Aula_6_Macroeconometria

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AULA 6 - VETOR AUTOREGRESSIVO (VAR)
Susan Schommer
Econometria III - IE/UFRJ
Resposta ao impulso
I Uma vez que tenhamos decidido sobre um modelo VAR final,
seus valores estimados de parâmetros devem ser interpretados.
I Como todas as variáveis em um modelo VAR dependem uma
da outra, os valores individuais dos parâmetros fornecem
apenas informações limitadas sobre a reação do sistema a um
choque.
I Para obter uma melhor intuição do comportamento dinâmico
do modelo, são usadas respostas ao impulso (IR).
I Elas dão a reação de uma variável de resposta a um choque
de uma variável de impulso.
I A trajetória da variável de resposta pode ser plotada, o que
resulta nas curvas onduladas que podem ser encontradas em
muitos documentos macro.
Resposta ao impulso
I O modelo VAR não permite identificar todos os parâmetros da
forma estrutural, a não ser que se imponham restrições
adicionais.
I Para ver isso, observe que no sistema restrito dado pela
equação:
yt = φ10 + φ11yt−1 + φ12zt−1 + e1t
zt = φ20 + φ21yt−1 + φ22zt−1 + e2t
conseguem-se estimar seis parâmetros na equação da média,
mais var(e1), var(e2) e cov (e1,e2), ou seja, há nove
parâmetros estimados.
I No sistema primitivo, contudo, há dez parâmetros
yt = b10 − a12zt + b11yt−1 + b12zt−1 + σy�yt
zt = b20 − a21yt + b21yt−1 + b22zt−1 + σz�zt
Resposta ao impulso
I Sims (1980) sugere impor que alguns coeficientes sejam iguais
a zero.
I Geralmente, usam-se argumentos econômicos para definir
quais deles são iguais a zero.
I A sugestão de Sims impõe que o efeito feedback seja limitado.
I No caso mais simples, o de um modelo bivariado, poder-se-ia
impor, por exemplo, que a12 = 0
yt = b10 + b11yt−1 + b12zt−1 + �yt
zt = b20 − a21yt + b21yt−1 + b22zt−1 + �zt
Resposta ao impulso
Resposta ao impulso
Resposta ao impulso
I Essas três equações combinam-se às demais estimativas para
identificar o modelo.
I Ou seja, usando essas três equações mais as equações a
seguir, identificam- -se os parâmetros estruturais do modelo.
φ10 = b10;φ20 = b20 − b10a21;φ11 = b11
φ12 = b12;φ21 = b21 − b11a21;φ22 = b22 − b12a21
I Por MQO estimamos os nove parâmetros da forma reduzida e
como eles são escritos em função dos parâmetros da forma
estrutural (que agora tem 9 parâmetros)
I Assim, temos que as nove equações do sistema reduzido
resolve os nove parâmetros do sistema estrutural.
Resposta ao impulso
I A metodologia proposta por Sims pode ser generalizada para
um vetor com ,n variáveis endógenas.
I Trata-se de uma maneira triangular de decompor os reśıduos,
chamada decomposição de Choleskly.
I No caso de n variáveis endógenas, as condições de
identificação requerem a imposição de n
2−n
2 restrições.
I O problema da imposição (zeros na parte superior da
diagonal) é definir a ordenação das variáveis, que é arbitrária,
ainda que atribúıda a razões econômicas.
Resposta ao impulso
Resposta ao impulso
I Os elementos da matriz Φi; são os multiplicadores de impacto
de um choque sobre as variáveis endógenas.
I Assim, o impacto total de um choque de �yt sobre yt+h é
dado pela soma dos coeficientes φi,11, i = 0, 1, 2, ..., h. E
sobre yt+h , devem-se somar os coeficientes φi,21.
I Os coeficientes, quando desenhados em um gráfico contra i,
geram a função resposta ao impulso.
I A soma dos coeficientes, quando desenhada em um gráfico
contra i, gera a função resposta ao impulso acumulada.
Resposta ao impulso - exemplo simulado
I Usando o VAR(2) simulado na AULA 5, faremos agora a
resposta ao impulso.
I No RStudio, a função irf do pacote vars pode ser usada para
obter uma função de resposta ao impulso.
I No exemplo simulado, queremos saber como a Série 2 se
comporta após um choque na Série 1.
I Depois de especificar o modelo e as variáveis para as quais
queremos uma resposta ao impulso, definimos o horizonte de
tempo n.ahead para 20.
I O gráfico fornece a resposta da série 2 para os peŕıodos de 0 a
20 a um choque na série 1 no peŕıodo 0. A função também
calcula automaticamente os intervalos de confiança.
Resposta ao impulso - exemplo simulado
No RStudio:
ir.1 = irf(var.1, impulse = ”Series.1”, response = ”Series.2”,
n.ahead = 20, ortho = FALSE) calcula a função resposta ao
impulso (FIR)
plot(ir.1) plota a FIR
5 10 15 20
−
0.
2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
xy$x
S
er
ie
s.
2
Impulse Response from Series.1
95 % Bootstrap CI, 100 runs
Resposta ao impulso - exemplo simulado
Às vezes, é interessante ver quais são os efeitos a longo prazo de
um choque:
ir.2 = irf(var.1,impulse=”Series.1”,response=”Series.2”,n.ahead =
20,ortho = FALSE, cumulative = TRUE)
plot(ir.2)
5 10 15 20
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
1.
2
xy$x
S
er
ie
s.
2
Impulse Response from Series.1 (cumulative)
95 % Bootstrap CI, 100 runs
Embora a reação da série 2 a um choque na série 1 seja negativa
durante alguns peŕıodos, o efeito geral é significativamente
positivo.
Intervalo de confiança
I A função resposta ao impulso é calculada mediante
coeficientes estimados e temos também um intervalo de
confiança a ser considerado nessas estimativas.
I Esse intervalo pode ser calculado de forma anaĺıtica ou por
métodos de experimentos de Monte Carlo.
I O método anaĺıtico torna-se um tanto complicado quando se
imagina um problema multivariado, em razão das covariâncias
cruzadas.
I No RStudio o intervalo de confiança é automaticamente
calculado.
Decomposição da variância
I A decomposição da variância diz a porcentagem da variância
do erro de previsão decorre de cada variável endógena ao
longo do horizonte de previsão.
I No RStudio a decomposição da variância para o exemplo
simulado
a = fevd(var.1,n.ahead = 10)
a
Series.1 Series.2
Series.1 Series.2 Series.1 Series.2
[1, ] 1.0000000 0.0000000 0.001034877 0.9989651
[2, ] 0.8125599 0.1874401 0.214889122 0.7851109
[3, ] 0.8381472 0.1618528 0.214627882 0.7853721
[4, ] 0.8332196 0.1667804 0.222546470 0.7774535
[5, ] 0.8303730 0.1696270 0.225991349 0.7740087
[6, ] 0.8301167 0.1698833 0.228385562 0.7716144
[7, ] 0.8292609 0.1707391 0.229794554 0.7702054
[8, ] 0.8297557 0.1702443 0.229554538 0.7704455
[9, ] 0.8293379 0.1706621 0.230077075 0.7699229
[10, ] 0.8294276 0.1705724 0.230082697 0.7699173
Teste de Granger-Causalidade
I Pergunta-se se uma variável é capaz de prever outra e em que
condições.
I A questão fundamental é saber se o escalar y ajuda a prever o
escalar z. Se isso não acontece, diz-se que y não
Granger-causa z.
I O teste tem um sentido de previsão, e não de causalidade
econômica, apesar do nome.
I A forma de responder a essa pergunta é usar um teste F
convencional, válido quando os coeficientes de interesse
puderem ser escritos de modo a multiplicar variáveis
estacionárias.
I Teste de causalidade de Granger não é a mesma coisa que
teste de exogeneidade. Para que zt seja exógeno a yt, é
preciso que zt não seja afetado contemporaneamente por yt.
I A forma reduzida do VAR não permite que se faça esse tipo
de teste. O teste de causalidade de Granger inclui, pois,
valores correntes e passados de yt sobre zt.
Teste de Granger-Causalidade
No RStudio:
causality(var.1,cause=’Series.1’)
Granger
Granger causality H0: Series.1 do not Granger-cause Series.2
data: VAR object var.1 F-Test = 45.307, df1 = 2, df2 = 392,
p-value < 2.2e-16
Rejeitamos H0
Exeŕıcio: fazer causality(var 1,cause=’Series.2’) alternativamente
tem o comando grangertest()
VAR - Relatório de inflação (BCB)
I No relatório de de Inflação - Setembro de 2012 foram
explicados os grupos de modelos VAR usados pelo BCB.
I Número de defasagens foi feita utilizando-se HQ e o teste de
autocorrelação dos reśıduos (LM - multiplicador de lagrange)
VAR - Relatório de inflação (BCB)
I No relatório de de Inflação - Junho de 2018 o BCB apresentou
um novo modelo VAR, no qual chamou de “Modelo de vetor
autorregressivo com ancoragem de longo prazo”
I Asprojeções de longo prazo oriundas de modelos de vetores
autorregressivos (VARs) têm como uma das suas
caracteŕısticas a sua convergência para a média incondicional
de suas variáveis, diretamente relacionada à constante â ou
intercepto â presente em cada equação.
I Mudanças na condução da poĺıtica monetária ou o
estabelecimento de metas em valores diferentes dos
usualmente definidos podem ser rapidamente capturados nas
expectativas dos agentes para a inflação.
I Incorporar essas expectativas aos modelos VARs seria, então,
um modo eficaz de melhorar as projeções em situações que
haja mudanças no ńıvel das variáveis endógenas.
VAR - Relatório de inflação (BCB)
I O novo modelo do BCB é o VAR shifiting endpoints
(VAR-SE), proposta em Kozicki e Tinsley (2012), na qual o
intercepto da equação que descreve a dinâmica da inflação é
variante no tempo.
I A estimação dos coeficientes do modelo é ancorada pela
restrição de que, no longo prazo, as projeções para a inflação
sejam iguais ás expectativas dos analistas.
VAR - Relatório de inflação (BCB)
I Tabela 1 (próximo slide) apresenta os resultados de um
exerćıcio de projeção com dados fora da amostra.
I O VAR irrestrito apresenta um EQM 23% maior do que o do
modelo VAR-SE para um horizonte de um ano (e 48% maior
em um horizonte de três anos).
VAR - Relatório de inflação (BCB)
VAR estrutural (SVAR)
I Existem outras formas de definir restrições sobre a matriz A,
de modo a identificar os parâmetros estruturais.
I Lembrando do modelo original
AXt = B0 +
p∑
i=1
BiXt−i +B�t
I Em geral, usa-se a teoria econômica para definir as restrições
da matriz A completamente.
VAR estrutural (SVAR)
I Blanchard e Quah (1989) sugerem uma forma de identificação
com base em restrições determinadas pela teoria econômica.
I A ideia é impor restrições a respeito do comportamento de
longo prazo de uma variável a partir do choque estrutural.
svar.1 = BQ(var.1)
I Depois de especificado o SVAR podemos analisar a resposta
ao impulso.