Aula_4_Macroeconometria

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AULA 4 - PROCESSOS NÃO ESTACIONÁRIOS
Susan Schommer
Econometria III - IE/UFRJ
Motivação
I A série temporal não estacionária não pode ser estimada
trivialmente.
I Problema: é imposśıvel estimar todos os momentos da série e
fazer inferências estat́ısticas.
A variância não condicional de um AR(1) é:
var(yt) =
1
1− φ2
se φ = 1 o que caracteriza uma série não estacionária de raiz
unitária, a variância explode.
I Solução: diferenciar a série tantas vezes quantas sejam
necessárias para estacionarizá-la.
Tendência estacionária
I Suponha o seguinte modelo:
yt = y0 + δt+ ψ(L)�t
Tal modelo é chamado de tendência estacionária, porque
flutua em torno de uma tendência determińıstica.
I A série também poderia ser estacionarizada pela primeira
diferença, isto é:
∆yt = (1− L)yt = yt − yt−1 = δ + (1− L)ψ(L)�t
Esta diferenciação estacionariza a série, entretanto torna o
erro não invert́ıvel para um processo AR.
I Logo, se uma série é tendência estacionária, é melhor
estimá-la usando a variável explicativa t.
Tendência estocástica
I Considere outra possibilidade:
∆yt = δ + �t → yt = yt−1 + δ + �t
I Compondo recursivamente yt, obtém-se:
yt = y0 + δt+
∑t
i=1 �i
a variável aleatória yt é dada pela composição de todos os
choques havidos
∑t
i=1 �i
I Define-se tal série como sendo tendência estocástica ou
diferença estacionária.
I Os choque produzem mudanças permanentes na série yt,
ainda que aleatórias.
I Séries, cuja tendência é estocástica, são séries integradas e
denotadas por I(d), em que d é a ordem da integração.
I Séries integradas com erros estacionários são chamadas de
séries ARIMA(p, d, q). Diferenciando d vezes a série,
obtém-se uma série estacionária.
Passeio aleatório
I No caso I(1) com δ = 0, define-se o passeio aleatório ou
tendência estocástica pura:
yt = yt−1 + �t
I A previsão condicional H passos à frente é dada pela
observação atual
Et(yt+H) = yt +
∑H
h=1Et(�t+H) = yt
I Correlação: ρj =
√
1− jt
Num processo não estacionário, a autocorrelação demora a
cair, pois j/t se reduz lentamente.
Modelo geral
I O modelo mais geral posśıvel inclui tendência determińıstica e
estocástica e erro que seguem um processo ARMA(p,q).
I O modelo é chamado tendência geral mais componente
irregular:
yt = y0 + δt+
t∑
i=1
�i + ψ(L)ηt
onde ηt é um rúıdo branco.
Teste de raiz unitária
I Os testes de raiz unitária em uma série temporal são
importantes para diferenciar séries estacionárias de não
estacionárias.
I De modo mais preciso, para diferenciar séries estacionárias na
tendência (Trend stationary) de séries estacionárias na
diferença (Difference stationary).
I No primeiro caso, o uso de uma tendência determińıstica na
modelagem é suficiente para retirar a não estacionariedade.
Ex: yt = µ+ δt+ �t
I No segundo caso, a não estacionariedade advém da presença
de uma raiz unitária que implica na necessidade de aplicar a
diferença no tempo para gerar uma série estacionária. Ex:
yt = µ+ yt−1 + �t
Teste de raiz unitária - Dickey-Fuller
I A inspeção visual de um série raramente permite distinguir a
tendência estocástica da determińıstica.
Teste de raiz unitária - Dickey-Fuller
I Para isso foram desenvolvidos testes para a verificação de
existência de ráızes estacionárias.
I O primeiro foi feito por Dickey e Fuller (1979,1981)
I Para fazer o teste, considere o seguinte modelo:
yt = φyt−1 + �t
intuitivamente faŕıamos um teste t para H0 : φ = 1, mas
como yt pode ser não estacionário e a distribuição do teste
não necessariamente segue a distribuição t.
I Dickey e Fuller (1979) recalcularam o valor da estat́ıstica t.
Esse valor é diferente conforme a equação de regressão e o
tamanho da amostra.
Teste de raiz unitária - Dickey-Fuller
I A ideia foi olhar para as seguintes séries estacionárias
∆yt = αyt−1 + �t
∆yt = µ+ αyt−1 + �t
∆yt = µ+ δt+ αyt−1 + �t
Sob H0 : α = 0, para as três equações foram calculados os
valores cŕıticos.
I Problema: só considera AR(1)
Teste de raiz unitária - Dickey-Fuller aumentado
I No modelo aumentado foi incluido termos defasados na
equação
∆yt = µ+ αyt−1 +
p∑
i=1
λi∆yt−i + �t
I O teste então pode ser feito, usando-se os mesmos valores
cŕıticos encontrados por Dickey e Fuller.
I Se o modelo é mais complexo, com médias móveis, é posśıvel
testar, pois ele é transformado em um AR infinito e Saide
Dickey (1984) demonstram que o infinito é aproximado por
uma ARIMA(p,1,0).
Teste de raiz unitária - Demais testes
I Phillips-Perron: semelhante ao DF fazendo um desconto pela
média
I KPSS: diante do baixo poder dos testes na presença de um
componente de médias móveis perto do ćırculo unitário. O
KPSS tem como hipótese nula que o processo é estacionário
contra a alternativa de não estacionário. Entretanto, se a
ordem do AR é maior esse teste perde o poder.
Quebra estrutural
I Na presença de quebra estrutural, os testes são viesados na
direção da não rejeição da hipótese de raiz unitária.
I Devem-se consultar os valores tabelados para teste com
quebra estrutural por Perron (1989), em que se assume uma
única e conhecida quebra estrutural para toda a amostra
dispońıvel.
I Considerando um passeio aleatório com drift, há três tipos de
quebras estruturais posśıveis: uma mudança de ńıvel da série,
uma mudança de inclinação e ambas as mudanças.
Quebra estrutural
I Na presença de quebra estrutural, os testes são viesados na
direção da não rejeição da hipótese de raiz unitária.
I Considere duas séries
(a) Estacionária com quebra estrutural: yt = 0.5yt−1 + �t +Dt
onde Dt = 0 para t = 1, ..., 50 e Dt = 1 para t = 51, ..., 100
(b) Não estacionária com quebra estrutural:
yt = yt−1 + �t +Dt
Quebra estrutural
I Há três tipos de quebras estruturais posśıveis: uma mudança
de ńıvel da série, uma mudança de inclinação e ambas as
mudanças.
I Perron (1989) propõe um procedimento que permite uma
quebra estrutural exógena no tempo Tb, ou seja, se o tempo
de ruptura for conhecido a priori.
I Depois, Zivot e Andrews (1992) criticam esse teste por tratar
o tempo do intervalo como exógeno ou a priori.
I Zivot e Andrews (1992) e, posteriormente, Perron (1997),
desenvolvem um procedimento que permite pontos de quebra
endógenos na série em questão.