DerivativaeIntegral

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Estudo Remoto Emergencial 
GEF-109 (Biometria Florestal) 
Prof. Calegario 
Revisão de Cálculo 
 
1. Derivativa 
Esta revisão sobre derivativa tem como objetivo principal mostrar a importância da 
aplicação desta parte do cálculo nos estudos do crescimento e da produtividade de 
povoamentos florestais. Na verdade, a primeira derivativa da função de produtividade 
gera a função de crescimento. Vamos iniciar com os conceitos básicos relacionados a 
derivativa de uma função. Considere a Figura 01, a qual representa uma curva com uma 
reta secante à curva. A curva é representada pela funcão f(x)=x2, em um domínio (x) de 
0 a 10, gerando uma imagem de 0 a 100. A reta secante AB, aqui chamada de g(x), toca 
nos pontos (5,25) e (9,81) da curva. O primeiro questionamento razoável seria sobre 
informações da reta. Considerando que a equação geral de uma reta é dada pela 
expressão g(x)=ax+b, em que “a” representa o coeficiente angular, ou inclinação, da reta 
e “b” o coeficiente linear, ou intercepto no eixo “y”, com as informações apresentadas 
no gráfico seria possivel se fazer inferências sobre os parâmetros da reta. A figura 
apresenta dois segmentos, dx e dy. Com os valores destes dois segmentos podemos 
encontrar a inclinação, ou o coeficiente angular, da reta. Está claro na figura que o dy 
desloca de 25 até 81, portanto seu comprimento é de 56. O segmento dx desloca de 5 
até 9 e seu valor é de 4. Considerando que a inclinação de uma reta é calculada pela 
razão entre o deslocamento vertical e o horizontal, ou seja, é o número de unidades de 
deslocamento vertical por cada unidade horizontal, seu valor seria de a=dy/dx=56/4=14. 
Ou seja, para cada unidade de deslocamento horizontal a reta desloca 14 unidades na 
vertical. Também podemos inferir que o ângulo formado entre a reta e o plano 
horizontal é de 85,9 graus, ou 1,49 radianos, o qual seria o arco tangente de 14. 
Portanto, a equação da reta g(x)=14x+b ainda está faltando o valor do intercépto, ou do 
coeficiente linear. O valor do intercépto pode ser encontrado utilizando um dos pontos 
conhecidos da reta. Tomando o ponto (5,25), podemos substituir este valor na reta, o 
qual geraria a seguinte expressão: 25=14(5)+b. Resolvendo para b, a equação seria: 
g(x)=14x-45. Outra caracteristica importante da reta secante refere-se a sua inclinação, 
a qual muda se mudarmos os pontos de intercpto na curva. Se mantivermos o primeiro 
ponto interceptando x=5 e mudarmos o segundo ponto de x=9 para um valor maio de x 
a inclinação vai aumentar. Se reduzirmos o valor do segundo ponto, a inclinação reduz. 
 
Figura 1 
A Figura 2 representa os gráficos numerados de 1 a 4 com a fixação da reta interceptando o 
ponto (5,25) da curva e variando a interceptação para os pontos (9,91), (8,64), (7,49) e (6,36). 
Pode-se verificar uma redução nos valores de dx e dy, mas não proporcionalmente. Como vimos 
anteriormente, a inclinação da reta que intercepta os pontos da curva em (5,25) e (9,81) foi de 
14=dy/dx=(81-25)/(9-5)=56/4. Para a interceptação nos pontos (5,25) e (8,64), a inclinação seria 
de 13=dy/dx=(64-25)/(8-5)=39/3. Apesar de termos reduzido um ponto no valor de x, a redução 
foi maior em f(x), já que a função que gera a curva é quadrática em relação a x. Com isto, a 
secante sendo fixada no ponto (5,25) e passando de (9,25) para (8,64) gerou uma redução na 
inclinação da reta em um ponto, de 14 para 13. Ou seja, para uma unidade deslocada na 
horizontal, a reta no ponto (9,81) desloca 14 unidades na vertical. Para a reta que intercepta o 
ponto (8,64), o deslocamento é de 13 unidades verticais para cada unidade horizontal. O mesmo 
acontece com as retas que interceptam os pontos (7,49) e (6,36), as quais tem inclinações de 12 
e 11, respectivamente. Também existe uma constante redução nos valores do coeficiente 
linear, ou do intercepto do eixo y. Visualmente, podemos inferir que, da reta no gráfico 1 para 
a reta no gráfico 4, com a redução da inclinação, os valores do intercepto em y continuam 
negativos mas com valores maiores. Para o gráfico 1, como discutido anteriormente, o valor da 
intercepto foi de -45, gerando a seguinte equação para a reta: f(x)=14x-45. Para a reta do gráfico 
2 até o gráfico 4, como foi discutido, os valores da inclinação são de 13, 12 e 11. Para os 
interceptos do gráfico 2 ao 4 os valores são de -40, -35 e -30. Ou seja, houve uma constante 
redução da inclinação em uma unidade e um constate aumento do intercepto em 5 unidades. 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
Suponhamos agora que a reta AB=g(x) passe de secante para tangente à curva, tocando o 
ponto (5,25), conforme Figura 3. 
 
Figura 3 
O que aconteceu, comparando a Figura 3 com a Figura 2, é que os valores tando de dx quanto 
dy se tornaram nulos, ou seja, a reta toca em apenas um ponto da curva. Com apenas esta 
informação não podemos encontrar nem a inclinação nem o intercepto da reta. Se seguirmos a 
tendência de redução da inclinação em um ponto e o aumento do intercepto em cinco pontos, 
conforme Figura 2, a inclinação para o ponto (5,25) seria de 10 e o intercepto em y passaria para 
-25. Estes valores estão corretos, mas para chegarmos neles teriamos que ter, no mínimo, 
informações sobre as equações de duas retas secantes antes ou depois do ponto tangente. 
Como temos a equação da curva, a qual neste exemplo é f(x)=x2, esta não é uma tarefa difícil. 
Agora podemos considerar o conceito de primeira derivativa da função f(x), que nada mais é do 
que a inclinação, ou o coefieficiente angular, de uma reta tangente a um ponto de f(x), que no 
caso seria uma curva exponencial, com expoente 2. A importância da derivativa pode ser 
entendida se considerarmos dois pontos da f(x). Suponto que o eixo x representa a idade, em 
anos, de um povoameto florestal, ou de qualquer outro ser vivo em estudo. E y, ou f(x), 
represente o acúmulo de biomassa no tempo, em megagramas (1000 kg ou uma tonelada no 
sistema métrico). Pela trajetória da curva, podemos encontrar o valor acumulado de biomassa 
simplismente elevando a idade ao quadrado. Em 2 anos teriamos 4 Mg, em 3 teriamos 9, em 4 
teriamos 16, em 5 teriamos 25, e assim por diante. Em geral as curvas de acúmulo de biomassa 
são sigmoidais, com uma fase exponecial apenas no início de seu ciclo, passando a ter uma 
tendência assintótica em seu ponto de inflexão, até atingir uma estacionalidade, ou uma 
assíntota horizontal superior, com veremos mais adiante. Considerando que a nossa curva seja 
exponencial entre os anos de 0 a 10, podemos fazer algumas inferências sobre as taxas de 
acúmulo de biomassa de nosso povoamento. Por exemplo: Qual seria a taxa de acúmulo por ano 
com 5 anos de idade? A resposta para esta pergunta está inclinação da reta tangente ao ponto 
(5,25), conforme Figura 3. Ou seja, com cinco anos de idade a floresta está acumulando 10 Mg 
de biomassa por ano. Ou seja, a taxa de acúmulo de biomassa em um ponto de uma curva nada 
mais é do que a primeira derivativa da curva naquele ponto, a qual é representada pela 
inclinação da reta tangente àquele ponto. Nos estudos de cálculo existe uma regra básica para 
se achar a primeira derivativa de uma função exponencial, aqual é dada por: Considerando a 
funçao com o seguinte formato f(x)=kxp. A primeira derivativa da função é representada por: 
 f´(x)=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝛿𝑓(𝑥)
𝛿𝑥
 =kpxp-1 (1) 
 No nosso exemplo, como a função é f(x)=x2, podemos facilmente encontrar que a f´(x)=2x. No 
ponto (5,25), a f´(x)=2*5=10 e que nada mais é que a inclinação da reta tangente a este ponto e 
que também representa a taxa de acúmulo de biomassa na idade 5 anos, a qual é de 10 Mg por 
ano. Se expandirmos esta análise para os outros pontos, na idade 6 o acúmulo seria de 12 Mg, 
na idade 7 de 49 Mg, e assim por diante. Podemos utilizar o conceito de inclinação deuma reta 
secante para explicarmos a regra apresentada em (1). Na Figura 2 foi visto que a inclinação da 
reta secante pode ser encontrada pela seguinte expressão: 
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 (2) 
Considerando que a reta secante à curva toque os pontos (x1,y1) e (x2,y2), conforme Figura 2, 
podemos calcular, de uma forma geral, a inclinação com a seguinte expressão: 
 𝑚 =
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑑𝑥
 (3) 
Substituindo a f(x)=x2 do nosso exemplo em (3), temos: 
𝑚 =
𝑥22−𝑥12
𝑑𝑥
 (4) 
Na Figura 2 podemos perceber que x2=x1+dx. Se substituirmos esta igualdade em (4) e 
resolvermos o quadrado perfeito teremos: 
 
 𝑚 =
(𝑥1+𝑑𝑥)2−𝑥12
𝑑𝑥
=
𝑥12+2𝑥1𝑑𝑥+𝑑𝑥2−𝑥12
𝑑𝑥
= 2𝑥1 + 𝑑𝑥 (5) 
Com a expressão (5) podemos encontrar a inclinação de qualquer reta secante à curva dada 
pela f(x)=x2. Considerando a reta secante à curva passando pelos pontos (5,25) e (9,81). Isto 
implica de x1=5 e dx=4. Aplicando a expressão (5) nestes pontos, temos que a inclinação seria 
m=2*5+4=14. O qual seria o mesmo valor encontrado anteriormente. 
Considerando o caso do dx indo para zero, podemos aplicar o conceito de limite para 
encontrarmos a inclinação da reta tangente com a seguinte expressão: 
 
𝑚 = lim
𝑑𝑥→0
(2𝑥1 + 𝑑𝑥) = 2𝑥1 = 2𝑥 (6) 
A regra apresentada em (1) foi gerada pelos conceito de limite apresentado em (6). 
 
2. Integral 
A integral, ou antiderivativa, assim como a derivativa, também é uma parte do estudo 
do cálculo bastante útil em estudos de modelagem do crescimento e da produtividade 
florestal. A técnica, em geral, é utilizada para a estimativa de áreas sob curvas de função 
de densidade de probabilidade (f.d.p), a qual representa a distribuição diamétrica de 
determinado povoamento florestal. Como a área total sob a curva de uma f.d.p. é 
unitária, se integrarmos de uma classe de diâmetro a outra classe que nos interessa para 
determinada utilização comercial, é possivel encontrar a proporção de plantas 
presentes dentro das classes de interesse. Outra utilização bastante prática da integral 
é na estimativa total ou parcial de volume de fustes de árvores em plantações 
comerciais ou de povoamentos nativos. De posse de uma fução que represente o perfil 
longitudinal dos fustes (Taper), podemos transformar os diâmetros dos fustes em áreas 
e integrá-las da base ao topo para estimarmos os volumes totais dos fustes. Também é 
possivel gerar classes de diferentes utilizações dos fustes (sortimentos ou multiplos 
produtos) pela integração do fuste de um diâmetro minimo até o maximo para aquela 
determinada utilização. Por exemplo, o volume de toras presentes em um povoamento 
florestal, com diâmetro mínimo de 25 cm e para serem processadas em uma serraria, 
pode ser estimado pela integração da função de afilamento no intervalo de 25 cm até o 
diâmetro máximo do povoamento. Detalhes sobre estas duas aplicações serão vistos 
posteriormente. Como exemplo, vamos tomar a mesma função utilizada no exemplo 
da derivativa, f(x)=x2. Vamos fazer uma representação gráfica da função em um domínio 
de 0 a 9 e encontrar a área sob a curva da função entre os valores x=2 e x=8 utilziando 
3 trapésios, conforme Figura 4. 
 
 
 
Figura 4 
Visualmente, podemos perceber que as 3 áreas sob a curva estão super avaliadas. Portanto, a 
soma das três áreas, a qual representa a área sob a curva entre 2 e 8 também é maior do que a 
área real. A área total é calculada pela seguinte expressão: 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∑
𝑓(𝑥1𝑖) + 𝑓(𝑥2𝑖)
2
3
𝑖=1
∗ ∆𝑥 =
𝑓(2) + 𝑓(4)
2
∗ 2 +
𝑓(4) + 𝑓(6)
2
∗ 2 +
𝑓(6) + (8)
2
∗ 2 
𝐴𝑟𝑒𝑎 = (4 + 16) + (16 + 36) + (36 + 64) = 172 
Caso dividissemos o intervalo em seis partes, o ∆𝑥 passa a ter valor unitário e a área calculada 
terá um valor menor, comparado com a divisão em três partes. Quanto maior o número de 
divisão, mais a área calculada se aproxima da área real sob a curva. 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
(4 + 9)
2
+
(9 + 16)
2
+
(16 + 25)
2
+
(25 + 36)
2
+
(36 + 49)
2
+
(49 + 64)
2
= 169 
 
 
Área 3 
Área 1 
Área 2 
Assim como foi comentado no cálculo das derivativas, quando ∆𝑥 tende para zero, utilizando o 
conceito de limite, a área se iguala a área real e pode ser calculada pela seguinte expressão: 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
8
2 ∫ 𝑥
2𝑑𝑥 =
8
2
𝑥3
3
 |
2
8
=
512−8
3
= 168 (7) 
 
Podemos perceber que F´(x)=f(x). Ou seja, como regra geral, para f(x)=kxp , com p≠-1, a 
antiderivativa será F(x)= 𝐹(𝑥) =
𝑘
𝑝+1
𝑥𝑝+1. 
 
Na engenharia florestal o cálculo integral também é utilizado para produzir volumes de sólidos 
com uma função de perfil conhecida. A técnica é conhecida como sólidos de revolução e o sólido 
é obtido pela revolução da f(x) em torno de um dos eixos. No nosso caso, na maioria das vezes 
é usado o eixo x como referência. Se rotacionar a f(x)=x2,na Figura 4, em torno do eixo x teremos 
seguinte representação do volume gerado (Figura 5): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(6,f(6)
(4,f(4)
(2,f(2)
Área(2)=πf(2)2
Área(4)=πf(4)2
Área(6)=πf(6)2
Área(8)=πf(8)2
(8,f(8) 
Conhecendo a f(x) e se quisermos encontrar o volume do sólido gerado, o caminho mais preciso 
seria somarmos o produto de cada área por um ∆𝑥. Na Figura 5, as áreas foram calculadas para 
um ∆𝑥 = 2. Poderiamos utilizar um ∆𝑥 menor. Assim com no cálculo da área, o cálculo do 
volume ficaria mais preciso quando menor o ∆𝑥. Aqui também é utilizado o conceito de limite 
de ∆𝑥 se igualando a zero. O volume do sólido seria gerado com a seguint expressão: 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝐹(𝑥) = ∫ 𝜋𝑟2𝑑𝑥 =
8
2
∫ 𝜋𝑓(𝑥)2𝑑𝑥 =
8
2
∫ 𝜋𝑥4𝑑𝑥 =
8
2
20568,6 
Esta técnica será utilizada para gerarmos múltiplos produtos de fustes, para diferentes 
utilizações, utilizando uma função de perfil do fuste gerada com análise de regressão.