Aula 9 Mínimos Quadrados

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Estimador	de	Mínimos	
Quadrados		
	
Prof.	Armando	Castelar	
O	problema	de	estimação	
O	problema	de	estimação	
Critério	de	mínimos	quadrados	
Método	de	Mínimos	Quadrados	Ordinários	(MQO)	Método	de	Mínimos	Quadrados	Ordinários	(MQO)
• Problema:	dados	n	pares	de	observações	de	Y	e	X,	queremos	
determinar	a	FRA	de	tal	forma	que	fique	o	mais	próximo	
possível	dos	Y's	observados.	
• Podemos	resolver	esse	problema	adotando	o	critério	dos	
mínimos	quadrados,	segundo	o	qual	a	FRA	pode	ser	fixada	de	
tal	modo	que,	
	
	 seja	o	menor	possível,	onde	os		 	são	os	resíduos 

	 	elevados	ao	quadrado.
!̂2"
Equações	normais	ou	de	primeira	ordem	
Igualando	a	zero	e	simplificando	…	
Igualando	a	zero	e	simplificando	…
	 	 (3.1.4)	
		 	 3.1.5)
∑ !" = #$̂1 + $̂2 ∑ %"
∑ !"%" = $̂1 ∑ %" + $̂2 ∑ %2"
Estimador	do	coeficiente	angular	Estimador	do	coeficiente	angular
Resolvendo	simultaneamente	as	equações	normais,	obtemos:	
		
		 	 	 	 (3.1.6)	
		
onde	 	e	 	são	as	médias	amostrais	de	X	e	de	Y	e	onde	definimos	
	e	 .	Daqui	em	diante,	adotaremos	a	convenção	
de	usar	letras	minúsculas	para	denotar	os	desvios	em	relação	aos	valores	
médios.
!̂2 =
"∑ #$%$ −∑ #$ ∑ %$
"∑ #2$ −(∑ #$)²
=
∑ (#$−#̄) * (%$ −%̄ )
∑ (#$ −#̄)²
= ∑ &$'$∑ &2$
#̄ %̄
&$ = (#$ −#̄) '$ = (%$ −%̄ )
Estimador	do	intercepto	
Estimador	do	intercepto
	 (3.1.7)	
		
!̂1 =
∑ "2# ∑ $# −∑ "# ∑ "#$#
%∑ "2# −(∑ "#)²
= $̄ −!̂2"̄
Propriedades	dos	estimadores	de	MQO	
Teorema	de	Gauss-Markov	
Os	estimadores	de	Mínimos	Quadrados	Ordinários,	
sob	determinadas	condições	relativamente	gerais,	
são	os	estimadores	de	menor	variância	na	categoria	
dos	estimadores	lineares	não	viciados.	
Próxima	Aula	
•  Estimadores	Não	Viciados	Uniformemente	de	Menor	
Variância	
	são	a	mesma	coisa	que		
•  Estimadores	com	a	menor	variância	entre	todos	os	
estimadores	não	viciados	
•  Uniformemente	=	para	todos	os	valores	do	parâmetro	
dentre	do	espaço	paramétrico	
	
	
FIM