apostila de processos quimicos

Prévia do material em texto

Integrantes Promopetro 
 
Coordenador: 
Professor Sérgio Lucena 
 
Edição de Apostilas: 
Aklécio N. Silva 
Paloma Boa Vista Felix 
Sérgio Lucena 
Valnísia Nogueira 
 
Capa: 
Cléber Souza 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1: Sistemas de equações lineares ................................................................................... 1 
1.1 Sistemas e matrizes ............................................................................................................................. 1 
1.2 Operações elementares ................................................................................................................ 2 
1.3 Forma escada ....................................................................................................................................... 5 
1.4 Soluções de um sistema de equações lineares ............................................................. 8 
1.4.1 Caso geral ....................................................................................................................................... 8 
1.4.2 Sistema com uma equação e uma incógnita ....................................................... 9 
1.4.3 Sistema com duas equações e duas incógnitas .................................................. 9 
1.5 Resolução de sistemas de equações utilizando métodos numéricos .......... 11 
1.5.1 Métodos diretos ......................................................................................................................... 12 
1.5.2 Métodos iterativos .................................................................................................................... 19 
Capítulo 2: Balanço de Massa .............................................................................................................. 23 
2.1. Classificação dos processos ..................................................................................................... 23 
2.2 Balanços .................................................................................................................................................. 23 
2.2.1 Equação geral do balanço .............................................................................................. 23 
2.2.2 Balanço de processos contínuos em estado estacionário .......................... 25 
2.2.3 Balanço integral de processos em batelada ....................................................... 26 
2.2.4 Balanço integral de processos semi-batelada e processos contínuos 28 
2.2.5 Cálculos de balanço de massa ..................................................................................... 29 
2.2.6 Balanço de massa em processos com várias unidades ................................ 35 
2.2.7 Reciclo ............................................................................................................................................. 37 
Capítulo 3: Balanço de energia ........................................................................................................... 40 
3.1 Formas da energia ........................................................................................................................... 40 
3.2 Balanço de energia em sistemas fechados ................................................................... 40 
3.3 Balanço de energia de sistemas abertos em estado estacionário ................ 42 
Capítulo 4: Solução de problemas de balanço com auxílio da computação .. 45 
4.4.1 Simulação sequencial modular ...................................................................................... 45 
4.4.2 Simulação baseada em equações ............................................................................. 51 
Capítulo 5: Estudo de caso ..................................................................................................................... 55 
5.1 Produção de estireno ..................................................................................................................... 55 
Bibliografia .......................................................................................................................................................... 76 
 
 
 
 
1 
CAPÍTULO 1: SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES 
 
Diversos problemas, que engenheiros, matemáticos e outros estudiosos se 
deparam, envolvem um sistema com várias equações. Devido a sua 
importância e utilidade, analisaremos este assunto neste capítulo. Vamos 
estudar um método para resolução de sistemas lineares, que pode ser usado 
em todos os sistemas de modo geral. 
 
1.1 SISTEMAS E MATRIZES 
 
Conforme Boldrini (1986), um sistema de equações lineares com 
m
 equações 
e 
n
 incógnitas é um conjunto de equações, representadas da seguinte 
maneira: 
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
1
2211
22222121
11212111

 
Com aij, 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, números reais ou complexos. Uma solução do 
sistema é uma n-upla de números (x1,x2,...,xn) que satisfaça simultaneamente 
todas as equações. 
O sistema (1) pode ser escrito em forma matricial: 
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
 
Ou de forma simplificada, 
BXA
, sendo: 
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
, chamada de matriz dos coeficientes, 
 
 
2 
nx
x
x
X

2
1
, chamada de matriz das incógnitas, e 
mb
b
b
B

2
1
, a matriz dos termos independentes. 
O sistema (1), também pode ser escrito na forma: 
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa




21
222212
111211
 
Que é chamada de matriz ampliada do sistema, cada linha dessa matriz 
representa de forma abreviada uma equação do sistema. 
 
1.2 OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 
Como Boldrini (1986) afirma, existem basicamente três operações elementares 
que podem ser efetuadas sobre as linhas de uma matriz: 
a) Permutação das i-ésima e j-ésima linhas. 
ji LL
 
Exemplo: 
Permutação entre as linhas 2 e 3 
32 LL
da matriz a seguir: 
48
34
10
34
48
10
 
b) Multiplicação da i-ésima linha por escalar não nulo z. 
ii zLL
 
Exemplo: 
Multiplicação da segunda linha da matriz a seguir por 4.
22 4LL
 : 
 
 
3 
34
164
10
34
41
10
 
c) Substituição da i-ésima linha pela soma de z vezes a j-ésima linha mais a i-
ésima linha. 
jii zLLL
 
Exemplo: 
A terceira linha da matriz a seguir é igual ao seu valor inicial somado a 3 vezes 
o valor da segunda linha. 
233 3LLL
: 
91
41
10
34
41
10
 
Consideremos agora que A e B são matrizes m x n, se B for obtida de A a partir 
de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, dizemos 
que B é linha equivalente a A. Podemos usar também as notações: 
BA
 ou 
A
~
B
. 
Por exemplo: 
93
04
31
 é linha equivalente a 
00
10
01
, pois 
00
10
01
00
10
31
00
120
31
93
120
31
93
04
31
211
2
2
133122 31234 LLL
L
L
LLLLLL
 
As operações com linhas de um sistema produzem outro sistema equivalente 
ao inicial, este resultado é enunciado no teorema a seguir: 
Segundo Boldrini (1986, p.36): 
“Teorema 1.2.1: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes 
são equivalentes.” 
 
Exemplo 1.1– Solucione o sistema de equações mostrado a seguir. 
64
132
11265
321
21
321
xxx
xx
xxx
 
 
 
4 
Solução: 
O sistema pode ser representado em forma de matriz, ou seja, sua matriz 
ampliada é: 
6114
1032
11265
 
)3(
)2(
)1(
 
Para isso,devemos usar o valor dos coeficientes e dos termos independentes, 
em suas respectivas posições. 
A resolução desse sistema de equações é encontrada seguindo os seguintes 
passos: 
1º) Multiplica-se inicialmente a primeira linha da matriz por 1/5 de forma que o 
primeiro coeficiente seja igual a 1. Em seguida multiplica-se a linha 1 por -2 e 
soma-se o resultado obtido com a segunda linha da matriz, para que a 
primeira incógnita 
1x
 seja eliminada da linha 2, isso irá resultar em novos 
valores para segunda linha. Finalmente, a terceira linha é modificada, quando 
se multiplica a primeira linha por -4, e soma-se o resultado com a linha 3. 
Resultando em: 
5345535290
53524530
51512561
 
2º) A seguir multiplicamos a segunda linha da matriz por -5/3 para que o termo 
da segunda linha e segunda coluna seja igual a 1. 
5345535290
1810
51512561
 
3º) Em seguida elimina-se o 
2x
 das linha 1 e 3, ao se multiplicar a segunda linha 
por 6/5 e somar seu resultado a linha 1, e de forma semelhante, multiplica-se a 
segunda linha por -29/5 e soma-se seu resultado a terceira linha para obter: 
15700
1810
11201
 
4º) A seguir multiplicamos a terceira linha da matriz por -1/57 para que o 
coeficiente de 
3x
dessa linha seja igual a 1. 
 
 
5 
571100
1810
11201
 
5º) Em seguida elimina-se o 
3x
 das linha 1 e 2, ao se multiplicar a terceira linha 
por -8 e somar seu resultado a linha 2, e de forma semelhante, multiplica-se a 
terceira linha por -12 e soma-se seu resultado a primeira linha, gerando: 
571100
5765010
5769001
 
Que é equivalente a escrever: 
57/1
57/65
57/69
3
2
1
x
x
x
 
Como as operações realizadas entre cada um dos sistemas apresentados 
manteve a igualdade, a solução encontrada será válida para todos os 
sistemas, ou seja, podemos afirmar que todos os sistemas são equivalentes. 
Um ponto importante deste procedimento é que essas etapas são reversíveis, 
e todas as operações num sistema produzem sistemas com mesmo conjunto 
solução. 
 
1.3 FORMA ESCADA 
 
Como vimos no exemplo 1.1, foi utilizado um método para resolver o sistema 
por eliminação de incógnitas, partindo inicialmente da matriz ampliada do 
sistema até uma matriz de formato especial, que chamaremos de matriz-linha 
reduzida à forma escada. Este método consiste em obter por linha-redução a 
matriz reduzida à forma escada, por meio das quais podemos solucionar o 
sistema de forma simples. 
Segundo Boldrini (1986), uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada 
quando: 
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma 
linha temtodos seus outros elementos nulos. 
3. Toda linha nula ocorre abaixo daquelas que possuem pelo menos um 
elemento não nulo. 
 
 
6 
4. Se as linhas 1, ..., t são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não 
nulo da linha i ocorre na coluna ki, então k1<k2<....<kt. 
A última condição impõe a forma escada à matriz, observe a fig.1.1. 
 
Fig.1.1 – Formato de uma matriz-linha reduzida à forma escada. 
Por exemplo, as três matrizes a seguir não estão na forma escada, pois: 
0100
03210
0001
, a segunda condição não é satisfeita; 
000
401
150
 , a primeira e quarta condições não são satisfeitas; 
23000
00000
10810
 , a primeira e terceira condições não são satisfeitas. 
 
Segundo Boldrini (1986, p.38): 
“Teorema 1.3.1: Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha 
reduzida à forma escada.” 
 
Digamos que uma matriz Bmxn seja a matriz linha reduzida à forma escada linha 
equivalente a uma matriz Amxn. Definimos o posto de A (p), como o número de 
linhas não nulas de B, e a nulidade de A como o número (n-p), sendo (n) o 
número de colunas de A. 
 
Exemplo 1.2– Determine o posto e a nulidade da matriz A, onde: 
 
 
7 
8164
151
241
311
A 
Solução: 
Devemos reduzir a matriz A à forma escada realizando as seguintes 
operações: 
000
000
9/110
9/1401
000
000
9/110
241
000
9/110
9/110
241
000
190
190
241
8164
151
312
241
8164
151
241
312
211233
3
3
2
2
144
133
122
21
4
9
9
4
2
LLLLLL
L
L
L
L
LLL
LLL
LLL
LL
 
O posto de A é igual a 2 e a nulidade igual a 1. 
O sistema de quatro equações associadas à matriz inicial: 
8164
15
24
32
yx
yx
yx
yx
 , é equivalente ao sistema: 
9/10
9/140
yx
yx 
Observamos então que as duas últimas equações do sistema inicial são 
redundantes e poderiam ser desprezadas. Isso significa que o sistema inicial é 
equivalente ao sistema: 
24
32
yx
yx 
Então nesse caso dizemos que as duas primeiras equações são 
independentes, enquanto as duas últimas são dependentes destas. Uma linha 
é dependente quando ela pode ser escrita como a soma de produtos das 
outras linhas por constantes, de outra forma, uma linha dependente é uma 
combinação linear das outras linhas. 
Podemos concluir que o posto de uma matriz nos informa o número de 
equações independentes desta. 
 
 
 
8 
1.4 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
1.4.1 CASO GERAL 
 
Como pode ser visto em Boldrini (1986) se considermos um sistema de m 
equações lineares e n incógnitas (x1,...,xn), cujos coeficientes (aij) e termos 
constantes (bi) são números reais ou complexos: 
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111

 
Podemos ter: 
1. Uma única solução: 
nn kx
kx

11
 
Nesse caso dizemos que o sistema é possível e determinado. 
2. Infinitas soluções: 
Nesse caso dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 
3. Nenhuma solução. 
Nesse caso dizemos que o sistema é impossível. 
De acordo com Boldrini (1986, p.45): 
“Teorema 1.4.1: 
I. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e 
somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos 
coeficientes. 
II. Se duas matrizes têm o mesmo posto p, e p=n, a solução é única; 
III. Se duas matrizes têm o mesmo posto p, e p<n, podemos escolher n-p 
incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas.” 
 
No caso III do teorema 1.4.1, dizemos que o grau de liberdade do sistema é n-
p. 
 
 
9 
Uma vez visto o caso geral, vamos partir agora para os casos mais simples. 
 
1.4.2 SISTEMA COM UMA EQUAÇÃO E UMA INCÓGNITA 
 
Boldrini (1986) afirma que para um sistema de uma equação e uma incógnita: 
bax
, 
existem três possibilidades: 
1. Com 
0a
, a equação tem apenas uma solução; 
2. Com 
0a
 e 
0b
, temos 
00x
 e qualquer número real é solução da 
equação. 
3. Com 
0a
 e 
0b
, temos 
bx0
. Não há solução para esta equação. 
 
1.4.3 SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS 
 
Considere os seguintes exemplos: 
Exemplo 1.3–Qual seria a solução do sistema 
63
52
yx
yx ? 
Solução: 
A matriz ampliada do sistema é 
631
512 , e sua matriz-linha reduzida à 
forma escada 
110
301 , que é equivalente a: 
10
30
yx
yx 
Logo o sistema possui apenas uma única solução, x=3 e y=-1. Também 
poderíamos ter encontrado esta solução graficamente, lembrando que o 
conjunto de pontos 
RRyx,
, que satisfaz cada equação do sistema 
representa uma reta no plano, sabendo que a solução é igual ao ponto 
comum às duas retas, observe a fig.1.2. 
 
 
10 
 
Fig.1.2 – A solução do sistema é dada pela intersecção das duas retas. 
 
Exemplo 1.4–Qual seria a solução do sistema 
1536
52
yxyx ? 
Solução: 
A representação gráfica das retas do sistema está ilustrada na fig.1.3: 
 
Fig.1.3 – As retas nesse caso são coincidentes. 
Concluímos então que qualquer ponto de uma das retas é uma solução do 
sistema. 
Reduzindo a matriz ampliada do sistema à matriz reduzida à forma escada 
teríamos que: 
000
2/52/11
1536
512 
Por isso, o sistema é equivalente a: 
000
2
5
2
1
yx
yx 
Observamos que a segunda equação é redundante e não estabelece 
condições sobre 
x
 ou 
y
. O conjunto de soluções é encontrado atribuindo-se 
 
 
11 
valores arbitrários para 
y
, 
y
, e fazendo 
yx
2
1
2
5
. Como pode 
assumiu qualquer valor, esse sistema tem infinitas soluções. 
Exemplo 1.5– Qual seria a solução do sistema 
1036
52
yx
yx ? 
Solução: 
A fig.1.4 representa as retas obtidas a partir das equações do sistema. Observe 
que são duas retas paralelas sem nenhum ponto em comum, ou seja, este 
sistema não possui solução. 
 
Fig.1.4 – Retas paralelas não coincidentes. 
Nesse caso a matriz ampliada do sistema é 
631
512 , enquanto sua matriz-
linha equivalente reduzida à forma escada é 
100
02/11 . Por isso, o sistema 
inicial equivale a: 
100
0
2
1
yx
yx 
Podemos dizer então que o sistema inicial não possui solução, ele é 
incompatível, pois não existe nenhum valor de 
x
 e 
y
 que satisfaça a segunda 
equação deste último sistema encontrado. 
 
1.5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES UTILIZANDO 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
A utilização de métodos numéricos é amplamente usada para solucionar 
sistemas de equações lineares que surgem em problemas de engenharia e 
 
 
12 
computação. Serão considerados neste texto, sistemas quadrados(sistemas 
nos quais o número de equações é igual ao número de incógnitas), e alguns 
dos principais métodos de resolução usualmente empregados. 
Considere o sistema dado a seguir, ele possui 
n
 equações lineares com 
n
 
variáveis, onde 
ija
, 
ib
 e 
jx
 são números reais, sendo 
ni ,,2,1 
 e 
nj ,,2,1 
. 
BAxmatricialformanaou
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
:
...
...
...
2211
22222121
11212111

 
Note que este sistema é o mesmo descrito na seção 1.1, e todas as afirmações 
feitas anteriormente naquela seção continuam válidas. De modo geral, 
existem dois métodos de resolver o sistema (encontrar o vetor solução, que 
satisfaz todas as suas equações): 
1. Métodos diretos 
2. Métodos iterativos 
 
1.5.1 MÉTODOS DIRETOS 
 
Os métodos diretos fazem uso de um número finito de operações e 
apresentam, teoricamente, a solução exata do sistema. 
 
1.5.1.1ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
Este método consiste em transformar o sistema linear original
BAx
 num 
sistema linear equivalentecuja matriz dos coeficientes seja triangular superior, e 
assim tornar a determinação da solução,
x
, imediata. 
Para o sistema linear 
CTx
, onde 
T
: matriz 
nn
, é uma matriz triangular 
superior com elementos da diagonal diferentes de zero,escrevemos as 
equações do sistema como: 
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa


 33333
22323222
11313212111
...
...
 
 
 
13 
Este sistema de equações possui solução bastante trivial, dada por: 
.1,,2,1,
/
1
nni
a
xab
x
abx
ii
n
ij
jiji
i
nnnn
 
 
1.5.1.1.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
Para modificar de forma conveniente o sistema linear dado inicialmente
BAx
, faremos uso das operações elementares vistas na seção 1.2, para 
obter um novo sistema
CTx
equivalente ao inicial. Podemos: 
I. Trocar duas linhas de uma matriz 
II. Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
III. Adicionar um múltiplo de uma linha a uma outra linha. 
A eliminação de Gauss é efetuada sobre as colunas da matriz. Assumiremos 
que 
,0det A
 e vamos chamar de etapa 
k
 a fase do processo em que se 
elimina a variável 
kx
 das equações 
nkk ,,2,1 
. 
Como Ruggiero (1996) afirma, a notação 
k
ija
 é utilizada para denotar o 
coeficiente da linha 
i
 e coluna 
j
 ao final da k-ésima etapa, enquanto 
k
ib
 
denota o i-ésimo elemento do vetor constante no final da etapa 
k
. 
Usando a operação elementar I, é possível reescrever o sistema linear de 
maneira que o elemento da posição 
11a
 seja não nulo: 
000
2
0
1
0
2
0
2
0
22
0
21
0
1
0
1
0
12
0
11
0
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
A




, onde 
0011a
. 
Passo 1: Elimina-se a variável 
1x
 das linhas 
ni ,,3,2 
 da seguinte forma: 
multiplica-se a 1º linha por 
1im
 e em seguida soma-se o resultado com as linhas
i
, sendo 
0
11
0
1
1
a
a
m ii
, com 
ni ,,3,2 
. 
O elemento 
0
11a
 é chamado de pivô da primeira etapa e os elementos 
0
11
0
1
1
a
a
m ii
 são chamados de multiplicadores. 
 
 
14 
Temos então a matriz: 
111
2
1
2
1
2
1
22
1
1
1
1
1
12
1
11
1
0
0
nnnn
n
n
baa
baa
baaa
A




, onde 
njparaaa jj ,,2,1,
0
1
1
1 
 e 
0
1
1
1 bb
. 
Sendo: 
njeniparaamaa ijiijij ,,2,1,,2,
0
1
01 
 
niparabmbb iii ,,2,
0
11
01 
 
Passo 2: 
Para manter a hipótese inicial que 
0det A
, o determinante da matriz 1A 
também deve ser diferente de zero
0det 1A
. Para que isso ocorra é 
necessário ter pelo menos um elemento 
niparaai ,,3,20
1
2 
. Podemos 
então reescrever a matriz 1A de forma que o pivô 
0122a
 seja não nulo. 
Em seguida, devemos eliminar a variável 
2x
 das linhas
ni ,,4,3 
, 
multiplicando-se a 2º linha por 
2im
, e em seguida somando o resultado com as 
linhas 
i
, sendo 
1
22
1
2
2
a
a
m ii
. 
Obtemos então a matriz: 
22
2
2
2
2
2
1
2
1
2
12
2
11
2
00
00
nnn
n
n
ba
ba
baaa
A




 
onde 
niijeiparaaa ijij ,,1,2,1,
12 
 
2,1,12 iparabb ii
. 
e 
njeniparaamaa jiijij ,,2,,3,
1
22
12 
 
niparabmbb iii ,,3,
1
22
12 
 
Deve-se seguir este raciocínio até a etapa 
1n
, quando a matriz assumirá o 
seguinte aspecto: 
 
 
15 
11
1
2
1
2
1
1
1
1
1
12
1
11
1
00
00
n
n
n
nn
nn
n
nn
n
nn
n
ba
ba
baaa
A




 
O sistema 
11 nn BxA
 éequivalente ao sistema inicial e também é triangular 
superior. 
 
1.5.1.1.2 ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
Segundo Santos (2009, p.76)o método de eliminação de Gauss pode ser 
efetuado seguindo o seguinte algoritmo: 
Para k=1,2,..., (n-1) faça 
 Para i=(k+1),(k+2),...,n faça 
 m=aik/akk (supondo akk≠0) 
 aik=0 
 Para j=(k+1),(k+2),...,n faça 
 aij=aij-m*akj 
 fim 
 bi=bi-m*bk 
 fim 
fim 
xn=bn/ann 
Para k=1,2,...,(n-1) faça 
xk=bk 
fim 
Para k=(n-1),(n-2),...,1 faça 
 Para i=(k+1),(k+2),...,n faça 
 xk=xk-aki*xi 
 fim 
 xk=xk/akk 
fim. 
 
 
Os exemplos a seguir mostram como utilizar o método de Gauss: 
 
Exemplo 1.6 – Utilize o método de Gauss na matriz abaixo, que representa a 
matriz ampliada de um sistema qualquer: 
0
3
0
33
0
32
0
31
0
2
0
23
0
22
0
21
0
1
0
13
0
12
0
11
baaa
baaa
baaa
, com 
0011a
 
 
Etapa1: Zerar os elementos da primeira coluna abaixo de 
0
11a
. 
 
 
 
16 
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1
1
1
13
1
12
1
11
1.
0
3
0
33
0
32
0
31
0
2
0
23
0
22
0
21
0
1
0
13
0
12
0
11
0
0
013133
12122
baa
baa
baaa
A
baaa
baaa
baaa
A LmLL
LmLL
 
 
Sendo
0
11
0
21
21
a
a
m
, 
0
11
0
31
31
a
a
m
. E
0
22
0
1221
1
22 aama
, 
0
32
0
1231
1
32 aama
, e assim por 
diante. 
 
Etapa 2: Zerar os elementos da segunda coluna abaixo de 
1
22a
 , 
0122a
. 
 
2
3
2
33
2
2
2
23
2
22
2
1
2
13
2
12
2
11
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1
1
1
13
1
12
1
11
1
00
0
0
0 23233
ba
baa
baaa
A
baa
baa
baaa
A LmLL
 
 
Sendo 
1
22
1
32
32
a
a
m
. Esta última matriz representa um sistema triangular cuja 
solução é obtida facilmente através das seguintes substituições: 
 
2
33
2
33
3
2
22
3
2
23
2
2
2
11
3
2
132
2
12
2
1
1
a
b
x
a
xab
x
a
xaxab
x
 
 
Exemplo 1.7 – Encontre a solução do sistema abaixo utilizando o método de 
Gauss. 
 
 
132
053
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
, cuja matriz ampliada é: 
1321
0531
0111
0A
 
 
Etapa 1: Zerar os elementos da primeira coluna abaixo de 
0
11a
, 
1011a
 
 
1410
0620
0111
1321
0531
0111
10 13133
12122
AA LmLL
LmLL
 
 
Sendo 
121m
, 
131m
. 
 
Etapa 2: Zerar os elementos da segunda coluna abaixo de 
1
22a
 , 
1122a
 
 
 
17 
1100
0620
0111
1410
0620
0111
21 23233 AA LmLL
 
 
Sendo 
2
1
32m
. 
Esta última matriz representa um sistema triangular superior: 
 
1
062
0
3
32
321
x
xx
xxx
 
 
Cuja solução é representada pelo vetor 
1
3
4
x
. 
 
 
1.5.1.2 PIVOTAÇÃO 
 
Com a finalidade de reduzir o erro na solução dos sistemas, os processos de 
pivotação podem ser utilizados nas matrizes ampliadas dos sistemas lineares. 
 
Pivotação: processo utilizado para trocar, quando necessário, as linhas e/ou 
colunas de uma matriz de maneira que os elementos da diagonal principal 
(chamados de pivô) sejam diferentes de zero. 
 
A seguir descreveremos algumas estratégias de pivoteamento. 
 
1.5.1.2.1 PIVOTEAMENTO PARCIAL 
 
Segundo Ruggiero (1996) , o pivoteamento parcial consiste em: 
I. No início da etapa k de eliminação de variáveis, usar o elemento de 
maior módulo entre os coeficientes 
nkkiparaa kik ,,1,,
1 
, como 
pivô. 
II. Trocar quando necessário as linhas da matriz. 
 
Exemplo 1.8 –Utilize o pivoteamento parcial na seguinte matriz: 
 
 
18 
170260
35480
63010
91121
1A 
Solução: 
Esta matriz possui 4 linhas 
4n
 e está no início da etapa 2 
2k
 . Então 
primeiramente escolhemos o elemento de maior módulo entre os coeficientes 
1
42
1
32
1
22 ,, aaa
, e o utilizamos como pivô. Isso é efetuado trocando-se as linhas 2 e 
3, observe: 
170260
63010
35480
91121
1A 
Dessa forma os multiplicadores dessa etapa são: 
8
1
32m
 e
8
6
42m
 . 
É possível observar que esse procedimento gera multiplicadores, que possuem 
valores em módulo, entre zero e um, e isso evita a ampliação de erros de 
arredondamento. 
 
1.5.1.2.2 PIVOTEAMENTO TOTAL 
 
Ruggiero (1996) afirma que o pivoteamento total consiste em: 
I. No início da etapa k de eliminação de variáveis, usar o elemento de 
maior módulo entre os coeficientes que atuam no processo: 
111
,
k
rs
k
rs
k
ij
kji
apivôaamáx
 
Esta estratégia requer um maior esforço computacional, pois envolve uma 
enorme comparação entre os elementos 
kjia kij ,,
1
, com a troca de colunas 
e linhas. É importante ressaltar que a última coluna de uma matriz ampliada 
representa os termos independentes de um sistema linear, portanto essa 
coluna não é utilizada na troca de colunas. 
 
Exemplo 1.9 –Utilize o pivoteamento total na seguinte matriz: 
 
 
19 
 
150420
77530
63010
51123
1A 
Solução: 
No início da etapa 2 
2k
, devemos escolher como pivô o elemento de 
maior módulo entre todos os elementos das linhas e colunas 2, 3 e 4. Logo, o 
pivô da etapa 2 seria 
7134a
 , e a matriz seria reescrita trocando-se as linhas 2 
e 3, e em seguida as colunas 2 e 4. A matriz assumiria a forma: 
152400
61030
73570
51123
1A 
 
 
1.5.2 MÉTODOS ITERATIVOS 
 
Os métodos iterativos são utilizados quando o sistema de equações a ser 
resolvido é grande ou possui muitos elementos nulos.Ruggiero (1996) nos diz 
que inicialmente temos uma matriz do tipo 
BAx
, sendo: 
 
A
 : a matriz dos coeficientes, 
nn
; 
x
 : vetor das variáveis, 
1n
; 
B
 : vetor dos termos independentes, 
1n
. 
 
Este sistema é escrito na forma 
gMxx
, sendo 
gMxx
 uma função de 
iteração dada na forma matricial. 
 
O esquema iterativo gera uma sequência de aproximações partindo de uma 
aproximação inicial
0x
(vetor aproximação inicial), então construímos: 
 
gMxx 01
 (primeira aproximação) 
gMxx 12
 (segunda aproximação), etc. 
 
A aproximação 
1kx
 pode ser calculada com a fórmula
,1,0,1 kparagMxx kk
 
 
 
 
20 
Se a sequência de aproximações 
 ,,, 10 kxxx
 é tal que, 
k
kxlim
, então 
 é solução do sistema linear 
BAx
. 
 
 
1.5.2.1 CRITÉRIOS DE PARADA 
 
Segundo Lopes (1996) o processo interativo é interrompido quando o vetor
kx
 
é suficientemente próximo do vetor 
1kx
, observando a precisão 
estabelecida, . 
 
A distância entre 
kx
 e 
1kx
 é medida por 
1
1
k
i
k
i
ni
k xxmáxh
. O vetor 
kx
 
será escolhido como 
x
, solução aproximada do sistema, se 
kh
. 
 
O teste do erro relativo também pode ser utilizado com boa precisão no teste 
de parada, nesse caso: 
 
k
i
ni
k
k
xmáx
h
d
1
 
 Aqui, o vetor 
kx
 será escolhido como 
x
, solução do sistema, se 
kd
. 
 
Outro critério de parada empregado é utilizar um número de iterações fixo. 
Este número pode ser estabelecido através de experimentações sucessivas. 
 
 
1.5.2.2 MÉTODO DE JACOBI 
 
Considere o sistema linear 
BAx
 inicial, sendo „A‟ a matriz: 
 
niparaacom
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ii
nnnnnn
nn
nn
,,2,10,
...
...
...
2211
22222121
11212111


 
 
 
Isolamos o vetor 
x
 mediante a separação pela diagonal: 
 
nnnnnnnnnn
nn
nn
axaxaxabx
axaxaxabx
axaxaxabx
1,1,2211
22131312122
11131321211




 
 
Desta forma obtemos a matriz na forma 
gMxx
, sendo: 
 
 
 
21 
0
0
0
2111
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
21
nnnn
n
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
 e 
nnn ab
ab
ab
g
/
/
/
222
111

 
 
Então, partindo de 
0x
, e usando a fórmula 
,1,0,1 kparagMxx kk
, 
obtemos
 ,,1 kxx
: 
 
nn
k
nnnn
k
n
k
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
axaxaxabx
axaxaxabx
axaxaxabx
1,1,2211
1
22232312121
2
1113132121
1
1




 
 
(RUGGIERO, LOPES, 1996). 
 
1.5.2.2.1 ALGORITMO DE JACOBI 
 
De acordo com Santos (2009, p.88) o método de Jacobi pode ser efetuado 
seguindo o seguinte algoritmo: 
 
1. Se a estimativa inicial for desconhecida, escolher uma 
estimativa inicial 
0x
(geralmente 
nixi ,,2,1,0
0 
). 
2. Para k=0,1,2,...faça 
 Para i=1,2,...,n faça 
 
ii
n
ij
j
k
jiji
k
i
a
xab
x
1
1
 
 
 Fim. 
Se 
 
Nkou
x
xx
máx
k
i
k
i
k
i
ni
1
1
 
Pare 
( é a precisão dada e 
N
 um número natural que informa a 
quantidade de iterações a ser realizada). 
 
Fim 
 
 
22 
 
 
 
Exemplo 1.10 – Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Jacobi: 
 
 
1924
54122
2238
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Solução: 
 
Neste exemplo, observamos que nem a estimativa inicial foi fornecida nem a 
precisão requerida, logo devemos estabelecer estes valores. O sistema no qual 
o método iterativo deve ser aplicado, é escrito na forma: 
 
9241
12425
8232
213
312
321
xxx
xxx
xxx
 
Se escolhermos como vetor aproximação inicial 
0
0
0
0x
 com erro
00001,0
, montamos a seguinte tabela usando o método de Jacobi: 
 
Iteração (k) 
kx1
 
kx2
 
kx3
 
0 0,0000 0,0000 0,0000 
1 0,2500 0,4167 0,1111 
2 0,0660 0,3380 -0,0926 
3 0,1464 0,4365 0,0067 
4 0,0846 0,3900 -0,0510 
5 0,1165 0,4196 -0,0132 
6 0,0960 0,4016 -0,0339 
11 0,1040 0,4084 -0,0249 
15 0,1035 0,4080 -0,0254 
21 0,1034 0,4079 -0,0255 
23 0,1034 0,4079 -0,0255 
 
Observa-se nesta tabela que a partir da iteração 23, o sistema converge para 
uma solução. Podemos dizer então que a solução do sistema é representada 
pelo vetor 
0255,0
4079,0
1034,0
23x
. 
 
 
 
 
 
 
23 
CAPÍTULO 2: BALANÇO DE MASSA 
 
 
2.1. CLASSIFICAÇÃO DOS PROCESSOS 
 
De acordo com Rosseau (2005), antes de fazer o balanço de massa em um 
sistema é necessário saber em qual categoria ele se encontra. Os processos 
químicos podem ser classificados em: 
 
 Batelada: inicialmente o tanque é alimentado, e somente ao final do 
processo seu conteúdo é removido, ou seja, não existe massa sendo 
transferida através das fronteiras do sistema no intervalo de tempo entre 
o carregamento do tanque e a retirada do produto. 
 
 Contínuo: durante o processo há um fluxo contínuo de massa entrando 
e deixando o sistema. 
 
 Semi-batelada: qualquer processo que não se enquadre em batelada 
ou contínuo. 
 
Podemos ainda classificar o processo analisando as condições de operação, 
o processo poderá estar em estado estacionário ou estado transiente. Se 
todos os valores das variáveis do processo não variam com o tempo o 
processo é dito estar operando em estado estacionário, do contrário é dito 
que o processo está operando em estado transiente ou não-estacionário. 
 
Por natureza, operações em batelada ou semi-batelada são transientes, 
enquanto as operações dos processos contínuos podem ser transientes ou 
estacionárias. 
 
Os processos em batelada são normalmente utilizados quando não existe 
grande demanda de produtos, já os processos contínuos são utilizados 
quando se necessita ter elevada taxa de produção. 
 
 
 
2.2 BALANÇOS 
 
2.2.1 EQUAÇÃO GERAL DO BALANÇO 
 
Para realizar um balanço em qualquer sistema é necessário inicialmente 
delimitar as suas fronteiras. O volume englobado por essas fronteiras é 
 
 
24 
chamado de volume do sistema. Vamos realizar um balanço de massa na 
unidade de processo da fig.2.1para um instante de tempo qualquer 
t
. 
 
 
 
Fig.2.1 – Unidade de processamento qualquer. 
 
 
Observe que existe um único componente nas correntes de entrada e saída, o 
componente 
j
. Temos então a seguinte expressão para um balanço: 
 
ACGSE (2.1) 
 
Sendo: 
 
sistemadofronteirasdasatravésjespéciedaentradaE
 
sistemadofronteirasdasatravésjespéciedasaídaS
 
sistemadodentrojespéciedaproduçãoG
 
sistemadodentrojespéciedaconsumoC
 
sistemadodentrojespéciedaacúmuloA
 
 
Segundo Rousseau (2005), o balanço pode ser escrito de duas maneiras: 
 
Balanço diferencial – este balanço indica o que está ocorrendo no sistema 
num instante de tempo, os termos da equação do balanço são taxas. Este 
balanço é normalmente usado em sistemas contínuos. 
 
Balanço integral – este balanço indica o que está ocorrendo no sistema entre 
dois instantes de tempo, o momento após a alimentação e o momento após a 
retirada do produto, os termos da equação do balanço são quantidades. Este 
balanço é usado geralmente para processos em batelada. 
 
A equação do balanço de massa pode ser simplificada nos seguintes casos: 
 
Se a quantidade do balanço é totalmente mássica – nesse caso o termo de 
geração e consumo são nulos, 
0G
 e 
0C
. 
 
Se as substâncias do balanço são espécies não-reativas (nem o reagente e 
nem o produto) – nesse caso o termo de geração e consumo também são 
nulos, 
0G
 e 
0C
. 
 
Se o sistema está em estado estacionário – o termo de acúmulo é nulo, 
0A
 
independente do que está sendo considerado no balanço, pois por definição, 
num sistema em estado estacionário nada pode mudar com a variação de 
tempo. 
 
 
 
25 
2.2.2 BALANÇO DE PROCESSOS CONTÍNUOS EM ESTADO ESTACIONÁRIO 
 
Nos processos contínuos em estado estacionário, o termo de acúmulo na 
equação geral do balanço é nulo, 
0A
, logo a equação assume a forma: 
 
0CGSE (2.2) 
 
Se a o balanço for feito sobre alguma espécie não reativa, o balanço é 
simplificado novamente, pois 
0G
 e 
0C
, logo: 
 
0SE
 
 
Exemplo 2.1– Considere um processo em estado estacionário, no qual um 
tanque é alimentado continuamente com uma mistura de benzeno (B) e 
tolueno (T) numa vazão de 500 kg/h, sendo 50% de benzeno em massa. Essa 
mistura é separada em duas frações por destilação, de modo que a vazão de 
benzeno na saída superior do tanque seja 200 kg/h, enquanto a saída de 
tolueno na parte inferior seja de 225 kg/h. Calcule a vazão desconhecida dos 
componentes nas saídas do tanque utilizando o balanço de massa sobre as 
espécies. 
 
 
 
Solução: 
 
Como o processo está em estado estacionário e não há ocorrência de 
reações no tanque, os termo de acúmulo, geração e consumo devem ser 
nulos, 
0A
, 
0G
 e 
0C
. A equação geral do balanço de massa é 
então escrita na forma: 
 
SE
 
 
Como são duas espécies entrando no tanque, dois balanços devem ser 
efetuados. 
 
 
 
26 
Para o benzeno: 
 
SE
 
2/200/250 mhBkghBkg 
 
hBkgm /502
 
 
Para o tolueno: 
SE
 
1/225/250 mhTkghTkg 
 
hTkgm /251
 
 
Podemos verificar nossos cálculos fazendo um balanço de massa global: 
 
hkgmmhkghkg /225/200/500 21 
 
 
Já calculamos 
1m
 e 
2m
, substituindo seus valores na expressão anterior, temos 
que: 
 
hkghkg /500/500
 
 
 
2.2.3 BALANÇO INTEGRAL DE PROCESSOS EM BATELADA 
 
Nos sistemas em batelada não há nem entrada nem saída de componentes 
durante o processo, 
0E
 e 
0S
. Existe somente a entrada de espécies no 
instante 
0t
 e saída ao final do processo, no instante 
ft
. Então o acúmulo de 
determinada espécie no sistema é por definição igual à quantidade de moles 
que sai no momento final menos a quantidade de moles da espécieque entra 
no momento inicial: 
 
inicialentradafinalsaídaacúmulo
 (2.3)Se utilizarmos a eq.(2.1) para analisar este caso, vamos descobrir que o termo 
de acúmulo é também: 
 
CGA
 (2.4) 
 
Então igualando as expressões (2.3) e (2.4), temos que: 
 
CGinicialentradafinalsaída
 (2.5) 
 
A eq.(2.5) é semelhante a eq.(2.2) (equação de balanço para processos em 
regime estacionário), exceto que na eq.(2.5) os termos “entrada inicial” e 
“entrada final” se referem aos momentos específicos de entrada e saída, 
respectivamente, enquanto que na eq.(2.2), os termos de entrada e saída se 
referem à alimentação e a retirada contínua da substância no balanço. 
 
 
27 
 
Exemplo 2.2– Suponha que existam dois frascos contendo uma mistura de 
água e metanol. A primeira mistura possui 30% em massa de metanol, 
enquanto a segunda mistura contém 60% em massa de metanol. Se 400g da 
primeira mistura são misturados com 300g da segunda mistura num terceiro 
frasco, qual seria a massa e composição do produto? 
 
 
 
 
Solução: 
 
Como não existem reações envolvidas os termos de acúmulo e consumo são 
omitidos, dessa forma, todos os balanços tem a forma 
SE
. 
 
Balanço de massa global: 
 
mgg 400300
 
.700 solgm
 
 
Balanço de massa do metanol: 
 
A mistura 1 contém 30% em massa de metanol que equivale a 120g, e a 
mistura 2 contém 60% em massa de metanol que equivale a 180g. Logo a 
quantidade de metanol na mistura final será igual a 120g + 180g = 300g. Ou 
em termos de fração mássica: 
 
./429,0
.700
300
3
3
3
solgOHCHg
solg
OHCHg
x OHCH
 
 
Balanço de massa da água: 
 
Como a fração mássica do metanol é conhecida temos que: 
 
./571,01 232 solgOHgxx OHCHOH
 
 
Da equação do balanço: 
 
SE
 
700571,03004,04007,0 
OHgOHg 22 400400
 
 
 
28 
2.2.4 BALANÇO INTEGRAL DE PROCESSOS SEMI-BATELADA E PROCESSOS 
CONTÍNUOS 
 
Rousseau (2005) afirma que o balanço de massa para processos contínuos ou 
em semi-batelada também podem ser escritos na forma integral. O 
procedimento usado é utilizar o balanço diferencial e integrá-lo entre dois 
instantes de tempo. Na maioria dos casos são necessários cálculos mais 
complexos que os casos anteriores, mas também podemos encontrar 
problemas de resolução simples, como o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 2.3– Ar é borbulhado em uma coluna contendotoluenolíquido numa 
vazão molar de 0,800 kmol/min. A corrente gasosa deixando a coluna contém 
30% em mol de vapor de tolueno.Considerando que o ar é insolúvel em 
tolueno líquido. Use a forma integral do balanço de massa para estimar o 
tempo necessário para que 30m3 de tolueno seja vaporizado. 
 
Solução: 
 
Começando com um balanço diferencial sobre o ar e sabendo que ele foi 
considerado insolúvel em tolueno, podemos anular o termo de acúmulo. 
Como o ar não reage com o tolueno na unidade de processo, tanto o termo 
de geração quanto o de consumo são nulos, então a expressão do balanço 
geral fica: 
 
SE
 
 
Como o enunciado afirma, a corrente gasosa na saída contém 30% em mol 
de vapor de tolueno, então essa corrente possui 70% em mol de ar, logo: 
 
min
7,0
min
800,0
kmol
n
kmol
arkmolarkmol

 
 
min
143,1
arkmol
n
 
 
Em seguida escrevemos o balanço integral para otolueno, iniciando no tempo 
t=0 até o tempo t=tf (valor procurado). O balanço fica: 
 
SA
 
 
 
O termo de acúmulo, que é variação total no número de moles no tempo tf, é 
negativo, pois o tolueno deixa o sistema. Como o volume total ocupado pelo 
tolueno é de 30m3 e a massa específica do tolueno líquido é 0,87 kg/L, o termo 
de acúmulo é igual a: 
 
 
873
33 69,283
92
11087,030 HCkmol
kg
kmol
m
L
L
kg
mn
 
 
 
29 
 
O termo de saída do balanço é igual àvazão molar na qual o tolueno deixa o 
sistema vezes o tempo de processamento final, tf. Por isso o balanço 
SA
, 
resulta em: 
 
ftnHCkmol 300,069,283 87
, 
Vimos que 
min
143,1
arkmol
n
, então: 
min827ft
 
 
 
2.2.5 CÁLCULOS DE BALANÇO DE MASSA 
 
2.2.5.1 FLUXOGRAMAS 
 
Quando você recebe informações de um processo e é necessário determinar 
alguma coisa sobre esse processo, é bastante útil organizar as informações de 
modo conveniente, antes de efetuar os cálculos necessários. A melhor 
maneira de fazer isso é desenhar um fluxograma do processo, usando caixas e 
outros símbolos que representam as unidades do processo, e linhas com setas 
que representam as entradas e saídas. 
 
Quando usado corretamente, o fluxograma pode ajudar a realizar os cálculos 
do balanço de massa. Inicialmente você deve preencher seu desenho com 
todas as informações disponíveis, usando valores para as variáveis conhecidas 
e símbolos para as variáveis desconhecidas, para as linhas de entrada e saída. 
 
Exemplo 2.4– Deseja-se obter uma corrente final para realização de um 
experimento com elevado percentual de oxigênio. Três correntes de entrada 
são alimentadas numa câmara de evaporação para produzir uma corrente 
de saída com a composição desejada. Considere que as condições de 
entrada são: 
 
Corrente S1: ar (21 mol% de O2 e 79 mol% de N2), 
Corrente S2: água (fase líquida), com vazão volumétrica 
min/504 3cm
, 
Corrente S3: oxigênio puro, com vazão molar igual a 1/5 da vazão molar da 
corrente S1. 
 
O gás na corrente de saída contém 3 mol% de água. Desenhe o fluxograma, 
escreva as variáveis conhecidas do processo, e ao final calcule todas as 
variáveis desconhecidas. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
30 
1. Escreva os valores e a unidades de todas as variáveis conhecidas, sobre as 
linhas que representam as correntes de entrada ou saída. 
 
2. Atribua símbolos para as variáveis desconhecidas utilizando as unidades 
corretamente. 
 
 
 
 
Como a única vazão volumétrica dada no enunciado
min/20 2
3
lOHcm
 é 
medida por minuto, vamos adotar esta unidade como base para as vazões 
das outras correntes. 
Como a variável adotada para representar o fluxo molar de ar é 
1n
, então a 
vazão molar de oxigênio puro corresponde a 
12,0 n
. 
O somatório das frações molares dos componentes em qualquer corrente 
deve ser igual à unidade. Como representamos a fração molar de oxigênio 
por 
y
, a fração molar do nitrogênio será 
molNmolyy /97,03,01 2
 
 
Podemos calcular o fluxo molar de água 
2n
, com a relação: 
 
min
28
18
min
5041
2
2
2
3
3
2
2
OHmol
mol
OHg
OHcm
cm
OHg
MM
m
n

 
 
As variáveis restantes podem ser determinadas usando balanços de massa, 
que assumem a forma 
SE
, uma vez que o processo ocorre em estado 
estacionário e sem reação. Olhando o fluxograma podemos facilmente 
realizar os balanços: 
 
Para água: 
 
mol
OHmolmol
n
OHmol
n 23
2
2 03,0
minmin

 
min
33,9333
mol
n
 
 
Balanço molar global: 
 
 
31 
 
32112,0 nnnn 
 
min
44,754
2,1
2833,933
2,1
23
1
armolnn
n


 
 
Para o nitrogênio: 
 
mol
Nmol
y
mol
n
mol
Nmolarmol
n 23
2
1 97,0
min
79,0
min

 
mol
Omol
n
n
y 2
3
1 331,079,097,0


 
 
 
Exemplo 2.5– Uma mistura de dois componentes A e B, com 70 mol% de A e 30 
mol% de B, é separada em duas frações. O fluxograma deste processo é 
ilustrado abaixo: 
 
 
 
Dimensione o fluxograma de forma a obter a mesma separação, usando uma 
alimentação contínua de 4500 lbmol/h. 
 
Solução: 
 
O fator de escala é: 
 
mol
hlbmol
mol
hlbmol /
406,1
3200
/4500Multiplicando-se o número de moles das correntes do processo pelo fator de 
escala podemos obter as vazões molares: 
 
Alimentação: 
hlbmol/4500
 
 
Corrente superior: 
hlbmol /1406406,11000
 
 
 
 
32 
Corrente inferior: 
h
Albmol
64,2024406,11440
 
 
h
Blbmol
56,1068406,1760
 
A unidade das frações molares pode ser alterada de
molmol /
 para
lbmollbmol /
, mas seus valores permanecem os mesmos. O fluxograma fica: 
 
 
 
 
 
2.2.5.2 BALANCEANDO UM PROCESSO 
 
 
Considere fluxograma ilustrado na fig.2.2, no qual 
min3kg
 de benzeno são 
misturados com 
min/1kg
 de tolueno. 
 
 
Fig. 2.2 – Fluxograma com duas correntes de entrada e uma de saída. 
 
Existem duas incógnitas associadas a este processo, 
m
 e 
x
. Todas as 
equações do balanço de massa deste processoassumem a mesma forma
SE
, pois é um processo sem reação e em estado estacionário. Existem três 
equações de balanço que podem ser escritas (balanço global, balanço sobre 
o benzeno ou um balanço sobre o tolueno), a escolha de duas dessas 
equações fornece o valor das incógnitas procurado. Por exemplo: 
 
Balanço global: 
 
min
18
min
10
min
8
kg
mm
kgkg

 
 
 
 
 
33 
Para o benzeno: 
 
kg
HCkg
x
kg
HCkg
x
kg
m
HCkg 636363 44,0
minmin
8 
 
 
A dúvida nesse momento é até onde é possível continuar com esse 
procedimento. Por exemplo, se a vazão de uma das correntes de entrada 
fosse desconhecida, um balanço sobre o tolueno resolveria o problema? E se 
este fosse um processo envolvendo reações químicas, quais balanços utilizar 
quando existe a possibilidade de escolha, e em que sequência eles devem ser 
escritos? 
 
As duas regrasa seguir, como Rousseau (2005) descreve, podem ser aplicadas 
para processos sem reação: 
 
1. O número máximo de equações independentes que podem ser derivadas 
ao escrever os balanços de massa para sistemas sem reação é igual ao 
número de espécies químicas nas correntes de entrada e saída. 
 
No exemplo dado, o benzeno e o tolueno constituem as correntes de entrada 
e saída do processo, vimos que podemos escrever três equações de balanço, 
mas apenas duas dessas equações são necessárias para concluir o problema. 
 
2. Escrever primeiramente balanços que envolvem o menor número de 
incógnitas. 
 
No exemplo dado, o balanço de massa total foi escrito primeiramente porque 
a equação envolvia apenas uma incógnita, 
m
, enquanto a equação do 
balanço para o benzeno ou tolueno envolveria duas, 
m
e 
x
;se tivéssemos 
escolhido iniciar por uma dessas expressões chegaríamos ao mesmo resultado 
com um esforço maior. 
 
Exemplo 2.6– Uma solução aquosa com fração de mássica de 40% de HCl 
entra numa unidade de processamento, e deseja-se reduzir esse percentual 
para10%. Para isso uma corrente de água pura é utilizada na diluição. Calcule 
as razões (litros de água pura/kg solução deHCl) e (kg de solução 
resultante/kg solução de HCl). 
 
Solução: 
 
1. Escolha uma base de cálculo (uma taxa ou quantidade de uma das 
correntes de alimentação ou de produtos) e desenhe o fluxograma com as 
informações disponíveis. 
 
Vamos escolher arbitrariamente uma base de 300 kgda corrente de 
alimentação com 40% de HCl (essa escolha não altera os resultados finais, pois 
estamos apenas procurando razões de valores das correntes). Desenhamos 
então o fluxograma: 
 
 
 
 
34 
 
 
2. Expresse o que o problema pede para você determinar em termos das 
variáveis do fluxograma. 
 
As quantidades desejadas são: 
 
100
1V
 (litros de água/kg de solução inicial) e 
100
2m
 (kg de solução final/kg solução inicial) 
 
Então temos que determinar 
1V
 e 
2m
. 
 
3. Conte as variáveis desconhecidas e relacione-as com as equações. 
 
Se o número de equações independentes for igual ao número de variáveis, 
você será capaz de resolver o problema, mas se isso não ocorrer não 
desperdice seu tempo com esse tipo de problema. 
 
Analisando o fluxograma percebemos que existem três variáveis 
desconhecidas (
1V
, 
1m
 e 
2m
). 
Para um processo sem reações envolvendo 
n
 componentes, é possível 
escrever mais de
n
 equações de balanço. Como no processo do exemplo 
existem duas espécies, escrevemos duas equações de balanço. A terceira 
variável pode ser determinada analisando a relação entre a massa e o 
volume da água utilizada para diluição através da densidade. Dessa forma o 
problema pode ser solucionado. 
 
Todos os balanços do sistema assumem a forma 
SE
. Analisando o 
fluxograma podemos ver que as equações do balanço da água e do balanço 
de massa global envolvem duas variáveis indeterminadas (
1m
 e 
2m
), 
enquanto o balanço sobre o ácido clorídrico envolve apenas uma 
2m
. 
Portanto, é mais simples iniciar a solução do problema através do balanço do 
HCl: 
 
Para o HCl: 
 
SE
 
 
 
35 
kgmm
kg
HClkg
kg
kg
HClkg
4001,01004,0 22
 
 
Substitua esse valor calculado diretamente no fluxograma para facilitar os 
próximos cálculos. 
 
Balanço de massa global: 
 
OHkgmmmkg 2121 100300
 
 
Podemos calcular o volume de água na corrente de entrada inferior com a 
relação: 
 
litros
litrokg
kgm
V
V
m
100
/1
1001
1
1
1
 
 
Finalmente podemos calcular as razões requisitadas no problema: 
 
HClsoldekgáguadelitros
V
./1
100
100
100
1
 
HClsoldekgresultsoldekg
m
./..4
100
400
100
2
 
 
 
2.2.6 BALANÇO DE MASSA EM PROCESSOS COM VÁRIAS UNIDADES 
 
Os processos em indústrias químicas raramente envolvem apenas uma 
unidade de processamento, geralmente existem um ou mais reatores 
químicos, misturadores, sistemas de aquecimento e resfriamento, etc. Antes de 
analisar estes processos, vamos definir um sistema. Um sistema é qualquer 
parte do processo englobado por fronteiras imaginárias, logo, o processo 
inteiro pode estar contido no sistema, várias unidades, ou até mesmo uma 
única unidade de processamento. As correntes de entrada e saída do sistema 
são aquelas que interceptam suas fronteiras. 
Inicialmente definem-se as fronteiras do sistema, e em seguida o balanço é 
feito sobre as unidades contidas no sistema. 
 
Exemplo 2.7– O fluxograma da figura abaixo ilustra um processo contínuo em 
estado estacionário com duas unidades de processamento. Existem três 
correntes(a, b, c) cujas vazões
cba mmm  ,,
e/ou composições são 
desconhecidas. 
 
 
36 
 
 
Calcule as vazões e composições desconhecidas. 
 
Solução: 
 
Os sistemas que podemos escolher para análise estão representados por linhas 
pontilhadas na figura abaixo. 
 
 
Balanço de massa global: 
 
 
O balanço de massaglobal é feito escolhendo-se como sistema aquele com 
as linhas pontilhadas mais externas, que engloba todo o processo (duas 
correntes de entrada e três correntes de saída). Para este sistema a equação 
geral do balanço pode ser escrita na forma 
SE
, então: 
 
hkgmm cc 50250300100500 
 
 
Balanço de massa global sobre A: 
 
kgAkgxx cc /6,0)50(2502,03009,010075,050055,0
 
 
 
37 
 
Balanço de massa sobre a unidade 1: 
 
hkgmm aa 200300500 
 
 
Balanço de massa sobre A na unidade 1: 
 
kgAkgxx aa /025,0)200(3009,050055,0
 
 
Balanço de massa sobre o ponto de mistura: 
 
hkgmmm bba 300100 
 
 
Balanço de massa de A sobre o ponto de mistura: 
 
kgAkgxmxmx bbbaa /267,010075,0 
 
 
O problema pode se tornar maiscomplicado quando existem mais de duas 
unidades de processamento, pois além do balanço global e dos balanços 
sobre as unidades devemos considerar os balanços das combinações das 
unidades. 
 
 
2.2.7 RECICLO 
 
É incomum que uma reação, por exemplo, 
BA
, seja totalmente convertida 
num reator (ou seja, que todo o reagente seja consumido). Existe sempre uma 
quantidade de A, mesmo que pequena, presente na corrente dos produtos. 
Essa quantidade de A não consumida é vista como desperdício de recursos, 
pois você tem que pagar pela utilização do reagente. Uma saída viável para 
este problema é tentar reciclar esta quantidade de reagente não consumida, 
realimentando-a no reator. Dessa forma você iria economizar e ao mesmo 
tempo produzir B puro. O exemplo a seguir mostra como resolver problemas de 
balanço de massa em sistemas com reciclo. 
 
Exemplo 2.8– Uma corrente de ar seco contendo 8 mol% de água deve ser 
resfriada e desumidificada, de modo a conter apenas 0,70 mol% de água. A 
corrente de ar é combinada com uma corrente de reciclo proveniente de um 
resfriamento e desumidificação anteriores. A corrente misturada contém 5,6 
mol% de água. No ar condicionado, parte da água é condensada e 
removida na forma líquida. Uma fração do ar desumidificado que deixa o 
condensador é reciclada e o restante é liberada no ambiente. Tomando 1 mol 
de ar desumidificado como base de cálculo, calcule o número de moles da 
corrente inicial, da água condensada, e do ar reciclado. 
 
Solução: 
 
 
 
38 
O fluxograma desse processo é mostrado na figura abaixo. As linhas 
pontilhadas destacam os subsistemas nos quais os balanços de massa podem 
ser aplicados. 
 
 
 
A forma do balanço de massa tem a forma 
SE
. O sistema global e o 
subsistema demarcado ao redor do ponto de mistura são apropriados para 
análise do problema, pois envolvem as variáveis que queremos determinar. 
 
Balanço global do ar seco: 
 
molesnn 079,11993,092,0 11
 
 
Balanço molarglobal: 
 
condensadaáguademolesnnn 079,01 331
 
 
Balanço de massa no ponto de mistura: 
 
512 nnn
 
 
Balanço de massa da água no ponto de mistura: 
 
251 056,0007,008,0 nnn
 
 
Utilizando o valor conhecido de 
1n
 nas duas últimas equações, montamos o 
seguinte sistema: 
 
086,0007,0056,0
079,1
52
52
nn
nn 
 
 
 
39 
O valor das variáveis pode ser facilmente encontrado se utilizarmos o 
método de Gauss (visto anteriormente no cap.01): 
 
0256,0049,00
079,111
086,0007,0056,0
079,111
10 12122 AA LmLL
 
 
Sendo 
056,021m
. Podemos agora escrever o seguinte sistema equivalente: 
0256,0049,0
079,1
5
52
n
nn 
Cuja solução é imediata e pode ser representada pelo vetor 
5224,0
6014,1
n
. 
Ou seja, 
6014,12n
 e 
5224,05n
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
CAPÍTULO 3:BALANÇO DE ENERGIA 
 
 
3.1 FORMAS DA ENERGIA 
 
A energia total de um sistema de acordo com Rousseau (2005) é composta 
basicamente por 3 componentes: 
 
1. Energia cinética 
 
Energia devido ao movimento de translação do sistema como um todo em 
relação a um corpo de referência ou em relação à rotação do sistema sobre 
um eixo. 
 
2. Energia potencial 
 
Energia do sistema associada à posição do sistema num campo potencial, 
como o campo gravitacional, por exemplo. 
 
3. Energia interna 
 
Toda energia intrínseca do sistema excluindo-se as energias cinética e 
potencial, como a energia devido à movimentação, rotação e vibração das 
moléculas e as interações entre elas. 
 
3.2 BALANÇO DE ENERGIA EM SISTEMAS FECHADOS 
 
 
Os sistemas podem ser classificados como abertos ou fechados ao avaliar se 
existe ou não massa cruzando as fronteiras do sistema durante uma análise. 
Um processo em batelada é por definição um sistema fechado, enquanto os 
processos em semibatelada e contínuos são sistemas abertos. 
 
Podemos utilizar a equação geral do balanço eq.(2.1), para escrever a 
equação integral do balanço de energia entre dois instantes de tempo. Como 
a energia de um sistema não pode ser nem criada nem destruída, os termos 
de geração e consumo são desconsiderados, temos então: 
 
SEA
 
 
Num sistema fechado a energia pode ser transferida através das fronteiras do 
sistema na forma de calor ou trabalho, diferentemente do balanço de massa 
num sistema fechado, no qual a massa não atravessa as fronteiras do sistema 
 
 
41 
e os termos de entrada e saída eram desconsiderados. Podemos também 
escrever a expressão anterior na seguinte forma: 
 
SEsistemaopara
atransferidtotalenergia
sistemado
inicialenergia
sistemado
finalenergia (3.1) 
PiCii EEU
sistemado
inicialenergia 
PfCff EEU
sistemado
finalenergia 
WQ
SEsistemaopara
atransferidtotalenergia 
 
 
Onde os subscritos
i
e 
f
indicam os estados inicial e final do sistema, e 
WeQEEU PC ,,,
representam a energia interna, a energia cinética, a energia 
potencial, o calor recebido pelo sistema do meio, e o trabalho realizado pelo 
sistema sobre o meio, respectivamente. Então reescrevemos a eq.(3.1) na 
forma: 
 
WQEEEEUU PiPfCiCfif
 
 
 ou 
 
WQEEU PC
 (3.2) 
 
A eq.(3.2) é a forma básica da primeira lei da termodinâmica para sistemas 
fechados. Como Rousseau (2005) afirma, as seguintes observações podem ser 
feitas antes de utilizar esta equação: 
 
A energia interna do sistema depende quase exclusivamente da composição 
química, do estado de agregação e da temperatura dos materiais. É 
dependente também da pressão para gases ideais (sólidos e líquidos sofrem 
pouca influência da pressão). Se não ocorrem variações de temperatura, 
mudanças de fase, ou reações químicas num sistema fechado e a variação 
de pressão for desprezível, então 
0U
. 
 
Se o sistema não está acelerando, então 
0CE
. Se o sistema não tem quedas 
ou subidas, então 
0PE
. 
 
Se o sistema é isolado ou se o sistema e suas redondezas estão à mesma 
temperatura, então o processo é adiabático, então 
0Q
. 
 
O trabalho é realizado pelo ou sobre o sistema pela movimentação das 
fronteiras do sistema contra uma força de resistência, ou pela passagem de 
uma corrente elétrica ou radiação através das fronteiras. Se não houverem 
partes em movimento, correntes elétricas ou radiação, então 
0W
. 
 
 
42 
 
3.3 BALANÇO DE ENERGIA DE SISTEMAS ABERTOS EM ESTADO 
ESTACIONÁRIO 
 
O sistema é dito aberto quando existe massa atravessando suas fronteiras 
enquanto o processo está ocorrendo. Trabalho deve ser realizado sobre o 
sistema para que haja a entrada de massa, e trabalho deve ser feito pela 
massa na saída sobre o meio. Estes termos devem ser considerados na 
equação do balanço de energia. 
 
O trabalho resultante realizado pelo sistema sobre o meio pode ser escrito 
como: 
 
flS WWW

 (3.3) 
 
Sendo o 
SW

 trabalho de eixo, que é a taxa de trabalho feito pelo fluido do 
processo sobre um eixo de movimentação dentro do sistema; e 
flW

 a taxa de 
trabalho do fluido na saída do sistema menos a taxa de trabalho na entrada 
do sistema. 
 
Por exemplo, para calcular a taxa de trabalho da seguinte unidade de 
processo com uma única entrada e uma única saída. 
 
 
Fig.3.1 – Unidade de processamento qualquer. 
 
O fluido que entra no sistema tem trabalho, feito sobre ele pela quantidade de 
fluido anterior, dadopela relação: 
 
ententent VPW

 (3.4) 
 
E o fluido que deixa o sistema executa trabalho com a taxa: 
 
saisaisai VPW

 (3.5) 
 
Logo a taxa resultante será: 
 
ententsaisaifl VPVPW

 (3.6) 
 
 
Se houvessem várias correntes de entrada e saída no sistema, teríamos 
simplesmente que somar o trabalho efetuado pelas correntes de saída 
 
 
43 
saiisaii VP ,,
 e subtrair pelo somatório do trabalho das correntes de entrada 
entienti VP ,,
. 
A primeira lei da termodinâmica para um sistema aberto em estado 
estacionário pode ser escrita na forma, 
SE
. O termo de entrada representa 
a taxa total de transporte de energia cinética, potencial e energia interna de 
todas as correntes de entrada mais a taxa na qual a energia é transferida 
como calor. O termo de saída representa a taxa de energia total transportada 
pelas correntes de saída mais a energia que sai como trabalho. 
 
Se 
jE

 representa a taxa total de energia transportada pela j-ésima corrente 
de entrada ou saída, e as taxas de calor e trabalho na entrada e saída do 
processo são 
Q
 e 
W
, podemos escrever: 
 
SE
 
WQEEEWEQ
entradade
correntes
j
saídade
correntes
j
saídade
correntes
j
entradade
correntes
j

 (3.7) 
 
Se 
PjCj EEm
 ,,
 e 
jU

 são taxas de massa, energia cinética, energia potencial e 
energia interna para a j-ésima corrente de processo, então a taxa de energia 
na qual a energia entra ou sai do sistema através desta corrente é: 
 
PjCjjj EEUE

 
jj
j
jjjj gzm
u
mUmE 
2
ˆ
2 
j
j
jjj gz
u
UmE
2
ˆ
2

 (3.8) 
 
Onde 
ju
é a velocidade da j-ésima corrente e 
jz
 é a altura da corrente 
referente a um plano no qual 
0PE
. (O acento circunflexo sobre as variáveis 
indica que ela é específica). 
 
O trabalho total realizado pelo sistema sobre o meio é igual ao trabalho de 
eixo mais o trabalho do fluido em movimento, se 
jV

 é o fluxo volumétrico da j-
ésima corrente e 
jP
 é a pressão dessa corrente enquanto cruza as fronteiras 
do sistema, então: 
 
entradade
correntes
jj
saídade
correntes
jjfl VPVPW

 , sendo 
jjj VmV
ˆ
, então: 
 
entradade
correntes
jjj
saídade
correntes
jjjSfl VPmVPmWW
ˆˆ 
 (3.9) 
Substituindo as eqs.(3.8) e (3.9) na eq.(3.7), e colocando os termos 
VP ˆ
 no lado 
esquerdo da igualdade, resulta em: 
 
 
44 
s
entradade
correntes
j
j
jjjj
saídade
correntes
j
j
jjjj WQgz
u
VPUmgz
u
VPUm 
2
ˆˆ
2
ˆˆ
22 (3.10) 
 
A eq.(3.10) pode ser utilizada pode ser utilizada para resolver qualquer 
problema de balanço de energia de sistemas abertos em estado estacionário. 
Entretanto, podemos simplificar esta expressão, pois o termo 
jjj VPU
ˆˆ
 pode ser 
escrito como 
jHˆ
 (entalpia específica), logo reescrevemos a eq.(3.10) na 
forma: 
 
s
entradade
correntes
j
j
jj
saídade
correntes
j
j
jj WQgz
u
Hmgz
u
Hm 
2
ˆ
2
ˆ
22 (3.11) 
 
Mas 
 
entradade
correntes
jj
saídade
correntes
jj HmHmH
ˆˆ 
 
entradade
correntes
j
j
saídade
correntes
j
jC
u
m
u
mE
22
22

 
entradade
correntes
jj
saídade
correntes
jjP gzmgzmE 
 
 
Então a eq.(3.11) se torna: 
 
SPC WQEEH

 (3.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
CAPÍTULO 4:SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
DE BALANÇO COM AUXÍLIO DA 
COMPUTAÇÃO 
 
A resolução das equações de balanço de massa e energia em muitos casos 
pode consumir muito tempo. Uma alternativa para solucionar estes problemas 
é desenvolver um algoritmo para resolução dos cálculos e utilizar um 
programa computacional para implementá-lo. 
 
De modo geral existem dois métodos de resolução que podem ser aplicados 
sobre as equações de balanço dos processos: simulação sequencial modular 
e a simulação baseada em equações. 
 
 
4.4.1 SIMULAÇÃO SEQUENCIAL MODULAR 
 
 
O primeiro passo na montagem do processo na abordagem sequencial 
modular é reconstruir o fluxograma do processo em termos de blocos ou 
módulos (unidades de processo ou operações) com as correntes 
interconectando-os. A seguinte nomenclatura é pode ser utilizada para 
identificar estes blocos: 
 
MIST - mistura de várias correntes de entrada adiabaticamente na 
formação de uma corrente de produto; 
 
SEP – separação de uma corrente única de entrada em duas ou mais 
correntes de produtos; 
 
COMP – aumento da pressão de um gás de um determinado valor; 
 
BOMBA – aumento da pressão de um líquido de um determinado valor; 
 
FLASH–converte uma corrente líquida numa pressão para uma corrente de 
vapor numa pressão mais baixa; 
 
DESTILA 
EXTRAI 
CRISTALIZA 
ABSORVE 
 
REATOR – simula o reator químico. 
 
Para simular um processo você pode utilizar um programa de computador, 
você irá construir um fluxograma, e depois atribuir os valores conhecidos para 
simula os processos de separação da destilação, 
extração, cristalização e absorção; 
 
 
46 
os blocos e correntes do sistema. Posteriormente a simulação é iniciada, e uma 
série de blocos chamados de sub-rotinas lhe guiará até a solução das 
equações de balanço de massa ou energia. 
 
Por exemplo, suponha que duas correntes de entrada S1 e S2 são misturadas 
adiabaticamente formando uma corrente de saída S3, neste caso o bloco MIX 
pode ser utilizado para simular esta operação, observe a fig.4.1. 
 
 
Fig.4.1 – Bloco (ou módulo) usado na mistura de correntes. 
 
As correntes S1, S2 e S3 podem ser vetores contendo informações sobre 
composição, temperatura, fluxo, etc. em cada corrente, nesse caso o 
programa deve calcular o valor dos componentes da corrente de saída S3 a 
partir dos balanços de massa e energia. 
 
Exemplo 4.1–Duas correntes devem ser misturadas adiabaticamente. Cada 
corrente pode conter qualquer um dos componentes A, B, C, D e E. Não há 
mudança de fase, a capacidade calorífica do todos os componentes são 
constantes e o calor da mistura é desprezível. É necessário calcular o fluxo 
molar e a temperatura da corrente de saída a partir de valores específicos das 
correntes de entrada, para isso você deve criar uma rotina para ser 
executada por um programa. 
 
 
 
 
a) Escreva equações para os fluxos da corrente do produto e temperatura. 
b) Crie uma tabela para determinar os valores das variáveis da corrente do 
produto para quaisquer valores de fluxo e temperatura das correntes de 
 
 
47 
alimentação. Utilize os seguintes valores para capacidade calorífica das 
espécies: 
 
 
 
Espécie A B C D E 
CmolJC op /
 87,2 125,9 160,4 174,8 187,3 
 
 
Solução: 
 
a) As equações do balanço de massa são bastante simples: 
 
321 AAA nnn 
 (1) 
321 BBB nnn 
 (2) 
321 CCC nnn 
 (3) 
321 DDD nnn 
 (4) 
321 EEE nnn 
 (5) 
 
 
Vamos escolher um estado de referência para cada componente do sistema: 
fase líquida ou gasosa, temperatura 
1T
 e pressão 1 atm. Sabendo que a 
entalpia específica de um componente, por exemplo, o componente A, 
equivale a 
133
ˆ TTCH pAA
, escrevemos o balanço de energia para este 
sistema aberto e adiabático: 
 
 
entradade
correntes
jj
saídade
correntes
jj HnHnH
ˆˆ0 
 
01222222
1333333
TTCnCnCnCnCn
TTCnCnCnCnCn
pEEpDDpCCpBBpAA
pEEpDDpCCpBBpAA

 
 
 
Todas as entalpiada corrente 1 são nulas, por isso não foram escritas na 
expressão anterior. Resolvendo a equação para 
3T
 temos: 
 
12
33333
22222
13 TT
CnCnCnCnCn
CnCnCnCnCn
TT
pEEpDDpCCpBBpAA
pEEpDDpCCpBBpAA

 (6) 
 
 
b) Podemos construir uma tabela associada ao fluxograma para 
determinação das variáveis desconhecidas em função das variáveis das duas 
correntes de entrada. Para isso vamos utilizar o Excel®, que é bastante útil e 
simples neste caso, pois se o valor de alguma variável for modificado, os 
resultados são automaticamente atualizados. 
 
 
 
48 
 
 
Se os valores das correntes de entrada forem iguais aos mostrados na tabela 
da figura acima, então:
8;9,27;44;56;5,43 33333 EDCBA nnnnn 
e 
CT o9,363
. 
 
Estes valores referentes a corrente de saída, foram calculados da seguinte 
forma: 
 
1679
1568
AAL
AAL
 
18911
17810
AAL
AAL
 
191012 AAL
 
 
Que são equivalentes as equações (1), (2), (3), (4), (5), e 
 
1120*
3*123*113*103*93*8
3*193*183*173*163*15
113 AA
GLFLELDLCL
GAFAEADACA
AT
 
 
Que é equivalente a temperatura dada pela equação (6). 
 
 
Exemplo 4.2– A figura abaixo ilustra um sistema com duas unidades de 
processamento e uma corrente de reciclo. Calcule a quantidade 
reciclada R como uma função de (fração de reciclada de A). Use 
5,0
 e 
9,0
 para comparação. 
 
 
 
 
49 
 
 
Solução: 
 
Balanço de massa para a unidade 1: 
 
BRBRA 100
 
 
Balanço de massa para unidade 2: 
 
PRB
 
 
Sendo a fração de reciclo 
RB
. 
 
Assim, temos um problema com três equações e três incógnitas a ser 
resolvido, por isso, como visto no cap.01, podemos encontrar a solução 
deste sistema reduzindo-o à forma escada. 
 
O sistema: 
0
0
100
RB
PRB
RB
 possui a seguinte matriz ampliada: 
001
0111
100011
 
 
Entuando as operações a seguir o sistema é reduzido à forma escada: 
 
 
 
50 
100100
1
100010
1
1
100001
100100
11
100
010
11
100
100001
100100
11
100
010
100011
100100
1000/110
100011
1000110
100100
100011
0011
100100
100011
001
0111
100011
121
2233
32
133
3
3
122
11/
LLL
LLLL
LL
LLL
L
L
LLL
 
 
E assim podemos obter os seguintes resultados: 
 
1
1
100B
 
 
1
100R
 
 
100P
 
 
Substituindo os valores de dados no enunciado da questão: 
 
Para 
5,0
: 
 
200B
 
100R
 
100P
 
 
Para 
8,0
: 
 
500B
 
400R
 
100P
 
 
A simulação modular para encontrar a solução envolveria resolver a 
equação da unidade 1 para encontrarB assumindo um valor para R. A 
unidade 2 seria então resolvida para R, esse valor de R seria comparado 
com o valor de R assumido. Se o erro for grande, o valor de R calculado 
usando a unidade 2 seria o novo valor assumido, então resolveríamos 
novamente a unidade 1 para B, e resolveríamos a unidade 2 para R 
outra vez. Esse procedimento é repetido até que o erro seja 
suficientemente pequeno. 
 
 
 
51 
Se a estimativa inicial é que R=0, então o valor inicial de B será igual a 
100, e as equações são escritas na seguinte forma: 
 
kk RB 100
 
kk BR
 
 
Sendo k o índice usado na contagem das iterações. 
Uma quantidade suficente de iterações resulta na convergência das 
variáveis para o resultado desejado. 
 
Para 
5,0
: 
 k
 R RB 100 BR 
1 0 100 50 
2 50 150 75 
3 75 175 87,5 
4 87,5 187,5 93,75 

 

 

 

 
 100 200 100 
 
Para 
8,0
: 
 k
 R RB 100 BR 
1 0 100 80 
2 80 180 144 
3 144 244 195,2 
4 195,2 295,2 236,16 

 

 

 

 
 400 500 100 
 
 
4.4.2 SIMULAÇÃO BASEADA EM EQUAÇÕES 
 
Enquanto a abordagem sequencial modular resolve sistema de equações em 
blocos, que correspondem as operações unitárias do processo, a simulação 
baseada em equações coleta as equações das unidades e as resolve 
simultaneamente. 
Cada método possui suas desvantagens. A simulação sequencial modular 
encontra dificuldade ao tentar solucionar problemas de duas categorias: 1. 
Conhecendo as condições do processo e as variáveis da corrente dos 
produtos, calcular as variáveis da corrente na alimentação; 2. Conhecendo as 
variáveis das correntes de alimentação e dos produtos, calcular as condições 
do processo. Em ambos os casos é necessário usar cálculos iterativos usando 
as especificações do projeto, e este problema é resolvido quando o sistema 
de equações é coletado e resolvido para as variáveis desconhecidas 
 
 
52 
simultaneamente, usando programas como Matlab®, Maple®,etc. Entretanto a 
solução de um grande número de equações simultaneamente pode ser 
pesado e demorado até mesmo para computadores potentes. 
O exemplo a seguir ilustra a simulação baseada em equações. 
 
Exemplo 4.3– Uma corrente é alimentada numa coluna de destilação 
contendo o seguinte percentual em massa: 40% de benzeno (B),25% de 
tolueno(T) e 35% de xileno (X). O produto da corrente superior dos produtos 
contém 72,2% de benzeno e 28,6% de tolueno em massa. A corrente da saída 
inferior da primeira coluna é usada para alimentar uma segunda coluna. O 
produto da corrente superior dos produtos da segunda coluna contém 4,3% 
de benzeno e 92,6% de tolueno em massa. Um percentual de17 % do tolueno 
e 85% do xileno alimentados no processo são recuperados na corrente de 
saída inferior da segunda coluna. Estabeleça as equações de balanço de 
massa do processo. 
 
 
 
Solução: 
 
Tomando como base uma alimentação de 100 kg, escrevemos as equações 
do problema: 
 
Para coluna 1: 
 
B 
21673,035 mm
 
T 
31306,050 mm
 
X 
41021,015 mm
 
 
Para a coluna 2: 
 
B 
652 059,0 mmm
 
T 
753 926,0 mmm
 
X 
854 015,0 mmm
 
 
Das especificações do processo: 
 
Recuperação de 10% de T: 
5501,07m
 
 
 
53 
Recuperação de 93,3% de X: 
1415933,08m
 
 
Podemos resolver este conjunto de equações utilizando o método de Gauss, 
(revise o cap.01) juntamente com a estratégia de pivoteamento parcial, 
escrevemos inicialmente a matriz ampliada do sistema: 
 
140015,01000
50926,00100
01059,00010
1500100021,0
5000010306,0
3500001673,0
0A
 
 
Efetuamos então as operações 
13133
12122
LmLL
LmLL , sendo 
455,0
673,0
306,0
21m
, 
0312,0
673,0
021,0
31m
, para obtermos: 
 
140015,01000
50926,00100
01059,00010
908,1300100312,00
075,340001455,00
3500001673,0
1A
 
 
Realizamos a seguir a troca das linhas 2 e 4 
42 LL
e efetuamos as 
operações 
24244
23233
LmLL
LmLL , sendo 
0312,0
1
0312,0
32m
, 
455,0
1
455,0
42m
: 
 
140015,01000
50926,00100
075,34455,000268,00100
908,130312,000184,01000
01059,00010
3500001673,0
2A
 
 
Organizamos novamente a matriz ao trocar as linhas 2 e 4 
43 LL
e 
efetuando a operação
35355 LmLL
, sendo 
153m
, para obtermos: 
 
 
 
54 
140015,01000
075,29455,0923,00000
908,130312,000184,01000
075,34455,000268,00100
01059,00010
3500001673,0
3A
 
 
Efetuamos então a operação 
46466 LmLL
, sendo 
164m
: 
 
092,00312,001316,00000
075,29455,0923,00000
908,130312,000184,01000
075,34455,000268,00100
01059,00010
3500001673,0
4A
 
 
E finalmente a operação 
56566 LmLL
, sendo 
0143,0
923,0
01316,0
65m
, 
resultando em: 
5078,00247,000000
075,29455,0923,00000