Lista 4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO / 2017.1 
Quarta Lista 
 
1- O gráfico de uma função 𝑓 é quase um segmento de parábola atingindo 
seu extremo valor em um intervalo (𝑥0, 𝑥2). Os valores funcionais 𝑓𝑖 =
 𝑓(𝑥𝑖), são conhecidos em abcissas equidistantes 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2. O valor extremo 
é procurado. 
 
a) Use interpolação quadrática para obter a coordenada x do extremo. 
b) Os comprimentos dos dias em Lulea, na Suécia são dados por: 
 
1 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜: 20ℎ 56𝑚𝑖𝑛 
16 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜: 22ℎ 24𝑚𝑖𝑛 
1 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜: 22ℎ 01𝑚𝑖𝑛 
16 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜: 20ℎ 44𝑚𝑖𝑛 
 
Use o resultado da parte a) para determinar qual é o dia mais longo em 
Lulea e qual é sua duração. 
 
c) Estime o erro cometido em b). 
 
2- Um projétil foi lançado de um ponto tomado como origem e fez-se as 
seguintes observações: 
 
 
isto é, 
 
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i. Fotografou-se o projétil a 10 metros do ponto de lançamento e foi 
determinado sua altitude no local: 6 metros. 
ii. Uma barreira a 20 metros do ponto de lançamento interceptou-o e 
aí foi determinada sua altitude: 4 metros. 
 
 
Com esses 3 pontos é possível interpolar a trajetória do projétil. 
Comparando a equação teórica da trajetória com a obtida pela interpolação 
é possível determinar os parâmetros de lançamento: o ângulo com a 
horizontal, e a velocidade inicial 𝑣0. Assim: 
a) Determine o polinômio interpolador. 
b) Determine 𝜓 e 𝑣0 sabendo que a equação da trajetória é dada por: 
 
 
 
onde 𝑔 = 9.86 𝑚/𝑠². 
 
c) Calcule a altitude do projétil a 5 metros do ponto de lançamento. 
 
3- Na tabela a seguir está assinalado o posicionamento de um ônibus, 
partindo do marco zero de uma rodovia federal, 
 
Pede-se os possíveis posicionamentos do ônibus para os tempos de 
95 𝑚𝑖𝑛. , 130 𝑚𝑖𝑛. 𝑒 170 𝑚𝑖𝑛. Use reta e parábola. 
 
4- Um paraquedista realizou seis saltos, saltando de alturas distintas em 
cada salto. Foi testada a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio 
de 5 metros de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela a 
seguir é relativa à circunferência. 
 
 
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Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do 
alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850 metros? Use 
reta e parábola. 
 
5- Os resultados da densidade da água 𝜌 em várias temperaturas estão 
contidos na tabela a seguir: 
 
 
Calcular: 
a) 𝜌(13), 
b) 𝜌(27), 
usando parábolas de 2° e 3° graus. 
 
6- Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico 
verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados 
obtidos estão indicados a seguir: 
 
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para 
comprimentos de: 
a) 1730 𝑚, 
b) 3200 𝑚, 
usando parábolas de 2° e 3° graus. 
 
7- Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada, foi calculada a 
iluminação em casos de incidência normal, sobre uma superfície situada a 
distâncias conhecidas, quando para cada distância foi calculada a 
iluminação, conforme a tabela: 
 
 
 
Calcular a iluminação, quando a superfície estiver situada a: 
a) 1.60 𝑚 𝑑𝑎 𝑙â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎, 
b) 2.38 𝑚 𝑑𝑎 𝑙â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎, 
usando parábolas de 2° e 3° graus. 
 
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8- Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os 
resultados a seguir, quando se analisou o consumo de combustível de acordo 
com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em 
rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 𝑘𝑚. 
 
 
Verificar o consumo aproximado para o caso de serem desenvolvidas as 
velocidades de: 
a) 80 𝑘𝑚/ℎ, 
b) 105 𝑘𝑚/ℎ, 
usando parábolas de 2° e 3° graus. 
 
9- A lei de Ohm diz que: 
𝐸 = 𝑅. 𝐼 
 
onde 𝐸 é a voltagem, 𝐼 é a corrente e 𝑅 a resistência, isto é, o gráfico de 𝐸 × 𝐼 
é uma reta de coeficiente angular 𝑅 que passa pela origem. Vários tipos de 
resistores, entretanto, não possuem essa propriedade linear. Tal resistor é 
chamado de um resistor não linear, ou um VARISTOR. Muitos tubos de vácuo 
são varistores. Geralmente, a relação entre a corrente e a voltagem para um 
varistor pode ser aproximada por um polinômio da forma: 
 
 
Considere agora um circuito consistindo de um resistor linear 𝑅1e um 
varistor 𝑅2, como na figura a seguir: 
 
As equações para o circuito são: 
 
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e portanto, 
 
 
Suponha que num certo experimento, os seguintes dados foram 
obtidos: 
 
 
 
a) Calcule a voltagem total 𝐸 e a voltagem 𝐸1 quando 𝐸2 = 2.3 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 e 
𝑅1 = 10 𝑂ℎ𝑚𝑠, usando polinômio de interpolação sobre todos os 
pontos. 
b) Use interpolação inversa de grau 2 para calcular a tensão no 
varistor quando 𝐸1 = 10 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 e 𝑅1 = 10 𝑂ℎ𝑚𝑠. 
 
10- Um foguete é lançado na direção mostrada na figura: 
 
 
e as coordenadas 𝑥 e 𝑦 nos vários instantes de tempo 𝑡 após o lançamento, 
estão dados na tabela: 
 
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a) Calcule 𝑥(250), 𝑦(250) e 𝑦(𝑥(250)), usando polinômio de 
interpolação sobre todos os pontos. 
b) Compare os valores de 𝑦(250) e 𝑦(𝑥(250)). Os resultados são os 
mesmos? Deveriam ser? 
 
Observe que se você estiver fazendo um programa para resolver este 
problema, no item a) você deverá interpolar (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖), (𝑡𝑖 , 𝑦𝑖) e (𝑡𝑖 , 𝑦𝑖), ou seja, 
existirá três polinômios interpoladores e apenas uma subrotina. 
 
11- A constante de equilíbrio para amônia reagindo com gases de 
hidrogênio e nitrogênio depende da proporção molar de hidrogênio - 
nitrogênio, da pressão e da temperatura. Para uma proporção molar de 
hidrogênio - nitrogênio 3 para 1 a constante de equilíbrio para uma faixa de 
pressões e temperaturas é dada por: 
 
 
Determinar a constante de equilíbrio para: 
a) 462° 𝐶 e uma pressão de 217 𝑎𝑡𝑚, 
b) 523° 𝐶 e uma pressão de 338 𝑎𝑡𝑚. 
usando interpolação linear. 
 
 
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Observe que vale a mesma observação do problema anterior, ou seja, 
para cada item existirá três polinômios interpoladores e apenas uma 
subrotina. 
 
12- A tabela a seguir relaciona a quantidade ideal de calorias em função 
da idade e do peso, para homens que possuem atividade física moderada e 
vivem a uma temperatura ambiente de 20° 𝐶. 
 
 
 
Usando interpolação linear, determinar a cota aproximada de calorias 
para um homem 
 
a) de 35 𝑎𝑛𝑜𝑠 que pesa 62 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑠, 
b) de 50 𝑎𝑛𝑜𝑠 que pesa 78 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑠. 
 
Vale a mesma observação do problema anterior.