Aula_8_Macroeconometria

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AULA 8 - SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS
Susan Schommer
Econometria III - IE/UFRJ
Séries temporais financeiras
I Dada a importância da volatilidade do retorno em várias
decisões de gestão financeira, houve grandes esforços para
fornecer boas estimativas em tempo real e previsões da
volatilidade atual e futura.
I Uma caracteŕıstica complicadora é que, ao contrário do
retorno, as realizações reais da volatilidade do retorno não são
diretamente observáveis.
I Uma abordagem comum para lidar com a volatilidade do
retorno são os modelos de heterocedasticidade condicional -
ARCH
Volatilidade
I A volatilidade é um dos parâmetros de maior relevância no
apreçamento de ações.
I A volatilidade em séries financeiras não é constante ao longo
do tempo, tendo assim um comportamento heterocedástico.
I As caracteŕısticas da volatilidade podem ser modeladas por
processos heterocedásticos condicionais ARCH (Autoregressive
Conditional Heterocedasticity) introduzida por Engle(1982) e
sua extensão GARCH (Generalized ARCH) proposto por
Bollerslev (1986).
Modelos
I Nós usamos o modelo ARMA para média condicional
I Nós usamos o modelo ARCH para variância condicional
I Modelos ARMA e ARCH podem ser usados juntos para
descrever ambas média e variância condicional
Preço e retorno
I Seja pt o preço do ativo financeiro (por exemplo uma ação).
Então o retorno é
rt =
pt − pt−1
pt−1
Variância condicional
I Um ativo é arriscado se seu retorno é volátil (mudando muito
com o tempo)
I Em estat́ıstica usamos variância para medir a volatilidade
(dispersão), e então o risco
I Estamos mais interessados em variância condicional, denotada
por
var(rt|rt−1, rt−2, ...) = E(r2t |rt−1, rt−2, ...)
porque queremos usar o histórico passado para prever a
variação.
I A última igualdade é válida se E(rt|rt−1, rt−2, ...) = 0, o que
é verdade na maioria dos casos.
Agrupamento de volatilidade
I Um fato estilizado sobre o mercado financeiro é o
“agrupamento de volatilidade”. Ou seja, um peŕıodo volátil
tende a ser seguido por outro peŕıodo volátil ou peŕıodos
voláteis são geralmente agrupados.
I Intuitivamente, o mercado se torna volátil sempre que uma
grande not́ıcia vem, e pode levar vários peŕıodos para o
mercado digerir as not́ıcias
I Estatisticamente, o agrupamento de volatilidade implica
variância condicional: grande volatilidade (variância) hoje
pode levar a grande volatilidade amanhã.
I O processo ARCH tem a propriedade de variáveis com
variância condicionais no tempo e, portanto, pode capturar o
agrupamento de volatilidade
Processo ARCH(1)
I Considere uma processo autoregressivo condicional a
heterocedasticidade de primeira ordem ARCH(1)
yt = σtet
em que et é um rúıdo branco com média zero e variância um.
σt =
√
ω + α1y2t−1
em que yt é o retorno, e é assumido aqui ser um ARCH(1)
Processo ARCH(1) tem média zero
I A média condicional (dado o passado) de yt é
E(yt|yt−1, yt−2, ...) = E(σtet|yt−1, yt−2, ...)
= σtE(et|yt−1, rt−2, ...)
= σt ∗ 0 = 0
I Então pela lei de expectativa iterada a média não condicional
é
E(yt) = E[E(yt|yy−1, yy−2, ...)] = E[0] = 0
Tal que o processo ARCH(1) tem média zero.
Processo ARCH(1) é não correlacionado
I Usando a mesma lei de expectativa iterada podemos mostrar
que
E(ytyt−1) = E[E(ytyt−1|yt−1, yt−2, ...)]
= E[yt−1E(yt|yt−1, yt−2, ...)]
= E[yt−1 ∗ 0] = 0
I Então a covariância entre yt e yt−1 é
cov(yt, yt−1) = E(ytrt−1)− E(yt)E(yt−1) = 0
De forma similar podemos mostrar que
cov(yt, yt−1) = 0, ∀j ≥ 1
I Assim sendo não podemos prever yt usando o histórico.
O y2t pode ser previsto
I Para ver isso, note que a variância condicional de yt é dada
por
var(yt|yt−1, yt−2, ...) = E(y2t |yt−1, yt−2, ...)
= E(σ2t e
2
t |yt−1, yt−2, ...)
= σ2tE(e
2
t |yt−1, yt−2, ...)
= σ2t ∗ 1 = σ2t
I Tal que σ2t representa a variância condicional, no qual por
definição é uma função do seu histórico
σ2t = ω + α1y
2
t−1
e assim sendo podemos prever usando y2t−1
Estimação MQO
I Note que temos
E(y2t |yt−1, yt−2, ...) = ω + α1y2t−1
I Isso implica que nós podemos estimar ω e α1 fazendo a
regressão de y2t com o intercepto e y
2
t−1
I Isso implica que y2t segue um processo AR(1).
Variância não condicional e estacionariedade
I A variância não condicional de yt é obtida via a lei de
expectativa iterada
var(yt) = E(y
2
t )− [E(yt)]2 = E(y2t )
= E[E(y2t |yt−1, yt−2, ...)]
= E[ω + α1y
2
t−1]
= ω + α1E[y
2
t−1]
I Se o processo é estacionário temos que
E(y2t ) = E(y
2
t−1) = σ
2
isso implica que
E(y2t ) =
ω
1− α1
se 0 < α1 < 1
I Junto com a covariância e média zero, isso prova que o
processo ARCH (1) é estacionário.
Variâncias condicional e não condicional
I Seja σ2t = var(yt). Podemos mostrar que
σ2t =
ω
1− α1
implica que
ω = σ2(1− α1)
colocando dentro de σ2t = ω + α1y
2
t−1 temos
σ2t = σ
2 + α1(y
2
t−1 − σ2)
tal que a variância condicional é uma combinação de variância
não condicional, e o desvio do erro quadrado de seu valor
médio.
Processo ARCH(p)
I Nós obtemos o processo ARCH(p) se y2t segue um processo
AR(p)
σ2t = ω +
p∑
i=1
αiy
2
t−i
Processo GARCH(1,1)
I Podemos ter o caso em que p precise ser muito grande para
capturar toda a correlação serial em y2t .
I O ARCH generalizado ou GARCH é uma alternativa para
ARCH(p) e descrito como
σ2t = ω + αy
2
t−1 + βσ
2
t−1
I Um modelo GARCH(p,q) inclui termos p ARCH e q termos
GARCH.
Estacionariedade GARCH(1,1)
I A variância não condicional para o GARCH(1,1) é
var(yt) =
ω
1− α− β
se a seguinte condição de estacionaridade for
0 < α+ β < 1
I Dizemos que o processo GARCH(1,1) é estacionário se a
condição acima for satisfeita.
Exemplo GARCH(1,1)
Considere a série temporal do IBOVESPA mensal para o peŕıodo
de agosto de 1994 à agosto de 2019. Vamos calcular a série de
retornos e ajustar um modelo GARCH(1,1) para o cálculo da
volatilidade.
19
94
.0
8
19
96
.0
6
19
98
.0
4
20
00
.0
2
20
01
.1
2
20
03
.1
0
20
05
.0
8
20
07
.0
6
20
09
.0
4
20
11
.0
2
20
12
.1
2
20
14
.1
0
20
16
.0
8
20
18
.0
6
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
19
94
.0
9
19
96
.0
6
19
98
.0
3
19
99
.1
2
20
01
.0
9
20
03
.0
6
20
05
.0
3
20
06
.1
2
20
08
.0
9
20
10
.0
6
20
12
.0
3
20
13
.1
2
20
15
.0
9
20
17
.0
6
20
19
.0
3
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
Exemplo GARCH(1,1)
No RStudio
I install.packages(”fGarch”)
I library(”fGarch”)
I model = garchFit(˜garch(1,1), data = retibovespa, trace =
FALSE)
I summary(model)
title:
 GARCH Modelling 
Call:
 garchFit(formula = ~garch(1, 1), data = retibovespa, trace = FALSE) 
Mean and Variance Equation:
 data ~ garch(1, 1)
<environment: 0x6b5f070>
 [data = retibovespa]
Conditional Distribution:
 norm 
Coefficient(s):
 mu omega alpha1 beta1 
0.01162709 0.00021835 0.10068077 0.85660666 
Information Criterion Statistics:
 AIC BIC SIC HQIC 
-2.451856 -2.402472 -2.452205 -2.432092 
Estimativa do GARCH
I O modelo ARCH pode ser estimado pelo método MQO e
Máxima Verossimilhança (MV) , enquanto o modelo GARCH
tem que ser estimado pelo método MV.
I O método MV estima ω, α, β maximizando o produto de
todas probabilidades.
I Porque o modelo GARCH requer o método MV, você pode
obter resultados altamente enganosos quando o algoritmo MV
não convergem.
I Lição: sempre verifique se a convergência ocorre ou não.
I Você pode tentar amostra diferente ou especificação do
modelo diferente quando há dificuldade de convergência
Estimativa do GARCH
I Na construção de modelos ARCH, um primeiro passo é tentar
ajustar um modelo ARIMA, para remover a correlação serial
na série, se esta existir.
I Segue que, quando nos referimos a yt, estamos supondo que a
série de retornos é não correlacionada ou então ela é o reśıduo
da aplicação de um modelo ARIMA à série original.
I Para verificar se a série apresenta heterocedasticidadecondicional, podemos aplicar o teste de Ljung-Box na série y2t .
I A identificação da ordem de um modelo GARCH a ser
aplicado a uma série temporal real é dif́ıcil, recomenda-se que
ajuste vários modelos de baixa ordem e depois escolha o
melhor se baseando em vários critérios, como AIC ou BIC,
valores de assimetria e curtose, da log-verossimilhança.
IGARCH
I Na maioria das vezes, aplicando o modelo GARCH (1,1) à
série temporal financeira real dará
α+ β ≈ 1
I Este fato é chamado de efeito integrado-GARCH ou IGARCH,
isto significa que y2t é muito persistente e é quase como um
processo (ou raiz unitária)
Modelo AR-GARCH
I Podemos combinar o AR com GARCH
I Por exemplo, considere a combinação AR(1)-GARCH(1,1)
yt = µ+ φ1yt−1 + ut
ut = σtet
σt =
√
ω + αu2t−1 + βσ
2
t−1
I Agora permitimos que o retorno seja previśıvel, tanto em ńıvel
quanto em quadrados.
Modelo ARMA-GARCH
I Podemos combinar o ARMA com GARCH
I Por exemplo, considere a combinação
ARMA(1,1)-GARCH(1,1)
yt = µ+ φ1yt−1 + θjut−1 + ut
ut = σtet
σt =
√
ω + αu2t−1 + βσ
2
t−1
I Podemos generalizar p e q ordem