AULA 3 concreto protendido e pontes

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Concreto Protendido e Pontes
Perdas da Força de Protensão
Michael Leone Madureira de Souza
michael.madureira@animaeducacao.com.br
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Sumário
1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Introdução
Conceitos
A força de protensão é o elemento fundamental das peças de concreto
protendido e sua magnitude, ao longo de uma armadura, em geral,
varia com que pode-se chamar de perdas de protensão.
O projeto deve prever as perdas da força de protensão em relação ao
valor inicial (Pi = Ap ·σpi), aplicada pelo macaco hidráulico, ocorridas
antes da transferência da protensão ao concreto (perdas iniciais na
pré-tração), durante a transferência (perdas imediatas) e depois, ao
longo do tempo, durante a vida útil da estrutura (perdas
progressivas).
* Perdas iniciais na pré-tração: antes;
* Perdas imediatas na pré e pós-tração: durante, em t = t0;
* Perdas progressivas na pré e pós-tração: depois, em t > t0, t→ ∞.
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Introdução
Conceitos
Segundo a NBR 6118:2014 a força de protensão é dada por:
Pt(x) = P0(x)−∆Pt(x) =
(
Pi−∆P0(x)
)
−∆Pt(x)
Pt(x): força de protensão, no tempo t, na seção x;
P0(x): força de protensão, no tempo t = 0, na seção x;
∆P0(x): perda imediata de protensão, medida a partir de P, na seção x;
∆Pt(x): perda diferida de protensão, medida a partir de P, na seção x;
Pi: força máxima aplicada na armadura de protensão pelo
equipamento de tração.
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Introdução
Conceitos
A NBR 6118 recomenda para a tensão σpi da armadura de protensão
na sáıda do aparelho tensor (macaco) que não sejam ultrapassados os
seguintes valores:
* Pré-Tração
a) σpi = 0,77 fptk e 0,90 fpyk para aços RN;
b) σpi = 0,77 fptk e 0,85 fpyk para aços RB;
* Pós-Tração
a) σpi = 0,74 fptk e 0,87 fpyk para aços RN;
b) σpi = 0,74 fptk e 0,82 fpyk para aços RB;
* Cordoalha engraxada
a) σpi = 0,72 fptk e 0,88 fpyk para aços CP85/105;
b) σpi = 0,80 fptk e 0,88 fpyk para aços RB;
Em cenários onde não há definição estrita da tensão de escoamento
do aço deve ser adotado o valor fpyk = 0,9 · fptk.
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Introdução
Conceitos
Cordoalhas com aderência inicial (pré-tração):
* Perdas imediatas:
a) perdas por deformação da ancoragem;
b) perda por relaxação da armadura até a efetivação da protensão;
c) perda por deformação imediata do concreto;
* Perdas diferidas:
a) perda por retração do concreto;
b) perda por efeito da fluência do concreto;
c) perda por relaxação da armadura de protensão.
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Introdução
Conceitos
Cordoalhas com aderência posterior e sem aderência
(pós-tração):
* Perdas imediatas:
a) perda por atrito;
b) perda por deformação da ancoragem;
c) perda por deformação imediata do concreto;
* Perdas diferidas:
a) perda por retração do concreto;
b) perda por efeito da fluência do concreto;
c) perda por relaxação da armadura de protensão.
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Iniciais
Conceitos
Consideram-se iniciais as perdas ocorridas na pré-tração, antes da
liberação do dispositivo de tração (cabeceiras das pistas de
pré-moldados) e decorrentes de:
a) Atrito nos pontos de desvios da armadura poligonal, cuja avaliação
deve ser feita experimentalmente, em função do tipo de aparelho de
desvio empregado.
OBS: para armaduras sem desvios, protensão constante, caso comum
dos pré-moldados com armaduras aderentes, esta perda não existe.
b) Escorregamento da armadura na ancoragem, cuja determinação deve
ser experimental ou devem ser adotados os valores indicados pelo
fabricante dos dispositivos de ancoragem.
c) Relaxação inicial da armadura, função do tempo decorrido entre o
alongamento da armadura (protensão) e a liberação do dispositivo de
tração.
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Perdas Iniciais
Conceitos
Consideram-se iniciais as perdas ocorridas na pré-tração, antes da
liberação do dispositivo de tração (cabeceiras das pistas de
pré-moldados) e decorrentes de:
d) Retração inicial do concreto, considerado o tempo decorrido entre a
concretagem do elemento estrutural e a liberação do dispositivo de
tração.
As empresas de lidam com a fabricação de pré-moldados podem, em
função da experiência adquirida nas repetições dos ciclos diários das
operações, compensar as perdas iniciais com acréscimos controlados
da força inicial de protensão.
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Imediatas
Pré-tração
São as perdas que acontecem durante a transferência da força de
protensão para as seções do concreto no instante t = t0.
No caso da pré-tração a força aplicada sofre perda imediata devido
ao encurtamento imediato do concreto durante a transferência da
protensão, por aderência, ao concreto.
A variação da força de protensão deve ser calculada em regime
elástico, considerando-se a deformação da seção homogeneizada.
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Perdas Imediatas
Pré-tração
Figure: Viga pré-moldada com pré-tração.
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Perdas Imediatas
Pré-tração
Encurtamento do concreto, na posição de Ap, na seção central
x = L/2, no instante t = t0:
∆εc =
1
Ec
·
(
Npi
A′c
+
Npi·e2p
I′c
+g1 · L
2
8 ·
ep
I′c
)
Perda de protensão na seção central:
∆εc = ∆εp → ∆εp = ∆σpEp compatibilidade)
Resulta em:
∆σp =
Ep
Ec
·
(
Npi
A′c
+
Npi·e2p
I′c
+g1 · L
2
8 ·
ep
I′c
)
onde ∆P0 = ∆σp ·Ap (perda da força de protensão imediata.
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Perdas Imediatas
Pré-tração
As variáveis são dadas por:
g1 representa o peso próprio do elemento;
I′c é a inércia da seção homogeneizada;
Ec é o módulo de elasticidade do concreto;
A′c a área da seção, homogeneizada;
Ep módulo de elasticidade do aço;
ep excentricidade na seção homogeneizada.
Homogeneizar a seção é trabalhar como as propriedades da seção
considerando somente um material, ou toda de aço ou toda de
concreto. Nesse sentido é necessário adequar a o parâmetro
geométrico (área, inércia, etc.) com a razão entre os módulos de
elasticidade entre os materiais. Ex.:
Ac =
Ec
Es
·As
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Perdas Imediatas
Pós-tração
Para os sistemas usuais de protensão com pós-tração, as perdas
imediatas durante a transferência da força, no instante t = t0 são
dadas por:
1) Perdas devidas ao atrito entre as armaduras e a bainha ou o
concreto durante o alongamento do aço.
2) Perdas devido à acomodação da ancoragem (dispositivos de
ancoragem com deslizamento da armadura), recuo do cabo.
3) Encurtamento imediato do concreto em elementos estruturais com
protensão sucessivas de cabos.
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas por Atrito
Conceitos
Nos elementos estruturais com pós-tração os cabos utilizados
possuem, na sua maioria, traçados curvos ou poligonais.
Durante a operação de protensão, ao se deslocarem no interior das
bainhas (ou do concreto), sofrem perdas por atrito, nos pontos de
contato, reduzindo a força de protensão.
De acordo com a NBR 6118:2014 a perda por atrito pode ser
estimada por:
∆P(x) =Pi ·
[
1− e−(µ·Σα+k·x)
]
onde:
Pi é a força aplicada pelo aparelho tensor na posição x = 0
(ancoragem ativa);
x é a abscissa do ponto onde se calcula ∆P, medida a partir da
ancoragem, em metros;
Σα é a soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto da
abcissa x, em radianos;
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Perdas por Atrito
Conceitos
Σα é a soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto da
abcissa x, em radianos;
µ é o coeficiente de atrito entre o cabo e bainha. Na falta de dados
experimentais, pode ser estimado como se segue: (valores em
1/radianos)
* µ = 0,5 entre cabo e concreto (sem bainha);
* µ = 0,3 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha
metálica;
* µ = 0,2 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica;
* µ = 0,1 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada;
* µ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada
(engraxada).
k é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não
intencionais do cabo. Na falta de dados experimentais, k = 0,01 ·µ
/m.
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Perdas por Atrito
Conceitos
O diagrama P0(x) pode ser considerado como trechos de reta,
conforme a geometria do traçado do cabo.
Na maioria dos casos, lajes e vigas, x pode ser tomado como a
abscissa do ponto do cabo em projeção horizontal.
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Perdas por Atrito
Exemplo - Cabo parabólico simétrico com duas ancoragens ativas
Exemplo: Perdas por atrito em cabos usuais utilizados em vigas e
lajes isostáticas biapoiadas.
∆P0(x = L/2) = Pi ·
[
1− e−(µ·α+k·L/2)
]
Figure: Exemplo 1.
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Perdas por Atrito
Exemplo - Cabo parabólico com ancoragens ativa e passiva
Exemplo: Perdas por atrito em cabos usuais utilizados em vigas e
lajes isostáticas biapoiadas.
Figure: Exemplo 2.
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Perdas por Atrito
Exemplo - Cabo parabólico-reto-parabólico com duas ancoragens
ativas
Exemplo: Perdas por atrito em cabos usuais utilizados em vigas e
lajes isostáticas biapoiadas.
Figure: Exemplo 3. 24 / 79
Perdas por Atrito
Exerćıcio 1
Exerćıcio: Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo
dado na figura abaixo logo após a efetivação da protensão. Considerar
que a tensão inicial de protensão no cabo nas extremidades da peça
gera uma força de protensão de 201 kN e que ambas ancoragens são
ativas. Adote µ = 0,23, k = 0,01 ·µ e α = 6,84o.
Figure: Exerćıcio 1.
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 1
Seção A: x = 0, α = 0, µ = 0,23 e k = 0,23 ·0,01 = 0,0023.
∆P0(x = 0) = 201 ·
[
1− e−(0,23·0+0,0023·0)
]
= 0 kN
P0(x = 0) = 201−0 = 201 kN
Seção B: x = 15 m, α = 0+6,84o = 6,84o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 15) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
6,84·π
180 +0,0023·15)
]
= 12,1 kN
P0(x = 15) = 201−12,1 = 188,9 kN
Seção C: x = 24 m, α = 6,84o +0 = 6,84o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 24) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
6,84·π
180 +0,0023·24)
]
= 15,9 kN
P0(x = 24) = 201−15,9 = 185,1 kN
As seções D e E são simétricas a B e A respectivamente.
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 2
Exerćıcio: Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo
dado na figura abaixo logo após a efetivação da protensão. Considerar
que a tensão inicial de protensão no cabo nas extremidades da peça
gera uma força de protensão de 201 kN e que a ancoragem em A é
ativa e E passiva. Adote µ = 0,23, k = 0,01 ·µ e α = 6,84o.
Figure: Exerćıcio 2.
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 2
Seção A: x = 0, α = 0, µ = 0,23 e k = 0,23 ·0,01 = 0,0023.
∆P0(x = 0) = 201 ·
[
1− e−(0,23·0+0,0023·0)
]
= 0 kN
P0(x = 0) = 201−0 = 201 kN
Seção B: x = 15 m, α = 0+6,84o = 6,84o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 15) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
6,84·π
180 +0,0023·15)
]
= 12,1 kN
P0(x = 15) = 201−12,1 = 188,9 kN
Seção C: x = 24 m, α = 6,84o +0 = 6,84o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 24) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
6,84·π
180 +0,0023·24)
]
= 15,9 kN
P0(x = 24) = 201−15,9 = 185,1 kN
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 2
Seção D: x = 33 m, α = 6,84o +0 = 6,84o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 33) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
6,84·π
180 +0,0023·33)
]
= 19,7 kN
P0(x = 33) = 201−19,7 = 181,3 kN
Seção E: x = 48 m, α = 6,84o +6,84o = 13,68o, µ = 0,23 e k = 0,0023.
∆P0(x = 48) = 201 ·
[
1− e−(0,23·
13,68·π
180 +0,0023·48)
]
= 30,6 kN
P0(x = 48) = 201−30,6 = 170,4 kN
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 3
Exerćıcio: Calcular as perdas na força de protensão nas seções A e B
logo após a efetivação da protensão. Considerar que a tensão inicial
de protensão no cabo nas extremidades da peça gera uma força de
protensão de 3976 kN e que ambas ancoragens são ativas. Adote
µ = 0,2 e k = 0,01 ·µ.
Figure: Exerćıcio 3.
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Perdas por Atrito
Exerćıcio 3
Seção A: x = 12 m, α = 0+10o = 10o, µ = 0,2 e k = 0,002.
∆P0(x = 12) = 3976 ·
[
1− e−(0,2· 10·π180 +0,002·12)
]
= 227,4 kN
P0(x = 12) = 3976−227,4 = 3748,6 kN
Seção B: x = 60 m, α = 10o +7,5o +15o +7,5o = 40o, µ = 0,2 e
k = 0,002.
∆P0(x = 60) = 3976 ·
[
1− e−(0,2· 40·π180 +0,002·60)
]
= 909,1 kN
P0(x = 60) = 3976−909,1 = 3066,9 kN
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas por Acomodação da Ancoragem
Conceitos
Na pós-tração a força de protensão é transferida à seção de concreto
através das ancoragens, que podem ser ativas e passivas.
Nos casos de fios e cordoalhas a ancoragem é feita por meio de
cunhas de aço cuja eficiência deve ser comprovada através de ensaios.
Esse conjunto é constitúıdo por:
a) Cunhas: peças de metal tronco-cônicas com dentes que ”mordem” o
aço de protensão.
b) Porta-cunhas: peças de metal externamente ciĺındricas, com um furo
tronco-cônimo que aloja as cunhas. O porta-cunhas transfere a força
da cordoalha para a placa de apoio.
c) Placas de apoio: placas de metal que recebem as forças do conjunto
cunhas/porta-cunhas e as transferem de forma distribúıda para a seção
de concreto.
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Perdas por Acomodação da Ancoragem
Conceitos
Figure: Ilustração de ancoragem por cunhas, porta-cunhas e placas de apoio.
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Perdas por Acomodação da Ancoragem
Conceitos
O funcionamento das ancoragens por meio de cunhas exige uma
mobilização mecânica simultânea do conjunto, provocando sempre
pequenos deslocamentos da cordoalha.
Esses deslocamentos são denominados acomodação da ancoragem,
representados por ∆w, e provocam perdas de protensão.
Ao se transferir a força de protensão para a ancoragem, a extremidade
do cabo sobre um deslocamento ∆w, voltando para dentro da bainha.
Essa movimentação gera forças de atrito ao longo de um determinado
trecho do cabo w definido pela extremidade (ancoragem) e por um
ponto de equiĺıbrio (ou bloqueio) a partir do qual deixa de existir a
perda de protensão.
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Perdas por Acomodação da Ancoragem
Conceitos
Na determinação do ponto de equiĺıbrio w e das perdas
correspondentes, considera-se uma condição de compatibilidade
geométrica: o encurtamento do cabo (perda de alongamento) é
equivalente ao deslocamento (acomodação) ocorrido ∆w.
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Perdas por Acomodação da Ancoragem
Conceitos
Na determinação do ponto de equiĺıbrio w e das perdas
correspondentes, considera-se uma condição de compatibilidade
geométrica: o encurtamento do cabo (perda de alongamento) é
equivalente ao deslocamento (acomodação) ocorrido ∆w.
A partir do conhecimento de w podem ser determinados os valores de
P0(x = w), ∆P0(x = 0) e P0(x = 0).
As perdas por acomodação da ancoragem são particularmente
importantes em cabos curtos e também em cabos retos com baixos
coeficientes de atrito.
Essa verificação não fará parte do nosso curso.
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no TempoRetração
Fluência
Relaxação
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Conceitos
Quando se executa a protensão de uma peça com aderência posterior
é comum fazê-lo por etapas.
Quando um cabo é protendido provoca-se uma deformação elástica
no concreto (via de regra de encurtamento) que, por sua vez, causa
uma perda de protensão nos demais cabos já protendidos.
No cenário em que todos os cabos são protendidos ao mesmo tempo,
não há perda alguma de protensão por deformação imediata do
concreto (no caso da pós-tração).
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Conceitos
De acordo com a NBR 6118:2014 pode ser considerada uma perda
média de protensão para todos os cabos pós-tracionados, calculada
pela expressão:
∆σp =
(n−1)
2 ·n
·α · (σcp +σcg)
n é o número de cabos protendidos sucessivamente um a um;
α =
Ep
Eci
relação entre os módulos de elasticidade do aço e concreto,
Ep = 200 GPa e Eci = 5600 ·
√
fck j, em MPa
σcp a tensão no concreto no ńıvel do c.g. de Ap, devida à protensão
simultânea dos n cabos
σcg tensão no concreto no ńıvel do c.g. de ∆p, devida à ação das
cargas permanentes mobilizadas pela protensão.
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Conceitos
Ao detalhar a formulação proposta anteriormente é posśıvel
reescrevê-la da seguinte forma:
∆σp,medio =
(n−1)
2 ·n
·α ·
(
Np
Ac
+
Np · e2
Ic
−
Mg · e
Ic
)
Np é a força total de protensão (soma de todos os cabos)
Ac a área da seção transversal analisada
e excentricidade do cabo representante (distância ao c.g. da peça da
força resultante de protensão)
Ic momento de inércia da seção considerada
Mg é a parcela de peso próprio mobilizada durante a protensão.
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo
A estrutura esquematizada representa uma viga protendida com 10
cabos de 7 φ 12,7 mm em pós-tração. Determinar a perda média de
protensão devido ao encurtamento imediato do concreto (∆σp).
Considere:
a) Os cabos são protendidos sequencialmente 2 a 2 em 2 etapas: 6 cabos
aos 14 dias e 4 cabos aos 28 dias;
b) Ac = 2,678 m2, yin f = 1,454 m, Ic = 2 m4, Ep = 200 GPa,
AP = 1,014 cm2 /cordoalha;
c) CPII 30;
d) Na protensão foi mobilizado um momento fletor Mg = 5000 kN.m
e) Na seção em análise atuam as seguintes forças de protensão, já
descontadas as perdas por atrito e acomodação das ancoragens:
Cabo 1: P0(x) =−924 kN
Cabo 2: P0(x) =−945 kN
Cabo 3: P0(x) =−934 kN
Cabo 4: P0(x) =−892 kN
Cabo 5: P0(x) =−913 kN
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo 1
Figure: Exemplo 1
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo 1
Módulo de elasticidade do concreto:
Após 28 dias (Etapa 2): Eci = 5600 ·
√
30 = 30672 MPa
Após 14 dias (Etapa 1): Eci = 5600 ·
√
fck 14
fck 14 = β1 · fck → β1 = e0,25·[1−(28/14)
1
2 ] = 0,9016
fck 14 = 0,9016 ·30 = 27,048 MPa
Portanto, após 14 dias: Eci = 5600 ·
√
27,048 = 29124 MPa
Como são 2 etapas de protensão, para simplificar será tomado um Eci
proporcional ao número de cabos protendidos:
Eci =
(6·29124+4·30672
6+4
)
= 29743,2 MPa
Cálculo do parâmetro α:
α =
Ep
Eci
= 20000029743,2 = 6,724
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo 1
Excentricidade dos cabos no C.G. da seção:
Excentricidade dos cabos (Etapa 1): ep1 = ep2 = ep3 = yin f − y0
ep1 = ep2 = ep3 = 1,454−0,08 = 1,374 m
Excentricidade dos cabos (Etapa 2): ep4 = ep5 = 1,454−0,2 = 1,254 m
C.G. de Ap: yp =
Σ(yi·Ai)
ΣAi
= 8·(6·1,014)+20·(4·1,014)10·1,014 = 12,8 cm = 0,128 m
Excentricidade do conjunto de cabos:
ep = yin f − yp = 1,454−0,128 = 1,326 m
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo 1
Variação da tensão média na protensão ∆σp:
Carga total de protensão Np:
Np = 2 · (924+945+934+892+913) = 9216 kN.
Contribuição dos cabos: Np · e2p = 9216 ·1,3262 = 16216,4 kN.m2
Portanto: ∆σp,medio =
(5−1)
2·5 ·6,724 ·
(
9216
2,678 +
9216·1,3262
2 −
5000·1,326
2
)
∆σp,medio = 22147,7 kN/m2
Perda de força no Cabo 2 devido ao relaxamento do aço:
Pperda = 7 ·1,014 ·10−4 ·22147,7 = 15,7 kN
Então: P0,2 = 945−15,7 = 929,3 kN
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Conceitos
No caso das peças protendidas com (pré-tração, como, em geral, a
execução é realizada simultaneamente para todos os cabos, as perdas
por encurtamento imediato do concreto é estimado por:
∆σp,medio = α ·
(
Np
Ac
+
Np · e2
Ic
−
Mg · e
Ic
)
Np é a força total de protensão (soma de todos os cabos)
Ac a área da seção transversal analisada
e excentricidade do cabo representante (distância ao c.g. da peça da
força resultante de protensão)
Ic momento de inércia da seção considerada
Mg é a parcela de peso próprio mobilizada durante a protensão.
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo
Calcular a perda de protensão por deformação imediata dos cabos de
uma viga submetida a pré-tração com a seção trasnversal dada na
figura abaixo. A peça conta com 3 cordoalhas de φ 12,7 mm de
CP190 RB. Adote que a relação entre os módulos de elasticidade do
aço e concreto seja α = 7 e Mg = 37,5 kN.m com σp(t) = 1402 MPa.
Figure: Exemplo 2
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Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Exemplo 2
Caracteŕısticas geométricas da seção:
Área: Ac = b ·h = 0,2 ·0,6 = 0,12 m2
Momento de inércia: Ic = b·h
3
12 =
0,2·0,63
12 = 0,0036 m
4
Excentricidade dos cabos no C.G. da seção:
ep = yin f − yp = 0,3−0,05 = 0,25 m
Variação da tensão média na protensão ∆σp:
Carga total de protensão: Np = Ap ·σp(t) = 3 · (1,014 ·10−4) ·1402 ·103
Np = 426,5 kN.
Portanto: ∆σp = 7 ·
(
426,5
0,12 +
426,5·0,252
0,0036 −
37,5·0,25
0,0036
)
= 58481,6 kN/m2
Perda de força no devido ao relaxamento do aço:
Pperda = 3 ·1,014 ·10−4 ·58481,6 = 17,8 kN
Então: P0 = 426,5−17,8 = 408,7 kN
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Diferidas no Tempo
Conceitos
A força de protensão precisa ser controlada em dois cenários:
1) Execução da estrutura;
2) Durante o peŕıodo da vida útil da estrutura.
É necessário o cálculo da diminuição da força para que seja posśıvel
verificar o comportamento estrutural da peça protendida no
atendimento às demandas dos Estado Limites aplicáveis com a força
de protensão restante.
A redução da força com o tempo está vinculada ao comportamento
do concreto, que sofre retração na secagem e fluência quando
tensionado permanentemente.
O material aço também sofre reduções de força quando submetido a
deformações elevadas durante um tempo longo, denominada
relaxação. Esse efeito é influenciado, entre outros aspectos, pela
qualidade do material.
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Perdas Diferidas no Tempo
Conceitos
Adota-se que a deformação do aço de protensão seja a mesma que a
do concreto em sua superf́ıcie de contato, εc = εp para qualquer
ponto em análise.
Após a liberação da protensão a tensão de tração no cabo se altera ao
longo do tempo devido aos fenômenos reológicos do aço e concreto.
De forma simplificada:
∆σp(t,t0) = ∆σps(t,t0)+∆σpc(t,t0)+∆σpr(t,t0)
onde os efeitos de retração (”shrinkage” - s), fluência (”creep” - c) e
relaxação (r)
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Perdas Diferidas no Tempo
Conceitos
Retração:
∆σps(t,t0) = εcs(t,t0) ·Ep
Fluência:
∆σpc(t,t0) =
σcgp
Ec
·ϕ(t,t0) ·Ep
Relaxação:
∆σpr(t,t0) = Ψ(t,t0) ·σpi → Ψ(t,t0) = Ψ1000 ·
(
t− t0
41,67
)0,15
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
O concreto sofre variações dimensionais ao ser colocadoem ambiente
com diferentes umidades relativas: contrai-se ao ser submetido à
secagem ou expande-se ao ser novamente molhado.
Essa instabilidade dimensional é resultante das mudanças sofridas
pela pasta de cimento hidratada e, no caso da retração,
principalmente, pela perda de água que ocorre à medida que a
umidade relativa do ambiente é reduzida.
Entre os principais fatores que influenciam esse fenômeno estão:
a) tipo de cimento;
b) tipo de agregado;
c) dosagem adotada;
d) uso de aditivos;
e) geometria da peça;
f) tipo de cura;
g) umidade relativa do ambiente;
h) tempo de exposição ao meio ambiente.
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
Nas práticas de projeto e construção a retração pode ser controlada
de diversas maneiras:
* Utilização de concretos mais planejados com menor relação
água/cimento, granulometrias adequadas, consistências mais secas e
temperatudas adequadas no lançamento;
* Curas eficientes para evitar evaporações rápidas;
* Colocação de armaduras adequadas para reduzir e distribuir as
aberturas das fissuras nos casos de retração restringida;
* Planejamento das concretagens com juntas de contração que
minimizam os efeitos da retração.
No caso de estruturas já protendidas a retração, entendida como
uma deformação normal de encurtamento, provoca um afrouxamento
da armadura e portanto, uma perda da força de protensão.
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
A retração do concreto depende principalmente, segundo a
NBR6118:2014 da a) umidade relativa do ambiente, b) da
consistência do concreto no lançamento e c) da espessura fict́ıcia da
peça.
A espessura fict́ıcia h f ic pode ser calculada por:
h f ic = γ ·
2 ·Ac
µar
γ coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente (U %),
γ = 1+ e−7,8+0,1·U , para U ≤ 90%
Ac a área da seção transversal do concreto;
µar parte do peŕımetro externo da seção transversal da peça em
contato com a atmosfera.
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
Após o cálculo da espessura fict́ıcia é posśıvel utilizar a tabela da
NBR 6118:2014 para obter o valor da deformação espećıfica por
retração, associada a uma idade de concreto.
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Conceitos
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Exemplo
Calcule a perda na força de protensão por retração do concreto que
um cabo sofrerá após sua viga, b = 0,86 m, h = 2 m, ser protendida
em um ambiente de umidade relativa de 75 % aos 5 anos de idade.
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Perdas Diferidas no Tempo - Retração
Exemplo
Área de concreto: Ac = b ·h = 0,86 ·2 = 1,72 m2
Coeficiente γ: γ = 1+ e−7,8+0,1·U = γ = 1+ e−7,8+0,1·0,75 ≈ 1
Peŕımetro: µar = 2 · (b+h) = 2 · (0,86+2) = 5,72 m
Espessura fict́ıcia: h f ic = γ · 2·Acµar = 1 ·
2·1,72
5,72 = 0,60 m
Utilizando a tabela para peça de concreto protendida com 5 dias de idade:
εcs(t, t0) =−0,32o/oo
Portanto: ∆σps(t, t0) = εcs(t,t0) ·Ep =
0,32
1000
·200000 = 64 MPa
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Conceitos
Quando o concreto é submetido a um estado de tensão σc, ele sofre
uma deformação imediata representada pela Lei de Hooke, εc =
σc
Ec
.
Mantido o estado de tensão, o concreto continua se deformando,
lentamente, ao longo do tempo.
O aumento da deformação sob tensão permanente é denominado
deformação por fluência do concreto, representada por εcc.
Denomina-se coeficiente de fluência ϕ a relação entre a deformação
por fluência εcc e a deformação imediata, εc.
εcc = ϕ ·
σc
Ec
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Conceitos
egundo a NBR6118:2014 a deformação por fluência do concreto
envolve duas partes, sendo uma lenta (parte reverśıvel e parte
irreverśıvel) e outra rápida (irreverśıvel).
Para o cálculo dos efeitos desse fenômeno nas peças de concretos
quando as tensões no concreto são as de serviço, admitem-se as
seguintes hipóteses:
1) a deformação εcc varia linearmente com a tensão aplicada;
2) para acréscimos de tensão aplicados em instantes distintos, os
respectivos efeitos de fluência se suporpõem;
3) a fluência rápida produz deformações constantes ao longo do tempo;
4) a parte reverśıvel da deformação lenta depende apenas da duração do
carregamento;
5) o coeficiente de deformação lenta irreverśıvel depende de diversos
parâmetros, tais como umidade relativa (U), consistência do concreto
no lançamento, espessura fict́ıcia (h f ic) e idade do concreto nos
diversos instantes de tempo.
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Conceitos
6) para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreverśıvel em
função do tempo, correspondentes a diferentes idades do concreto no
momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras,
por deslocamento paralelo ao eixo das deformações.
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Conceitos
Supondo fluência pura e que a ação causadora da deformação seja
constante, assim:
∆σpc(t, t0) =
σcgp
Ec
·ϕ(t, t0) ·Ep
σcgp =
Np
Ac
+
Np · e2p
Ic
+
ΣMg, i · ep
Ic
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Exemplo
Calcule a perda na força de protensão devido à fluência do concreto
que um cabo sofrerá após sua viga, b = 0,86 m, h = 2 m, ser
protendida em um ambiente de umidade relativa de 75 % aos 5 anos
de idade. Adote cimento C30, Ec = 30672 MPa e σcgp = 4 MPa.
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Perdas Diferidas no Tempo - Fluência
Exemplo
Área de concreto: Ac = b ·h = 0,86 ·2 = 1,72 m2
Coeficiente γ: γ = 1+ e−7,8+0,1·U = γ = 1+ e−7,8+0,1·0,75 ≈ 1
Peŕımetro: µar = 2 · (b+h) = 2 · (0,86+2) = 5,72 m
Espessura fict́ıcia: h f ic = γ · 2·Acµar = 1 ·
2·1,72
5,72 = 0,60 m
Utilizando a tabela para peça de concreto protendido com 5 dias de idade
e cimento C30: ϕ(t, t0) = 2,4
Portanto: ∆σpc(t, t0) =
σcgp
Ec
·ϕ(t, t0) ·Ep
∆σpc(t, t0) = 430672 ·2,4 ·200000 = 62,6 MPa
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1 Introdução
2 Perdas Iniciais
3 Perdas Imediatas
Perdas por Atrito
Perdas por Acomodação da Ancoragem
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
4 Perdas Diferidas no Tempo
Retração
Fluência
Relaxação
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Os aços protendidos quando ancorados com comprimentos constantes
(ou deformações constantes), sob tensões elevadas (acima de 0,5 fptk)
sofrem perdas de tensões.
Esse fenômeno é denominado relaxação.
Os fatores mais importantes que influenciam a relaxação são as
caracteŕısticas metalúrgicas do aço, tais como composição qúımica,
tratamento durante a fabricação (mecânicos, térmicos), a tensão
atuante e a temperatura ambiente.
Denominam-se perdas por relaxação pura do aço protendido os
valores medidos nas condições de deformação constante
(comprimento ancorado constante).
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
A intensidade da relaxação pura do aço deve ser determinada,
conforme NBR6118:2014 pelo coeficiente Ψ(t, t0) da seguinte forma:
Ψ(t, t0) =
∆σpr(t, t0)
σpi
→ ∆σpr(t, t0) = Ψ(t, t0) ·σpi
∆σpr(t, t0) representa a perda de tensão por relaxação pura desde o
instante t0 do estiramento da armadura até o instante considerado.
σpi é a tensão de tração no aço provocada pela protensão e pelas
ações permanentes aplicadas.
σpi = σp0 +∆σp0 onde σp0 =
P0
Ap
e ∆σp0 = ΣMg ·
ep ·α
Ic
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Os valores da relaxação pura são fornecidos nas especificações
correspondentes dos aços de protensão.
Nos projetos de estruturas protendidas, os valores médios da relaxação
pura, medidos após 1000 horas à temperatura constante de 20 oC,
para perdas de tensãoreferidas a valores básicos da tensão inicial de
50% a 80% da resistência caracteŕıstica fptk (Ψ1000) são dados por:
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Figure: Valores dados em [%]
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Os valores correspondentes a tempos diferentes de 1000 horas,
sempre a 20 oC, podem ser determinados a partir da seguinte
expressão, na qual o tempo deve ser expresso em dias:
Ψ(t, t0) = Ψ1000 ·
(
t− t0
41,67
)0,15
A relaxação pura final, admitida como estabilizada após 30 anos,
pode ser tomada como aproximadamente igual a duas vezes os
valores de 1000 horas:
Ψ(∞, t0) = 2,5 ·Ψ1000
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Figure: Valores dados em [%]
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Conceitos
Nas peças de concreto protendido o comprimento entre os pontos de
ancoragem dos cabos sofre redução devido aos encurtamentos
retardados do concreto (retração + fluência).
As perdas por relaxação do aço nas peças de concreto protendido
denominam-se perdas por relaxação relativa, representada por
∆σpr(t, t0)rel.
A redução do comprimento ancorado diminui o valor da perda por
relaxação. Nesse sentido as perdas por relaxação relativa são
menores que as obtidas por relaxação pura, e portanto, não farão
parte do escopo da disciplina.
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Exemplo
Calcular a perda por relaxação de um cabo que na seção em que está
sendo analisado possui uma tensão no instante inicial (após as perdas
iniciais) de 1247 MPa. Adote a utilização do aço CP190 RB.
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Perdas Diferidas no Tempo - Relaxação
Exemplo
Dada tensão inicial σp0 = 1247 MPa e fptk = 1900 MPa:
Razão =
σp0
fptk
=
1247
1900
= 0,656
Interpolar valores para obter Ψ1000
Ψ1000 = 1,3+
2,5−1,3
0,7−0,6
· (0,656−0,6) = 1,972%
Valores de relaxação estabilizada:
Ψ(∞, t0) = 2,5 ·Ψ(t, t0) = 2,5 ·1,972 = 4,93%
Portanto, a perda total por relaxação:
∆σpr(t, t0) = 0,0493 ·1247 = 61,5 MPa
Quanto seria a perda total na força de protensão por efeitos
reológicos do concreto protendido para essa viga?
∆σp(t,t0) = ∆σps(t,t0)+∆σpc(t,t0)+∆σpr(t,t0)
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	Introdução
	Perdas Iniciais
	Perdas Imediatas
	Perdas por Atrito
	Perdas por Acomodação da Ancoragem
	Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
	Perdas Diferidas no Tempo
	Retração
	Fluência
	Relaxação