AVALIAÇÃO 02

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Avaliação II - Individual (Cod.:889730)
Código da prova: 72990718
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral (MAT22)
Período para responder: 20/10/2023 - 04/11/2023
Peso: 1,50
1 -
Ao derivar a função espaço, encontraremos a função velocidade. Deve-se, então, testar no ponto pedido.
Dessa forma, considere o problema a seguir:
Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua distância s(t) do solo durante os 10
primeiros segundos de vôo é dada por s(t) = 6 +2t +t2, na qual s(t) é contada em metros e t em segundos.
Determine a velocidade do balão quando t = 6s.
A )
12 m/s.
B )
20 m/s.
C )
14 m/s.
D )
54 m/s.
2 -
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos
veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade
média nesse cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t³ – 10,5 t² +30t + 20 km/h, em que t é o número
de horas após o meio-dia. 
Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais
lento?
A )
Temos que o maior fluxo de carros no cruzamento é às 15 horas e o menor fluxo de carros no cruzamento é
às 13 horas.
B )
Temos que o maior fluxo de carros no cruzamento é às 17 horas e o menor fluxo de carros no cruzamento é
às 15 horas.
C )
Temos que o maior fluxo de carros no cruzamento é as 16 horas e o menor fluxo de carros no cruzamento é
às 18 horas.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para determinar a velocidade do balão quando ( t = 6 ) segundos, primeiro você precisa derivar a função ( s(t) ) em relação ao tempo ( t ) para encontrar a função de velocidade ( v(t) ). Em seguida, você pode substituir ( t = 6 ) segundos na função de velocidade para obter a velocidade no ponto desejado.

A função de posição ( s(t) ) é dada como:

[ s(t) = 6 + 2t + t^2 ]

Para encontrar a função de velocidade ( v(t) ), você deve derivar ( s(t) ) em relação a ( t ):

[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(6 + 2t + t^2) ]

A derivada de ( 6 ) é ( 0 ), a derivada de ( 2t ) é ( 2 ), e a derivada de ( t^2 ) é ( 2t ). Portanto, a função de velocidade ( v(t) ) é:

[ v(t) = 2 + 2t ]

Agora, para encontrar a velocidade quando ( t = 6 ) segundos, basta substituir ( t = 6 ) na função ( v(t) ):

[ v(6) = 2 + 2 \cdot 6 = 2 + 12 = 14 , \text{metros por segundo} ]

Portanto, a velocidade do balão quando ( t = 6 ) segundos é de ( 14 ) metros por segundo.
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D )
Temos que o maior fluxo de carros no cruzamento é às 14 horas e o menor fluxo de carros no cruzamento é
às 17 horas.
3 -
Um fazendeiro tem 1200 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio
reto. Considere que ele não precisa de cerca ao longo do rio. 
Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
A )
300 metros de profundidade e 600 metros de extensão.
B )
250 metros de profundidade e 700 metros de extensão.
C )
200 metros de profundidade e 800 metros de extensão.
D )
400 metros de profundidade e 400 metros de extensão.
4 -
Um contêiner retangular utilizado para estocagem deve ter um volume de 10 m³. O comprimento de sua base
é o dobro da largura. O material para a base custa R$ 10,00 por metro quadrado. O material para os lados,
assim como da tampa custa R$ 6,00 por metro quadrado. Encontre o custo mínimo para construir esse
contêiner.
Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A )
Aproximadamente R$ 191,28.
B )
Aproximadamente R$ 203,82.
C )
Aproximadamente R$ 163,54.
D )
Aproximadamente R$ 178,91.
5 -
Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana a R$ 350,00 cada. Uma pesquisa de
mercado indicou que para cada R$ 10,00 de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades
vendidas aumentava 20 por semana. 
Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?
Wagner
Nota
Resposta
Para encontrar o instante em que o trânsito é mais rápido e o instante em que ele é mais lento, você precisa encontrar os pontos críticos da função de velocidade média (v(t)) e, em seguida, verificar os valores nesse intervalo de tempo (13 a 18 horas).

A função de velocidade média é dada por (v(t) = t^3 - 10,5t^2 + 30t + 20) km/h.

Para encontrar os pontos críticos, você precisa encontrar onde a derivada da função é igual a zero:

(v'(t) = 3t^2 - 21t + 30).

Agora, resolva a equação (v'(t) = 0):

(3t^2 - 21t + 30 = 0).

Você pode resolver essa equação usando a fórmula quadrática. A solução dessa equação é (t = 2) e (t = 5). No entanto, precisamos verificar se esses valores estão dentro do intervalo de 13 a 18 horas.

Agora, calcule (v(2)) e (v(5)) para determinar o instante em que o trânsito é mais rápido e mais lento:

(v(2) = 2^3 - 10,5(2^2) + 30(2) + 20 = 8 - 42 + 60 + 20 = 46) km/h.

(v(5) = 5^3 - 10,5(5^2) + 30(5) + 20 = 125 - 262,5 + 150 + 20 = 32,5) km/h.

Portanto, o trânsito é mais rápido às 2 horas e mais lento às 5 horas dentro do intervalo de 13 a 18 horas.

A resposta correta é:

D) Temos que o maior fluxo de carros no cruzamento é às 2 horas e o menor fluxo de carros no cruzamento é às 5 horas.
Wagner
Realce
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para determinar as dimensões do campo que tem a maior área com uma cerca de 1200 metros, você pode usar cálculo de derivadas. A área do campo retangular é dada pelo produto da sua largura (profundidade) pela sua extensão.

Vamos definir a largura (profundidade) do campo como "x" metros e a extensão como "y" metros. A quantidade total de cerca disponível é de 1200 metros.

A equação da cerca é: 2x + y = 1200.

Isolando "y" na equação, temos: y = 1200 - 2x.

A área do campo é dada por: A = x * y.

Substituindo o valor de "y" na equação da área, obtemos: A = x * (1200 - 2x).

Agora, para encontrar as dimensões que maximizam a área, você pode derivar a função da área em relação a "x" e igualar a derivada a zero:

A' = 1200x - 2x^2.

Agora, igualamos a derivada a zero:

1200x - 2x^2 = 0.

Dividindo ambos os lados por 2:

600x - x^2 = 0.

Agora, resolvemos para "x" (a profundidade):

x(600 - x) = 0.

Isso nos dá duas soluções: x = 0 e x = 600.

Uma profundidade de 0 metros não faz sentido, pois o campo teria comprimento zero. Portanto, a profundidade deve ser x = 600 metros.

Agora que temos a profundidade, podemos encontrar a extensão usando a equação original da cerca:

2x + y = 1200,
2 * 600 + y = 1200,
1200 + y = 1200,
y = 1200 - 1200,
y = 0.

Portanto, as dimensões do campo retangular que maximizam a área são 600 metros de profundidade e 0 metros de extensão ao longo do rio, o que faz sentido, pois ele não precisa de cerca ao longo do rio.

Portanto, a resposta correta é:

A) 300 metros de profundidade e 600 metros de extensão.
Wagner
Realce
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A )
Para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de R$ 200,00.
B )
Para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de R$ 125,00.
C )
Para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de R$ 100,00.
D )
Para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de R$ 150,00.
6 -
Na resolução de problemas que envolvem derivadas aplicam-se algumas regras que nos permitem calcular a
derivada sem usar diretamente os limites.
Por que a derivada de uma constante é igual a zero?
A )
Porque a derivada de constante, mesmo estando acompanhada de uma variável, o seu resultado é igual a zero.
B )
Porque não importa o ponto que for escolhido, o valor sempre será o mesmo em qualquer parte do gráfico.
C )
Para facilitar os cálculos das derivadas.
D )
Porque não tem nenhuma regra que trabalhe com as constantes de uma função.
7 -
Considere os pontos críticos da função
.
Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A )
- 3 e 4.
B )
- 3 e 3.
C )
- 3 e 0.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para determinar o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita, vocêpode seguir os seguintes passos:

Calcule a receita sem desconto:
Receita sem desconto = Número de unidades vendidas * Preço por unidade
Receita sem desconto = 200 unidades/semana * R$ 350,00/unidade = R$ 70.000,00/semana

Agora, vamos considerar o efeito do desconto na quantidade de unidades vendidas. Sabemos que a cada R$ 10,00 de desconto, o número de unidades vendidas aumenta em 20 por semana. Portanto, o número de unidades vendidas adicionais por R$ 10,00 de desconto é 20.

Vamos calcular o aumento na quantidade de unidades vendidas para diferentes valores de desconto:

Para um desconto de R$ 10,00, o aumento nas vendas é 20 unidades.
Para um desconto de R$ 20,00, o aumento nas vendas é 40 unidades.
E assim por diante.
Agora, calcule a receita para cada nível de desconto:
Receita com desconto = (200 unidades/semana + aumento nas unidades vendidas) * (Preço por unidade - valor do desconto)

Calcule a receita com desconto para cada opção de desconto dada nas alternativas e escolha a que resulta na maior receita. Vamos calcular a receita com desconto para cada opção:

A) Desconto de R$ 200,00:
Receita com desconto = (200 unidades/semana + 200 unidades) * (R$ 350,00/unidade - R$ 200,00) = R$ 30.000,00

B) Desconto de R$ 125,00:
Receita com desconto = (200 unidades/semana + 125 unidades) * (R$ 350,00/unidade - R$ 125,00) = R$ 42.500,00

C) Desconto de R$ 100,00:
Receita com desconto = (200 unidades/semana + 100 unidades) * (R$ 350,00/unidade - R$ 100,00) = R$ 42.000,00

D) Desconto de R$ 150,00:
Receita com desconto = (200 unidades/semana + 150 unidades) * (R$ 350,00/unidade - R$ 150,00) = R$ 37.500,00

Portanto, para maximizar a receita, a loja deve oferecer um desconto de R$ 125,00, como na opção B.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
A resposta correta é:

C) Para facilitar os cálculos das derivadas.

A derivada de uma constante é igual a zero porque, ao derivar uma constante, você está essencialmente medindo a taxa de variação de algo que não muda. Portanto, a derivada é zero, o que torna os cálculos das derivadas mais simples e convenientes, especialmente em problemas de cálculo.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para encontrar os pontos críticos da função (f(x) = x^4 + 4x^3), precisamos primeiro calcular a derivada de (f(x)) em relação a (x), que é chamada de (f'(x)), e depois igualá-la a zero para encontrar os valores de (x) que correspondem aos pontos críticos. Vamos fazer isso passo a passo:

Calcule a derivada de (f(x)):
(f(x) = x^4 + 4x^3)
(f'(x) = 4x^3 + 12x^2)

Igualando (f'(x)) a zero para encontrar os pontos críticos:
(4x^3 + 12x^2 = 0)

Agora, podemos fatorar (4x^2) da equação:
(4x^2(x + 3) = 0)

Agora, podemos encontrar os valores de (x) que tornam a equação igual a zero, resolvendo (4x^2 = 0) e (x + 3 = 0):

Para (4x^2 = 0), temos (x = 0).
Para (x + 3 = 0), temos (x = -3).

Portanto, os pontos críticos da função (f(x) = x^4 + 4x^3) são (x = 0) e (x = -3). Assim, a alternativa correta é:

D) 0 e -3.
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D )
0 e 4.
8 -
Devemos compreender como aplicar as regras de derivação de funções. Sobre a utilização das regras de
derivação, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) f(x) = 4 cos x, implica em f’(x) = - 4 sen (x).
( ) G(v) = 7 tg (v), implica em G’ (v) = 7 sec2 (v).
( ) y = x2 + x sen (x), implica em y’ = x + sen (x) + x cos (x).
( ) k(t) = t – t2 cos t, implica em k’(t) = 1 – 2t cos (t) + t sen (t).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A )
V – F – F – F.
B )
V – V – F – F.
C )
F – F – V – F.
D )
F – V – V – V.
9 -
Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 60 m de
perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior possível.
Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A )
O terreno deve ter 15 m de comprimento e 15 m de largura.
B )
O terreno deve ter 20 m de comprimento e 10 m de largura.
C )
O terreno deve ter 19 m de comprimento e 11 m de largura.
D )
O terreno deve ter 18 m de comprimento e 12 m de largura.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para determinar se as sentenças dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F) em relação às regras de derivação de funções, vamos analisá-las uma por uma:

f(x) = 4 cos(x) implica em f'(x) = -4 sen(x).
Verdadeiro. A derivada de cos(x) é -sen(x), e a derivada de 4 é 0.

G(v) = 7 tg(v) implica em G'(v) = 7 sec^2(v).
Verdadeiro. A derivada de tg(v) é sec^2(v), e a derivada de 7 é 0.

y = x^2 + x sen(x) implica em y' = x + sen(x) + x cos(x).
Verdadeiro. Utilizando a regra da soma e as derivadas de x^2, x e sen(x), obtemos essa expressão.

k(t) = t - t^2 cos(t) implica em k'(t) = 1 - 2t cos(t) + t sen(t).
Verdadeiro. Utilizando a regra da soma e as derivadas de t, t^2 e cos(t), obtemos essa expressão.

Portanto, a sequência correta é a alternativa B) V – V – F – F.
Wagner
Realce
Wagner
Nota
Resposta
Para maximizar a área de um retângulo com um perímetro fixo, é necessário que o retângulo seja um quadrado, pois, nesse caso, a área será a maior possível.

Neste caso, o perímetro do retângulo é 60 metros, e como a casa é térrea (sem segundo andar), você pode dividi-la em quatro lados iguais. Portanto, o comprimento e a largura do terreno devem ser iguais.

A fórmula para o perímetro de um retângulo é: P = 2*(comprimento + largura).

Você tem P = 60 metros e deseja encontrar o comprimento (C) e a largura (L). Como o retângulo é um quadrado, C = L. Portanto, podemos reescrever a fórmula como:

60 = 2*(C + C)
60 = 4C

Agora, divida ambos os lados por 4 para encontrar o valor de C:

C = 60 / 4
C = 15 metros

Portanto, o comprimento e a largura do terreno devem ser de 15 metros cada, o que corresponde à alternativa A:

A) O terreno deve ter 15 metros de comprimento e 15 metros de largura.
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10 -
As margens superiores e inferiores de um pôster têm 6 cm e cada margem lateral tem 4 cm. Se a área do
material impresso no pôster é de 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área.
Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A )
As dimensões do pôster é de 16 cm por 36 cm.
B )
As dimensões do pôster é de 24 cm por 36 cm.
C )
As dimensões do pôster é de 18 cm por 24 cm.
D )
As dimensões do pôster é de 20 cm por 18 cm.
Wagner
Realce