: Podemos somar as três 
primeiras equações e obter 2x + 2y + 
3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + 
y + z = 11/2. Como a quarta equação 
é x + y + z = 0, temos que o sistema é 
impossível. 
 
(Livro-base p. 56-58) 
 
E Este sistema é possível e sua solução 
é (1,2,3). 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Sejam B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases de R2. 
 
De acordo com as bases acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, a matriz M de mudança de base de B1 para B2, [M]B1B2, 
é: 
Nota: 10.0 
 
A 
M=[2−111] 
 
 
B 
M=[5−42 1] 
 
 
C 
M=[−53−21] 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
A matriz M é dada pelas coordenadas da combinação de B1 com B2. 
 
(1,1)=a11(−1,1)+a21(2,−3)(−1,0)=a12(−1,1)+a22(2,−3)Resolvendo o 
sistema acima, tem-se M=[−53−21] 
 
(Livro-base, 108-114). 
 
D 
M=[5−341] 
 
 
E 
M=[5−1−23] 
 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
operações com matrizes, e as seguintes 
matrizes A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z). 
 
Os valores de x,y,z e w que satisfazem a equação matricial 
2A−B=C são respectivamente: 
Nota: 10.0 
 
A 2,- 3, 4 e 7. 
 
B 2, -1, -2 e 2. 
 
C 7,4, 2 e -2. 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z) 
 
Temos os seguintes sistemas de equações: 
 
{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2. 
 
(Livro-base p. 8-10) 
 
D 5, 2, 3 e -3. 
 
E 7, 4, -4 e 4. 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
Observe a matriz dada: 
 
A=[3142] 
 
De acordo com a matriz dada e os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, analise as alternativas abaixo e assinale a que 
corresponde à inversa da matriz A: 
 
Nota: 10.0 
 
A 
A−1=[1−1/2−23/2]. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Como A−1=1detAAdjA, temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2]. 
 
 
(livro-base p. 52-53) 
 
B 
A−1=[−11/2−2−3/2]. 
 
 
C 
A−1=[12−23/2]. 
 
 
D 
A−1=[11/22−3/2]. 
 
 
E 
A−1=[−1−1/223/2]. 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Seja o espaço vetorial V=R2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}. 
 
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do 
livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é 
correta com relação ao conjunto W. 
Nota: 10.0 
 
A (3x,x)∈W 
 
B Para todos vetores u,v∈W, temos u+v∉W. 
 
C Para todos vetores u,v∈W, temos u.v∉W 
 
D W não é um subespaço vetorial de V. 
 
E W é um subespaço vetorial de V. 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Considere os vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) de V=R2. 
 
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições: 
 
1. Se u,v∈W então, u+v∈W. 
 
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W. 
 
2. Se u∈W,então,αu∈W, para todo α∈R. 
 
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W. 
 
Logo, pode-se afirmar que W é um subespaço de V. 
 
(Livro-base p. 82-88). 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
matrizes de mudança de base e, as bases 
 
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´ para 
B, [I]BB´. 
 
Nota: 10.0 
 
A 
[I]BB´=[0−1111−2−111] 
 
 
B 
[I]BB´=[1−2301−1−1−31] 
 
 
C 
[I]BB´=[1−1011−1−101] 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Fazemos os vetores de B´ combinação 
linear dos vetores da base B. 
 
 
Resolvemos os três sistemas de equações, 
simultaneamente: 
 
 
[111|100011|010112|001] 
 
[100|1−1001011−1001|−101] 
 
[I]BB´=[1−1011−1−101] 
 
(Livro-base p. 108-112). 
 
D 
[I]BB´=[1−1221−2−203] 
 
 
E 
[I]BB´=[1−2011−2−121] 
 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
Considere o conjunto formado pelos 
vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa: 
 
I.( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. 
 
II.( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. 
 
III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V-F-F 
 
B V-V-F 
 
C V-F-V 
 
D F-V-F 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Observamos 
que det[131−32−1412]=0. Com 
isso, os vetores v1, v2 e v3 são 
linearmente dependentes (LD), logo 
não formam uma base (o 
determinante deve ser diferente de 
zero ou os vetores devem ser LI). 
 
Primeira afirmativa é falsa, pois os 
vetores são LD e não LI. 
 
Segunda afirmativa é verdadeira, pois 
o determinante dos vetores é igual a 
zero (LD). 
 
Terceira afirmativa é falsa, pois como 
os vetores são LD, não formam uma 
base. 
 
 
Logo, a sequência correta é F-V-F 
(livro-base p. 96-103). 
 
E F-V-V 
 
Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
transformações lineares, e T:R2→R3 uma transformação linear tal 
que 
 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4), 
 
assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u∈R2, de modo 
que T(u)=(3,2,1).Nota: 10.0 
 
A u=(−4,2). 
 
B u=(−3,3). 
 
C u=(4,2). 
 
D u=(−1,2). 
 
E u=(1,2). 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2). 
 
(Livro-base p. 119-122) 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, 
nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos 
classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e 
indeterminado, respectivamente. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema: 
 
{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0 
 
Assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 
A Este sistema é indeterminado. 
 
B Este sistema é possível e sua 
solução é (0,0,0). 
 
C Este sistema é possível e sua 
solução é (0,1,1). 
 
D Este sistema é impossível. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Comentário: Podemos somar as três 
primeiras equações e obter 2x + 2y + 
3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + 
y + z = 11/2. Como a quarta equação 
é x + y + z = 0, temos que o sistema é 
impossível. 
 
(Livro-base p. 56-58) 
 
E Este sistema é possível e sua solução 
é (1,2,3). 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Seja o espaço vetorial V=R2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}. 
 
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do 
livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é 
correta com relação ao conjunto W. 
Nota: 10.0 
 
A (3x,x)∈W 
 
B Para todos vetores u,v∈W, temos u+v∉W. 
 
C Para todos vetores u,v∈W, temos u.v∉W 
 
D W não é um subespaço vetorial de V. 
 
E W é um subespaço vetorial de V. 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Considere os vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) de V=R2. 
 
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições: 
 
1. Se u,v∈W então, u+v∈W. 
 
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W. 
 
2. Se u∈W,então,αu∈W, para todo α∈R. 
 
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W. 
 
Logo, pode-se afirmar que W é um subespaço de V. 
 
(Livro-base p. 82-88). 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
Considere o conjunto formado pelos 
vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa: 
 
I.( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. 
 
II.( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. 
 
III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V-F-F 
 
B V-V-F 
 
C V-F-V 
 
D F-V-F 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Observamos 
que det[131−32−1412]=0. Com 
isso, os vetores v1, v2 e v3 são 
linearmente dependentes (LD), logo 
não formam uma base (o 
determinante deve ser diferente de 
zero ou os vetores devem ser LI). 
 
Primeira afirmativa é falsa, pois os 
vetores são LD e não LI. 
 
Segunda afirmativa é verdadeira, pois 
o determinante dos vetores é igual a 
zero (LD). 
 
Terceira afirmativa é falsa, pois como 
os vetores são LD, não formam uma 
base. 
 
 
Logo, a sequência correta é F-V-F 
(livro-base p. 96-103). 
 
E F-V-V 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
transformações lineares, e T:R2→R3 uma transformação linear tal 
que 
 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4), 
 
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u). 
 
 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A T(u)=(−3,2,2) 
 
B T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y) 
Você assinalou essa alternativa (B) 
 
C T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y) 
 
D T(u)=(32y,x+12y,2x−12y) 
Como {(1,2),(3,4)} é uma base de R2, existe uma única TL tal 
que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4). Dado u=(x,y), temos que: 
 
u=r(1,2)+s(3,4) 
 
{r+3s=x2r+4s=y 
 
Escalonando o sistema, temos: 
 
{r+3s=x−2s=y−2x 
 
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y). 
 
Portanto, T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y). 
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2). 
 
(Livro-base p. 119-122) 
 
E T(u)=12(y,x+2y,2x−4y) 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
 
Seja T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y). 
 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do 
livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que contém a 
matriz de T com relação à base canônica do R2: 
Nota: 10.0 
 
A 
[1201]. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Observamos que 
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1). 
 
Logo, a matriz de T com relação à base canônica é [1201] (livro-
base p. 130-139) 
 
B 
[1021]. 
 
C 
[1210]. 
 
 
D 
[2110]. 
 
 
E 
[1012]. 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
sistemas de equações lineares, as matrizes A=(aij)∈M2×3 
e B=(bij)∈M3×3 são definidas 
por aij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠j. O produto AB é a 
matriz: 
Nota: 10.0 
 
A 
[054120474156] 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Construção das matrizes A e B. 
A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811] e B=[a11a12a13a21a22a23a31a22a33
]=[335064−119]. O produto 
AB=[3695811][335064−119]=[3695811]. 
 
(Livro-base p. 40-52) 
 
B 
[7294729284102] 
 
 
C 
[72941207292156] 
 
 
D 
[05484472156] 
 
 
E 
[7294729284102] 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base 
de um espaço vetorial e os vetores: 
 
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3). 
 
Assinale a alternativa com o valor de k para que os 
vetores u,v e w formem uma base do R3. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A k≠8 
 
B k≠−7 
 
C k≠5 
 
D k≠−9 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Determine o valor de k para que os vetores u,v e w formem uma 
base do R3. 
Montamos o sistema linear 
{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0 
 
Efetuamos o escalonamento 
 
{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9 
 
(Livro-base p. 95-100) 
 
E k≠6 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considere a transformação T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). 
 
De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, coloque V quando a afirmativa for verdadeira 
e F quando for falsa: 
 
I. ( ) T é uma transformação linear. 
 
II. ( ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}. 
 
III. ( ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V - V - V 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Dados u,v∈R3 e λ∈R, observamos que T satisfaz 
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u). 
Assim, T é uma transformação linear e a afirmativa I é verdadeira. Além 
disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0, 
o que mostra que z pode ser tomado qualquer. Desse 
modo, N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do 
Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2. 
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130). 
 
B V - F - V 
 
C V - V - F 
 
D V - F - F 
 
E F - V - V 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
 
Observe a matriz dada: 
 
A=[3142] 
 
De acordo com a matriz dada e os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, analise as alternativas abaixo e assinale a que 
corresponde à inversa da matriz A: 
 
Nota: 10.0 
 
A 
A−1=[1−1/2−23/2]. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Como A−1=1detAAdjA, temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2]. 
 
 
(livro-base p. 52-53) 
 
B 
A−1=[−11/2−2−3/2]. 
 
 
C 
A−1=[12−23/2]. 
 
 
D 
A−1=[11/22−3/2]. 
 
 
E 
A−1=[−1−1/223/2]. 
 
Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considere o vetor v=(3,2,1) do R3 e o conjunto de 
vetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3. 
 
De acordo com as informações acimae os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as 
sentenças verdadeiras e com F as falsas. 
 
( ) v é uma combinação linear dos vetores do conjunto α. 
( ) α é uma base do R3. 
( ) Os vetores v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A V-V-F 
 
B V-V-V 
Comentário: A sequência correta é V-
V-V. 
 
Se v é combinação linear dos vetores 
de α, então existe a, b e c, tal 
que v=av1+bv2+cv3 
Como o determinante dos vetores 
de α é diferente de zero, logo existe a, 
b e c e v é uma combinação linear dos 
vetores do conjunto α. 
Alternativa I é verdadeira porque o 
determinante dos vetores é diferente 
de zero. 
 
Alternativa II é verdadeira porque v é 
uma combinação linear dos vetores. 
Alternativa III é verdadeira porque o 
determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3 
(Livro-base p. 89-103). 
 
C F-V-V 
Você assinalou essa alternativa (C) 
 
D V-F-F 
 
E F-F-F 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Considere as matrizes A=[aij]2×2 e B=[bij]2×2 definidas 
por aij={i+j, se i=j0, se i≠j e bij=2i−3j. 
 
De acordo com as matrizes dadas acima e os conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, a matriz A+B é dada por: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A 
[1412]. 
 
B 
[−3412]. 
 
 
C 
[1−412]. 
 
 
Usando as definições dos elementos das matrizes de A e de B, 
encontramos A=[2004] e B=[−1−41−2]. Assim, A+B=[2−10−40+14−2]
=[1−412] (livro-base p. 20-21 e 27-29) 
 
 
D 
[1−4−12]. 
 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
 
E 
[141−2]. 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações que seguem: 
 
Seja o espaço vetorial V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto 
do espaço vetorial V. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença 
correta: 
Nota: 10.0 
 
A W não é um subespaço de V, porque não satisfaz somente a 
propriedade da soma u+v∈W. 
 
B W não é um subespaço de V, porque não satisfaz somente a 
propriedade do produto escalar kv∈W. 
 
C W não é subespaço de V, porque não satisfaz as duas propriedades 
da soma u+v∈W e do produto escalar kv∈W. 
 
D W é um subespaço de V. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Para W ser subespaço de V , deve satisfazer as propriedades: 
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W 
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W 
 
Logo W é subespaço. 
 
(Livro-base p. 82-86). 
 
E W não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4. 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
operações com matrizes e dada as matrizes: 
 
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]. 
 
 
Dado que A+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da 
equação matricial: 
Nota: 10.0 
 
A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2. 
 
B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. 
 
(Livro-base p. 40-51) 
 
C x=−5,z=−6,y=3 e w=2. 
 
D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2. 
 
E x=4,z=−2,y=−4 e w=3. 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações a seguir: 
 
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente 
de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua inversa, o resultado deve 
ser a matriz identidade de mesma ordem. 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear, analise a matriz A=[1021] e assinale a alternativa 
que indica sua inversa: 
Nota: 10.0 
 
A 
A−1=[10−21] 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A inversa de A é a matriz A−1, tal que: 
 
A.A−1=I. assim, temos: 
[1021].[abcd] = [1001] 
 
[ab2a+c2b+d] = [1001] 
 
assim, A−1=[10−21] 
 
(Livro-base p. 52-56). 
 
B 
A−1=[1021] 
 
 
C 
A−1=[−10−2−1] 
 
 
D 
A−1=[10−212] 
 
E 
A−1=[01−212] 
 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem 
acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no 
início de um dia foi registrado e é dado pela matriz: 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Fili
al 396612 
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 
3 filiais, que é dada pela matriz abaixo: 
 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 
382310 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base 
Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela 
tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa 
cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial: 
Nota: 10.0 
 
A 
[Filial1=28Filial2=44Filial3=37] 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes: 
 
[105238710696612]- [6322438582310]= [420144211432] 
 
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores: 
 [420144211432].[4532]= [284437] 
 
(Livro-base p. 36-41). 
 
B 
[Filial1=21Filial2=42Filial3=38] 
 
 
C 
[Filial1=24Filial2=39Filial3=38] 
 
 
D 
[Filial1=26Filial2=38Filial3=44] 
 
 
E 
[Filial1=32Filial2=46Filial3=38] 
 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
transformações lineares, e T:R2→R3 uma transformação linear tal 
que 
 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4), 
 
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u). 
 
 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A T(u)=(−3,2,2) 
 
B T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y) 
 
C T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y) 
 
D T(u)=(32y,x+12y,2x−12y) 
Como {(1,2),(3,4)} é uma base de R2, existe uma única TL tal 
que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4). Dado u=(x,y), temos que: 
 
u=r(1,2)+s(3,4) 
 
{r+3s=x2r+4s=y 
 
Escalonando o sistema, temos: 
 
{r+3s=x−2s=y−2x 
 
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y). 
 
Portanto, T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y). 
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2). 
 
(Livro-base p. 119-122) 
 
E T(u)=12(y,x+2y,2x−4y) 
Você assinalou essa alternativa (E) 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Seja T:R2→R2 uma transformação linear, definida por T(x,y)=(x−2y,x). 
 
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos 
do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz de transformação, 
considerando a base canônica de R2, {e1=(1,0),e2=(0,1)}. 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A 
[T]=[0−201] 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 
B 
[T]=[11−21] 
 
C 
[T]=[1011] 
 
 
D 
[T]=[1−210] 
A TL é definida por T(x, y) = (x-2y, x) = 
[1−210].[xy] , logo, 
 
A=[1−210] 
(Livro-base p. 130-139). 
 
E 
[T]=[1−225] 
 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre 
mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases 
 
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos 
polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a 
matriz das 
 
coordenadas do polinômio p=x−4 em relação a base A. 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A [6 −5]t 
 
B [5−8]t 
 
Determine as coordenadas de p=x−4 em relação a base 
A. 
 
 
p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4]. 
 
As coordenadas são [5 −8]t 
 
 
(Livro-base p. 119-122) 
 
C [8 −6]t 
Você assinalou essa alternativa (C) 
 
D [7 −9]t 
 
E [3 −2]t 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
 
Considere a transformação T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). 
 
De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, coloque V quando a afirmativa for verdadeira 
e F quando for falsa: 
 
I. ( ) T é uma transformação linear. 
 
II. ( ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}. 
 
III. ( ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V - V - V 
Você assinalouessa alternativa (A) 
Você acertou! 
Dados u,v∈R3 e λ∈R, observamos que T satisfaz 
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u). 
Assim, T é uma transformação linear e a afirmativa I é verdadeira. Além 
disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0, 
o que mostra que z pode ser tomado qualquer. Desse 
modo, N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do 
Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2. 
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130). 
 
B V - F - V 
 
C V - V - F 
 
D V - F - F 
 
E F - V - V