5 - Resistência dos Materiais - Torção

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Resistência dos Materiais
4 - Torção
Centro Universitário Ritter dos Reis - UniRitter
Cursos de Engenharia
Disciplina de Resistência dos Materiais
Prof. Maílson Scherer
Mestre em Engenharia Civil – PPGEC/UFRGS
E-mail – mailson.scherer@uniritter.edu.br
4 - Torção 2
4.1 DEFORMAÇÃO E TENSÃO POR TORÇÃO EM ELEMENTOS 
CIRCULARES
▪ Torque é um momento que tender a torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal;
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4 - Torção 3
4.1 DEFORMAÇÃO E TENSÃO POR TORÇÃO EM ELEMENTOS 
CIRCULARES
▪ Torque é um momento que tender a torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal;
▪ Este tipo de esforço é grande 
importância em projeto de eixos 
de transmissão usados em 
veículos e máquinas.
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4 - Torção 4
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Torque produzido por uma chave de 
roda.
Torque produzido pelo giro de uma 
maçaneta.
4 - Torção 5
▪ Podemos ilustrar o que acontece quando um torque age sobre um eixo 
circular considerando que este eixo seja feito de um material bastante 
deformável, como a borracha;
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Antes da deformação
Depois da deformação
4 - Torção 6
▪ Podemos ilustrar o que acontece quando um torque age sobre um eixo 
circular considerando que este eixo seja feito de um material bastante 
deformável, como a borracha;
▪ O torque aplicado tende a distorcer linhas longitudinais inicialmente retas. 
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Antes da deformação
Depois da deformação
4 - Torção 7
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Antes da deformação Depois da deformação
Apesar de distorcer as 
linhas longitudinais, os
círculos marcados ao 
longo do comprimento 
irão manter sua forma 
original.
4 - Torção 8
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Ao fixarmos o elemento em uma das 
extremidades e aplicarmos um torque, 
o plano sombreado (não deformado) 
irá se distorcer conforme ilustrado.
4 - Torção 9
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Ao fixarmos o elemento em uma das 
extremidades e aplicarmos um torque, 
o plano sombreado (não deformado) 
irá se distorcer conforme ilustrado.
Dessa forma, uma linha radial situada a 
uma distância x da extremidade fixa do 
eixo irá sofrer um rotação φ(x).
O ângulo φ(x) é conhecido como 
ângulo de torção, e aumenta à medida 
que x aumenta.
4 - Torção 10
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Para entendermos como esta distorção 
deforma o material, podemos isolar um 
“disco” do eixo, cujo comprimento é dx.
4 - Torção 11
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Para entendermos como esta distorção 
deforma o material, podemos isolar um 
“disco” do eixo, cujo comprimento é dx.
Por conta da deformação, as duas faces 
do disco apresentarão uma diferença de 
rotação dφ.
4 - Torção 12
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Para entendermos como esta distorção 
deforma o material, podemos isolar um 
“disco” do eixo, cujo comprimento é dx.
Por conta da deformação, as duas faces 
do disco apresentarão uma diferença de 
rotação dφ.
Como resultado, a diferença de rotação 
entre as faces causará no elemento uma 
deformação por cisalhamento (γ).
4 - Torção 13
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▪ A deformação por cisalhamento devido à 
torção, em uma altura qualquer da seção 
transversal, pode ser expressa por:
Sendo:
c – raio externo da seção transversal;
ρ – posição genérica medida do eixo da barra.
g varia linearmente em função da posição r 
na seção transversal! 
max
c
r
g g
 
=  
 
4 - Torção 14
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Se o material tiver comportamento 
linear e elástico (Lei de Hooke), pode-se 
empregar a seguinte relação entre a 
deformação e a tensão de cisalhamento.
G g= 
4 - Torção 15
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Se o material tiver comportamento 
linear e elástico (Lei de Hooke), pode-se 
empregar a seguinte relação entre a 
deformação e a tensão de cisalhamento.
G g= 
E como consequência, as tensões 
também apresentarão uma variação 
linear em função da distância do eixo da 
barra. 
max
c
r
 
 
=  
 
4 - Torção 16
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Cada elemento de área dA, localizado 
em r, está submetido a uma força dF.
O torque (ou momento de torção) dT
produzido pela força infinitesimal dF é 
dado por:
dF dA= 
( )dT dF dAr r =  = 
4 - Torção 17
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( ) max
A A
T dA dA
c
r
r  r 
 
=  =  
 
 
O torque total T atuante sobre a seção 
transversal é obtido integrando dT em toda a 
área da seção transversal.
2max
A
T dA
c

r= 
2
A
J dAr= 
4 - Torção 18
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Podemos, finalmente, chegar nas expressões gerais da torção:
max
Tc
J
 =
Onde:
max → tensão de cisalhamento máxima no eixo;
 → tensão de cisalhamento na posição arbitrária ρ;
T → torque interno resultante que atua na seção 
transversal;
c → raio externo do eixo;
J → momento polar de inércia da área de seção
transversal.
T
J

r
=
4 - Torção 19
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O momento polar de inércia J (mm4) é dado por: 
Seção circular maciça Seção tubular
4 - Torção 20
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Vamos também estabelecer uma 
convenção de sinais para o torque.
4 - Torção 21
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Vamos também estabelecer uma 
convenção de sinais para o torque.
Para isso, utilizamos a regra da 
mão direita:
O torque positivo será sempre 
aquele cujo o polegar saia da 
seção transversal, enquanto os 
demais dedos indicam o sentido 
da rotação. Mão direita
4 - Torção 22
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Mão direita
No cálculo das tensões devido à 
torção, utiliza-se o valor absoluto 
do torque.
Isto porque, do ponto de vista do 
material, a resistência ao 
cisalhamento indiferente em 
relação à orientação da torção.
O sinal do torque será importante 
na análise das deformações 
devidas à torção! 
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Exercício 4.1
O tubo mostrado na figura tem 
diâmetro interno de 80mm e diâmetro 
externo de 100mm. Se sua extremidade 
for apertada contra o apoio em A 
usando uma chave em B, determine a 
tensão de cisalhamento desenvolvida no 
material nas paredes interna e externa.
4 - Torção 24
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Exercício 4.2
O eixo maciço (a) e o tubo (b) 
ilustrados são feitos de um 
material cuja tensão de 
cisalhamento admissível é 75MPa. 
Determine o máximo torque 
interno que pode ser aplicado em 
cada peça e esboce a distribuição 
de tensão de cisalhamento nos 
dois casos
(a) (b)
4 - Torção 25
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Exercício 4.3
Um eixo maciço de 50mm de 
diâmetro está sujeito aos torques 
aplicados nas engrenagens. 
Determine a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta no 
eixo.
4 - Torção 26
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Exercício 4.4
Um elo transmite a um tubo 
acoplado um torque devido às 
forças ilustradas. Se o tubo 
acoplado tiver diâmetro interno 
de 25mm e espessura de 5mm, 
determine a tensão de 
cisalhamento máxima no tubo e 
esboce a distribuição de tensões 
na seção transversal do tubo.