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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
1 
 
MATEMÁTICAS BÁSICAS 
 
DETERMINANTES 
 
 
CONCEPTO DE DETERMINANTE 
 
DEFINICIÓN 
 
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A , 
( )Adet ó A∆ ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al 
multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada 
fila y columna de A . 
 
Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz 
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo . 
 
( ) κ==
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
⋯
⋮⋮⋮⋮⋮
…
…
…
321
3333231
2232221
1131211
det 
 
Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese 
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo 
líneas. 
 
 
CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS 
 
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación 
diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus. 
 
Esta regla establece que para una matriz de segundo orden 





=
2221
1211
aa
aa
A , su determinante se calcula 
de la siguiente manera: 
 
( )
12212211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A −== 
 
esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal 
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 
 
Ejemplos. 
1) ( ) ( ) 210125243
42
53
=−=−= 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
2 
 
2) ( ) ( ) 424288374
73
84
−=+−=−−−=
−
−
 
3) ( ) ( ) 78304865412
45
612
=+=−−−−=
−
−−
 
 
La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , establece que su 
determinante se calcula como: 
 
( )
233211331221132231231231133221332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A −−−++== 
 
esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la 
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal 
secundaria y sus dos paralelas. 
 
Ejemplos. 
1) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )101637542132507641
602
147
531
−−−−−−−−−++=
−
−
−
 
1840126406024 =+++−+= 
 
2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )10728130511011073852
871
1053
012
−−−−−−++−=
−
−
 
25414024010080 −=−−−−+−= 
 
3) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )393154827357894123
197
324
853
−−−−−−−+−+−=
−
−
−
 
57281201121052886 −=−+−−−−= 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 
 
1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero. 
 
Ejemplos. 
1) ( ) ( ) 0000602
06
02
=−=−= 
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3 
 
2) ( )( ) ( ) 0001009
00
19
=−=−−=
−
 
2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz TA 
 
Ejemplo. 





 −
=
38
15
A 
( ) ( ) ( )( ) 238151835
38
15
det =+=−−=
−
=A 






−
=
31
85
TA 
( ) ( ) ( )( ) 238158135
31
85
det =+=−−=
−
=TA 
 
3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es 
también multiplicado por k . 
 
Ejemplos. 
( ) ( ) 212103452
54
32
−=−=−= 
Multiplicando el primer renglón por 3=k 
( ) ( )( ) 636309456
54
96
−=−=−= 
Multiplicando la primera columna por 3=k 
( ) ( ) 6363031256
512
36
−=−=−= 
 
 en general: 
 
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
kakaka
aaka
aaka
aaka
aaa
aaa
aaa
k
…
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
== 
 
4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia. 
 
Ejemplos. 
( ) ( ) 3585124
21
54
=−=−= 
intercambiando renglones: 
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4 
 
( ) ( ) 3852451
54
21
−=−=−= 
intercambiando columnas: 
( ) ( ) 3854215
12
45
−=−=−= 
 
5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido 
es igual a: ( ) ∆− p1 
 
Ejemplo. 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )114221300120311204
210
101
324
−−−−−−−+−+−=
−−
−=∆ 
3440030 −=−+−+−= 
si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces: 
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )122030411131420012
021
110
432
1
−−−−−−−+−+−=
−−
−=∆ 
( ) ∆−=−=+−−−−= 213404300 
si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )311204120300114221
210
324
101
2
−−−−−−+−−+−=
−−
−
=∆ 
( ) ∆−==+++++−= 113300044 
 
6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero. 
 
Ejemplos. 
1) ( ) ( ) 0661661
66
11
=−=−= 
2) ( )( ) ( )( ) 010105252
52
52
=+−=−−−=
−
−
 
 
7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son 
sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar: 
 
innninin
n
n
nnnnjn
nj
nj
nnnn
n
n
kaakaakaa
aaa
aaa
aakaa
aakaa
aakaa
aaa
aaa
aaa
+++
=
+
+
+
=
…
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
2211
22221
11211
21
222221
112111
21
22221
11211
 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
5 
 
Ejemplo. 
 ( ) ( ) 5383142
41
32
=−=−==∆ 
sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 : 
( )
( ) ( ) ( ) 52732394849
38
4421
3322
2 =−=−==+
+
=∆ 
al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 51510355255
32
334231
32
2 =+−=−−−=−−
=
−−
=∆ 
 
Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante. 
 
Ejemplo. 
( )
( )
( )
15
300
250
111
30326
25224
11123
306
254
113
=
−
=
−
−
−−
=
−
=∆ 
 
 
MENOR DE UN ELEMENTO 
 
Sea un determinante de orden n , correspondiente a una matriz A : 
( )
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
21
22221
11211
det = 
 
Se define el menor de un elemento ija al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna 
j . Si se denota como ijM a tal determinante, se tiene: 
nnnjnn
inijjj
nj
nj
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯
21
21
222221
111211
=
 
Ejemplos. 
Dado el determinante: 
2610
412
351
−
−−
=∆ 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
6 
 
Algunos menores son: 
32302
210
31
2610
412
351
22
=+=
−
−−
=
−
−−
=M 
23320
41
35
2610
412
351
31
=+=
−
=
−
−−
=M 
56506
610
51
2610
412
351
23
−=−−=
−
=
−
−−
=M 
 
Ejemplo. 
Dado el determinante: 
6132
4578
10209
2315
−
=∆ 
Encontrar el menor 43M 
Solución: 
180350360801260
478
1009
215
6132
4578
10209
2315
43 −=−−−++==
−
=M 
 
 
COFACTOR DE UN ELEMENTO 
 
Se define el cofactor de un elemento ija , el cual se denota ijA , como: 
 
( ) ijjiij MA +−= 1 
 
es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó 1− , dependiendo si la suma de los dos 
subíndices es par o impar, respectivamente. 
 
Ejemplo. 
Calcular los cofactores del siguiente determinante: 
( )
85
114
det
−−
=A 
Solución: 
8
11
−=A 
5
12
=A 
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7 
 
11
21
−=A 
4
22
=A 
 
Ejemplo. 
Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante: 
 
( )
2103
452
101
det −=A 
Solución. 
304010
210
45
11 −=−==A 
( ) 16124
23
42
12 =−−−=
−
−=A351520
103
52
13 −=−−=
−
=A 
 
El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos 
de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores: 
 
( ) ∑ ∑
= =
==
n
j
n
i
ililkjkj AaAaA
1 1
det 
 
Para el renglón k o la columna l . 
 
Así, para un determinante de tercer orden, se tiene: 
( )
131312121111
333231
232221
131211
det AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A ++== 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a +−= 
 
esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. 
 
Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior: 
 
( )
2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
det
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA +−= 
 
esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. 
 
Ejemplo. 
Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores: 
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8 
 
( )
312
546
821
det
−
−
−
=A 
Tomando el primer renglón se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( )( )868101825121
12
46
8
32
56
2
31
54
1 +−−+−−+−=
−
−
−+−
−
−
=
( ) ( ) ( )( ) 3916167288271 −=−−−=−+−−= 
Ahora, tomando la segunda columna se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )4851163410182
56
81
1
32
81
4
32
56
2 +−−+−+−−=
−
−−
−
−+−=
( ) ( ) ( ) 3953761653119482 −=+−−=+−−= 
 
Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un 
determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna. 
 
Ejemplo. 
( )
3140
5230
2120
4121
det
−
−
−
=A 
1141312111
0001 AAAAA =+++= 
calculando el cofactor 11A y tomando el segundo renglón se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( )( )8322091562
14
23
2
34
53
1
31
52
2 −−−+−−+=
−
−+−
−
=
( ) ( ) ( )( ) 55221122112111112 =++=−−+−−= 
 
 
MATRIZ ADJUNTA 
 
Si ijaA = es una matriz cuadrada y ijA es el cofactor de ija , se define la matriz adjunta de A , 
denotada AAdj , como la matriz de cofactores de su transpuesta. 
 
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAdj
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
21
22221
11211
= 
 
Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en 
ella, se calcula la matriz de cofactores. 
 
Ejemplo. 
Obtener la matriz adjunta de: 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
9 
 






−
=
81
73
A 
La matriz transpuesta es: 





 −
=
87
13
TA 
La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es: 





 −
=
31
78
AAdj 
 
Ejemplo. 
Encontrar la matriz adjunta de: 










=
433
232
321
A 
 
Solución. 










=
423
332
321
TA 










−−
−−
−
=


















−
−−
−
=
133
452
516
32
21
32
31
33
32
23
21
43
31
42
32
23
32
43
32
42
33
AAdj 
 
 
MATRIZ INVERSA 
 
MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA 
 
En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la 
división en álgebra. 
 
La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por 
resultado la matriz identidad, se denota como 1−A : 
 
IAAAA =⋅=⋅ −− 11 
 
esto se cumple siempre y cuando ( ) 0det ≠A . 
 
La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera: 
 
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10 
 
( ) ( )
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
AAdj
A
A
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
21
22221
11211
1
det
1
det
1 =⋅=− 
 
El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el 
siguiente: 
 
• Se calcula el determinante de A . Si ( ) 0det ≠A entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se 
dice que es una matriz singular) 
• Se obtiene la transpuesta de A , es decir, TA 
• Se calcula la matriz de cofactores de TA , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, AAdj 
• Se forma el producto ( ) AAdjA ⋅det
1
. 
 
Ejemplo. 
Obtener la matriz inversa de: 





 −−
=
43
12
A 
 
Solución. 
( ) ( ) 538
43
12
det −=−−−=
−−
=A 






−
−
=
41
32
TA 






−−
=
23
14
AAdj 









 −−
=





−−−
=⋅
−
=−
5
2
5
3
5
1
5
4
23
14
5
1
5
11
AAdjA 
Comprobación: 










+−+−
−−
=









 −−





 −−
=⋅ −
5
8
5
3
5
12
5
12
5
2
5
2
5
3
5
8
5
2
5
3
5
1
5
4
43
12
1
AA 
 I=





=
10
01
 
 
Ejemplo. 
Obtener la matriz inversa de: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
11 
 










−
−
−
=
634
215
012
A 
 
Solución. 
( ) 14123008012det −=+−−−+=A 










−−
−
=
620
311
452
TA 










−
−
−
=


















−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
−−−
−
−
=
3211
41238
2612
11
52
31
42
31
45
20
52
60
42
62
45
20
11
60
31
62
31
AAdj 
















−−
−−
−−
=










−
−
−
−
=⋅
−
=−
14
3
14
2
14
11
14
4
14
12
14
38
14
2
14
6
14
12
3211
41238
2612
14
1
14
11 AAdjA 
Comprobación: 
















−−
−−
−−










−
−
−
=⋅ −
14
3
14
2
14
11
14
4
14
12
14
38
14
2
14
6
14
12
634
215
012
1AA 
 
















+−−+−−+−
++−−−−−
+−++−++−
=
14
18
14
12
14
8
14
12
14
36
14
24
14
66
14
114
14
48
14
6
14
4
14
10
14
4
14
12
14
30
14
22
14
38
14
60
0
14
4
14
4
0
14
12
14
12
0
14
38
14
24
 
 I=










=
100
010
001
 
 
La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
12 
 




















⇒












=
×
nn
nnnn
a
a
a
a
a
a
A
1
00
0
1
0
00
1
00
00
00
22
11
22
11
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
 
 
La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla: 
 
( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA 
 
 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para 
hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones 
lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa 
de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). 
 
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma 
tradicional así : 
 







=+++
=+++
=+++
mnmnmnm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
…
…⋯⋯…
…
⋯
221
22222121
11212111
 
 
 
Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde ija son los coeficientes reales del 
sistema, los valores mb son los términos independientes del sistema y las incógnitas ix son las 
variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales nsss ,,, 21 ⋯ 
tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema. 
 
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma : 
 
[ ] [ ] [ ]BxA =⋅ 
 












=
























mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
……
⋯
⋯⋯⋯⋯
⋯
⋯
2
1
2
1
21
22221
11211
 
 
donde: 
[ ]A es una matriz de coeficientes 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor:Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
13 
 
[ ]B es un vector de constantes 
[ ]x es un vector de incógnitas 
 
 
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA 
 
Sea la ecuación matricial: [ ] [ ] [ ]BxA =⋅ que denota un sistema de ecuaciones lineales. 
 
Esta ecuación puede ser resuelta para [ ]x , premultiplicando [ ]A por su inversa, y para no alterar el 
resultado, también se premultiplica [ ]B por la inversa de [ ]A : 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BAxAA ⋅=⋅⋅ −− 11 , esto es: 
 
[ ] [ ] [ ]BAx ⋅= −1 
 
Ejemplos. 
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
1) 



=+
=+
52
1543
21
21
xx
xx
 
Solución. 






=
12
43
A 
( ) 583
12
43
det −=−==A 






=
14
23
TA 






−
−
=
32
41
AAdj 










−
−
=





−
−
−
=⋅
−
=−
5
3
5
2
5
4
5
1
32
41
5
1
5
11
AAdjA 
[ ] [ ] [ ] 





=





−
+−
=















−
−
=⋅= −
3
1
36
43
5
15
5
3
5
2
5
4
5
1
1
BAx 
3;1
21
==∴ xx 
 
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14 
 
2) 





−=−+
=+−
=++
2634
523
1154
zyx
zyx
zyx
 
Solución. 










−
−=
314
123
541
A 
( ) 1121364016156det =−++++=A 










−
−=
315
124
431
TA 










−
−=


















−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
=
141511
142313
14175
24
31
14
41
12
43
15
31
35
41
31
43
15
24
35
14
31
12
AAdj 
















−
−=










−
−=⋅=−
112
14
112
15
112
11
112
14
112
23
112
13
112
14
112
17
112
5
141511
142313
14175
112
1
112
11 AAdjA 
[ ] [ ] [ ]










−
−
=
















−
−
=
















++
−−
−+
=










−
















−
−=⋅= −
5
3
2
112
560
112
336
112
224
112
364
112
75
112
121
112
364
112
115
112
143
112
364
112
85
112
55
26
5
11
112
14
112
15
112
11
112
14
112
23
112
13
112
14
112
17
112
5
1
BAx 
5;3;2 =−=−=∴ zyx 
 
 
REGLA DE CRAMER 
 
La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de 
incógnitas ( )mn = y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para 
sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados). 
 
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15 
 







=+++
=+++
=+++
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
…
…⋯⋯…
…
⋯
221
22222121
11212111
 
 
El valor de cada incógnita jx se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la 
matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna j del 
determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. 
 
Ejemplos. 
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
1) 



=+
=−
1365
2343
21
21
xx
xx
 
Solución. 
382018
65
43
=+=
−
=∆ 
Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna: 
5
38
190
38
52138613
423
1
1 ==
+=
∆
−
=
∆
∆
= xx 
Para calcular 2x , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna: 
2
38
76
38
11539135
233
2
2 −=
−=−=
∆
=
∆
∆
= xx 
2;5
21
−==∴ xx 
 
2) 





−=−−−
=+−
=+−
9396
28104
21732
zyx
zyx
zyx
 
Solución: 
3618036421802526
396
1014
732
=+−−+−=
−−−
−
−
=∆ 
Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna: 
4
36
144
36
189025263270176463399
10128
7321
==+−−+−=
∆
−−−
−
−
=
∆
∆= xx 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
16 
 
Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna: 
2
36
72
36
18025211761260252168396
10284
7212
−=−=+++−−−=
∆
−−−
=
∆
∆
= yy 
Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna: 
1
36
36
36
50410812650475618996
2814
2132
==+−−+−=
∆
−−−
−
−
=
∆
∆= zz 
1;2;4 =−==∴ zyx