EP13 -MB-Bio

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica para Biologia  EP13 
 
Caros alunos, 
Neste EP, você vai estudar as equações exponenciais e logarítmicas da apostila da 
disciplina, disponível na plataforma. Não deixe de resolver os exercícios propostos na 
apostila! 
Aproveite para conferir o gabarito do EP11. Se tiver dúvidas, procure o tutor no pólo! 
 Bons estudos e uma ótima semana! 
Gisela Pinto 
Teste seus estudos! 
1- Resolva as seguintes equações exponenciais em : 
a) 7 7x  
b) 25 125x  
c) 
1 1
5 625
x
 
 
 
 
d) 8 16x  
e) 4 32x  
f) 
1
4
32
x  
g) 1 39 3x  
h) 10,2 125x  
i)    
1
36 36 1
x x
  
j) 1 2 1 24 4 4 4 315x x x x       
k) 49 42 7x x  
 
2- Em uma região litorânea estão sendo construídos edifícios residenciais. Um biólogo 
prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei 
3( ) (0).4
t
n t n

 , onde n(0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início das 
construções e n(t) é a quantidade existente t anos depois. Qual é o tempo necessário 
para que a população de pássaros dessa espécie se reduza: 
a) À metade da população existente no início das construções? 
b) À oitava parte da população existente no início das construções? 
c) A 1,5625% da população existente no início das construções? 
 
3- Resolva os logs 
a) 
4log 16 
b) 
5log 125 
c) 
8log 64 
d) 
3
log 3 
e) log 0,0001 
f) 49log 7 
 
4- Calcule 
a) 
8
1
log
48
 
 
  
b)  5 2log log 32 
 
5- Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule, em função de a e de b. 
a) log6 
b) log1,5 
c) log5 
d) log30 
e) 
1
log
4
 
f) 3log 18 
 
6- Considerando as aproximações log 2  0,3 e log 3  0,48, calcule o valor de: 
a)  4 5log 2 3 
b) log0,05 
c) log 2000 
 
7- Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, obtenha, em função de a e b, o valor de: 
a) 6log 5 
b) 100log 36 
c) 4log 18 
 
8- Resolva as equações logarítmicas em . Não se esqueça de testar as condições 
de existência dos logaritmos! 
a) 2 2
3 3log (5 6 16) log (4 4 5)x x x x     
b) 2( 2) 2log ( 2 ) log 3x xx x   
c) 2
3
5
log (2 3 2) 0x x   
 
d) 2
2log (6 13 15) 2x x x   
e) 2
7 72log ( 3) log ( 45)x x   
 
 
Gabarito do EP11 
1- Resolva as seguintes equações do 2º grau em : 
 
a) x² 8x 12 0   
 
2 2
1
2
1, 8, 12
4 ( 8) 4.1.12 64 48 16
( 8) 16 8 4
2 2.1 2
8 4
6
2
8 4
2
2
2,6
a b c
b ac
b
x
a
x
x
S
   
        
      
  

 

 

 
Encontramos duas soluções distintas porque o discriminante é positivo. 
 
b) x² 5x 8 0    
 
2 2
1, 5, 8
4 ( 5) 4.1.8 25 32 7
( 5) 7
2 2.1
a b c
b ac
b
x
a
S
   
         
      
 

 
Não existem raízes reais pois o discriminante é negativo. 
 
c) 2x² 8x 8 0   
 
2 2
2, 8, 8
4 ( 8) 4.2.8 64 64 0
( 8) 0 8 0 8
2
2 2.2 4 4
2
a b c
b ac
b
x
a
S
   
        
      
    

 
Há uma única solução pois o discriminante é nulo. 
 
d) x² x 12 0    
 
2 2
1
2
1, 1, 12
4 1 4.( 1).12 1 48 49
1 49 1 7
2 2.( 1) 2
1 7
3
2
1 7
4
2
3;4
a b c
b ac
b
x
a
x
x
S
   
        
      
  
 
 
  

 
 

 
 
Encontramos duas raízes reais distintas porque o discriminante é positivo. 
 
e) 22x² 7x -15 2x 7 15 0x      
 
 
2 2
2, 7, 15
4 ( 7) 4.2.( 15) 49 120 71
( 7) 71 7 71
2 2.2 4
a b c
b ac
b
x
a
S
   
          
        
  

 
Como o discriminante é negativo, não encontramos raízes reais. 
 
f) 2x² x 12 x 12 0x      
 
2 2
1
2
1, 1, 12
4 ( 1) 4.1.( 12) 1 48 49
( 1) 49 1 7
2 2.1 2
1 7
4
2
1 7
3
2
3;4
a b c
b ac
b
x
a
x
x
S
    
         
      
  

 

  
 
 
Como o discriminante positivo, obtivemos duas raízes reais distintas. 
 
g) 2x² 9 4x x 4 9 0x      
 
2 2
1, 4, 9
4 ( 4) 4.1.9 16 36 20
( 4) 20 4 20
2 2.1 2
a b c
b ac
b
x
a
S
   
         
        
  

 
O discriminante é negativo, então, a equação não possui raízes reais. 
 
h) 2 2x² 2x – 5 5 x 2 5 5 0 2 10 0x x x           
2 2
1
2
1, 2, 10
4 2 4.1.( 10) 4 40 44
2 44 2 2 11
2 2.1 2
2 2 11
2
2 2 11
2
2 2 11 2 2 11
;
2 2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
S
   
        
      
  
 

 

     
  
  
 
Como o discriminante é positivo, obtivemos duas raízes reais distintas. 
 
i) 2 2 23x² 5x x – 9 2x² 3 2 5 9 0 6 9 0x x x x x x              
 
2 2
1, 6, 9
4 6 4.1.9 36 36 0
6 0 6 0 6
3
2 2.1 2 2
3
a b c
b ac
b
x
a
S
  
       
       
     
 
 
Obtivemos o discriminante nulo, logo, encontramos apenas uma raiz real para a 
equação. 
 
 
j)   2x x 3 – 40 0 x 3 40 0x      
 
2 2
1
2
1, 3, 40
4 3 4.1.( 40) 9 160 169
3 169 3 13
2 2.1 2
3 13
5
2
3 13
8
2
5; 8
a b c
b ac
b
x
a
x
x
S
   
        
      
  
 
 
 
  
 
 
O discriminante foi positivo, por isso encontramos duas raízes reais distintas. 
 
 
2- Em uma loja, todos os CDs de uma determinada seção estavam com o mesmo 
preço, y. Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade x de CDs, totalizando 
R$ 60,00. 
 
a) Determine y em função de x. 
Resolução: y é o preço de cada CD. O jovem comprou x CDs por 60 reais, ou seja, 
60xy  , ou seja, 
60
y
x
 . 
Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de bonificação, 2 CDs a mais, da 
mesma seção e, com isso, cada CD ficou R$ 5,00 mais barato. Com quantos CDs 
o jovem saiu da loja e a que preço saiu realmente cada CD (incluindo os CDs 
que ganhou)? 
Resolução: O jovem ia comprar x CDs. Como ganhou 2 CDs a mais, levou x + 2 CDs e 
com isso, o preço que era y para cada CD ficou 5 reais mais barato, ou seja, passou a 
custar y – 5 reais. Então, como o jovem gastou os mesmos 60 reais ao todo, então temos 
que ( 2)( 5) 60x y   , ou seja, 
60 60
5 5
2 2
y y
x x
    
 
. 
Vamos igualar y? No item (a), obtivemos 
60
y
x
 e no item (b),
60
5
2
y
x
 

. Igualando, 
obtemos 
60 60
5
2x x
 

. Resolvendo essa equação, obtemos: 
52 2 2
2
1 2
60 60 60 60 5
5 60( 2) 60 5 ( 2)
2 12
( 2)2
60 120 60 5 10 5 10 120 0 2 24 0
1; 2; 24
2 4.1.( 24) 4 96 100
2 100 2 10
2.1 2
2 10 2 10
4 6
2 2
dividindo por
x x x x
x xx x
x xx x
x x x x x x x x
a b c
x
x x
          


            
   
      
   
 
   
    
 
Observe que encontramos uma solução 4 e outra -6. Como estes são valores para x, então 
representam a quantidade de CDs comprados pelo jovem, e então não pode ser um 
número negativo. Vamos desprezar a resposta -6 e considerar apenas x = 4. 
Agora, se x = 4, ou seja, se foram comprados 4 CDs pelo total de 60 reais, então cada 
CD custou 
60
4
, ou seja, 15 reais. Logo, y = 15 e então o preço real pago por cada CD é 
y – 5 = 10 reais. 
3- A área de um retângulo é de 64 2cm . Nessas condições, determine as dimensões 
do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) me a largura mede (x- 6) 
cm. 
Resolução: Conhecemos o comprimento e a altura desse retângulo, que são x + 6 e x – 
6, com x em centímetros. Então, como a área de um retângulo é determinada pelo produto 
das medidas da sua base pela sua altura, então é ( 6).( 6)x x  . O problema nos 
informou que a área mede 64 cm2, logo temos a igualdade ( 6).( 6) 64x x   . Esta é 
uma equação do 2º grau, que quando resolvida nos fornecerá o valor de x; sabendo x, 
saberemos também as dimensões do retângulo. 
Vamos resolvera equação. 
2 2 2
2
( 6).( 6) 64 36 64 64 36 0 100 0
100 100 10
x x x x x
x x x
             
       
 
Vamos observar duas coisas nessa resolução:1ª) o produto ( 6)( 6)x x  é um produto 
notável e podemos desenvolvê-lo rapidamente – é o produto da soma pela diferença de 
dois termos, que resulta na diferença de dois quadrados. 2ª) A equação obtida é 
incompleta, e por isso não precisamos usar a Fórmula Resolutiva para Equações do 2º 
Grau. Mas poderíamos tê-la usado também, bastando adotar a=1, b=0 e c=-100. 
Então encontramos dois valores possíveis para x: 10 e -10. Como x representa uma 
dimensão de um retângulo, não pode ser negativo, Por isso, vamos desprezar a solução 
x = -10 e considerar apenas x=10. E então, como as dimensões do retângulo são x+6 e 
x-6, vamos encontrar 10+6 e 10-6, ou seja, 16 cm e 4 cm. 
4- Qual deve ser o valor real de y para que as frações 
2 1 y 5
 e 
2 y 3
y
y
 
 
sejam 
numericamente iguais? 
Resolução: Para as frações serem iguais, temos 
2 1 y 5
2 y 3
y
y
 

 
. Resolvendo essa 
equação: 
2 2 2 2
2
2 1 y 5
(2 1)( 3) ( 2)( 5)
2 y 3
2 6 3 2 5 10 2 6 3 2 5 10 0
7 0
y
y y y y
y
y y y y y y y y y y y y
y
 
       
 
                 
  
 
Essa equação é incompleta, podemos resolver usando a fórmula resolutiva com a=3, b=0 
e c=-7 ou diretamente, fazendo: 
2 27 0 7 7y y y       
5- As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o 
discriminante  de cada uma e identifique o tipo de raízes que cada equação 
apresenta. 
a) 2 4 5 0x x   
2 2
1, 4, 5
4 ( 4) 4.1.( 5) 16 20 36
a b c
b ac
    
         
 
Como o discriminante é positivo, essa equação terá duas soluções distintas. 
b) 2 8 20 0x x   
2 2
1, 8, 20
4 8 4.1.20 64 80 16
a b c
b ac
  
        
 
Como o discriminante é negativo, essa equação não tem solução real. 
 
6- Determine os valores reais de x para que o valor numérico da expressão 2 4x x 
seja igual a - 3. 
Resolução: Queremos que 2 4 3x x   , ou seja, 2 4 3 0x x   . Resolvendo a equação, 
temos: 
2 2
1
2
1, 4, 3
4 4 4.1.3 16 12 4
4 4 4 2
2 2.1 2
4 2
1
2
4 2
3
2
a b c
b ac
b
x
a
x
x
  
       
      
  
 
  
 
  
 
Logo, os valores reais de x que tornam o valor numérico da expressão igual a -3 são -1 
ou -3. 
 
7- A equação 2 4 16 0ax x   tem uma raiz cujo valor é 4. Nessas condições, qual 
é o valor do coeficiente a? 
Resolução: Se 4 é uma raiz dessa equação, então 4 verifica a igualdade. Substituindo x 
por 4, temos: 
2 2 324 16 0 .4 4.4 16 0 16 32 0 16 32 2
16
ax x a a a a a                
Então o valor do coeficiente a é 2. 
 
8- Determine o valor de k para que a equação 23 3 0x kx   tenha uma única 
raiz real. 
Resolução: Para que a equação 
23 3 0x kx   tenha uma única raiz real, devemos 
ter o discriminante igual a zero. Como o discriminante é: 
2 2 2
3, , 3
4 4. 3. 3 12
a b k c
b ac k k
  
      
 
Então devemos ter 
2 212 0 12 12 2 3k k k k          . 
Temos então duas possibilidades de valores para k para que a equação tenha uma única 
raiz real: 2 3k  ou 2 3k   .