Aula 5 - equações de Navier-stokes

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Profª Drª Marília Vasconcellos Agnesini
Contato: magnesini@unaerp.br
marilia.agnesini@gmail.com
http://lattes.cnpq.br/3226438965063643
2º Semestre/2023
Aula 5
Equações de Navier-Stokes
mailto:magnesini@unaerp.br
mailto:marilia.Agnesini@gmail.com
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Conteúdo programático
1. Introdução e conceitos fundamentais sobre fenômenos de transporte: 
2. Balanço de quantidade de movimento no envoltório do escoamento laminar: 
2.1 Perfis de tensão e de velocidade no escoamento de um filme de líquido em superfícies 
planas;
2.2 Aplicação do Teorema da Média para determinação da velocidade média e aplicações; 
2.4 Perfis de tensão e de velocidade no interior de um tubo; 
2.5 Aplicação do Teorema da Média para cálculo da velocidade média e determinação da 
equação de Hagen-Poiseuille. 
3. Dedução e Aplicação dos Balanços Diferenciais: 
3.1 O Balanço Diferencial de Massa e Balanço Diferencial de Quantidade de Movimento; 
3.2 Equações de Navier-Stokes; 
3.3 Aplicações das equações de Navier-Stokes em superfícies planas e cilíndricas;
3.6 Camada limite fluidodinâmica em planos e em tubos.
Avaliação 
Parcial
Avaliação 
final
Balanços diferenciais
• Deduções de equações gerais, válidas para o escoamento laminar 
tridimensional em regime permanente ou transiente. 
• Aplicação do Princípio de Conservação da Massa e o Balanço de 
Quantidade de Movimento em um volume de controle infinitesimal fixo 
no espaço. 
• As ferramentas básicas usadas para derivar essas equações 
diferenciais serão as mesmas utilizadas no desenvolvimento do 
capítulo anterior.
• Aplicação: em qualquer processo ou operação onde ocorre 
transferência de movimento, tubulações, tanques, colunas, entre 
outros.
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑉𝐶
−
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑜 𝑉𝐶
=
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑉𝐶
Considerando um volume de controle 
fixo no espaço, de dimensões x, y e 
z, através do qual existe um 
escoamento tridimensional em 
regime transiente. 
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
ሶ𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − ሶ𝑚𝑠𝑎𝑖 =
𝜕𝑚
𝜕𝑡
ሶ ȁ𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑥 − ሶ ȁ𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑥+∆𝑥 + ሶ ȁ𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑦 − ሶ ȁ𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑦+∆𝑦
+ ሶ ȁ𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑧 − ሶ ȁ𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑧+∆𝑧 =
𝜕𝑚
𝜕𝑡
Aplicando o balanço de matéria:
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
Taxa de massa de fluido que entra/sai no volume de controle: 
ሶ𝑚 = 𝜌. 𝑞 ሶ𝑚 = 𝜌. 𝐴. 𝑉
Na direção x:
Na direção y: ቚሶ𝑚𝑦 𝑦
= ቚ𝜌. ∆𝑥. ∆𝑧. 𝑉𝑦
𝑦
Na direção z: ቚሶ𝑚𝑧
𝑧
= ቚ𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝑉𝑧
𝑧
ቚሶ𝑚𝑥
𝑥+∆𝑥
= ቚ𝜌. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑉𝑥
𝑥+∆𝑥
ቚሶ𝑚𝑦
𝑦+∆𝑦
= ቚ𝜌. ∆𝑥. ∆𝑧. 𝑉𝑦
𝑦+∆𝑦
ቚሶ𝑚𝑧
𝑧+∆𝑧
= ቚ𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝑉𝑧
𝑧+∆𝑧
ቚሶ𝑚𝑥
𝑥
= ቚ𝜌. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑉𝑥
𝑥
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
𝜕𝑚
𝜕𝑡
=
𝜕 ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌
𝜕𝑡
𝜕𝑚
𝜕𝑡
= ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧.
𝜕𝜌
𝜕𝑡
ห ห
Taxa de massa que acumula no volume de controle:
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
ห ห
ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌
𝑥
− ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌
𝑥+∆𝑥
+ ቚ𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌
𝑦
− ቚ𝑉𝑦. ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌
𝑦+∆𝑦
+ ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌
𝑧
− ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌
𝑧+∆𝑧
= ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧.
𝜕𝜌
𝜕𝑡
Dividindo por −∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 e Aplicando limite de ∆𝑥,∆𝑦 𝑒 ∆𝑧 tendendo a 
zero: 
 
lim
∆𝑥→0
ȁ𝜌. 𝑉𝑥 𝑥+∆𝑥 − ȁ𝜌. 𝑉𝑥 𝑥
∆𝑥
+ lim
∆𝑦→0
ห𝜌. 𝑉𝑦 𝑦+∆𝑦 − ห𝜌. 𝑉𝑦 𝑦
∆𝑦
+ lim
∆𝑧→0
ȁ𝜌. 𝑉𝑧 𝑧+∆𝑧 − ȁ𝜌. 𝑉𝑧 𝑧
∆𝑧
= −
𝜕𝜌
𝜕𝑡
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
ห ห
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0
Equação diferencial do balanço de massa:
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA
ห ห
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0
Fluido incompressível:
0
constante
𝜌
𝜕 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌
𝜕 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝜌
𝜕 𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
Aplicando o balanço geral para quantidade de movimento, considerando 
um volume de controle fixo, de coordenadas retangulares, com dimensões 
∆x, ∆y e ∆z, com escoamento tridimensional e que pode ocorrer em 
regime transiente ou permanente:
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑀 
𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑉𝐶
−
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑀 
𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑜 𝑉𝐶
+ ෍ 𝐹 =
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑀 
𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑉𝐶
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
O balanço de taxa de quantidade de movimento deve envolver:
- entrada e saída de massa do volume de controle (efeito convectivo);
- dissipação devido ao atrito entre as camadas de fluido (efeito viscoso);
- forças de pressão e gravitacional;
- acúmulo de quantidade de movimento.
ሶ𝑄𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
− ሶ𝑄𝑀 𝑠𝑎𝑖
𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
+ ሶ𝑄𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
− ሶ𝑄𝑀 𝑠𝑎𝑖
𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
+ 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
− 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑠𝑎𝑖
+ 𝐹𝑝𝑒𝑠𝑜 = ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
ሶ𝑄𝑀𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = ሶ𝑚. 𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
• A taxa de quantidade de movimento devido à entrada, ou saída, de massa do 
volume de controle:
ሶ𝑄𝑀𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑞. 𝜌. 𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
ሶ𝑄𝑀𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑉𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎. 𝐴. 𝜌. 𝑉𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
• A taxa de quantidade de movimento devido ao efeito viscoso:
𝑄𝑀𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 = 𝐴. 𝜏
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
• As forças que atuam no volume de controle:
෍ 𝐹 = 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 + 𝐹𝑝𝑒𝑠𝑜
෍ 𝐹 = ቚ𝑃. 𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐶
− ቚ𝑃. 𝐴
𝑠𝑎𝑖 𝑉𝐶
+ 𝑚. 𝑔
෍ 𝐹 = ቚ𝑃. 𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐶
− ቚ𝑃. 𝐴
𝑠𝑎𝑖 𝑉𝐶
+ 𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑔
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
• A taxa de acúmulo de quantidade de movimento:
ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 =
𝜕𝑄𝑀
𝜕𝑡
ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 =
𝜕 𝑚. 𝑉
𝜕𝑡
ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 =
𝜕 𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑉
𝜕𝑡
ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 = ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧
𝜕 𝜌. 𝑉
𝜕𝑡
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ห ห
A equação geral do balanço quando aplicada à quantidade de movimento 
no volume de controle é, do escoamento de fluido na direção x: 
ሶ𝑄𝑀𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑐𝑜𝑛𝑣.
− ሶ𝑄𝑀 𝑠𝑎𝑖
 𝑐𝑜𝑛𝑣.
+ ሶ𝑄𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
− ሶ𝑄𝑀 𝑠𝑎𝑖
 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
+ 𝐹𝑃𝑜 − 𝐹𝑃𝐿 + 𝐹𝑝𝑒𝑠𝑜 = ሶ𝑄𝑀𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Balanço aplicado para a direção x:
𝐸𝑚 𝑥: ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑥
− ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑥+∆𝑥
Em y: ቚ𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑦
− ቚ𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑦+∆𝑦
Em z: ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑧
− ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑧+∆𝑧
Em x: ቚ𝜏𝑥𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥
− ቚ𝜏𝑥𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥+∆𝑥
𝐸𝑚 𝑦: ቚ𝜏𝑦𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑧
𝑦
− ቚ𝜏𝑦𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑧
𝑦+∆𝑦
Em z: ቚ𝜏𝑧𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑦
𝑧
− ቚ𝜏𝑧𝑥. ∆𝑥. ∆𝑦
𝑧+∆𝑧
Em x: ቚ𝑃𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥
− ቚ𝑃𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥+∆𝑥
Em x: 𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑔𝑥 e ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Dividindo por −∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 :
ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑥
− ቚ𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑥+∆𝑥
+ ቚ𝑉𝑦. ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑦
− ቚ𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑦+∆𝑦
+ ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑧
− ቚ𝑉𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥
𝑧+∆𝑧
+ ቚ𝜏𝑥𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥
− ቚ𝜏𝑥𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥+∆𝑥
+ ቚ𝜏𝑦𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑧
𝑦
− ቚ𝜏𝑦𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑧
𝑦+∆𝑦
+ ቚ𝜏𝑧𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑦
𝑧
− ቚ𝜏𝑧𝑥 . ∆𝑥. ∆𝑦
𝑧+∆𝑧
+ ቚ𝑃𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥
− ቚ𝑃𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧
𝑥+∆𝑥
+ 𝜌. ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑔𝑥 = ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡ȁ𝑉𝑥 . 𝜌. 𝑉𝑥 𝑥+∆𝑥 − ȁ𝑉𝑥 . 𝜌. 𝑉𝑥 𝑥
∆𝑥
 +
ห𝑉𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑦+∆𝑦 ห
−𝑉𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑦
∆𝑦
+
ȁȁ𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑧+∆𝑧 − 𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑧
∆𝑧
+
ȁ𝜏𝑥𝑥 𝑥+∆𝑥 ȁ−𝜏𝑥𝑥 𝑥
∆𝑥
+
ห𝜏𝑦𝑥 𝑦+∆𝑦
− ห𝜏𝑦𝑥 𝑦
∆𝑦
+
หȁ𝜏𝑧𝑥 𝑧+∆𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 𝑧
∆𝑧
+
ȁ𝑃𝑥 𝑥+∆𝑥 ȁ−𝑃𝑥 𝑥 
∆𝑥
− 𝜌. 𝑔𝑥 = −
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
lim
∆𝑥→0
ȁ𝑉𝑥. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑥+∆𝑥 − ȁ𝑉𝑥 . 𝜌. 𝑉𝑥 𝑥
∆𝑥
+ lim
∆𝑦→0
ห𝑉𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑦+∆𝑦 ห−𝑉𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑦
∆𝑦
+ lim
∆𝑧→0
ȁȁ𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑧+∆𝑧 − 𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥 𝑧
∆𝑧
+ lim
∆𝑥→0
ȁ𝜏𝑥𝑥 𝑥+∆𝑥 ȁ−𝜏𝑥𝑥 𝑥
∆𝑥
+ lim
∆𝑦→0
ห𝜏𝑦𝑥 𝑦+∆𝑦
− ห𝜏𝑦𝑥 𝑦
∆𝑦
+ lim
∆𝑧→0
หȁ𝜏𝑧𝑥 𝑧+∆𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 𝑧
∆𝑧
+ lim
∆𝑥→0
ȁ𝑃𝑥 𝑥+∆𝑥 ȁ−𝑃𝑥 𝑥 
∆𝑥
− 𝜌. 𝑔𝑥 = −
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡
Aplicando limite de ∆x, ∆y e ∆z tendendo a zero:
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Obtém-se a equação diferencial:
𝜕 𝑉𝑥. 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑉𝑦. 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕 𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡
= 𝜌. 𝑔𝑥
𝜕 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑉𝑥. 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑉𝑦 . 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕 𝑉𝑧. 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Aplicando a regra do produto da derivada:
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑥
𝜕𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑥
𝜕𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
+ 𝑉𝑥
𝜕𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑧
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
Do balanço de massa = 0
Balanços diferenciais
BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
Para direção y:
𝜌
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑦
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑔𝑦
Para direção z:
𝜌
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑧
𝜕𝑧
+ 𝜌. 𝑔𝑧
Para direção x:
Equações diferenciais: Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes são a representação da forma diferencial 
da segunda lei do movimento de Newton, pois parte da substituição da 
equação dos fluidos newtonianos:
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
𝜏𝑥𝑥 = ±𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑥 = ±𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑥 = ±𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
Para direção x:
Equações diferenciais: Navier-Stokes
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕 −𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕 −𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕 −𝜇.
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
Para direção x:
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝜌. 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝜌. 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= − −𝜇
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑥2
− 𝜇
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑦2
− 𝜇
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
Equações diferenciais: Navier-Stokes
Para direção x:
𝜌
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= 𝜇
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝜌. 𝑔𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑥
Viscosidade cinemática () ou difusividade de quantidade de movimento (m2/s)
Equações diferenciais: Navier-Stokes
Para direção x:
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑉𝑥
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑥
Para direção y:
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑡
+𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕2𝑉𝑦
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑉𝑦
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑉𝑦
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑔𝑦
Para direção z:
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕2𝑉𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑉𝑧
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑉𝑧
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑧
Coordenadas retangulares:
Equações diferenciais: Navier-Stokes
Coordenadas cilíndricas:
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
−
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕
𝜕𝑟
1
𝑟
𝜕 𝑟. 𝑉𝑟
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑉𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑉𝑟
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑟
+ 𝑔
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉𝑟 . 𝑉𝜃
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
𝜕
𝜕𝑟
1
𝑟
𝜕 𝑟. 𝑉𝜃
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑉𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑉𝜃
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝑔
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
=
𝜇
𝜌
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟.
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑉𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑉𝑧
𝜕𝑧2
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝑔
Equações diferenciais: Navier-Stokes
Coordenadas esféricas:
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
+
𝑉∅
𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉𝑟
𝜕ϕ
−
𝑉𝜃
2 + 𝑉ϕ
2
𝑟
=
𝜇
𝜌
𝛻2𝑉𝑟 −
2
𝑟2
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
−
2
𝑟2
𝑉𝜃 . 𝑐𝑜𝑡𝜃 −
2
𝑟2. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉ϕ
𝜕ϕ
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑟
+ 𝑔
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉∅
𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉𝜃
𝜕ϕ
+
𝑉𝑟 . 𝑉𝜃
𝑟
−
𝑉ϕ
2. 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
=
𝜇
𝜌
𝛻2𝑉𝜃 +
2
𝑟2
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
−
𝑉𝜃
𝑟2. 𝑠𝑒𝑛2𝜃
−
2
𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕𝑉ϕ
𝜕ϕ
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝑔
𝜕𝑉ϕ
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉ϕ
𝜕𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉ϕ
𝜕𝜃
+
𝑉∅
𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉ϕ
𝜕ϕ
+
𝑉𝑟 . 𝑉ϕ
𝑟
−
𝑉ϕ. 𝑉𝜃 . 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
=
𝜇
𝜌
𝛻2𝑉ϕ −
𝑉ϕ
𝑟2. 𝑠𝑒𝑛2𝜃
+
2
𝑟2. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉𝑟
𝜕ϕ
+
2. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕𝑉𝜃
𝜕ϕ
−
1
𝜌
1
𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑃
𝜕ϕ
+ 𝑔
Equações diferenciais: Navier-Stokes
Aplicações da Equação de Navier-Stokes
• A resolução de problemas práticos por meio das equações de Navier-
Stokes e da equação da continuidade consiste em simplificar os termos 
não participantes para cada caso de aplicação, com o objetivo principal 
de determinar as equações dos perfis de tensão cisalhante e de 
velocidade, através de condições de contorno ou inicial apropriadas.
➢Escoamento laminar entre duas placas horizontais
➢Escoamento laminar no espaço anular entre dois tubos horizontais
➢Escoamento laminar e angular no espaço anular entre um tubo e um 
cilindro verticais
➢Camada limite em uma placa horizontal com escoamento paralelo
	Slide 1
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