Algebra linear

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Álgebra Linear na OBMU
Carlos Augusto David Ribeiro
10 de julho de 2006
1 Fatos importantes
• Teorema Espectral Seja A uma matriz real e simétrica
(ou,mais geralmente, uma matriz autoadjunta). Então A é
diagonalizável, com auto valores reais, e com uma matriz de
transição P ortogonal (ie,os vetores de P são ortonormais
dois a dois,PT = P−1).
• Teorema Caley-Hamilton Se PA(x) = det (A− xI) =
anx
n + ...+a1x+a0 é o polinômio caracteŕıstico de A, então
PA(A) = 0.
• Polinômio minimal É o polinômio µ(x) de menor grau
que anula a matriz A. Sobre ele temos:
1. Se um polinômio p anula a matriz A, então µ(x) divide
p(x). Em particular, µ|PA.
2. Todo autovalor de A é raiz de µ(x).
3. A é diagonalizável se e só se µ(x) admite ráızes simples.
• Teorema Min-Max Seja A uma matriz real simétrica. Se-
jam λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn seus autovalores. Então,
λk = min
dimS=n−k+1
(max
x∈S
< Ax, x >
< x, x >
)
.
2 Problemas
Problema 1 Seja X um conjunto com n ≥ 3 elementos, e sejam
A1, A2, ..., Am subconjuntos próprios de X tais que todo par de
elementos de X está contido em exatamente um Ai. Prove que
m ≥ n.
Problema 2 Suponha que, num grupo de pessoas, temos a si-
tuação na qual cada par de pessoas tem exatamente um amigo em
comum. Então existe uma pessoa que é amiga de todo mundo.
Problema 3 Numa competição existem a concorrentes e b júızes,
onde b ≥ 3 é um inteiro ı́mpar. Cada juiz avalia cada um dos
concorrentes como ‘aprovado’ ou ‘reprovado’. Suponha que k é
um inteiro tal que as classificações dadas por 2 júızes quaisquer
coincidem em no máximo k concorrentes. Prove que
k
a
≥ b− 1
2b
.
Problema 4 Sejam A,B ∈ Mnxn(R). Se existe T ∈ Mnxn(C)
tal que TA = BT e detT 6= 0, então existe S ∈ Mnxn(R) tal que
SA = BS e detS 6= 0.
Problema 5 Seja N ∈ Mnxn(R) nilpotente. Mostre que
det(N + P ) = det P , ∀P ∈ Mnxn(R).
Problema 6 Seja N ∈ Mnxn(R) nilpotente de ı́ndice n. Mostre
que não existe X ∈ Mnxn(R) tal que X2 = N .
Problema 7 Sejam A e B matrizes reais quadradas de mesma
dimensão tais que, para todo inteiro positivo k, (A + B)k =
Ak + Bk. Prove que se A é invert́ıvel então B é a matriz nula.
Problema 8 Seja X uma matriz real inverśıvel de ordem n e
XT sua transposta. Sejam λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn os autovalores de
XT X. Definimos a norma de X por ||X|| =
√
λ1 e o fator de
dilatação de X por d(X) =
√
λ1
λ2
. Mostre que, para quaisquer
matrizes A e B inverśıveis, d(AB) ≥ ||AB||
||A||.||B||
.d(B).
Problema 9 Seja A ∈ Mnxn(R) uma matriz simétrica de posto
n − 1. Prove que existe k ∈ {1, 2, ..., n} tal que a matriz resul-
tante da deleção da k-ésima linha e da k-ésima coluna de A tem
posto n− 1.
Problema 10 Seja A uma matriz real nxn simétrica positiva
definida. Seja y ∈ Rn, y 6= 0. Prove que o limite
lim
m→∞
ytAm+1y
ytAmy
existe e é um autovalor de A.
Referências
1.Berkeley Problems in Mathematics, Paulo
Ney e Jorge Nuno Silva, Third Edition.
2.Linear Algebra Problem Book, Paul Halmos.
3.Um curso de álgebra linear, Plácido An-
drade, UFC.
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