Aula 08 - Momentos Fletores e Cortantes

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GRADUAÇÃO - ENGENHARIA
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL – CCE1682
DSc MIGUEL HENRIQUE DE OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR
Rio de Janeiro, 2021.2
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL
Aula 08 – Momentos Fletores e Cortantes
Ementa
• Momento:
• Distribuição de tensão e convenção de sinais;
• Momento em carga distribuída
• Momento em carga concentrada
• Momento pontual
• Exercícios
• Revisão:
• Momento de Inércia
• Centro de gravidade
• Momento polar de inércia
• Produto de inércia
• Principio de saint Venant
• Deformação elástica
• Tensão x deformação
• Principio da superposição
• Tensões térmicas
• Concentração de tensão
• Deformação torcional
• Tensão linear
• Transmissão de potência
• Tubos de paredes finas
O que é Momento?
• MOMENTO FLETOR 𝑴→ tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo
situado em seu próprio plano 𝑴 = 𝑭 × 𝒅.
• Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de 𝑴 pode ser
assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma
das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça
fletida.
O que é Momento?
• Os carregamentos ao qual a viga é imposta, formam um centro de curvatura em forma
de um arco circular na linha elástica, admitindo que as seções planas permanecem
planas (Beurnoli).
𝜀𝑥 = −
𝑦
𝜌𝑥 𝑘 = 1
𝜌
→ 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜌𝑥 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
Distribuição de tensão e convenção de sinais
A distribuição de tensões acontece ao longo da seção transversal e tem como
origem do braço de alavanca a linha neutra da peça. A convenção de sinais é
arbitrária, contudo a prática apresenta a convenção que os momentos POSITIVOs
tracionam as fibras inferiores e comprimem as superiores, a reciproca para os
momentos NEGATIVOS.
Hipóteses relativas a tensão atuante → Comportamento do Material isotrópico e
linearmente elástico, seguindo as leis de Hooke e as tensões transversais podem
ser desprezadas em relação as tensões de flexão (longitudinais).
Distribuição de tensão
Fórmulas para distribuição de TENSÃO
Elasticidade
𝜎 = 𝐸 × 𝜀𝑥 Deformação 𝜀𝑥 = −
𝑦
𝜌𝑥
𝜎𝑥 = −
𝐸𝑦
𝜌𝑥
Distribuição de tensão
Resultante de TENSÃO
𝜎𝑥 = −
𝐸𝑦
𝜌𝑥
𝐹𝑥 = න
𝐴
𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0 ∴ 𝐹𝑥 = −
𝐸
𝜌𝑥
න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴 = 0
𝑀𝑥 = −න
𝐴
𝑦𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0 ∴ 𝑀𝑥 = −
𝐸
𝜌𝑥
න
𝐴
𝑦² 𝑑𝐴 = 0
Distribuição de tensão
Equação do Momento
𝐼𝑧 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴
𝑀𝑥 = −
𝐸
𝜌𝑥
න
𝐴
𝑦² 𝑑𝐴 ∴ 𝑀𝑥 = −
𝐸
𝜌𝑥
𝐼𝑧
𝜎𝑥 = −
𝐸𝑦
𝜌𝑥
Lembrando que:
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑦
𝐼𝑧
Viga Biapoiada – Carga Distribuída Uniforme
• O DEC será uma reta determinada pelos extremos.
• O DMF será uma parábola do 2º grau, zero nos apoios e
máximo onde Q = 𝑑𝑀
𝑑𝑠
= 0
෍𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
σ𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 − 𝑞𝐿 = 0 ∴ 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 = 𝑞𝐿
෍𝑀𝐴 = 0 → −𝑞 × 𝐿 ×
𝐿
2
+ 𝑉𝐵 × 𝐿 = 0 ∴ 𝑉𝐵 =
𝑞𝐿
2
𝑉𝐴 =
𝑞𝐿
2
෍𝑀𝑠 = 0 → −
𝑞𝐿
2
×
𝐿
2
+ 𝑞 ×
𝐿
2
×
𝐿
4
+𝑀𝑠 = 0 ∴ 𝑀𝑠 =
𝑞𝐿2
4
−
𝑞𝐿2
8
=
𝑞𝐿²
8
Equações da estática (somatório das forças)
Equações da estática (momento na seção “s”)
DMF
DEC
෍𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 − 𝑞 × 𝐿 ×
𝐿
2
+
𝑞𝐿
2
× 𝐿 = 0 ∴ 𝑀𝐴 = 0
෍𝑀𝐵 = 0 → 𝑀𝐵 −
𝑞𝐿
2
× 𝐿 + 𝑞 × 𝐿 ×
𝐿
2
= 0 ∴ 𝑀𝐵 = 0
Viga Biapoiada – Carga Concentrada
• Pelas equações 𝑑𝑀𝑠
𝑑𝑠
= 𝑄𝑠 e
𝑑𝑄𝑠
𝑑𝑠
= −𝑞 𝑠 , no trecho descarregado (q=0 ), o DEC será
constante (derivada de zero é constante) e o DMF será uma reta constante.
• Conclusão → sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto angular e o
DEC uma descontinuidade igual ao valor da carga aplicada.
෍𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
σ𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 − 𝑃 = 0 ∴ 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 = 𝑃
෍𝑀𝐴 = 0 → −𝑃 × 𝑎 + 𝑉𝐵 × 𝐿 = 0 ∴ 𝑉𝐵 =
𝑃𝑎
𝐿
𝑉𝐴 =
𝑃𝑏
𝐿
෍𝑀𝑠 = 0 → −
𝑃𝑏
𝐿
× 𝑎 +𝑀𝑠 = 0 ∴ 𝑀𝑠 =
𝑃𝑎𝑏
𝐿
Equações da estática (somatório das forças)
Equações da estática (momento na seção “s”)
DMF
DEC
෍𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 − 𝑃 ×
𝐿
2
+
𝑃
2
× 𝐿 = 0 ∴ 𝑀𝐴 = 0
෍𝑀𝐵 = 0 → 𝑀𝐵 −
𝑃
2
× 𝐿 + 𝑃 ×
𝐿
2
= 0 ∴ 𝑀𝐵 = 0
Viga Biapoiada – Carga-momento
• O DMF, na seção de aplicação da CARGA-MOMENTO,
sofre uma descontinuidade igual ao momento aplicado.
෍𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
σ𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 = 0
෍𝑀𝐴 = 0 → −𝑀 + 𝑉𝐵 × 𝐿 = 0 ∴ 𝑉𝐵 =
𝑀
𝐿
𝑉𝐴 =
−𝑀
𝐿
෍𝑀𝑠 = 0 → −
𝑀
𝐿
× 𝑎 +𝑀𝑠 = 0 ∴ 𝑀𝑠 =
𝑀𝑎
𝐿
Equações da estática (somatório das forças)
Equações da estática (momento na seção “s”)
DMF
DEC
෍𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 −𝑀 +
𝑀
𝐿
× 𝐿 = 0 ∴ 𝑀𝐴 = 0
෍𝑀𝐵 = 0 → 𝑀𝐵 −
𝑀
𝐿
× 𝐿 +𝑀 = 0 ∴ 𝑀𝐵 = 0
Viga Biapoiada – Carga Triangular Variada
• O DEC será um parabólico do 2º grau com extremos
iguais aos valores obtidos (VA e VB).
• O DMF será uma parábola do 3º grau, zero nos apoios e
máximo onde Q = 𝑑𝑀
𝑑𝑠
= 0
σ𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴=0
σ𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 −
𝑃𝐿
2
= 0 ∴ 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵 =
𝑃𝐿
2
෍𝑀𝐴 = 0 → −
𝑃𝐿
2
×
2𝐿
3
+ 𝑉𝐵 × 𝐿 = 0 ∴ 𝑉𝐵 =
𝑃𝐿
3
𝑉𝐴 =
𝑃𝐿
6
𝑀𝑠 = 0,064𝑃𝐿²
Equações da estática (somatório das forças)
Equações da estática (momento na seção “s”)
DMF
DEC
Principio da Superposição dos Efeitos
• O caso do carregamento indicado, é resolvido imediatamente, empregando-se o
princípio da superposição dos efeitos, somando-se uma carga uniforme PA com
uma carga triangular de taxa máxima (PB – PA) no ponto B.
𝑀𝑠 =
𝑃𝑎𝑏
𝐿
𝑀𝑠 =
𝑞𝐿²
2
𝑥
𝑙
−
𝑥²
𝐿²+
+=
Exemplo
• As reações de apoio e traçar o diagrama de esforços
Material Extra:
• Material extra para estudo:
• Capitulo 6: 6.3, 6.4, 6.13, 6.14, 6.21 e 6.31;
• Material Habilitado:
• Capitulo 6: 6.1 – 6.42;
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADO !
Miguel Oliveira