Prova 1 Estatística I 2021-II

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 : Estatística I - 2021-II (Prof. Hugo Pedro Boff
Prova 1 - 14 Janeiro 2021
Responder 4 Questões
1. Sejam X1,X2, . . ,X9 v.a.’s IID (Independentes e Identicamente Distribuídas). Calcule
PS  5 se:
(a) S  X1 . . .X9 e a distribuição dos X s é Bernoulli2/3. Interprete a probabilidade
obtida;
(b) S  X1  X2  X3 e a distribuição dos X´s é Geométrica1/3. Interprete a
probabilidade obtida.
2. Duas gavetas contém medalhas de Ouro, Prata e Bronze. A gaveta G1, contém 4
medalhas de Ouro, 3 de Prata e 3 de Bronze. A gaveta G2 contém 2 de Ouro, 4 de Prata e 2 de
Bronze.
(a) Se uma gaveta é selecionado ao acaso e dela são retiradas 4 medalhas, calcule a
probabilidade de obter 2 Ouro, 1 Prata e 1 Bronze;
(b) Se uma medalha de Ouro é retirada ao acaso de uma das gavetas, calcule a probabilidade
que ela provenha de G1.
3. (a) Seja X  Unif0,1 e a v.a. mista Y  minX, 2/3. Calcule EY;
(b) Se X1,X2, . . . ,Xn são v.a.´s IID N0,1, e U  X1
2  X2
2 . . .Xn2, calcule
EU e VU.
4. O peso (em gr.) do café empacotado por uma máquina é uma v.a. N500, 2.
(a) Qual deve ser o valor do desvio-padrão  para que, 95% dos pacotes tenham, no máximo,
505 gramas;
(b) Com a máquina regulada para aquele desvio-padrão, se 5 pacotes devem ser escolhidos
ao acaso, dê a probabilidade que no máximo 1 pacote tenha mais de 502 gramas.
SOLUÇÕES:
1. (a) Temos S  B9,2/3.
PS  5  95 
2
3 
5 13 
4  0.20485
Interpretação: 20,48% é a probabilidade de obter 5 sucessos em 9 provas de Bernoulli,
quando a probabilidade de sucesso é 2/3.
(b) Neste caso, S  Pascal3,1/3
PS  5  42 
1
3 
3 23 
2  0.098765
Interpretação: 9,87% é a probabilidade de obter o terceiro sucesso na quinta prova,
quando a probabilidade de sucesso é 1/3.
2. G1  4Ouro, 3Prata, 3Bronze ; G2  2Ouro, 4Prata, 2Bronze
(a) Seja o evento A  2Ouro, 1Prata, 1Bronze].
PA  PA,G1  PA,G2
 PG1PA  G1  PG2PA  G2
 1
2
4
2
3
1
3
1
10
4
 1
2
2
2
4
1
2
1
8
4
 1
2
0.25714  1
2
0.11429
 0.18572
(b) PG1  Ouro  PG1.POuro  G1
POuro
POuro  POuro,G1  POuro,G2
 PG1POuro  G1  PG2POuro  G2
 1
2
4
10
 1
2
2
8
 0.325
 PG1  Ouro 
1
2
4
10
1
2
4
10
 1
2
2
8
 0.200
0.325
 0.61538
 0.61538
3. (a) Gráfico de Y  minX, 2/3
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X
Y
Distribuição acumulada de Y: FYy  PY  y
FYy 
PX  y  y ; 0  y  2/3
1 ; x  2/3
Densidade de Y:
fYy 
1 ; 0  y  2/3
P2/3  X  1  1/3 ; y  2/3
Devemos calcular: EY  
0
2/3
ydy  2/3PY  2/3
 12 y
2
0
2/3  2/31/3
 12 2/3
2  2/9  2/9  2/9
 4/9
 0.444. . .
(b) Temos: U  2n. Por conseguinte:
EU  n
VU  2n.
4. X  N500,2 peso do pacote de café (gramas)
(a) Regulagem do desvio-padrão:
PX  505  PZ  505500 
 PZ  5 
Temos, pela tabela da Normal-padrão: PZ  1.645  0.95
Logo, 5  1.645   
5
1.645
  3. 04 gramas
(b) Temos agora X  N500, 3.042
PX  502  PZ  5025003.04   PZ 
2
3.04 
 PZ  0.65789
 
0.65789

1
2
e
1
2
z2dz
 0.2553
Defina: Y  B5 ,0. 2553 Número de pacotes com mais de 502 gramas em 5
provas de Bernoulli com probabilidade de sucesso 25,53%.
Devemos calcular:
PY  1  PY  0  PY  1
 50 0.2553
00.74475  51 0.2553
10.74474
 0.22904  0.3926
 0.62164