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9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 
 
 
Introdução 
Modelo matemático 
Respostas no tempo e em freqüência 
Movimento relativo 
Isolamento de vibrações 
Questionário 
Problemas 
 
Teoria: Rao 3.6; 9.10.1 a 9.10.2 
Problemas: Rao 3.35 a 3.50; 9.27 a 9.48 
 
 
9.1 Introdução 
 
 Existem situações em que a base de um sistema mecânico descreve um movimento harmônico. Como exemplo, 
consideremos uma oficina onde uma máquina desbalanceada gera uma vibração harmônica que se propaga através do solo 
e excita as máquinas que estão na vizinhança, passando pelas fundações dessas últimas. Nesta apostila estudaremos este 
importante problema e também abordaremos as maneiras de minimizá-lo, através do uso adequado de suspensões elásticas. 
 
 
9.2 Modelo matemático 
 
 Seja o sistema da fig. 9.1, no qual y(t) = Ysenωt denota o deslocamento da base e x(t) a resposta no tempo da 
massa. Supondo x > y, a mola sofrerá uma deformação x – y e o amortecedor uma velocidade relativa entre as suas 
extremidades igual a 
..
yx− . 
 
 
Fig. 9.1 Excitação harmônica da base 
 
 A fig. 9.2 mostra o diagrama de corpo livre do sistema, onde foi suposto que x > y: 
 
 
Fig. 9.2 Diagrama de corpo livre 
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-2
 Aplicando a 2a Lei de Newton, chegamos facilmente ao modelo matemático: 
 
 
 (9.1) 
 
 Consideremos a excitação harmônica da base 
 
 y(t) = Ysenωt (9.2) 
 
 Derivando e substituindo no modelo matemático: 
 
 (9.3) 
 
 Da Trigonometria: 
 
 Associando P = ωt Q = α: 
 
 Multiplicando por A (a definir): tAtAtA ωααωαω cossencossen)(sen −=− 
 
 Comparando com o membro direito da eq. (9.3) 
 
 (9.4) 
 
 
 (9.5) 
 
 Elevando ao quadrado as eqs. (9.4) e (9.5) e somando, podemos obter A: 
 
 logo (9.6) 
 
 Para obter α, dividimos a eq. (9.5) pela eq. (9.4): 
 
 
 donde (9.7) 
 
 
Portanto, podemos reescrever a eq. (9.3) como 
 
 (9.8) 
 
onde A é dada pela eq. (9.6) e α pela eq. (9.7). A eq. (9.8) constitui o modelo matemático do sistema. 
 
Conclusão: matematicamente, o deslocamento harmônico da base equivale à excitação de uma força harmônica de 
amplitude A e freqüência ω, atuando diretamente sobre a massa m. 
 
 
9.3 Resposta permanente no tempo. Resposta em freqüência 
 
 Tendo em conta a conclusão acima, podemos adaptar as equações obtidas anteriormente para a resposta 
permanente e o ângulo de defasagem, chegando a: 
 
 
 (9.9) 
 
 
onde (9.10) 
 
 
 Podemos, ainda, colocar a eq. (9.9) numa forma compacta mais conveniente: 
kyyckxxcxm
....
+=++
)(sen
...
αω −=++ tAkxxcxm
( )
( ) ( )
)(sen)( 1
222
22
αφω
ωω
ω
−−
+−
+
= t
cmk
ckY
tx p






−
=
21
arctg
ω
ω
φ
mk
c
tkYωtYckxxcxm ωω sencos
...
+=++
PQQPQP cossencossen)(sen −=−
ttt ωααωαω cossencossen)(sen −=−
ωα
α
YcA
YkA
=
=
sen- 
 cos 
])[(sencos 2222222 kcYAA +=+ ωαα 22 )c(kYA ω+=
k
cω
α
α
α −==
cos
sen
tg 





−=
k
cω
α arctg
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-3
 (9.11) 
 
onde: 
222
22
)c()mk(
)c(kY
X
ωω
ω
+−
+
= (9.12) 
 
é a amplitude da resposta permanente e αφφ += 1 (9.13) 
 
é o ângulo de defasagem (atraso da resposta em relação à excitação). 
 
 Usando a mesma técnica já aplicada anteriormente, também podemos obter as formas adimensionais para o fator 
de amplificação e para o ângulo de fase, respectivamente: 
 
 
 (9.14) 
 
 
 (9.15) 
 
 
onde as expressões para 1φ e α já foram apresentadas mais acima. Após simplificações, chegamos a 
 
 (9.15) 
 
 
 As eqs. (9.14) e (9.15) constituem a resposta em freqüência em regime permanente do fator de amplificação e do 
ângulo de fase, respectivamente, enquanto que a eq. (9.11) nos dá a resposta permanente no tempo. 
 
Transmissibilidade de deslocamento da base para a máquina: é definida como 
 
 
Y
X
Td = 
logo, é igual ao fator de amplificação: 
 
 (9.16) 
 
 
 A transmissibilidade de deslocamento nos informa a relação entre a amplitude da resposta e a amplitude do 
deslocamento da base (da excitação). 
 
Gráficos da Resposta em Freqüência: podemos plotar as eqs. (9.16) e (9.15) para obtermos, respectivamente, as figuras 
seguintes: 
 
 
 
Fig. 9.3 Respostas em freqüência 
)(sen)( φω −= tXtxp
222
2
)r2()r1(
)r2(1
Y
X
FA
ς
ς
+−
+
==
αφ
αφ
αφφ
tgtg1
tgtg
)(tgtg
1
1
1
−
+
=+=
)
)2(1
2
(arctg
22
3
rr
r
ς
ς
φ
+−
=
222
2
d
)r2()r1(
)r2(1
Y
X
T
ς
ς
+−
+
==
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-4
 As curvas do fator de amplificação mostram, mais uma vez, que o fator de amortecimento tem uma grande 
influência na amplitude, principalmente na zona de freqüências próxima à ressonância, logo nessa na região devemos usar 
grandes fatores de amortecimento para minimizar os efeitos da ressonância. Já para r ≥ 3 o uso de amortecimento é até 
contraproducente, pois todas as curvas trocam de posição a partir de 2r = . 
 
 Na ressonância, ou seja, quando r = 1, podemos substituir esse valor nas equações da amplitude e do ângulo de 
fase e chegar a: 
 
 (9.17) 
 
 
 
 (9.18) 
 
 
 Vemos facilmente que, na ressonância (r = 1) e sem amortecimento (ζ = 0), Td →∞ e φ = 0. 
 
 Verificamos, também, que o máximo valor do FA (e, em conseqüência, da amplitude), ocorre um pouco à 
esquerda da ressonância. Para determinarmos o valor da relação de freqüências em que ocorre esse valor máximo, assim 
como esse último, aplicamos a teoria de máximos e mínimos, ou seja, derivamos a eq. (9.17) em relação a r e a igualamos a 
zero, obtendo: 
 
 (9.19) 
 
 
 Examinando a expressão de rmax, concluímos que quanto maior o valor de ζ menor o valor de rmax, ou seja, mais 
para a esquerda se localiza o valor máximo da resposta em freqüência, o que é confirmado pelo gráfico. 
 
Transmissibilidade de força da massa para a base 
 
 A partir do modelo matemático dado pela eq. (9.1), podemos escrever: 
 
 (9.20) 
 
 Da eq. (9.20) podemos concluir que a força transmitida à base, através da mola e do amortecedor, é dada por 
 
 (9.21) 
 
 Derivando duas vezes a eq. (9.11) em relação ao tempo e substituindo na eq. (9.21), obtemos a força transmitida à 
base como sendo 
 (9.21) 
 
ou (9.22) 
 
onde (9.23) 
 
é a amplitude da força transmitida (observemos a semelhança de FT
 com a força centrífuga desbalanceadora). Podemos, 
agora, definir transmissibilidade de força como: 
 
 (9.24) 
 
 
então (9.25) 
 
 
 Levando em conta a eq. (9.16), onde temos a expressão para a relação X/Y, podemos concluir que 
 
 
 (9.26) 
 
ς
ς
ς
ς
2
)2(1
)2(
)2(1 2
2
2
res
res d
+
=
+
==
Y
X
T
)
2
1
(arctg)
)2(
2
(arctg
2 ςς
ς
φ ==
181
2
1
r 2max −+= ς
ς
0)yx(k)yx(cxm
....
=−+−+
kY
F
T Tf =
kY
Xm
T f
2ω
=
df Tr
rr
r
rT
2
222
2
2
)2()1(
)2(1
=
+−
+
=
ς
ς
....
)()( xmyxkyxcF −=−+−=
)(sen2 φωω −= tXmF
)(sen φω −= tFF T
XmF 2T ω=
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-5
 A fig. 9.4 fornece a resposta em freqüência de Tf, dada pela eq. (9.26), na qual podemos observar que a 
transmissibilidade de força tem um aumento substancial para grandes valores de r e principalmente para grandes 
amortecimentos: 
 
 
 
Fig. 9.4 Resposta em freqüência de Tf 
 
 
Ex. 9.1 (Rao Ex. 3.3) - Veículo movendo-se sobre estrada ondulada. Para os dados numéricos seguintes, calcular a 
amplitude de deslocamento do veículo da Fig. 9.5. 
 
m = 1200 kg 
k = 400 kN/m 
ζ = 0,5 
período de um ciclo = 6 m 
Y = 0,05 m 
 
 
 
 
 
Fig. 9.5 Veículo deslocando-se sobre estrada ondulada 
 
Solução 
 
( )( ) ( )
31865,0
2574,18
8178,5
rad/s 2574,18
1200
400000
rad/s 8178,5
08,1
22
s 08,1
3600
1000
206 :ciclo um Em
: de Cálculo
 21
 21
n
n
222
2
===
===
===
=⇒=
×=
+−
+
=
ω
ω
ω
π
τ
π
ω
ττ
ζ
ζ
r
m
k
tempovelocidadeespaço
r
rr
r
Y
X
 
 
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-6
 
[ ]
( ) [ ]
cm 5,5 m 055,0)1,1)(05,0(
1,1
)31865,0)(5,0)(2(31865,01
)31865,0)(5,0)(2(1
222
2
===
=
+−
+
=
X
Y
X
 
 
 
 
9.4 Movimento Relativo 
 
 Consideremos novamente o DCL devido ao movimento harmônico da base, ilustrado na fig. 9.5: 
 
 
 
Fig. 9.5 Diagrama de corpo livre para o movimento harmônico da base 
 
 Consideremos o deslocamento relativo da massa em relação à base: 
 
 z = x – y (9.27) 
 
 Derivando z(t) duas vezes em relação ao tempo e levando na eq. (9.20), repetida a seguir, obtemos 
 
 (9.28) 
 
 
 Logo, comparando com EDOL do desbalanceamento rotativo, podemos concluir que a resposta permanente é dada 
por 
 
 (9.29) 
 
 
 
 De modo totalmente análogo ao feito no caso do desbalanceamento rotativo, podemos também obter as respostas 
em freqüência para o fator de amplificação Z/Y e para o ângulo de fase φ1, respectivamente, sob forma adimensional: 
 
 
 (9.30) 
 
 
 
e (9.31) 
 
 
que fornecem as respostas em freqüência do fator de amplificação e do ângulo de defasagem para o caso do movimento 
relativo. A fig. 9.6 ilustra a resposta em freqüência do fator de amplificação: 
 
222
2
)2()1( rr
r
Y
Z
FA
ς+−
==
)
1
2
(arctg
21 r
r
−
=
ς
φ
tYmkzzczm ωω sen2
...
=++
( ) ( )
)(sen)(sen)( 11
222
2
φωφω
ωω
ω
−=−
+−
= tZt
cmk
Ym
tz
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-7
 
 
Fig. 9.6 Resposta em freqüência do fator de amplificação 
 
 
Ex. 9.2 (Rao Ex.3.4) - Máquina sobre fundação elástica. Uma máquina pesando 3000 N está colocada sobre uma 
fundação elástica. A deflexão estática da fundação devida ao peso da máquina vale 7,5 cm. Observa-se que a máquina vibra 
com uma amplitude de 1 cm quando a base da fundação é submetida a uma oscilação harmônica de amplitude 0,25 cm e 
freqüência igual à freqüência natural do sistema. Achar: 
 
1. coeficiente de amortecimento da fundação; 
2. amplitude da força transmitida à base; 
3. amplitude do deslocamento da máquina em relação à base. 
 
Solução 
 
(a) Sistema em ressonância: r = 1, logo usamos a eq. (9.17) 
 
 
 
 
 
 
X = 0,01 m e Y = 0,0025 m ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Usamos a eq. (9.26) para r =1: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular a força transmitida, usamos a definição de Td, dada pela eq. (9.24): 
ς
ς
ς
ς
2
)2(1
)2(
)2(1
Y
X
T
2
2
2
res
res d
+
=
+
==
N.s/m 05,903)437,11)(
81,9
3000
)(1291,0)(2( logo
rad/s 437,11
075,0
81,9
 onde 2
2
1291,0
60
1
1464
4
41
16
2
)2(1
25
100
2
)2(1
0025,0
01,0
22
2
222
==
====⇒=
==⇒=−
+
=⇒
+
=⇒
+
=
c
g
mc
m
c
est
nn
n δ
ωωζ
ω
ζ
ζςς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
df TrT
2=
4
0025,0
01,0
1
2
==
=
f
f
T
Y
X
rT
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-8
 
 
 
 
 
 
(c) Usamos a eq. (9.30) para r =1: 
 
 
 
 
 
 
 É muito importante observar que Z ≠ X – Y, o que se explica pelo fato de que existe uma diferença de fase entre x, 
y e z. 
 
 
 
9.5 Isolamento de Vibrações 
 
 O isolamento de vibrações é um procedimento pelo qual os efeitos indesejáveis da vibração são reduzidos. 
Envolve a inserção de um isolador (mola + amortecedor) entre a massa vibrante e a base. Um sistema de isolamento pode 
ser: 
• ativo: necessita de uma fonte de energia externa para que o isolador cumpra sua função. Um isolador ativo 
compõe-se de um servomecanismo com um sensor, um processador de sinal e um atuador. Exemplo de 
isolador ativo: suspensão ativa de um automóvel. Não será estudado neste curso introdutório, pois envolve 
conhecimentos de engenharia de controle. 
 
• passivo: não necessita de tal fonte externa de energia. Nesta apostila estudaremos apenas esse tipo de 
isoladores. Exemplos: molas metálicas, cortiça, feltro e elastômeros, conforme ilustra a fig. 9.7. 
 
 
Fig. 9.7 Isoladores passivos de vibração 
 
 O isolamento passivo de vibrações pode ser usado nas seguintes situações: 
 
1. para isolar a base (fundação) de forças externas F(t) que atuam sobre a máquina ou geradas por ela (casos 
de máquinas rotativas, máquinas alternativas, prensas, etc.). 
 
2. para isolar a máquina de deslocamentos provenientes da base (fundação) devidos às vibrações provocadas 
por equipamentos situados nas vizinhanças. 
 
Vamos estudar cada um dos casos acima. 
 
 
N 400)0025,0()437,11)(
81,9
3000
)(4( 22
2
===
=⇒=
YmTF
Ym
F
kYTF
kY
F
T
nfT
n
T
fT
T
f
ω
ω
mm 9,682 m 009682,0
2
1
2
1
)2()1( 222
2
====⇒
+−
==
ςς
ς
YYZ
rr
r
Y
Z
FA
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-9
 1.1 Redução da transmissão da força harmônica atuando diretamente na massa (Fig. 9.8) 
 
Além da carga estática (peso da máquina), a fundação é submetida à força harmônica que eventualmente esteja 
atuando diretamente sobre a máquina. Colocamos, então, um isolador (mola k + amortecedor c) entre a máquina e a 
fundação, a fim de reduzir a força transmitida à fundação. Para esta situação, a efetividade do isolador é definida por sua 
transmissibilidade Tr: 
 
 (9.32) 
 
 
 
 
Fig. 9.8 Isolamento da força transmitida à fundação fixa 
 
 
Vimos, anteriormente (apostila 7), que o fator de amplificação foi definido pela eq. (7.18), a seguir repetida: 
 
 (9.33) 
 
 
 Podemos reescrever a equação acima como 
 
 
 (9.34) 
 
 
a qual satisfaz a definição de Tr, pois kX é a amplitude da força transmitida. Logo: 
 
 
222 )2()1(
1
rr
Tr
ς+−
= (9.35) 
 
A Fig. 9.9 representa graficamente a eq. (9.35), da qual podemos extrair as seguintes observações: 
 
 
 
Fig. 9.9 Resposta em freqüência da Tr 
2220 )r2()r1(
1
k
F
X
FA
ς+−
==
2220 )2()1(
1
rrF
kX
ς+−
=
excitação forçade da amplitude
da transmitiforça da amplitude
=rT
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-10 
1. Para haver isolamento, r > 2 . 
2. Tr pode ser reduzida diminuindo-se ωn. 
3. Tr pode ser também reduzida diminuindo ζ, para r > 2 . Entretanto, para enfrentar a passagem pela ressonância, 
deve haver um certo amortecimento. 
4. O amortecimento diminui a Tr apenas para r < 2 . Acima desse valor, o amortecimento aumenta a Tr. 
5. Se ω varia, deve haver um compromisso ao escolher ζ entre a situação de ressonância e a de operação. 
 
 
 1.2 Redução da transmissão da força harmônica gerada por desbalanceamento da máquina (Fig. 9.10) 
 
 
Fig. 9.10 Isolamento da força transmitida à fundação móvel 
 
Neste caso, a Tr se confunde com a transmissibilidade de força que, conforme já vimos, é dada pela eq. (9.26), a 
seguir repetida 
 
 (9.36) 
 
 
A representação gráfica da eq. (9.36) é a mesma apresentada na Fig. 9.4, na qual podemos observar que a 
transmissibilidade de força tem um aumento substancial para grandes valores de r e principalmente para grandes 
amortecimentos. 
 
 2. Redução da transmissão do deslocamento transmitido à massa (Fig. 9.11) 
 
 
 
Fig. 9.11 Isolamento de deslocamentos gerados pela base 
 
 Para esta situação, a efetividade do isolador é definida por sua transmissibilidade Tr: 
 
 (9.37) 
 
 
e a mesma se confunde com a transmissibilidade de deslocamento, logo a Tr é dada pela equação 
 
 (9.38) 
222
2
2
r
)r2()r1(
)r2(1
rT
ς
ς
+−
+
=
222
2
)2()1(
)2(1
rr
r
Y
X
Tr
ς
ς
+−
+
==
excitação da todeslocamen do amplitude
do transmititodeslocamen do amplitude
=rT
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-11 
conforme já tínhamos estudado. A representação gráfica da eq. (9.38) é a mesma apresentadana Fig. 9.9, da qual podemos 
extrair as mesmas observações anteriores. 
 
 
Ex. 9.3 (Rao Ex. 9.5) – Isolamento de sistema vibratório. Um sistema vibratório deve ser isolado de sua base. Admitindo 
uma transmissibilidade na ressonância de 4, determinar o fator de amortecimento necessário para o isolador. 
 
.Solução 
 
 Tendo em vista que a transmissibilidade deve ser 4, temos, a partir da eq. (9.38) e levando em conta que r = 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 9.4 (Rao Ex. 9.4) – Mola para isolar exaustor. Um exaustor gira a 1000 rpm e deve ser instalado sobre 4 molas, cada 
uma delas de rigidez desconhecida k e amortecimento desprezível. Deseja-se que somente 10% da força desbalanceada 
gerada no exaustor seja transmitida à base. Se a massa do exaustor é 40 kg, achar o valor de k. 
 
.Solução 
 
 Tendo em vista que a transmissibilidade deve ser 0,1 temos, a partir da eq. (9.36) e levando em conta que ζ = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N/m 1206285
4
4825140
4
 :molas 4 são Como
N/m 4825140)32,347)(40( Como
rad/s 32,347
3015,0
60
2
1000
3015,0
10)1(
01
1,0
)2()1(
)2(1
22
2
2
22
2
222
2
2
===
===⇒=
===⇒=
=⇒
−
=
+−
+
=
+−
+
=
eq
neq
eq
n
n
n
r
k
k
mk
m
k
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
rT
ωω
π
ω
ω
ω
ω
ς
ς
( ) ( )
( )
( )
1291,0
6441
821
4
2
21
2
21
)2(
21
)2()1(
)2(1
22
2
2
2
2
2
222
2
=
=+
=+
=
+
+
=
+
=
+−
+
=
ζ
ζζ
ζς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
resr
r
T
rr
r
T
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-12 
 
Questionário 
 
 
1. É possível eliminar totalmente uma vibração sem extinguir a sua causa? 
 
 
2. É possível minimizar uma vibração sem extinguir a sua causa? Como? 
 
 
3. A adição de amortecimento fará com que a força transmitida à fundação diminua? Explicar com base no gráfico da 
resposta em freqüência. 
 
 
 
4. Se um veículo vibra muito ao trafegar com velocidade constante sobre uma estrada ondulada, uma mudança em 
sua velocidade poderá melhorar a situação? Explicar com base no gráfico da resposta em freqüência. 
 
 
 
5. Em que caso a resposta permanente está sempre em fase com a excitação harmônica? 
 
 
6. Matematicamente, a qual situação já estudada equivale o deslocamento harmônico da base? Qual deve ser então a 
amplitude da resposta permanente? E o ângulo de defasagem? 
 
 
 
 
7. Escreva as expressões matemáticas para a amplitude e o ângulo de defasagem da resposta permanente de um 
sistema excitado por um deslocamento harmônico da base. Em que elas diferem em relação ao desbalanceamento 
rotativo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Definir transmissibilidade de deslocamento e transmissibilidade de força. Em que elas diferem entre si? 
 
 
 
 
 
 
 
9. Por que, no movimento relativo, nem sempre Z = X – Y mesmo tendo sido definido z(t) = x(t) – y(t)? 
 
 
 
 
10. O que são isoladores de vibração? 
 
 
 
 
 
 
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-13 
11. Como se classificam os isoladores de vibração? Discorra sobre cada um deles. 
 
 
 
 
12. Discorra sobre as duas situações em que o isolamento de vibrações pode ser usado. 
 
 
 
 
 
 
13. Defina transmissibilidade de um isolador de vibrações. 
 
 
 
 
 
 
14. É desejável utilizar amortecimento em isoladores de vibração nos casos de o sistema operar em grandes relações 
de freqüência? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
 
Resp.: 1,7 x 10-4 m 
 
 
 
 
9.2 (Rao 3.44) – Um automóvel desloca-se com velocidade constante de 60 km/h sobre uma pista ondulada de perfil 
senoidal cuja amplitude pico a pico vale 0,2 m e cuja distância entre picos ao longo da pista é de 35 m. Se a freqüência do 
automóvel na vertical é de 2 Hz e o fator de amortecimento da suspensão é de 0,15, determinar: (a) amplitude da vibração 
nessa situação; (b) velocidade do carro, em km/h, para a qual o conforto dos passageiros é mais desfavorável. 
 
Resp.: (a) 0,106 m; (b) 246,7 km/h. 
 
 
 
 
9.1 (Rao 3.36) – Uma retificadora de 
precisão de peso 5000 N está montada 
sobre isoladores de rigidez total 106 N/m 
e coeficiente de amortecimento total 103 
N.s/m. O piso sofre a vibração 
harmônica desenvolvida por uma 
máquina desbalanceada que se encontra 
nas proximidades. Determinar a máxima 
amplitude aceitável dessa vibração se a 
amplitude da vibração da retificadora 
deve estar limitada a 10-6 m. 
 
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-14 
9.3 Um trailer, de massa 700 kg, é rebocado a 60 km/h ao longo de uma estrada cuja superfície pode ser considerada 
senoidal, conforme mostra a figura: 
 
Dados: L = 30 m 
 h = 0,05 m 
 k = 60000 N/m 
 ζ = 0,67 
 
Considerando que somente o movi- 
mento vertical do trailer é excita- 
do, achar: 
(a) amplitude do movimento da 
massa M; 
(b) ângulo de defasagem entre a excitação 
 e a resposta. 
 
 
9.4 (Steidel 7.3) - Observa-se que a vibração livre de uma haste vertical engastada cai de uma amplitude inicial de 20 mm à 
metade desse valor em 10 ciclos. Calcular a amplitude da resposta permanente na ressonância quando a base da viga é 
excitada pelo deslocamento horizontal harmônico da figura, dado em m. 
 
 
Resp.: 45,5 mm 
 
9.5 - Um bloco de massa 35 kg está ligado a um suporte através de uma mola de rigidez 1,4 x 106 N/m e um amortecedor 
de coeficiente de amortecimento 1,8 x 103 Ns/m. O suporte se movimenta com deslocamento harmônico de amplitude 10 
mm e freqüência 35 Hz. Calcular a amplitude da resposta permanente do bloco. 
 
Resp.: 29,4 mm. 
 
9.6 (Shabana Ex. 4.7) – Um sistema amortecido de massa 25 kg e rigidez 2500 N/m é excitado na sua freqüência natural 
por um deslocamento da base de amplitude 0,005 m, situação em que a massa apresenta uma resposta permanente de 
amplitude 0,01 m. Determinar (a) coeficiente de amortecimento; (b) amplitude da força transmitida; (c) amplitude do 
deslocamento relativo da massa com relação à base; explicar por que Z ≠ X – Y. 
 
Resp.: (a) 144,34 N.s/m; (b) 25 N; 8,66 mm. 
 
9.7 - Durante a instalação de um motor elétrico de rotação nominal 1800 rpm e massa 200 kg, foi o mesmo colocado sobre 
molas, tendo as mesmas apresentado uma deflexão estática de 0,13 mm. Desprezando o amortecimento, calcular a 
transmissibilidade do sistema. Você recomendaria o uso de isoladores de vibração? Por quê? 
 
9.8 - Um motor elétrico, de massa 25 kg, está montado sobre a extremidade de uma viga horizontal em balanço. Em 
vibração livre, a razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é 2:1. Calcular a transmissibilidade quando o motor 
estiver operando em uma rotação tal que ω = 5ωn. 
 
Resp.: 0,062. 
 
9.9 - Um motor elétrico aciona um equipamento mecânico a uma velocidade de 1750 rpm. O sistema está montado sobre 
calços de borracha os quais apresentaram uma deflexão estática de 5 mm quando da montagem. Determinar o percentual de 
força transmitida à fundação se o fator de amortecimento do sistema for 0,25. 
 
Resp.: 14,4%. 
 
 
9 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico da base. 9-15 
9.10 - Um equipamento eletromecânico está montado sobre um conjunto de isoladores de borracha. O sistema, cuja 
freqüência natural é 500 rpm, exibe, na ressonância, um fator de amplificação igual a 5. A partir de qual freqüência a 
transmissibilidade de força é reduzida a 50%? 
 
Resp.: 879 rpm 
 
9.11 -(Steidel 7.14) - A figura mostra a resposta em freqüência do movimento vertical do piso nas proximidades de uma 
prensa. Estimar o fator de amortecimento ζ e calcular a transmissibilidade a 1800 rpm. 
 Resp.: ζ = 0,0625; Tr = 0,133. 
 
9.12 - Um motor elétrico gira a 1750 rpm e deve ser montado sobre suportes de borracha. Há disponibilidade de dois tipos 
de suportes: os do tipo A possuem deflexão estática de 5 mm e os do tipo B, 8 mm. Qual tipo é o mais adequado no que diz 
respeito ao isolamento de vibrações? Considerar que ambos os tipos apresentam um fator de amortecimento de 0,2. 
 
9.13 - (Rao Ex. 9.6) – Isolamento de toca-discos.Um toca-discos de massa 1 kg gera uma força de excitação na 
freqüência de 3 Hz. Ele deve ser montado sobre um isolador de borracha. Determinar a rigidez do isolador para reduzir a 
vibração transmitida à base em 80%. Desprezar o amortecimento. 
 
Resp.: k = 59,22 N/m.