Matemática Básica

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Autores: Prof. Celso Ribeiro Campos
 Profa. Patrícia Alves Rodrigues
Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin
 Prof. Fábio Gomes da Silva
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Matemática
Professores conteudistas: Celso Ribeiro Campos / Patrícia Alves Rodrigues
Celso Ribeiro Campos
É físico, engenheiro mecânico, mestre em ensino de matemática pela PUC‑SP e doutor em educação matemática pela Unesp.
É professor de matemática desde 1990, tendo passado por diversas instituições de Ensino Superior em São Paulo.
Atua na Universidade Paulista (UNIP) desde 2007, na qual é professor e líder de diversas disciplinas na área de 
matemática e estatística. 
Atua ainda nas instituições de ensino FIEO, Faculdades Integradas Campos Salles e PUC‑SP, é membro do grupo de 
pesquisa em educação estatística da Unesp e é associado da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM).
Celso Ribeiro Campos também é autor do livro Matemática Financeira, lançado em 2010 pela editora LCTE, coautor 
do livro Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de modelagem matemática, lançado em 2011 pela editora 
Autêntica, e autor de diversos materiais didáticos na área de matemática e estatística para o segmento de educação a 
distância da Universidade Paulista (UNIP).
Patrícia Alves Rodrigues
É licenciada em matemática e mestre e doutoranda em Ciências da Computação pelo IME‑USP.
É professora de matemática e computação desde 2001, tendo trabalhado em diversas instituições de ensino em São Paulo.
Na Universidade Paulista (UNIP), atua desde 2008 como professora e líder de diversas disciplinas na área de 
matemática, estatística e tecnologia de informação.
Além disso, atua também no desenvolvimento e aplicação de cursos para aperfeiçoamento de professores de 
matemática no IME‑USP e faz parte do grupo de pesquisa do Laboratório de Ensino de Matemática da USP (LEM‑USP), 
trabalhando no desenvolvimento de ferramentas matemáticas para EaD.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C198 Campos, Celso Ribeiro
Matemática. / Celso Ribeiro Campos; Patrícia Alves Rodrigues. ‑ 
São Paulo: Editora Sol, 2011.
180 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de
Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2‑
053/11, ISSN 1517‑9230
1.Matemática 2.Administração 3. Conceitos básicos I.Título
CDU 51
CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN
Reitoria
Reitor: Prof. Yugo Okida
Vice-Reitor: Prof. Fábio Nogueira Carlucci
Pró-Reitor Acadêmico: Prof. Humberto Venderlino Richter
Pró-Reitor Adminstrativo: Prof. Robson do Nascimento
Sumário
Matemática
APRESENTAÇÃO .....................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 NÚMEROS REAIS ................................................................................................................................................9
1.1 Introdução ..................................................................................................................................................9
1.2 Conjunto, elemento e pertinência....................................................................................................9
1.2.1 Principais classificações ....................................................................................................................... 12
1.2.2 Operações ................................................................................................................................................... 13
1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações ............................................................... 17
1.3.1 Conjunto dos números naturais ...................................................................................................... 17
1.3.2 Conjunto dos números inteiros ....................................................................................................... 18
1.3.3 Conjunto dos números racionais .................................................................................................... 18
1.3.4 Conjunto dos números irracionais ................................................................................................. 21
1.3.5 Conjunto dos números reais ............................................................................................................. 21
1.4 Arredondamento .................................................................................................................................. 22
1.5 Intervalos ................................................................................................................................................. 23
1.5.1 Operações com intervalos ................................................................................................................... 26
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ........................................................................................................................... 28
2.1 Operações com frações ...................................................................................................................... 28
2.2 Operações com expressões numéricas......................................................................................... 30
2.3 Potenciação e radiciação ................................................................................................................... 31
2.4 Operações com expressões algébricas ......................................................................................... 34
2.5 Valor numérico de expressões algébricas ................................................................................... 35
2.6 Fatoração e simplificação ................................................................................................................. 35
3 EQUAÇÕES ......................................................................................................................................................... 36
3.1 Introdução ............................................................................................................................................... 36
3.2 Equação do 1º grau ............................................................................................................................. 37
3.3 Equação do 2º grau ............................................................................................................................. 38
4 INEQUAÇÕES ..................................................................................................................................................... 41
4.1 Introdução ............................................................................................................................................... 41
4.2 Inequação do 1º grau ......................................................................................................................... 42
4.3 Inequação do 2º grau ......................................................................................................................... 44
Unidade II
5 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 52
5.1 Conceitos introdutórios ..................................................................................................................... 52
5.1.1 Plano cartesiano ......................................................................................................................................52
5.1.2 Par ordenado ............................................................................................................................................ 53
5.1.3 Produto cartesiano (AxB) ..................................................................................................................... 54
5.1.4 Relações ...................................................................................................................................................... 56
5.1.5 Domínio e imagem ................................................................................................................................. 57
5.2 Conceitos elementares de função ................................................................................................. 58
5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica ................................................................................................. 60
5.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas ......................................................................... 61
5.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)................................................................................ 64
5.4.1 Ponto de intersecção de duas retas ................................................................................................ 71
5.5 Função do 2º grau (função quadrática) ...................................................................................... 73
5.5.1 Ponto de intersecção: reta e parábola ........................................................................................... 81
5.6 Equação exponencial .......................................................................................................................... 84
5.7 Função exponencial ............................................................................................................................. 87
5.7.1 Crescimento exponencial .................................................................................................................... 92
5.8 Logaritmos .............................................................................................................................................. 93
5.9 Função logarítmica .............................................................................................................................. 95
5.10 Outras funções .................................................................................................................................... 98
5.10.1 Função polinomial................................................................................................................................ 98
5.10.2 Função racional ..................................................................................................................................... 98
6 SISTEMA DE EQUAÇÕES................................................................................................................................ 99
6.1 Introdução ............................................................................................................................................... 99
6.2 Identificando um sistema de equações .....................................................................................100
6.3 Classificação dos sistemas ..............................................................................................................101
6.4 Solução do sistema ............................................................................................................................102
7 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ...............................................................................................104
7.1 Introdução .............................................................................................................................................104
7.2 Grandezas diretamente proporcionais.......................................................................................104
7.3 Grandezas inversamente proporcionais ....................................................................................105
7.4 Regra de três simples ........................................................................................................................106
7.5 Regra de três composta ...................................................................................................................107
8 PORCENTAGEM ..............................................................................................................................................109
8.1 Porcentagens ou taxas percentuais ............................................................................................109
8.2 Fator multiplicativo ............................................................................................................................111
8.3 Taxa percentual de variação .......................................................................................................... 113
8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda .................................................... 114
7
APRESENTAÇÃO 
Caro aluno, seja bem‑vindo ao curso de matemática básica em educação a distância da UNIP. É 
grande a satisfação de recebê‑lo na qualidade de aprendiz dessa disciplina que tanto nos intriga e nos 
desafia.
Preparamos esse material para que você possa evoluir de forma consistente e progressiva ao longo 
dos principais conceitos básicos que norteiam o estudo da matemática. Para isso, dividimos o curso em 
duas unidades, cada uma com quatro módulos, os quais apresentamos a seguir:
• Unidade I:
— 1: Números reais;
— 2: Expressões algébricas;
— 3: Equações;
— 4: Inequações. 
• Unidade II:
— 5: Funções;
— 6: Sistemas de equações;
— 7: Regra de três simples e composta;
— 8: Porcentagem.
Os módulos apresentam os conteúdos de forma progressiva e estão repletos de exemplos de aplicação 
dos tópicos conceituais. Além disso, apresentamos referências e indicações de leitura para que você 
possa compreender melhor e aprofundar os assuntos estudados.
De maneira genérica, podemos dizer que o objetivo desse curso é possibilitar a você um sólido 
desenvolvimento dentro dos conceitos básicos da matemática, de modo que seja possível entender e 
operar suas principais ferramentas.
Esperamos que você construa uma base de conhecimento que lhe possibilite entender a 
matemática como uma aliada em sua formação profissional e que você supere suas expectativas 
quanto ao aprendizado dessa disciplina, que sabemos ser fundamental para seu sucesso no curso de 
administração.
8
INTRODUÇÃO
A matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno das mais 
diversas carreiras. 
Assim, neste curso de matemática básica, procuraremos dar prioridade aos conteúdos que 
apresentam ferramentas essenciais para o entendimento dessa ciência, tendo em vista a aplicabilidade 
a ser trabalhada em outras disciplinas e, em particular, na matemática aplicada.
Dessa forma, objetivamos apresentar os conteúdos básicos de matemática de forma gradual, ou seja, 
desde seus princípios mais rudimentares até uma álgebra mais elaborada, representada pelo estudo das 
funções.
No estudo das funções, particularmente, buscaremos lhe fornecer as ferramentas necessárias à 
modelização de problemas que envolvem a relação de dependência entre duas variáveis quantitativas.
Por outro lado, visamos ainda possibilitar o desenvolvimento de um modo de expressão mais crítico 
e criativo quando da aplicação das funções matemáticas, porcentagens e demais conteúdos aqui 
abordados na solução de problemas.
Acreditamos que o conhecimento matemático ilustrado neste trabalho auxiliará sobremaneira o 
futuro profissional da área de administração a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão 
com a devida confiança e competência.
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MATEMÁTICA
Unidade I
1 NÚMEROS REAIS
1.1 IntroduçãoA origem da matemática se deu há milhares de anos, ou seja, desde que o homem 
sentiu a necessidade de fazer contagens. Ao longo de muitas civilizações, as representações 
numéricas e suas operações foram evoluindo e a notação que prevaleceu foi a dos algarismos 
hindu‑arábicos.
Uma forma de organização dos números muito difundida foi a dos conjuntos, na qual existe certa 
hierarquia de classificação dos números.
Começaremos nosso curso com o estudo dos conjuntos de maneira genérica, para aplicarmos 
em diversos contextos essa noção de organização numérica que é a mais utilizada atualmente pelos 
estudiosos da matemática.
Estudada desde os primeiros anos da educação básica, a teoria dos conjuntos é vista como um fator 
integrador de toda a matemática, pois todos os assuntos dos quais ela trata acabam, de uma forma ou 
de outra, derivando da noção de conjunto.
1.2 Conjunto, elemento e pertinência
Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. 
São elas:
• conjunto;
• elemento;
• pertinência entre elemento e conjunto.
Embora não seja preciso fazer definição alguma sobre essas ideias, podemos indicar algumas de suas 
características:
• Conjunto: sua noção matemática se assemelha ao significado comum da palavra, que indica 
coleção ou agrupamento. Alguns exemplos:
— conjunto das letras do alfabeto; 
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— conjunto dos planetas do Sistema Solar;
— conjunto dos meses do ano;
— conjunto dos algarismos romanos;
— conjunto dos números pares;
— conjunto dos números primos;
— conjunto das soluções da equação x² = 4.
• Elemento: cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento. Nos conjuntos citados 
anteriormente, temos os seguintes elementos:
— conjunto das letras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;
— conjunto dos planetas do sistema solar: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, 
Urano, Netuno;
— conjunto dos meses do ano: janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, 
setembro, outubro, novembro, dezembro;
— conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;
— conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8 etc.;
— conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.;
— conjunto das soluções da equação x² = 4: ‑2, 2.
• Pertinência entre elemento e conjunto: quando um elemento faz parte de um conjunto, 
afirmamos que ele pertence a esse conjunto. Por exemplo, o número 2 pertence ao conjunto dos 
números pares, mas o número 3 não pertence a esse conjunto.
Um conjunto pode ser formado por números, por letras, por nomes ou até mesmo por outros 
conjuntos, o que indica que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Podemos pensar, por exemplo, no conjunto dos clubes de futebol que disputam a primeira divisão 
do Campeonato Brasileiro de 2011. Esse conjunto é formado por times de futebol e cada time, por sua 
vez, é formado por um conjunto de jogadores.
Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas (A, B, C etc.) e seus elementos são indicados 
por letras minúsculas (x, y, a, b, c etc). 
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MATEMÁTICA
Um conjunto ainda pode ser indicado com seus elementos representados entre chaves ou por uma 
descrição. Exemplo: 
A = conjunto dos números de um dado
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Quando um conjunto é infinito, representamos alguns de seus elementos e depois colocamos 
reticências. Exemplo: 
B = conjunto dos números pares
B = {0, 2, 4, 6,...}
Se um conjunto for finito, mas tiver uma quantidade muito grande de elementos, também podemos 
usar reticências, basta que indiquemos o último elemento do conjunto para representar sua finitude. 
Exemplo:
C = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100
C = {0, 3, 6, 9,..., 99}
Em notação matemática, usa‑se o símbolo ∈ para indicar que um elemento pertence a um conjunto 
e ∉ para indicar que um elemento não pertence a um conjunto. Por exemplo, sendo A o conjunto dos 
números pares e B o conjunto dos números ímpares, em notação de conjuntos, temos:
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...}
Para indicar que o 2 pertence ao conjunto dos números pares, escrevemos: 2 ∈ A. Para indicar que 
o 2 não pertence ao conjunto dos números ímpares, escrevemos: 2 ∉ B.
De um modo geral, se A é um conjunto e x é um elemento desse conjunto, podemos escrever: x ∈ A. 
Por outro lado, se x não é um elemento do conjunto A, escrevemos: x ∉ A.
Costuma‑se usar um círculo para representar um conjunto e seus elementos. Esse tipo de notação 
se chama diagrama de Venn. Veja a seguir a representação dos conjuntos dos números pares (A) e dos 
números ímpares (B):
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A B
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2
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4
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1
3
7
5
9
...
Figura 01 – Diagrama de Venn
Também podemos designar um conjunto por meio de uma propriedade ou característica. Exemplo: 
o conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil pode ser representado pela seguinte notação: 
D = {x | x é um estado da região Sudeste do Brasil} (lê‑se: conjunto dos elementos x, tal que x é um 
estado da região Sudeste do Brasil).
1.2.1 Principais classificações
Existem três classificações de conjuntos muito utilizadas no que diz respeito ao número de elementos. 
São elas:
• Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum e é indicado por ∅ ou { }. Exemplo: 
Seja M o conjunto dos meses do ano que começam com a letra P, assim: 
M = ∅ ou M = { }
Já que nenhum mês do ano começa pela letra P, o conjunto M é vazio.
Vejamos outro exemplo:
C = {x | x > 4 e x < 3} = ∅
Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos maiores que 4 e, simultaneamente, 
menores que 3. Porém, como não existe nenhum número que satisfaça essa condição, o conjunto C é 
vazio.
• Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento. Exemplo:
Seja M o conjunto dos meses do ano que possuem exatamente quatro letras, assim:
M = {maio}
Como apenas o mês de maio satisfaz a condição apresentada, esse conjunto possui apenas um 
elemento e recebe a denominação de conjunto unitário.
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MATEMÁTICA
Vejamos outro exemplo:
C = {x | x + 2 = 5} = {3}
Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos que, ao serem somados ao número 
2, resultam em 5. Nesse caso especificamente, apenas o número 3 satisfaz a condição, assim, o conjunto 
C é composto apenas por um elemento e também recebe a denominação de conjunto unitário.
• Conjunto universo: essa designação é usada geralmente quando se desenvolve um assunto em matemática 
e se quer indicar todos os elementos utilizados no referido assunto. Esse conjunto é representado por U. 
Exemplo: em um estudo sobre pesos de pessoas, o conjunto universo tem por elementos os números 
positivos, afinal, não faz sentido usar números negativos para representar pesos. Outro exemplo: em um 
estudo sobre os meses do ano, o conjunto universo terá como elementos os 12 meses do ano.
1.2.2 Operações
Igualdade
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos 
de B e vice‑versa. Exemplos: seja A o conjunto das vogais em ordem crescente, assim: A = {a, e, i, o, u}, 
e B o conjunto das vogais em ordem decrescente, assim: B = {u, o, i, e, a}.
Observe que todos os elementos do conjunto A são iguais aos do conjunto B, portanto, o conjunto 
A é igual ao conjunto B. Em notação: A = B.
Considere agora os seguintes conjuntos:
C = {x | x + 5 = 12} 
D = {7}
O conjunto C é composto pelos elementos que, somados ao número 5, resultam em 12. Nesse caso, 
apenas o número 7 satisfaz a condição. Como o conjunto C é composto apenas pelo elemento 7 e o 
conjunto D também, esses conjuntos são iguais. Logo, C = D.
Como consequência da definiçãode igualdade, temos A ≠ B (A diferente de B), ou seja, ao menos um 
elemento de A não pertence a B ou ao menos um elemento de B não pertence a A.
 Observação
Note que a ordem dos elementos do conjunto não é importante para 
a noção de igualdade. Outra observação que precisamos fazer é que os 
elementos na notação de conjuntos não devem ser repetidos.
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Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A também for 
elemento de B. Para indicar a situação de subconjunto, escrevemos A ⊂ B. Exemplo:
{a} ⊂ {a, b, c, d, e}
Essa ideia de inclusão também pode ser representada por meio do diagrama de Venn:
 
A
B
Figura 02 – Subconjunto
Outra notação que deriva da ideia de inclusão é B ⊃ A, que indica que o conjunto B contém o 
conjunto A.
Além disso, se o conjunto A não for subconjunto de B, podemos escrever A ⊄ B. Exemplo: {a, b, c} 
⊄ {a, e, i, o, u}.
Assim, usando a premissa de inclusão, podemos escrever a igualdade da seguinte forma: A = B ⇔ 
A ⊂ B e B ⊂ A.
 Lembrete
O símbolo ⇔ significa se, e somente se.
Sendo A, B e C três conjuntos genéricos, podemos observar quatro propriedades relativas ao conceito 
de inclusão:
• ∅ ⊂ A (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto);
• A ⊂ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo);
• se A ⊂ B e B ⊂ C, A ⊂ C (propriedade transitiva);
• se A ⊂ B e B ⊂ A, A = B.
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MATEMÁTICA
União ou reunião
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama‑se união de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos, a união é indicada assim:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a união de seguinte forma:
 
B
2
4
8
6
10
A
1
2
4
3
A ∪ B
1
2
3 6
104
8
União de A com B
Figura 03 – União de conjuntos no diagrama de Venn
Intersecção
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama‑se intersecção de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e a B. Em símbolos, a intersecção é indicada assim:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∩ B = {2, 4}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a intersecção por meio da área sombreada:
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A
1
2
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B
Figura 04 – Intersecção de conjuntos no diagrama de Venn
 Observação
Quando a intersecção dos conjuntos é um conjunto vazio, os 
denominamos conjuntos disjuntos, ou seja, se A ∩ B = ∅, dizemos que os 
conjuntos A e B são disjuntos. 
Diferença
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama‑se diferença entre o conjunto A e o conjunto B o 
conjunto de todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B. Em símbolos, a diferença entre 
conjuntos é indicada assim:
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A − B = {1, 3}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a diferença entre conjuntos por meio da área sombreada:
8
6
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A
1
2
43
B
Figura 05 – Diferença de conjuntos no diagrama de Venn
Complementar
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, se B é subconjunto de A, a diferença entre os conjuntos A e 
B é denominada complementar do subconjunto B. Em símbolos, a complementar de B em relação à A é 
indicada assim:
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MATEMÁTICA
B ⊂ A → Bc = A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4} → A − B = {6, 8, 10}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a complementar do subconjunto B por meio da área 
sombreada:
A
B
8
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10
2
4
Figura 06 – O complementar do subconjunto B no diagrama de Venn
Adotando U para o conjunto universo e A e B como dois subconjuntos quaisquer de U, são válidas 
as seguintes propriedades:
• ∅c=U;
• Uc=∅;
• A ∪ Ac=U;
• A ∩ Ac=∅;
• (Ac)c=A;
• (A ∩ B)c=Ac ∪ Bc;
• (A ∪ B)c=Ac ∩ Bc.
1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações
1.3.1 Conjunto dos números naturais 
O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros não negativos. Ele é 
representado pela seguinte notação:
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
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 Observação
Usa‑se o asterisco (*) para indicar que o zero não pertence ao conjunto. 
Veja o exemplo: N*={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}.
1.3.2 Conjunto dos números inteiros 
O conjunto dos números inteiros é composto por todos os números inteiros positivos e negativos e 
também pelo zero. Esse conjunto é representado pela seguinte notação:
Z={..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Z*={..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4,...}
 Observação
O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos 
números inteiros, já que todos os seus elementos também pertencem ao 
conjunto dos inteiros. Essa relação pode ser assim representada: N ⊂ Z.
Módulo de um número inteiro
O módulo de um número inteiro é a distância entre o 0 (zero) e o número x em unidades. Por exemplo, a 
distância do número 5 até o 0 (zero), em unidades, é 5, e a distância do número ‑5 até o 0 (zero) também é 5.
Como o módulo mede a “distância” de um número até o zero, ele nunca assumirá valores negativos. 
Por essa razão, ao se extrair um número de um módulo, ele sempre será positivo.
A notação de módulo é dada por duas barras verticais, como demonstrado a seguir:
| 5 | = 5
| ‑5 | = 5
Observe que, para extrair um número do módulo, é só tirar as barras verticais e o sinal do número 
quando este for negativo.
1.3.3 Conjunto dos números racionais 
O conjunto dos números racionais é composto por todos os números que podem ser escritos na forma 
de fração com denominador não nulo. Esse conjunto pode ser representado pela seguinte notação:
19
Re
vi
sã
o:
 S
im
on
e 
- 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
29
/1
1/
11
MATEMÁTICA
Q
a
b
a Z e b Z= ∈ ∈




| * (lê‑se: 
a
b
 tal que a pertence ao conjunto dos números inteiros e b 
 
pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos).
Vejamos alguns exemplos:
2
5
1
3
5
3
0 5 12 0 333; ; ; , ; ; ; , ...− −
Note que todos os números inteiros podem ser escritos em forma de fração, já que todos eles são 
divisíveis pelo número 1 e podem ser escritos da seguinte forma:
x
1 , onde x ∈ Z
Alguns exemplos de números inteiros escritos em forma de fração podem ser verificados a seguir:
5
5
1
=
− = −2 2
1
12
12
1
=
Portanto, o conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais e 
pode ser representado pela notação: Z ⊂ Q.
Decimal finito
Todo número decimal finito, ou seja, que possui um número exato de algarismos após a vírgula, 
pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja escrito em forma de fração. 
Veja alguns exemplos:
0 5
1
2
, = 0 75
3
4
, = 0 1
1
10
, = − = −0 25
1
4
,
Decimal infinito periódico
Todo número decimal infinito periódico possui um número sequencial repetitivo e infinito de 
algarismos após a vírgula e pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja 
escrito em forma de fração. Por exemplo:
20
Unidade I
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1
3
0 33333 0 33= =, ... ,
5
3
16666 166= =, ... ,
 Lembrete
Um número decimal infinito periódico também é conhecido por dízima 
periódica. A fração que dá origem à dízima periódica, por sua vez, é 
denominada fração geratriz.
 Observação
Note que usamos um traço sobre o valor que será repetido infinitamente 
no número decimal infinito periódico.
Para encontrar o valor decimal periódico de uma fração, basta dividir o numerador pelo denominador. 
Para obter o decimal da fração1/3, por exemplo, basta dividir o número 1 pelo número 3, obtendo, como 
resultado, 0,33333....
No entanto, escrever a fração de um valor expresso em decimal infinito periódico não é tão simples. 
Para isso, pode‑se usar a seguinte estratégia:
1º passo: faça x = 0,33333...:
2º passo: multiplique ambos os lados por 10:
 10x = 3,33333...
3º passo: subtraia:
 10x = 3,33333...
 − x = 0,33333... 
 9x = 3
4º passo: Isole o x e obtenha a fração geratriz de 0,3333...:
x = =3
9
1
3
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MATEMÁTICA
1.3.4 Conjunto dos números irracionais 
O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não possuem 
representação na forma de fração, ou seja, são números que, na forma decimal, não são periódicos e 
não têm um número finito de casas. É comum representar o conjunto dos números irracionais pelo 
símbolo I.
Vejamos alguns exemplos:
0,123456...
14,01020304...
π=3,14
2 14142135
3 17320508
=
=
, ...
, ...
1.3.5 Conjunto dos números reais 
O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais, ou seja, 
Q ∪ I=R. O mais comum é representar os números reais pela reta geométrica dos reais, formada por 
todos os números reais nela inseridos uma única vez e em ordem crescente:
Exemplo da representação geométrica de R:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
0,5 π
R
− 3
4 2
Figura 07 – Reta dos números reais
 
R
Q
Z
N
I
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Figura 08 – Representação do conjunto dos números reais no diagrama de Venn
22
Unidade I
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1.4 Arredondamento
A aplicação da regra de arredondamento nos números se mostra particularmente útil quando estes 
possuem infinitos algarismos. Para isso, basta aplicar a seguinte regra: verifique se o algarismo que se 
encontra imediatamente à direita do algarismo da ordem que se deseja arredondar é maior ou igual a 
5, se for, incremente‑o em 1, caso contrário, mantenha‑o. A seguir, alguns exemplos
Ao arredondar o número 12,6378 para duas casas decimais, obtemos 12,64. Acompanhe: 
12,6378
Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos “cortá‑lo” no segundo algarismo após a vírgula, 
sendo o número 3 o algarismo da ordem.
12,6378
O número que vem imediatamente após o 3 é o 7, que é maior do que 5, assim, o número 3 deve ser 
incrementado em 1.
12,64
Assim, substitua o número 3 por 4 e teremos que o número 12,6378 foi arredondado para duas casas 
decimais, ficando 12,64.
Se o número fosse 12,6328, veja como ficaria:
12,6328
O número que vem imediatamente após o 3 é o 2, que é menor do que 5, assim, o número 3 deve 
ser mantido.
12,6328
Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos “cortá‑lo” no segundo algarismo após a 
vírgula, sendo o número 3 o algarismo da ordem.
23
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MATEMÁTICA
12,63
Desse modo, o número 12,6328 foi arredondado para duas casas decimais, ficando 12,63.
1.5 Intervalos
Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Eles podem ser expressos diretamente 
na reta dos reais ou pelos delimitadores [ ]. 
Dados dois números reais a e b, com a < b, tem‑se as seguintes notações de intervalos:
• intervalo aberto:
Quadro 01
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R ]a,b[={x ∈ R | a < x < b}
 Observação
A bolinha aberta indica que os extremos a e b não pertencem ao 
intervalo.
Exemplo:
3 5 R
]3,5[={x ∈ R | 3 < x < 5}
Figura 09
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3 e menores que 5, ou 
seja, todos os números entre 3 e 5.
• intervalo fechado:
Quadro 02
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R [a,b]={x ∈ R | a < x < b}
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Unidade I
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1/
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 Observação
A bolinha fechada indica que os extremos a e b pertencem ao 
intervalo. 
Exemplo:
[3,5]={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 10
O intervalo ilustrado representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores ou iguais a 5, ou 
seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3 e o 5.
• intervalo aberto à direita:
Quadro 03
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R [a,b[={x ∈ R | a < x < b}
Exemplo:
[3,5[={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 11
O intervalo ilustrado na imagem anterior representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores 
que 5, ou seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3.
• intervalo aberto à esquerda:
Quadro 04
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R ]a,b]={x ∈ R | a < x < b}
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MATEMÁTICA
Exemplo:
]3,5]={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 12
O intervalo ilustrado na figura 12 representa todos os números maiores que 3 e menores ou iguais a 
5, ou seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 5.
• intervalos infinitos: 
Quadro 05
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
b R ]‑∞,b]={x ∈ R | x < b}
b R ]‑∞,b[={x ∈ R | x < b}
a R [a, ∞[={x ∈ R | x > a}
]a, ∞[={x ∈ R | x > a}
 Observação
O símbolo ∞ representa o infinito positivo e o –∞ representa o infinito 
negativo.
Observe mais alguns exemplos:
]–∞,5]={x ∈ R | x < 5}
5 R
Figura 13
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores ou iguais a 5.
]–∞,5[={x ∈ R | x < 5}
5 R
Figura 14
a R
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O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores que 5.
[3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
3 R
Figura 15
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores ou iguais a 3.
]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
3 R
Figura 16
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3.
1.5.1 Operações com intervalos
Seja A e B os seguintes intervalos numéricos:
A={x ∈ R | –1 < x < 1}=]–1,1[
–1 R1
B={x ∈ R | 0 < x < 5}=[0,5[
0 R5
Figura 17
A configuração da união desses intervalos seria representada por:
–1 1
A ∪ B={x ∈ R | –1< x < 5}=]–1,5[
0 5
A
–1 5
B
A ∪ B
Figura 18
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MATEMÁTICA
A seguir, a representação da intersecção dos intervalos A e B:
–1 1
A ∩ B={x ∈ R | 0 < x < 1}=[0,1[
0 5
A
B
A ∩ B
0 1
Figura 19
A diferença entre os intervalos em questão ficaria conforme ilustram as imagens a seguir:
–1 1
A – B={x ∈ R | –1 < x < 0}=]–1,0[
0 5
A
B
A – B
0–1
Figura 20
–1 1
B – A={x ∈ R | 1 < x < 5}=[1,5[
0 5
A
B
B – A
51
Figura 21
 Saiba mais
No livro Alex no país dos números (BELLOS, 2011), você encontrará 
curiosidades e informações interessantes sobre os números. Leia‑o:
BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso 
da matemática. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.
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1/
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2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.1 Operações com frações
Adição ou subtração de frações
Nas adições ou subtrações de frações de mesmo denominador, mantém‑se o denominador e 
efetua‑se o cálculo apenas dos valores do numerador. Observe os exemplos a seguir:
4
5
2
5
4 2
5
6
5
+ = + =
4
5
2
5
4 2
5
2
5
− = − =
8
5
2
5
3
5
8 2 3
5
9
5
− + = − + =
Porém, em adições ou subtrações de frações de denominadores diferentes, uma forma rápida de 
realizar o cálculo é aplicar a seguinte regra:
a
b
c
d
ad c b
b d
± = ±. .
.
Vejamos alguns exemplos:
2
5
4
3
2 3 4 5
5 3
6 20
15
26
15
+ = + = + =. .
.
2
5
4
3
2 3 4 5
5 3
6 20
15
14
15
− = − = − =. .
.
Outra técnica para efetuar essas somas e subtrações de frações de denominadores diferentes é por 
meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Por exemplo, para calcular:
2
10
4
6
3
2− +
1º passo: calcular o MMC dos denominadores:
 
29
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MATEMÁTICA
10,6,2 2
5,3,1 3
5,1,1 5
Ao multiplicar os divisores entre si, obtemos o MMC (10, 6, 2) = 2.3.5 = 30.
2º passo: reescrever a fração alocando no denominador o MMC encontrado:
[( ). ] [( ). [( ). ]
( . ) ( . ) ( . )
30 10 2 30 6 4 30 2 3
30
3 2 5 4 15 3
30
6
÷ − ÷ + ÷ =
= − + = −− + = + =20 45
30
14 45
30
59
30
Portanto, 
2
10
4
6
3
2
59
30
− + = .
Multiplicação de frações
Para multiplicar frações, multiplique o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador, 
como exemplificado a seguir:
a
b
c
d
ac
b d
.
.
.
=
2
5
4
3
2 4
5 3
8
15
.
.
.
= =
2
5
4
3
1
2
2 4 1
5 3 2
8
30
4
15








−



= − = − = −. . .
. .
 Lembrete
A regra dos sinais para multiplicação é:
• (+ 1) x (+ 1) = + 1.
• (+ 1) x (– 1) = – 1.
• (– 1) x (+ 1) = – 1.
• (– 1) x (– 1) = + 1.
30
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 Observação
Sempre que possível, expresse as frações de forma irredutível, ou seja, 
de tal modo que o denominador e o numerador não tenham divisores 
comuns. Veja o exemplo: 
2
10
1
5
=
Divisão de frações
O processo de divisão de frações é simples. Para realizá‑lo, é preciso apenas multiplicar o numerador 
pelo inverso do denominador, como demonstrado a seguir:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
d
c
÷ = = ⋅
2
5
4
3
2
5
4
3
2
5
3
4
6
20
÷ = = ⋅ =
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
3
2
3
20
÷ −



=
−


= ⋅ −



= −
 Lembrete
A regra dos sinais para a divisão é idêntica à da multiplicação, pois uma 
operação é a inversa da outra.
2.2 Operações com expressões numéricas
Nos cálculos de expressões numéricas, é necessário obedecer à seguinte ordem e prioridade:
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1/
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MATEMÁTICA
Ordem:
1º: Potenciação ou radiciação
2º: Multiplicação ou divisão
3º: Adição ou subtração 
Prioridade:
1º: Parênteses – ( )
2º: Colchetes – [ ] 
3º: Chaves – { }
Veja alguns exemplos:
• exemplo 01: 14 + 6 ÷ 2 = 14 + 3 = 17;
• exemplo 02: (14 + 6) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10;
• exemplo 03: 3 × 2 – 15 ÷ 3 = 6 – 5 = 1;
• exemplo 04: 3 × (2 – 15) ÷ 3 = 3 × ‑13 ÷ 3 = ‑39 ÷ 3 = ‑13.
Ao compararmos o exemplo 01 com o 02 e o 03 com o 04, observamos que, apesar das expressões 
serem muito semelhantes, os resultados são diferentes. Isso se dá pela prioridade dos parênteses, 
presentes nos exemplos 02 e 04.
• exemplo 05: 
 [30 ÷ 5 – (12 ÷ 3)] × (3 × 2 – 15 ÷ 3 ) + (14 + 6) ÷ 2 =
 [30 ÷ 5 – 4 ] × ( 6 – 5 ) + ( 20 ) ÷ 2 =
 [ 6 – 4 ] × ( 1 ) + 20 ÷ 2 =
 [ 2 ] × ( 1 ) + 10 = 2 + 10 = 12.
2.3 Potenciação e radiciação
A potenciação representa a multiplicação de um número por ele mesmo diversas vezes, como 
mostra o esquema a seguir:
32
Unidade I
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: M
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1/
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a aaa aan
n vezes
= . . ... .��� ��
Onde: a é um número real e n é um número inteiro positivo. O a é a base e o n é o expoente da 
potência. Exemplos:
23 = 2.2.2 = 8
52 = 5.5 = 25
(− 3)2 = (−3).(−3) = 9
− 32 = − 3.3 = − 9
Propriedades da potenciação
Adotando a como um número real e m e n como números inteiros positivos, as seguintes propriedades 
de potenciação são validadas:
• a0=1;
• a1=a;
• a–n= 1
an
, a ≠ 0;
• 
a
b
b
a
a e b
n n



= 



≠
−
, 0 ;
• an . am = an+m;
• 
a
a
a a
n
m
n m= ≠− , 0 ;
• (am)n = amn;
•
 
a
b
a
b
b
n n
n




= ≠, 0
.
Observe mais alguns exemplos:
22. 23 =2(2+3) = 25
33
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1/
11
MATEMÁTICA
8
2
2
2
2
2
2 2
5
3
3 5
3
15
3
15 3 12=
( )
= = =−
1
3
3
3
3 35
0
5
0 5 5= = =− −
A operação oposta à potenciação é a radiciação, expressa pela seguinte relação:
a b b an n= ⇔ =
Onde: a e b são números reais e n é um número inteiro positivo. Além disso, n é o índice, a é o 
radicando, b é a raiz e é o radical.
Propriedades da radiciação
• a ann = ;
• ab a bn n n. .= ;
• a amn n m= . ;
• a amn
m
n= ;
• a
b
a
b
bn
n
n
= ≠, 0 .
 Observação
Quando o índice da raiz for 2, não precisamos escrevê‑lo, ele fica 
subentendido, como no exemplo: 5 52 = .
Observe:
25 5=
8 2 2 2 2 2 2 232 22 22 2= = = =. . .
5
1
5
1
5
1
5
33
3
3
3
33
− = = =
34
Unidade I
Re
vi
sã
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 S
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e 
- 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
29
/1
1/
11
2.4 Operações com expressões algébricas
As expressões algébricas são operações matemáticas compostas por números e/ou letras e classificadas 
por:
• monômio: expressão algébrica composta por apenas um termo. Exemplos: 
 100 
 5x
 ‑43ab3
• binômio: expressão algébrica composta por dois monômios. Exemplos:
 100 + 5x
 5x − 43ab3
 x + 2
• trinômio: expressão algébrica composta por três monômios. Exemplos:
 100 + 5x − 43ab3
 2x2 + x + 2
 ‑a3 + bc + ab2
• polinômio: expressão algébrica composta por mais de três monômios. Exemplos:
 2x2 + x + 2 – y
 b − a3 + bc + ab2 + 3ac – 5b
Adição e subtração
A adição e a subtração de expressões algébricas só são possíveis a partir da soma ou subtração de 
monômios que possuem exatamente a mesma parte literal, como ilustrado a seguir:
3x + 4y – 2y + 5x – 2 = 8x + 2y – 2
(2xy + 4x) – (xy + x ) = 2xy + 4x – xy – x = xy + 3x
Multiplicação e divisão
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, utiliza‑se principalmente as propriedades de 
potenciação. Exemplos:
(2x2y)(5xz) = 10x3yz
(2xy + 4x).(xy + x) = 2x2y2 + 2x2y + 4x2y + 4x2
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MATEMÁTICA
2.5 Valor numérico de expressões algébricas
Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, é preciso substituir a parte literal por 
valores numéricos. Por exemplo, para calcular o valor da expressão algébrica 2x2 + x + 2 para x = 2, basta 
substituir o x por 2:
2.22 + 2 + 2 = 8 + 2 + 2 = 12
Para x = ‑1, faça:
2.(‑1)2 + (‑1) + 2 = 2.1 – 1 + 2 = 2 ‑1 + 2 = 3
2.6 Fatoração e simplificação
Fatorar uma expressão é apresentá‑la na forma de uma multiplicação. Veja exemplos de expressões 
fatoradas:
2x
– x2y
a3(3+b2)
(2xy + 4x).(xy + x)
A fatoração é muito utilizada no processo de simplificação de expressões algébricas, como apresentado 
a seguir:
x x
x
x x
x
x2 4
2
4
2
4
2
+ =
+( ) = +
Para facilitar o processo de simplificação, os produtos notáveis também são muito utilizados. Os 
principais produtos notáveis estão apresentados a seguir:
a b a b a b a ab ba b a ab b
a b a b a b
+( ) = +( )⋅ +( ) = + + +( ) = + +
−( ) = −( )⋅ −
2 2 2 2 2
2
2
(( ) = − − +( ) = − +
+( ) = +( ) +( ) = + +( )⋅
a ab ba b a ab b
a b a b a b a ab b
2 2 2 2
3 2 2 2
2
2 aa b a a b ab b
a b a b a b a ab b a b
+( ) = + + +
−( ) = −( ) −( ) = − +( )⋅ −( )
3 2 2 3
3 2 2 2
3 3
2 == − + −
+( ) −( ) = − + −( ) = −
a a b ab b
a b a b a ab ba b a b
3 2 2 3
2 2 2 2
3 3
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A seguir, um exemplo de uma simplificação usando produtos notáveis:
x
x
x x
x
x
2 9
3
3 3
3
3
−
+
=
−( ) +( )
+
= −
3 EQUAÇÕES
3.1 Introdução
A finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
Acompanhe o exemplo a seguir:
João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se cada trufa custa 
R$ 2,50, quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro?
Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com 
R$ 10,00, assim, x será a incógnita do problema.
Agora, estruturemos a equação do problema:
2,5x = 10
Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: qual é o valor de x que, ao ser multiplicado por 
2,5,resulta em 10?
Para responder essa pergunta, é necessário resolver a equação, ou seja:
2,5x=10
x = =10
2 5
4
,
Portanto, João pode comprar quatro trufas de chocolate com seus R$ 10,00.
Para conferir se os cálculos foram realizados corretamente, substitua o valor encontrado na equação 
inicial. Se a igualdade se mantiver, o cálculo está correto, caso contrário, está errado:
2,5x = 10
2,5.4 = 10
 10 = 10
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MATEMÁTICA
 Observação
É comum o uso das letras x e y para representar as incógnitas nas 
equações, no entanto, podem ser utilizadas quaisquer letras do alfabeto, 
quaisquer símbolos e até mesmo quaisquer desenhos para esse fim.
As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas nelas presentes. 
Por exemplo:
2,5x=10 é uma equação do 1º grau, pois o expoente do x é 1.
Vejamos outros exemplos:
x2+5x=0 é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2.
–2x+3x2=5x+1 é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2.
y3–y+5y2=1 é uma equação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3.
3.2 Equação do 1º grau
A estrutura geral da equação do 1º grau é dada pela expressão ax + b = 0, sendo que a e b são 
números reais e a ≠ 0.
Para resolver equações do 1º grau, é preciso isolar a incógnita em um dos lados da equação e 
apresentar o resultado no conjunto solução (S). O valor da incógnita que torna a equação verdadeira é 
denominado raiz da equação.
Observe:
Exemplo 01:
5x–10=0
5x=10
x = 10
5
x=2
S = {2}.
Assim, 2 é a raiz da equação do exemplo 01.
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Exemplo 02:
5
2
4 0x + =
5
2
4x = −
x = − 4 2
5
.
x = − 8
5
S = −




8
5
Assim, − 8
5
 é a raiz da equação do exemplo 02.
Exemplo 03:
2 1
2
2
3
x x− = +
3(2x–1)=2(x+2)
6x–3=2x+4
6x►–2x=4+3
4x=7
x = 7
4
S = 




7
4
Assim, 
7
4
 é a raiz da equação do exemplo 03.
3.3 Equação do 2º grau
A estrutura geral da equação do 2º grau é dada pela expressão ax2 + bx + c = 0, sendo que a, b e c 
são números reais e a ≠ 0. A equação do 2º grau também é denominada equação quadrática. As letras 
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MATEMÁTICA
a, b e c presentes na equação são chamadas de coeficientes da equação. O coeficiente a acompanha x2, 
b acompanha x e c é o termo independente.
O principal método utilizado para calcular equações do 2º grau é a fórmula de Bhaskara, expressa a 
seguir:
x
b
a
b ac= − ± = −∆ ∆
2
42
O ∆, denominado discriminante, é uma fórmula importante que possibilita saber a quantidade de 
soluções possíveis para uma equação do 2º grau:
• ∆ = 0 indica que a equação admite duas raízes reais e iguais;
• ∆ > 0 indica que a equação admite duas raízes reais e diferentes;
• ∆ < 0 indica que a equação não admite raízes reais.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 01:
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2–5x+6=0:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = ‑5, c = 6.
2º passo: calcular ∆=b2–4ac e analisar o resultado:
∆=(–5)2–4.1.6=25–24=1
Como ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
= − + =
− −( ) + = + = =∆
2
5 1
2 1
5 1
2
6
2
3
x
b
a
"
.
= − − =
− −( ) − = − = =∆
2
5 1
2 1
5 1
2
4
2
2
S={2, 3}
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Portanto, as raízes da equação são 2 e 3.
Exemplo 02:
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2+2x+1=0:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = 2, c = 1.
2º passo: calcular ∆ = b2–4ac e analisar o resultado:
∆ = 22–4.1.1 = 4–4 = 0
Como ∆ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
= − + = − + = − + = − = −∆
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
x
b
a
"
.
= − − = − − = − − = − = −∆
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
S={–1}
Portanto, a raiz da equação é −1.
Exemplo 03:
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2+2x+2=0:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = 2, c = 2.
2º passo: calcular ∆ = b2–4ac e analisar o resultado:
∆ = 22–4.1.2 = 4–8 = –4
Como ∆ < 0, a equação não admite raízes reais, logo, o conjunto solução é vazio: S=∅.
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MATEMÁTICA
4 INEQUAÇÕES
4.1 Introdução
As inequações são muito semelhantes às equações. A única diferença é que os resultados das 
inequações são intervalos de valores e, nas equações, os resultados são valores pontuais.
A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade 
verdadeira. Acompanhe o exemplo a seguir:
João tem R$ 10,00 e, sabendo que cada trufa custa R$ 2,50, quer saber até quantas trufas de 
chocolate pode comprar com seu dinheiro.
Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com seu 
dinheiro, ou seja, x será a incógnita do problema.
Agora, estruturemos a equação do problema:
2,5x ≤ 10
Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: quais são os valores de x que, ao serem 
multiplicados por 2,5, resultam em um valor menor ou igual a 10?
Para responder essa pergunta, basta resolver a inequação:
2,5x < 10
x ≤ ≤10
2 5
4
,
Portanto, João pode comprar até quatro trufas de chocolate com seus R$ 10,00.
Assim como nas equações, as inequações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente 
das incógnitas presentes na expressão. Por exemplo:
• 2,5x < 10 é uma inequação do 1º grau, pois o expoente do x é 1.
Verifique outros exemplos:
• x2 + 5x > 0 é uma inequação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2;
• –2x + 3x2 > 5x + 1 é uma inequação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2;
• y3 – y + 5y2 < 1 é uma inequação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3.
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4.2 Inequação do 1º grau
A estrutura geral da inequação do 1º grau é dada pelas seguintes expressões:
• ax + b < 0;
• ax + b ≤ 0;
• ax + b > 0;
• ax + b ≥ 0.
Sendo que a e b são números reais e a ≠ 0.
Para resolver inequações do 1º grau, usa‑se a mesma técnica de resolução das equações, com a 
manutenção do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos. 
Observe alguns exemplos:
Exemplo 01:
5x – 10 < 0
5x < 10
x < 10
5
x < 2
S = {x ∈ R | x < 2} = ]– ∞ ,2[
 Observação
Qualquer uma das notações é válida, ou seja, não é necessário que todas 
sejam apresentadas. Adote a que você julgar mais fácil e use‑a.
Exemplo 02:
5
2
4 0x + ≥
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MATEMÁTICA
5
2
4x ≥ −
x ≥ − 4 2
5
.
x ≥ − 8
5
S x R x= ∈ ≥ −




= − ∞



| ,
8
5
8
5
Exemplo 03:
− − > − +2 1
2
2
3
x x
3(–2x –1) > 2(–x +2)
–6x ‑3 > –2x + 4
–6x + 2x > 4 + 3
–4x > 7 
Preste atenção que, nessa passagem, é necessário 
multiplicar ambos os lados da inequação por (‑1) e 
trocar o sentido do sinal.
(–1)(–4x) > (–1)(7)
4x < –7
x < − 7
4
S x R x= ∈ < −




= −∞ −



| ,
7
4
7
4
R
− 7
4
Figura 22
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4.3 Inequação do 2º grau
A estrutura geral da inequação do 2º grau é dada pelas seguintes expressões:
• ax2 + bx + c < 0;
• ax2 + bx + c ≤ 0;
• ax2 + bx + c > 0;
• ax2 + bx + c ≥ 0.
Nelas, a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Para resolver inequações do 2º grau, usa‑se a mesma técnica de resolução das equações e insere‑se 
ao final o estudo do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de 
intervalos.
A seguir, apresentaremos um esquema para o estudo do sinal das inequações do 2º grau.
Adotando, ∆ = b2–4ac, x
b
a
’ = − + ∆
2
 ex
b
a
" = − − ∆
2
, se ∆ > 0, o intervalo da solução segue a 
seguinte estrutura:
 
mesmo sinal do 
coeficiente a
sinal contrário ao 
do coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ x“
Figura 23
Se ∆ = 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema:
 
mesmo sinal do 
coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ = x“
 Figura 24
Se ∆ < 0, o intervalo da solução segue o esquema:
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MATEMÁTICA
mesmo sinal do 
coeficiente a
Figura 25
Para que os conceitos fiquem mais claros, observe a seleção de exemplos:
Exemplo 01:
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 – 5x + 6 > 0 verdadeira:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = ‑5, c = 6.
2º passo: calcular ∆ = b2 – 4ac e analisar o resultado:
∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25–24 = 1
Como ∆ > 0, a inequação admite duas raízes reais e diferentes.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
= − + ∆ =
− −( ) + = + = =
2
5 1
2 1
5 1
2
6
2
3
x
b
a
"
.
= − − ∆ =
− −( ) − = − = =
2
5 1
2 1
5 1
2
4
2
2
4º passo: fazer o estudo do sinal:
Como ∆ > 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema:
mesmo sinal do 
coeficiente a
sinal contrário ao 
do coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ x“
Figura 26
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Assim, após substituir as informações no esquema, temos:
+ ‑ +
2 3
Figura 27
Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x2 – 5x + 6 > 0), o intervalo 
que torna a inequação verdadeira se configura sob o sinal positivo:
+ – +
2 3
Figura 28
Logo, a solução da inequação x2 – 5x + 6 > 0 é o intervalo:
S = {x ∈ R | x < 2 ou x > 3} = ] – ∞ , 2[ ∪ ] 3, ∞ [
Exemplo 02:
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 1 < 0 verdadeira. 
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = 2, c = 1.
2º passo: calcular ∆ = b2 –4ac e analisar o resultado:
∆ = 22 –4.1.1 = 4 – 4 = 0
Como ∆ = 0, a inequação admite duas raízes reais e iguais.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
= − + = − + = − + = − = −∆
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
x
b
a
"
.
= − − = − − = − − = − = −∆
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
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4º passo: fazer o estudo do sinal:
Como ∆ = 0, o intervalo da solução segue a estrutura:
mesmo sinal do 
coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ = x“
Figura 29
Após substituir as informações no esquema, temos:
+ +
–1
Figura 30
Como se deseja que na inequação os valores sejam menores que zero (x2 + 2x + 1 < 0), não há 
solução nos reais para essa inequação, pois, no estudo dos sinais, só existe o sinal positivo, portanto, o 
conjunto solução será vazio: S = ∅.
Exemplo 03:
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 2 > 0 verdadeira:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b = 2, c = 2.
2º passo: calcular ∆ =b2 –4ac e analisar o resultado:
∆ = 22 – 4.1.2 = 4 – 8 = –4
Como ∆ < 0, a inequação não admite raízes reais.
3º passo: fazer o estudo do sinal:
Como ∆ < 0, o intervalo da solução segue a estrutura:
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mesmo sinal do 
coeficiente a
Figura 31
Assim, após substituir as informações no esquema, temos:
+
Figura 32
Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x2 + 2x + 2 > 0), todos os 
valores da reta dos reais tornam essa inequação verdadeira, logo, o conjunto solução será o conjunto 
dos números reais: S = R. 
 Saiba mais
Há diversos livros que trazem aplicações do uso de funções matemáticas 
na administração. Algumas obras interessantes são: 
BONORA Jr., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e aplicações 
nas áreas de ciências contábeis, administração e economia. São Paulo: 
Ícone, 2000.
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao cálculo para 
administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.
SILVA, S. M. et al. Matemática para os cursos de economia, administração 
e ciências contábeis. São Paulo: Saraiva, 2007.
Para saber mais sobre funções, você também pode visitar os seguintes 
sites:
<http://ecalculo.if.usp.br/>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>.
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MATEMÁTICA
 Resumo
Dentre os assuntos expostos nesta unidade, vale destacar os 
fundamentos elementares da teoria dos conjuntos, principalmente o 
conceito de conjunto. Assim, relembrando, conjunto indica coleção ou 
agrupamento no qual cada item que o compõe é chamado de elemento. 
Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence 
a esse conjunto.
Um conjunto pode ser formado por números, letras, nomes ou até 
mesmo por outros conjuntos. Isso quer dizer que um conjunto pode ser 
elemento de outro. 
Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas e seus 
elementos são indicados por letras minúsculas.
Um importante grupo de conjuntos são os conjuntos numéricos, 
descritos a seguir: 
• o conjunto dos números naturais é composto por todos os números 
inteiros não negativos;
• o conjunto dos números inteiros é composto por todos os números 
inteiros positivos, negativos e pelo zero;
• o conjunto dos números racionais é composto por todos os números 
que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não 
nulo;
• o conjunto dos números irracionais é composto por todos os números 
que não possuem representação na forma de fração, ou seja, são 
números que, na forma decimal, não são periódicos e não têm um 
número finito de casas;
• o conjunto dos números reais é formado pela união dos números 
racionais aos irracionais.
As equações e inequações foram outros dois tópicos abordados na 
unidade. Desse modo, aprendemos que a finalidade de uma equação 
é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. As 
equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das 
incógnitas presentes na equação.
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Já as inequações são muito semelhantes às equações, a única 
diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores 
e, nas equações, os resultados são valores pontuais. A finalidade de 
uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a 
desigualdade verdadeira.
 Exercícios
Questão 01. (ENEM, 2010) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos no 
período de 1988 a 2006.
O gasto militar dos Estados Unidos supera o do fim da Guerra Fria
Em bilhões de dólares
Queda do Muro de Berlim 
(Fim da Guerra Fria) Atentado de 11 de Setembro: 
ação militar no Afeganistão
Início da guerra 
no Iraque
EUA entram na 
Guerra do Golfo
600
500
400
300
200
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
426,8
422,1
403,7
354,3
374,4
354,8
334,6
315,1
305,1
298,1
289,7
290,5 301,7
301,1
341,5
417,4
486,6
536,6 528,7
Almanaque Abril 2008. Editora Abril.
Com base no gráfico, o gasto militar no início da Guerra no Iraque foi de:
A) U$ 4.174.000,00.
B) U$ 41.740.000,00.
C) U$ 417.400.000,00.
D) U$ 41.740.000.000,00.
E) U$ 417.400.000.000,00. 
Resposta correta: alternativa E.
51
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sã
o:
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29
/1
1/
11
MATEMÁTICA
Análise das alternativas:
De acordo com o gráfico, no início da Guerra no Iraque o gasto militar dos Estados Unidos foi de 
417,4 bilhões, ou seja, U$ 417.400.000.000,00. Sendo assim, a única alternativa correta é a alternativa E 
e as demais alternativas se apresentam como incorretas.
Questão 02. (ENEM, 2010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1.000,00 para enviar 
dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser 
utilizados. Concluiuque, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65, enquanto para 
folhetos do segundo tipo, seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. 
O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do 
segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos 
do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
A) 476.
B) 675.
C) 923. 
D) 965.
E) 1.538.
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