Resolução: Ângulo entre Retas

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Vamos resolver este problema passo a passo. O problema pede para encon-
trar o ângulo entre duas retas, r1 e r2, e depois calcular a projeção de um vetor
diretor sobre o outro.
1. Identificar os Vetores Diretores
Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores u⃗ e v⃗ para cada reta.
Para a reta r1:
A equação é dada na forma vetorial: r1 : ⟨x, y, z⟩ = (2 + t, t, 5 − 2t). Podemos
reescrevê-la como:
⟨x, y, z⟩ = (2, 0, 5) + t⟨1, 1,−2⟩
O vetor que multiplica o parâmetro t é o vetor diretor. Portanto:
u⃗ = ⟨1, 1,−2⟩
Para a reta r2:
A equação é dada na forma simétrica: r2 : x−2
3 = y
−2 = z − π. Podemos
reescrevê-la como:
x− 2
3
=
y − 0
−2
=
z − π
1
Os denominadores nos dão as componentes do vetor diretor. Portanto:
v⃗ = ⟨3,−2, 1⟩
2. Encontrar o Ângulo entre as Retas
O ângulo θ entre as retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Usamos a
fórmula do produto escalar:
cos(θ) =
u⃗ · v⃗
|u⃗||v⃗|
Produto Escalar (u⃗ · v⃗):
u⃗ · v⃗ = (1)(3) + (1)(−2) + (−2)(1) = 3− 2− 2 = −1
Módulo de u⃗ (|u⃗|):
|u⃗| =
√
12 + 12 + (−2)2 =
√
1 + 1 + 4 =
√
6
Módulo de v⃗ (|v⃗|):
|v⃗| =
√
32 + (−2)2 + 12 =
√
9 + 4 + 1 =
√
14
1
Cálculo do cosseno de θ:
cos(θ) =
−1√
6
√
14
=
−1√
84
=
−1√
4 · 21
=
−1
2
√
21
O ângulo θ entre as retas é:
θ = arccos
(
−1
2
√
21
)
3. Encontrar o Vetor Projeção
Agora, vamos encontrar o vetor w⃗, que é a projeção de v⃗ sobre u⃗ (proju⃗v⃗). A
fórmula é:
w⃗ = proju⃗v⃗ =
(
u⃗ · v⃗
|u⃗|2
)
u⃗
Já calculamos os valores necessários:
• u⃗ · v⃗ = −1
• |u⃗| =
√
6, então |u⃗|2 = 6
• u⃗ = ⟨1, 1,−2⟩
Substituindo na fórmula:
w⃗ =
(
−1
6
)
⟨1, 1,−2⟩
w⃗ =
〈
−1
6
,−1
6
,
2
6
〉
Simplificando a última componente:
w⃗ =
〈
−1
6
,−1
6
,
1
3
〉
Resumo das Respostas:
• O ângulo entre as retas r1 e r2 é θ = arccos
(
−1
2
√
21
)
.
• O vetor projeção w⃗ = proju⃗v⃗ é w⃗ =
〈
− 1
6 ,−
1
6 ,
1
3
〉
.
2