Aula_7_Macroeconometria

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AULA 7 - VETOR DE CORREÇÃO DE ERROS
(VECM)
Susan Schommer
Econometria III - IE/UFRJ
Cointegração
I Engle and Granger (1987) mostraram que uma combinação
linear de duas ou mais séries não estacionárias pode ser
estacionária (caso contrário teremos uma relação espúria).
I Se tal combinação linear estacionária existe, ou I(0), a não
estacionariedade (com uma raiz unitária) das séries de tempo
é dita ser cointegrada.
I A combinação linear estacionária é chamada equação de
cointegração e pode ser interpretada como uma relação de
equiĺıbrio de longo prazo entre as variáveis.
I No caso de duas séries a equação de cointegração estimada é
dada por exemplo:
yt = βxt + �t
onde y e x são não estacionárias e �t é estacionário, i.e., a
combinação linear entre y e x, dada por yt − βxt é
estacionária. Neste caso a estimativa via MQO é apropriada.
Exemplo
I Considere a relação entre as taxas de juros de 3-meses e de
10-anos das letras do tesouro americano e o spread entre elas.
https://www.econometrics-with-r.org/16-3-cointegration.html
Visualmente temos as taxas de juros de 3-meses e 10-anos parecem
cointegrarem, ou seja, ter o mesmo comportamento de longo prazo
(elas compartilham uma tendência estocástica comum). O spread,
obtido pela diferença entre as taxas de juros, parece estar
estacionário.
Vetor de correção de erro - VECM
I Um vetor de correção de erro (VECM) é um VAR no qual
possui restrições de cointegração, tal que ele é designado para
o uso de séries não estacionárias que são cointegradas.
I O termo da cointegração no VAR é conhecido como o termo
de correção de erro desde que desvios do equiĺıbrio de longo
prazo são corrigidos no modelo de curto prazo.
I A representação para o caso bivariado é:
∆yt = α1 +αy(yt−1−βxt−1)+
∑p
i=1 α11i∆yt−i +
∑p
i=1 α12i∆xt−i +eyt
∆xt = α2 +αz(yt−1−βxt−1)+
∑p
i=1 α21i∆yt−i +
∑p
i=1 α22i∆xt−i +ezt
onde β é o parâmetro da equação de cointegração e os erros são
rúıdos brancos e os α′s são todos os parâmetros. O termo
(yt − βxt) é a correção de erro, sendo a restrição em relação ao
VAR.
Vetor de correção de erro - VECM
Como mostrado acima o VECM para o caso bivariado:
∆yt = α1 +αy(yt−1−βxt−1)+
∑p
i=1 α11i∆yt−i +
∑p
i=1 α12i∆xt−i +eyt
∆xt = α2 +αz(yt−1−βxt−1)+
∑p
i=1 α21i∆yt−i +
∑p
i=1 α22i∆xt−i +ezt
I A idéia de Engle e Granger (1987) é que o VECM pode ser
estimado como um VAR na primeira diferença acrescentado o
termo da correção do erro que é o erro estimada da equação
de cointegração que denotaremos de �̂t .
I Então o VECM é estimado como:
∆yt = α1 + αy �̂t−1 +
∑p
i=1 α11i∆yt−i +
∑p
i=1 α12i∆xt−i + eyt
∆xt = α2 + αz �̂t−1 +
∑p
i=1 α21i∆yt−i +
∑p
i=1 α22i∆xt−i + ezt
I Assim todos os procedimentos desenvolvidos para o VAR
podem ser aplicados.
I Os coeficientes αy e αz medem a velocidade de ajustamento.
Vetor de correção de erro - VECM
Suponha que duas variáveis y e x são I(1), mas cointegradas e que
queremos estimar o seguinte modelo:
yt = β0 + β1yt−1 + β2xt + β3xt−1 + εt
Esse modelo é conhecido como Modelo Autorregressivo com
Defasagens Distribúıdas.
Podemos reescrever o modelo como:
yt − yt−1 = β0 + β1yt−1 − yt−1 + β2xt + β3xt−1 + εt
∆yt = β0 − (1 − β1)yt−1 + β2xt + β3xt−1 + εt
∆yt = β0 − (1 − β1)yt−1 + β2xt + β3xt−1 + β2xt−1 − β2xt−1 + εt
∆yt = β0 − (1 − β1)yt−1 + β2∆xt + β3xt−1 + β2xt−1 + εt
∆yt = β0 − (1 − β1)yt−1 + β2∆xt + (β3 + β2)xt−1 + εt
∆yt = γ∆xt − λ(yt−1 − α− βxt−1) + εt
onde
γ = β2, λ = 1− β1, α = β01−β1 , β =
β3+β2
1−β1 , yt−1 −α− βxt−1 = at−1
que é estimado por yt = α+ βxt + at
Observe que o coeficiente do erro de correção é negativo por
construção significando que a correção do erro é feita em cada
peŕıodo.
Método Engle e Granger
O procedimento proposto por Engle e Granger para saber se as
variáveis cointegram e para estimar o VECM é o seguinte:
Passo 1: Teste de raiz unitária (ADF) para as variáveis, digamos y
e x. Se as variáveis são I(1), elas são candidatas a cointegração.
Se alguma for I(0) não temos cointegração e se forem integradas
de ordens diferentes, digamos uma I(1) e a outra I(2) podemos
testar se a diferença da segunda variável é I(1), caso for são
também candidatas a cointegração.
Método Engle e Granger
Passo 2: Estimar a equação yt = βxt + �t e testar se os reśıduos
são estacionários. Se são estacionários, as sequências yt e xt são
cointegradas de ordem n, ie, se as variáveis são I(1) então elas são
CI(1,1). *CI(d,b) onde d é a ordem da integração de cada variável
e b é a ordem da cointegração. Assim o reśıduo é �t ∼ I(d− b).
Para testar se os reśıduos são não estacionários Engle e Yoo
(1987), MacKinnon(1991,2010) e Enders(2004) montaram uma
apropriada tabela para o teste, que procede igual ao ADF apenas
usando uma tabela diferente para o teste de raiz unitária.
Passo 3: Se as variáveis são cointegradas estimamos o VECM.
Passo 4: Verificar se o modelo VECM é adequado.
a) Fazer os teste de diagnóstico: autocorrelação,
heterocedasticidade, multicolinearidade;
b) Se os coeficientes do termo de correção do erro αy e αz são
zeros podemos estimar como um VAR.
Exemplo
I Fazendo teste de raiz unitária no exemplo da taxa de juros
https://www.econometrics-with-r.org/16-3-cointegration.html
Neste caso ambas séries são não estacionárias.
I Estimando a equação por MQO
̂TB10Y St = 2.46 + 0.81 · TB3MSt,
I Salvar os reśıduos da equação acima e fazer o teste de raiz
uniária utilizando a tabela de MacKinnon
The value of the test statistic is: -3.1935
valor tabelado -2,93
H0 : Não cointegração
Como a est́ıstica do teste é menor que o valor cŕıtico,
rejeitamos H0
Exemplo
I Se duas as séries temporais são I(1) e, suas diferenças são
estacionárias, então as séries cointegram e podem ser
modeladas em um VAR que é aumentado pelo regressor
yt−1 − βxt−1.
I Isso é chamado de modelo de correção de erros (VECM) e
yt − βxt é chamado de termo de correção de erros.
I Valores defasados do termo de correção de erro são úteis para
prever ∆yt e ou ∆xt.
̂∆TB3MSt = − 0.06
(0.11)
+ 0.24
(0.11)
∆TB3MSt−1 − 0.16
(0.15)
∆TB3MSt−2
+ 0.11
(0.13)
∆TB10Y St−1 − 0.15
(0.11)
∆TB10Y St−2 + 0.03
(0.05)
ECTt−1
̂∆TB10Y St = 0.12
(0.06)
− 0.00
(0.07)
∆TB3MSt−1 − 0.07
(0.04)
∆TB3MSt−2
+ 0.23
(0.10)
∆TB10Y St−1 − 0.07
(0.07)
∆TB10Y St−2 − 0.09
(0.03)
ECTt−1.
Exemplo
̂∆TB3MSt = − 0.06
(0.11)
+ 0.24
(0.11)
∆TB3MSt−1 − 0.16
(0.15)
∆TB3MSt−2
+ 0.11
(0.13)
∆TB10Y St−1 − 0.15
(0.11)
∆TB10Y St−2 + 0.03
(0.05)
ECTt−1
̂∆TB10Y St = 0.12
(0.06)
− 0.00
(0.07)
∆TB3MSt−1 − 0.07
(0.04)
∆TB3MSt−2
+ 0.23
(0.10)
∆TB10Y St−1 − 0.07
(0.07)
∆TB10Y St−2 − 0.09
(0.03)
ECTt−1.
Para a taxa de t́ıtulos do tesouro de 10 anos, o coeficiente de
correção do erro é estatisticamente significativo com uma
estimativa de -0,09.
Esse coeficiente aponta para um ajustamento de cerca de 9% do
desequiĺıbrio em relação a solução de longo prazo a cada peŕıodo.
Modelo de correção de erros
I Podemos ter várias variáveis endógenas e assim ter diversos
vetores de cointegração, que é a descrição completa do
VECM.
I O modelo vetor de correção de erros é uma versão mais
completa do VAR.
I A ideia é que o VAR com variáveis não estacionárias, mas
diferenciadas, omite variáveis relevantes. O VECM corrige
esse problema.
I Veremos a metodologia de Johansen que testa se existe mais
de uma relação de cointegração.
Teste de cointegração de johansen
I A metodologia de Johansen permite a estimação do VECM
simultaneamente aos vetores de cointegração.
I Seja o modelo
xt = µ+A1xt−1 + . . .+Apxt−p + wt (1)
Onde µ é a média da série, Ai são as matrizes de coeficiente
para cada defasagem e wt é o reśıduo gaussiano multivariado
com média zero.
I Podemos formar um modelo VECM diferenciando as séries:
∆xt = µ+Axt−1 + Γ1∆xt−1 + . . .+ Γp∆xt−p + wt (2)
A é a matriz do coeficientepara a primeira defasagem e Γi
são as matrizes para cada defasagem diferenciada.
I O teste verifica a situação de não cointegração, que ocorre
quando a matriz A = 0.
Teste de cointegração de johansen
I Para o teste temos que analisar o posto da matriz A que é
n× n.
I O posto da matriz A é dada por r e o teste de Johansen testa
se esse posto r é igual a zero, igual a um, até r = n− 1, onde
n é o número de séries temporais em teste.
I A hipótese nula de r = 0 significa que não há cointegração.
I Um r > 0 implica uma relação de cointegração entre duas ou
possivelmente mais séries temporais.
I Se r = n temos que as variáveis são I(0) e não temos
cointegração.
I Observe como isso difere do teste de Engle-Granger, em que é
necessário verificar a combinação linear a priori por meio do
MQO.
Exemplo simulado - teste de cointegração de johansen
Script RStudio
I library(”urca”)
I set.seed(123)
I z = rep(0, 10000)
for (i in 2:10000) z[i] = z[i-1] + rnorm(1) criando o passeio
aleatório
I p = q = r = rep(0, 10000)
p = 0.3*z + rnorm(10000)
q = 0.6*z + rnorm(10000)
r = 0.2*z + rnorm(10000) criando três séries temporais que
tem a mesma estrutura de passeio aleatório.
I jotest=ca.jo(data.frame(p,q,r), type=”trace”, K=2,
ecdet=”none”, spec=”longrun”)
summary(jotest) fazendo o teste de cointegração de johansen
Exemplo simulado - teste de cointegração de johansen
######################
# Johansen-Procedure #
######################
Test type: trace statistic , with linear trend
Eigenvalues (lambda):
[1] 0.338903321 0.330365610 0.001431603
Values of teststatistic and critical values of test:
 test 10pct 5pct 1pct
r <= 2 | 7.32 6.50 8.18 11.65
r <= 1 | 4023.76 15.66 17.95 23.52
r = 0 | 8161.48 28.71 31.52 37.22
Eigenvectors, normalised to first column:
(These are the cointegration relations)
 p.l2 q.l2 r.l2
p.l2 1.000000 1.00000000 1.000000
q.l2 1.791324 -0.52269002 1.941449
r.l2 -1.717271 0.01589134 2.750312
Weights W:
(This is the loading matrix)
 p.l2 q.l2 r.l2
p.d -0.1381095 -0.771055116 -0.0003442470
q.d -0.2615348 0.404161806 -0.0006863351
r.d 0.2439540 -0.006556227 -0.0009068179
Exemplo simulado - teste de cointegração de johansen
I A primeira hipótese, r = 0, testa a presença de cointegração.
Como a estat́ıstica do teste excede significativamente o ńıvel
de 1% (8161,48 > 37,22), temos fortes evidências para
rejeitar a hipótese nula de não cointegração.
I O segundo teste para r ≤ 1 contra a hipótese alternativa de
r > 1 também rejeita r ≤ 1, pois a estat́ıstica do teste excede
significativamente o ńıvel de 1%.
I O teste final para r ≤ 2 contra r > 2 não rejeita a hipótese
nula de que r ≤ 2 e, portanto, pode concluir que o posto da
matriz r é 2.
Exemplo simulado - teste de cointegração de johansen
I Como vamos formar uma combinação linear?
I A resposta é fazer uso dos componentes do autovetor
associados ao maior autovalor.
I Essa informação temos na primeira linha do teste em que o
maior autovalor é de aproximadamente 0,3339.
I Corresponde ao vetor fornecido na coluna p.l2 e é
aproximadamente igual a (1.000000, 1.791324,−1.717271).
I Se formarmos uma combinação linear de séries usando esses
componentes, teremos uma série estacionária:
I s = 1.000*p + 1.791324*q - 1.717271*r
plot(s, type=”l”)
Exemplo simulado - teste de cointegração de johansen
0 2000 4000 6000 8000 10000
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
Index
s
Fazendo o teste de raiz unitária, temos que essa combinação linear
é estacionária.