Prova-comentada-da-UFSM-2013

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Prova da UFSM - 07/12/2012 - PS1 
01. O turismo é uma atividade econômica muito importante em várias cidades brasileiras. Supõe-
se que, numa determinada cidade, o número de turistas, em milhares, pode ser representado por 
 
Com t = 0 correspondendo a 2000, t = 1, a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo, 
qual é, em milhares, o número máximo de turistas nessa cidade? 
a) 50,2. 
b) 59,8. 
c) 63,0. 
d) 69,8. 
e) 109,0. 
Resolução: 
Veja que N(t) representa o número de turistas, em função do ano. Para obter o número máximo 
de turistas, precisamos encontrar o valor máximo da função, ou seja, o y do vértice. Analisando 
o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o número de turistas em função do tempo 
descreve um arco de parábola com concavidade para baixo. 
 
É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice: 
 
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Temos: 
 
 
02. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% 
ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões 
de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano 
anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo 
t (em anos), por V = 6,775(1,05)
t - 1 
com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por 
diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,5 bilhões de dólares? 
Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02 
a) 2015. 
b) 2016. 
c) 2020. 
d) 2025. 
e) 2026. 
Resolução: 
Na função exponencial dada, temos que encontrar o tempo para que o valor movimentado pelo 
Ecoturismo seja igual a 13,5 bilhões de dólares. Para isso, vamos substituir V por este valor. 
Assim: 
 
Para obtermos o t, teremos que aplicar logaritmo nos dois membros da equação exponencial 
resultante. Assim: 
log 2 = log (1,05)
t - 1
 
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Utilizando uma das propriedades dos logaritmos (log a
n
 = n.loga), vem: 
log 2 = (t - 1)log 1,05. 
Veja que o log 2 é igual a 0,3 e o de log 1,05 vale 0,02. Logo: 
0,3 = (t - 1)0,02 
Resolvendo, temos: 
 
Veja que o tempo t = 1, corresponde a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Este percentual de 
crescimento, expresso pela função exponencial dada, incide sobre a movimentação do ano anterior, ou 
seja, no t = 1, este valor será em relação a 2010. Logo, o valor de 13,5 bilhões de dólares será 
movimentado em 2010 + 16 = 2026. 
 
03. Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), em dezembro de 2008, foram 
registrados, no setor de turismo (ACTs - Atividade Características de Turismo), 879.003 
empregos formais. Já na economia como um todo (incluindo setores estatutários e militares), 
esse número foi de 30.862.772. De acordo com os dados, a razão entre o número de empregos 
formais na economia como um todo e em ACTs é igual a 
a) 9/316. 
b) 10/351. 
c) 158/45. 
d) 351/10. 
e) 316/9. 
Resolução: 
Razão significa divisão. Logo, a ordem dos termos da divisão é importante. Na pergunta, a razão 
é entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs, nesta ordem. 
Logo, pelos valores apresentados no texto da perguta, temos: 
 
Veja que o resultado é uma dizíma periódica simples. Dentre as alternativa apresentadas, a que pode 
representar uma dízima periódica simples é a letra c ou a letra e, pois possui denominadores 45 e 9. No 
entanto, pelo valor encontrado na divisão, a letra correta é a letra e, ou seja, 316/9. 
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Outra forma de encontrar a resposta é analisar as alternativas. Veja que a razão possui o numerador 
muito maior que o denominador. Logo, a fração resultante simplificada, deve possuir essa mesma 
condição. Com isso, dava para eliminar as alternativas a e b. A letra d poderia ser eliminado por outra 
condição: como o denominador 879.003 não é divisível por 10, não poderíamos ter como fração 351/10. 
Sobraria as letras c e e. Mas veja que a razão 30862772/879003 apresenta o numerador muito maior que 
o denominador (dá prá ver que mais do 10 vezes). No entanto, a fração 158/45 apresenta o numerador 
pouco maior que o denominador (dá prá ver que menos do que 4 vezes). Dessa forma, sobraria como 
única alternativa a letra e. 
 
04. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas 
estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande 
parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a 
uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. 
Fonte: Disponível em http://www.copa2014.gov.br. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado) 
 
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção 
para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero – Empresa 
Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica. 
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for 
igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. 
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. 
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. 
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. 
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 
Resolução: 
http://www.copa2014.gov.br/
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O ponto de interseção das retas nos diz que função capacidade (C) é igual a função demanda (D). 
Logo, teremos que encontrar as leis das funções capacidade e demanda. Como os gráficos são 
retas, essas funções são do tipo y = ax + b (função afim). Para encontrar esse ponto de interseção 
devemos determinar as leis dessas funções. 
Função capacidade (C): 
Veja que esta reta possui os pontos (0; 4) e (4; 8), supondo que o ano de 2010 seja x = 0 e o ano 
de 2014, x = 4. Do ponto (0, 4) temos b = 4. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente 
a. Logo: 
8 = a.4 + 4 → a = 1. Assim, a função capacidade é y = x + 4 (C), onde x é o tempo e y o número 
de passageiros. 
Função demanda (D): 
Veja que esta reta possui os pontos (0; 6,7) e (4; 7,2). 
Do ponto (0; 6,7) temos b = 6,7. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo: 
7,2 = a.4 + 6,7 → a = 1/8. Assim, a função capacidade é: y = x/8 + 6,7 (D). 
Queremos encotrar o y, que representa o número de passageiros. Vamos isolar x na função 
capacidade (C) e substituir na função demanda (D). Assim: 
 
Este valor é em milhões. Portanto, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à 
capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 7,0857 milhões, ou seja, sete milhões, 
oitenta e cinco mil e setecentos. 
 
05. O gráfico a seguir mostra a distribuição percentual do valor da produção gerada pelas Atividades 
Características do Turismo no Brasil por atividade, em 2007. 
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Fonte: Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 15 jun. 2012. (adaptado) 
Sabe-se que, em 2007, as Atividades Características do Turismo geraram uma produção de 168,8 bilhões 
de reais. Qual é, aproximadamente, em bilhões de reais, a produção gerada pelas Atividades recreativas, 
culturais e desportivas? 
a) 13,1. 
b) 16,0. 
c) 22,4. 
d) 33,4. 
e) 67,4. 
Resolução: 
Pelo gráfico de setores, vemos que o percentual da produção gerada pelas Atividades recreativas, 
culturais e desportivas é igual a 13,27%. Logo, este valor em bilhões de reais é obtido calculando 
13,27% de 168,8. Assim: 
0,1327 . 168,8 = 22,39. Por aproximação temos 22,4 bihões de reais. 
 
 
 
http://www.ibge.gov.br/
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Prova da UFSM - 2013 - 08/12/12 - PS2 
01. Trigonometria 
Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam gravesproblemas a 
toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, 
favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. 
Suponha que a função 
 
represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Sáude, com 
x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim por diante. 
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, 
maio e julho é igual a 
a) 693. 
b) 720. 
c) 747. 
d) 774. 
e) 936. 
Resolução: 
Temos que encontrar N(1), referente ao número de pessoas com doenças respiratórias registrado 
em janeiro, N(3), referente ao mês de março, N(5), ao mês de maio e N(7), ao mês de julho. 
 
Somando, temos: 126 + 153 + 207 + 234 = 720. 
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02. Trigonometria no triângulo 
A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz 
na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qualidade de vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna 
ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. 
Dado: √3 = 1,7 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16 
d) 3,50 
e) 4,80. 
Resolução: 
Como o triângulo não é retângulo (o triângulo é obtusângulo) e conhecemos 2 lados e o ângulo entre 
eles, vamos aplicar a lei dos cossenos para conhecermos o lado BC, que iremos simbolizar por x. Assim: 
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Portanto, o total do trajeto é: 0,8 + 1 + 1,7 = 3,5 km. 
 
03. Análise Combinatória 
As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As 
cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que 
um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentores que 
fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardiácas. 
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 
instrumentadores? 
a) 220. 
b) 300. 
c) 600. 
d) 720. 
e) 1.200. 
Resolução: 
Temos que escolher 3 cardiologistas de um total de 5, 1 anestesista de um total de 2 e 4 
instrumentores de um total de 6. Como a ordem da escolha não determina uma equipe diferente, 
aplicamos combinação simples, ou seja: 
 
Vamos quantificar os grupos de 3 cardiologistas, entre os 5 disponíveis: 
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Agora vamos quantificar os grupos de anestesistas. Se são 2 e temos que escolher 1, temos apenas 2 
possibilidades, ou seja, C2,1 = 2. 
Por fim,vamos ver quantos possibilidades temos de escolher 4 instrumentores de um total de 6: 
 
Como a equipe é formado por cardiologistas e anestesista e instrumentores, multiplicamos as 
combinações. Assim: 
C5, 3 x C2, 1 x C6,4= 10.2.15= 300. 
 
04. Progressão 
A tabela mostra o número de pessoas que procuram serviços de saúde, segundo o local, numa 
determinada cidade. 
 
Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se 
as seguintes afirmações: 
I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão 
geométrica de razão 2.000. 
II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual 
a 112.200. 
III. Em 2011, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 827. 
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
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c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
Resolução: 
Afirmação I: 
O número de pessoas que procuraram atendimento em Postos e Centros de Saúde cresceu da 
seguinte forma, conforme tabela: 2.000, 4.000, 8.000, 16.000, ... 
Este crescimento é geométrico, pois a divisão de termos consecutivos resulta sempre num 
mesmo valor. Se dividirmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão q desta PG, ou seja: 
 
Logo, a afirmação está errada. 
Afirmação II: 
O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas cresceu da seguinte forma, 
conforme tabela: 4.200, 5.400, 6.600, 7.800, ... . 
Este crescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo 
valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja: 
r = a2 – a1 = 5400 – 4200 = 1200. 
Para sabermos o total de pessoas de 2001 até 2011, devemos aplicar a fórmula da soma dos termos da 
PA. Antes disso, devemos determinar a quantidade de pessoas que procuraram atendimento em 2011, ou 
seja, o último termo. Veja, com cuidado, que este termo ocupa a 11ª posição. Assim: 
a11 = a1 + 10r → a11 = 4200 + 10.1200 = 4200 + 12000 = 16200. 
Agora vamos determinar a soma, usando a fórmula 
 
Como de 2001 a 2011 temos 11 termos, o n = 10, a1= 4200 e a11 = 16200. Assim: 
 
Logo, a afirmação está correta. 
Afirmação III: 
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O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Odontológicas descresceu da seguinte 
forma, conforme tabela: 857, 854, 851, 848, ... . 
Este descrescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo 
valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja: 
r = a2 – a1 = 854 – 857 = –3. 
Devemos encontrar o número de pessoas em 2011, ou seja, o décimo primeiro termo. Assim: 
a11 = a1 + 10 r → a11 = 857 + 10(–3) = 857 – 30 = 827. 
Logo, a afirmação está correta. 
 
05. Sistemas Lineares. 
Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58 hospitalizações para 
tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos para esses pacientes 
foi de R$ 39.200,00. 
Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$ 450,00, 
para a doença B é R$ 800,00 e para a doença C é R$ 1.250,00. Observa-se também que o número 
de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a, b e c 
representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de 
a - b - c é igual a 
a) 14. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 36. 
e) 58. 
Resolução: 
O número de pacientes com as doenças A, B e C é representado, respectivamente, por a, b e c. 
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Logo, c = 12. 
Substituindo c = 12 na eq. (III), temos: a = 3.12 → a = 36. 
Substituindo c = 12 e a = 36 na eq. (I), temos: 36 + b + 12 = 58 → b = 10. 
Portanto: a - b - c = 36 - 10 - 12 = 14. 
 
 
Prova da UFSM - 2013 - 09/12/12 - PS3 
01. Geometria Analítica 
O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, 
é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de 
combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em 
uma estação de energia eólica, os cataventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o gráfico a 
seguir. 
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Para que um catavento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o catavento C1 e com o ponto 
médio do segmento C2C3 , é necessário e suficiente que 
a) 2x + 15y = 850. 
b) 5y - x + 50 = 0. 
c) 55y - 26x + 2.050 = 0. 
d) 4x + 5y = 450. 
e) 5y - 6x + 550 = 0. 
Resolução: 
Dado o triângulo com vértices em C1, C2 e C3, devemos encontrar a equação da reta mediana m em 
relação ao lado C2C3, conforme figura abaixo: 
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Vamos encontrar o ponto médio do lado C2C3, que é obtido pelas médias aritméticas de suas 
componentes, ou seja: 
 
Temos os pontos M(125, 40) e C1(100, 10) que pertencem a mediana m. Assim: 
 
 
02. Função polinomial 
O lixo ainda é um dos principais desafios dos governos na área de gestão sustentável. Na última 
década, o Brasil deu um salto importante no avanço para a gestão correta dos resíduos sólidos. 
O gráficomostra dados do Ministério do Meio Ambiente sobre o número de programas de coleta 
seletiva, em 2000 e 2008. 
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Supõe-se que o número de programas de coleta seletiva é expresso por f(x) = ax
3
 - x
2
 + 12x + b, 
a, b ∈ R, em que x é o tempo em anos, x = 0 corresponde a 2000, x = 1 corresponde a 2001 e 
assim por diante. De acordo com esse modelo, o número de programas de coleta seletiva em 
2012 é igual a 
a) 1.538. 
b) 1.728. 
c) 1.858. 
d) 2.178. 
e) 2.228. 
Resolução: 
Para responder a pergunta, devemos completar a função f(x) = ax3 – x2 + 12x + b, isto é, encontrar a e 
b. Pelo gráfico, encontramos o valor do b, pois o termo independente da função polinomial representa o 
valor onde a curva intercepta o eixo y. Assim, b = 450. 
Veja que x = 0 corresponde a 2000. Portanto, x = 8 corresponde ao ano de 2008. Para encontrar a, 
devemos substituir o ponto (8, 994) na função: 
a.83 – 82 + 12.8 + 450 = 994 → 512a – 64 + 96 + 450 = 994 → 512a + 482 = 994 
512a = 512 → a = 1. 
Para encontrar o número de programas de coleta seletiva em 2012, fazemos x = 12 e substituimos na 
função f(x) = x3 – x2 + 12x + 450. Assim: 
f(12) = 123 – 122 + 12.12 + 450 = 1728 – 144 + 144 + 450 = 2178. 
 
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03. Geometria Espacial 
Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio 
ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição 
causada pelo plástico. Uma dessa alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de 
embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. 
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de uma prisma hexagonal regular com 
10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm
3
, dessa embalagem? 
a) 150√3 . 
b) 1.500. 
c) 900√3. 
d) 1.800. 
e) 1.800√3. 
Resolução: 
O prisma hexagonal regular possui duas bases congruentes e paralelas que são hexágonos 
regulares. Esta base hexagonal pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros. Como o volume do 
prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura, temos: 
 
 
04. Números Complexos 
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Os edifícios "verdes" têm sido um nova tendência na construção civil. Na execução da obra 
desses prédios, há uma preocupação toda especial com o meio ambiente em que estão inseridos e 
com a correta utilização dos recursos naturais necessários ao seu funcionamento, além da correta 
destinação dos resíduos gerados por essa utilização. 
A demarcação do terreno onde será construído um edifício "verde" foi feita através dos pontos 
P1, P2, P3 e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, medidas em 
metros. Sabendo que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos complexos 
 
qual é a área, em m
2
, desse terreno? 
a) 1.595. 
b) 1.750. 
c) 1.795. 
d) 1.925. 
e) 2.100. 
Resolução: 
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05. Matemática Financeira 
No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. 
Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na 
compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no 
primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 
0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é 
a) 100.600[(1,006)
n
 - 1]. 
b) 100.000[(1,06)
n
 - 1]. 
c) 10.060[(1,006)
n
 - 1]. 
d) 100.600[(1,06)
n
 - 1]. 
e) 100.000[(1,006)
n
 - 1]. 
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Resolução: 
A aplicação financeira descrita no problema recebe o nome de montante de uma sequencia uniforme de 
depósitos, muito comum em poupanças de depósitos fixos mensais, onde há débito automático em 
conta-corrente para crédito em conta-poupança. 
Usamos a fórmula do montante composto V = Vo(1 + i)
t, em que Vo = 600, i = 0,6% = 0,006 e V o 
montante após n meses: 
V = 600 + 600(1 + 0,006) + 600.(1 + 0,006)2 + .... 
V = 600 + 600(1,006) + 600(1,006)2 + .... em n meses, após ter sido feito o último depósito de número 
n. 
Veja que os depósitos 600, 600(1,006), 600(1,006)2, ... estão em progressão geométrica de razão 
 
Para sabermos o montante final V, aplicamos a fórmula da soma dos termos da PG: 
 
Mas devemos lembrar que é pedido a expressão que representa o saldo ao final de n meses. Logo, 
sobre esse montante é aplicado o 0,6% do mês. Para ver isso, fazemos: 1,06.100000[(1,006)n – 1] = 
100600[(1,006)n – 1]. 
Também podemos obter a expressão final supondo o a1 = 600.1,006. 
Questão perigosa, pois normalmente se pede o montante ao final do depósito de data n (isto é, logo 
após ter sido feito o último depósito), que não é o caso desta pergunta.