Aula 04 - Tensões Térmicas, concentrações de tensões e deformação inelástica 2

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GRADUAÇÃO - ENGENHARIA
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL – CCE1682
DSc MIGUEL HENRIQUE DE OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR
Rio de Janeiro, 2021.2
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL
Aula 04 - Tensões Térmicas, concentrações de tensões e deformação inelástica
Introdução
• Ementa
• Tensões:
• Térmicas;
• Concentração de tensões;
• Fator de concentração;
• Deformação Inelástica;
• Revisão de propriedades geométricas
Tensões Térmicas
• Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material. 
Se a temperatura aumenta, o material, em geral, expande-se; se a temperatura diminui, 
o material contrai.
𝛿𝑇 = න
0
𝐿
𝛼∆𝑇𝐿0 ∴ 𝛿𝑇 = 𝛼∆𝑇𝐿0
α – propriedade do material (coeficiente de dilatação linear)
SOLUÇÕES DE ENGENHARIA (Juntas de
Dilatação)→ é uma separação física entre duas
partes de uma estrutura, para que estas possam se
movimentar sem transmitir esforços entre si.
Exemplo 01:
A barra de aço A-36 está restringida para caber exatamente entre os dois suportes fixos 
quando T1 = 30ºC. Se a temperatura aumentar até T2 = 60°C, determine a tensão térmica 
normal média desenvolvida na barra α=1,2x10-6 e E=200GPa.
෍𝐹𝑦 = 0 → 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 = 𝐹↑ +
Convenção de sinais → 𝛿𝐴/𝐵 = 0 𝛿𝐹 =
𝐹𝐿
𝐸𝐴
𝑒 𝛿𝑇 = 𝛼∆𝑇𝐿
𝛿𝐹 = 𝛿𝑇 ∴
𝐹𝐿
𝐸𝐴
= 𝛼∆𝑇𝐿 → 𝐹 = 𝛼∆𝑇𝐸𝐴
𝐹 = 12 × 10−6 × 60 − 30 × 200.000 × 10 × 10 = 7200 𝑁
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
7200
10 × 10
= 72 𝑀𝑃𝑎
Concentração de Tensões
• Ocorre nas seções em que a área da seção transversal muda subitamente. Quanto mais
severa a mudança, maior a concentração de tensões.
• Se o material for frágil ou sujeito a carregamentos cíclicos, essas concentrações são
muito importantes.
O FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE
TENSÃO (K) é definido como a razão
entre a tensão máxima e a tensão
média que agem sobre a menor
seção transversal e apresentados em
gráficos.
𝑘 =
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚é𝑑
Concentração de Tensões
• Os fatores de concentração de tensão foram determinados com base em um
carregamento estático, onde a tensão no material não ultrapassa o limite de
proporcionalidade. Se o material for frágil, o limite de proporcionalidade pode ser igual
à tensão de ruptura e, a falha começará no ponto de concentração de tensão quando o
limite de proporcionalidade for atingido.
Exemplo 01:
Uma tira de aço está sujeita a uma carga axial de 80 kN. Determine a tensão normal
máxima na tira e o deslocamento de uma de suas extremidades em relação à outra. A
tensão de escoamento do aço é 𝜎 =700 MPa e E= 200 GPa.
𝜎𝑚á𝑥 = 𝑘
𝐹
𝐴
= 1,60
80.000
20 × 10
= 640 𝑀𝑃𝑎 ≤ 700 𝑀𝑃𝑎
Relações Geométricas
𝑟
ℎ
=
6
20
= 0,30 𝑒
𝑤
ℎ
=
40
20
= 2,0 → 𝑘 ≅ 1,60
𝛿𝐴/𝐷 = σ
𝐹𝐿
𝐸𝐴
=
80.000×300
200.000× 40×10
+
80.000×800
200.000× 20×10
+ 80.000×300
200.000× 40×10
≅ 2,22 𝑚𝑚
Tensões e deslocamentos
../Solidworks/Aula 04 -Hibbeler 4.14.SLDPRT
Exemplo 02:
Uma barra de aço com admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 115 MPa, determine a maior força axial P que a 
barra pode suportar, a tensão média (𝜎𝑚é𝑑) e o deslocamento relativo, onde E=200GPa.
𝜎𝑚á𝑥 = 𝑘
𝐹
𝐴
→ 115 = 1,40
𝐹
20 × 10
∴ 𝐹 = 16.428 𝑁
Relações Geométricas
𝑟
ℎ
=
10
20
= 0,50 𝑒
𝑤
ℎ
=
40
20
= 2,0 → 𝑘 ≅ 1,40
𝛿 =෍
𝐹𝐿
𝐸𝐴
=
16.428 × 300
200.000 × 40 × 10
+
16.428 × 300
200.000 × 20 × 10
≅ 0,185 𝑚𝑚
Tensões e deslocamentos
𝜎𝑚é𝑑 =
16.428
20 × 10
= 82,15 𝑀𝑃𝑎
../Solidworks/Aula 04 -Hibbeler 4.13.SLDPRT
Deformação Inelástica
Os carregamentos provocam o escoamento do material e, com isso, sua deformação
permanente. Um material que exiba esse comportamento é denominado elástico
perfeitamente plástico ou elastoplástico, logo o fator de concentração de tensões é
desprezado.
• 𝜀1→ Concentrações de tensões (deformação elástica);
• 𝜀𝑐→ Escoamento do material (deformação elástica);
• 𝜀2→ Escoamento em toda seção transversal (deformação inelástica)
• 𝜀3→ Ruptura
Exemplo 03:
Uma barra é feita de aço e consideramos que seja elástica perfeitamente plástica, com
𝜎𝑒=250 MPa. Determine (a) o valor máximo da carga P que pode ser aplicada sem provocar
o escoamento do aço e (b) o valor máximo de P que a barra pode suportar. Faça um
rascunho da distribuição de tensão na seção crítica para cada caso.
𝜎𝑚á𝑥 = 𝑘
𝑃
𝐴
∴ 250 = 1,75
𝑃
2 × 32
→ 𝑃 = 9.142,86 𝑁
Relações Geométricas
𝑟
ℎ
=
4
32
= 0,125 𝑒
𝑤
ℎ
=
40
32
= 1,25 → 𝑘 ≅ 1,75
Carga sem provocar o escoamento
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
∴ 250 =
𝑃
2 × 32
→ 𝑃 = 16.000 𝑁
Carga plástica
Material Extra:
• Material extra para estudo:
• Material Prioritário (Hibbeler 7ª Edição):
• Capitulo 4: 4.70, 4.87 e 4.88;
• Material Habilitado:
• Capitulo 4: 4.70 – 4.119;
Revisão:
• Tensão
• Normal → 𝜎 = Τ𝑃 𝐴
• Cisalhamento → 𝜏
• Principio de Saint-Venant
• A medida que nos afastamos da força o diagrama de tensão fica uniforme
• Deformação Elástica
• Deslocamentos → 𝛿 = Τ𝑃𝐿 𝐸𝐴
• Superposição dos Efeitos
• Tensões Térmicas → 𝛿𝑇 = 𝛼∆𝑇𝐿0
• Concentração de Tensões
• Fator de concentração (k)
• Deformação Inelástica
Revisão:
Calcular o CG e as propriedades geométricas (Ix ;Iy ;Io e Ixy) da seção indicada.
SEÇÃO ÁREA (mm²) X (mm) Y (mm)  X (mm³)  Y (mm³)
1 1000 60 117 60.000 117.000
2 800 60 62 48.000 49.600
3 1440 60 6 86.400 8640
 3240 194.400 175.240
Centro de Gravidade
ത𝑋 =
194.400
3240
= 60 𝑚𝑚
ത𝑌 =
175.240
3240
≅ 54,086 𝑚𝑚
Inércia no C.G – (Ix) (Teorema de Stainer)
𝑰𝟏𝒙 =
100 × 10³
12
+ 100 × 10 × 122 − 5 − 54,086 2 ≅ 3.966.504,729 𝑚𝑚4
𝑰𝟐𝒙↑ =
8 × 112 − 54,086 ³
12
+ 112 − 54,086 × 8 × Τ112 − 54,086 2 ² ≅ 517.987,664 𝑚𝑚4
𝑰𝟐𝒙↓ =
8 × 54,086 − 12 ³
12
+ 54,086 − 12 × 8 × Τ− 54,086 − 12 2 ² ≅ 198.784118 𝑚𝑚4
𝑰𝟑𝒙 =
120 × 12³
12
+ 120 × 12 × 54,086 − 6 2 ≅ 3.346.939,29 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 𝐼1𝑥+ 𝐼2𝑥↑+ 𝐼2𝑥↓+ 𝐼3𝑥
𝐼𝑥 = 8.030.215,80 𝑚𝑚
4
Revisão:
Calcular o CG e as propriedades geométricas (Ix ;Iy ;Io e Ixy) da seção indicada.
Inércia no em y – (Iy) (Teorema de Stainer)
𝑰𝟏𝒚 =
10 × 100³
12
≅ 833.333,33 𝑚𝑚4
𝑰𝟑𝒚 =
12 × 120³
12
≅ 1.728.000 𝑚𝑚4
𝑰𝟐𝒚 =
100 × 8³
12
≅ 4.266,67 𝑚𝑚4
𝐼𝑦 = 𝐼1𝑦+ 𝐼2𝑦+ 𝐼3𝑦
𝐼𝑦 = 2.565.600 𝑚𝑚
4
Momento Polar de Inércia (Io)
𝐼0 = 𝐼𝑥+ 𝐼𝑦 = 8.030.215,80 + 2.655.600 = 10.685.815,80 𝑚𝑚4
Produto de Inércia (Ixy)
𝑰𝒙𝒚𝟏 = 0 + 100 × 10 × 60 × 117 ≅ 7.020.000 𝑚𝑚
4
𝑰𝒙𝒚𝟐 = 0 + 100 × 8 × 60 × 62 ≅ 2.976.000 𝑚𝑚
4
𝑰𝒙𝒚𝟑 = 0 + 120 × 12 × 60 × 6 ≅ 518.400 𝑚𝑚
4
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦1+𝐼𝑥𝑦2+𝐼𝑥𝑦3
𝐼𝑥𝑦 = 10.514.400 𝑚𝑚
4
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADO !
Miguel Oliveira