MAT_1ENG_2019_MOD_4

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
PARA 
ENGENHARIA I 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
MÓDULO 4 
 
1º TERMO - 2019 
 
 
 
Prof. Ms. Júlio César Barrios 
julio@toledoprudente.edu.br 
mailto:julio@toledoprudente.edu.br
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – VETORES 
 
Em Física chamam-se grandezas àquelas propriedades de um sistema físico que podem ser medidas. Elas 
variam durante um fenômeno que ocorre com o sistema, e se relacionam formando as leis físicas. Podemos dizer 
que a Física lida com as grandezas físicas. 
 
Agora medir significa comparar grandezas da mesma espécie. Por exemplo, o comprimento de uma mesa 
com o comprimento da mão (palmo). O resultado de uma medida sempre apresenta duas partes: o valor e uma 
unidade (padrão de comparação). 
 
 
6.1 – Grandezas escalares e vetoriais 
 
Algumas grandezas físicas exigem, para a sua perfeita caracterização, apenas um valor numérico 
acompanhado de uma unidade (u). Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim, grandezas 
físicas como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e muitas outras, são classificadas como 
grandezas escalares. 
 
Por outro lado, existem grandezas físicas que, para a sua perfeita caracterização, exigem, além do valor 
numérico acompanhado da unidade, uma direção e um sentido. Tais grandezas recebem o nome de grandezas 
vetoriais. Como exemplo de grandezas vetoriais podemos citar: força, impulso, quantidade de movimento, 
velocidade, aceleração e muitas outras. 
 
6.1.1 – Números e sua representação 
 
Um número é uma ideia que expressa a noção de quantidade. Para comunicarmos a ideia usamos uma 
representação simbólica chamada numerais. Podemos citar aqui os numerais Hindu-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9, .... 
 
6.1.2 – Vetores e sua representação 
 
As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor. Um vetor reúne, em 
si, o módulo, representando o valor numérico ou intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a 
orientação da grandeza. 
 
É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: 
 
► um conjunto de retas paralelas têm as mesmas direções 
 
 
 Retas horizontais Retas inclinadas 
 
 
 
► à cada direção, podemos associar uma orientação ou sentido 
 
 
 reta horizontal para a direita reta horizontal para a esquerda 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento de reta orientado (direção e 
sentido) com uma determinada medida (módulo). 
 
 

a 
 A B r (r: reta suporte) 
 
 
 
 
 Módulo: representado pelo comprimento do segmento AB 
 
 Vetor 

a Direção: reta determinada pelos pontos A e B (inclinação da reta suporte r) 
 
 
 Sentido: de A para B (orientação da reta AB – sentido da “seta”) 
 
 
 
Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas abaixo (

a ou AB) 
 
 

a 
 A B 
 (Origem) (Extremidade) 
 
Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das seguintes notações: a ou a . 
Assim, 

a indica o vetor, e a indica apenas o módulo do vetor. 
 
 
 
6.2 – Vetores iguais e vetores opostos 
 
 Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Vetores iguais também podem ser chamados de vetores equipolentes. 
 
 
 
 
a 
 
 
v 
 
 
b 
 
w 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 – Representação de Grandezas Vetoriais 
 
 
 Muitas vezes precisaremos representar as grandezas vetoriais desenhando os vetores (“setas”). 
 
 Para representar o módulo do vetores, usa-se a escala. 
 
Por exemplo: Para representarmos vetorialmente a velocidade de um corpo que se desloca 
horizontalmente para a direita a 40km/h, podemos desenhar uma seta com 4cm, onde cada centímetro equivale a 
10km/h. 
 

v 
 
 (escala 1,0 cm: 10 km/h) 
 
Em alguns casos fica muito difícil se caracterizar a direção e o sentido do vetor, então usamos os 
quadrantes do sistema cartesiano xy. 
 
Assim, para caracterizarmos a velocidade abaixo, fazemos: 
 
 
 v = 8m/s 
 
 
 
 
 40º 
 x 
 
 
 
 
 
a 
 
 
v 
 
 
 a 
 
 v 
 
 







 xeixo o com 40º de ângulo um 
 formando quadrante, Primeiro :Sentido e Direção
8m/s :Módulo
v 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para caracterizarmos a força a seguir, fazemos: 
 
 
 
 x 
 30º 
 
 
 
 
F = 3N 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1) Caracterize os vetores abaixo: 
 
a) c) v = 98m/s 
 
v = 27m/s 
 
 
 
 
 
 80º 
 X d) 
 
 d =12m 
b) x 
 49° 
 
 
 
 d = 13m 
 
 
2) Uma pedra cai verticalmente de modo que num dado instante a sua velocidade é 25 m/s. Dê as características 
da velocidade da pedra neste instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







 xeixo o com 30º de ângulo um 
 formando quadrante, Terceiro :Sentido e Direção
3N :Módulo
F 
GABARITO 
 
1) a) 27m/s; 2º quadrante; ângulo de 80º com o eixo x b) 13m; 4º quadrante; ângulo de 49º com o eixo x 
 c) 98m/s; horizontal, para esquerda d) 12m; vertical,para cima 
 
2) 25m/s; vertical, para baixo 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 – Adição de Vetores 
 
 
Para a adição de vetores, vamos, inicialmente, definir vetor resultante: 
 
 
“O vetor resultante ou vetor soma, de dois ou mais vetores, é o vetor 
único que produz o mesmo efeito que os vetores somados”. 
 
 
Para a determinar o vetor resultante, ou seja, para efetuarmos a adição vetorial de dois ou mais vetores, 
podemos utilizar três métodos, denominados: 
 
a) Regra do Polígono 
b) Regra do Paralelogramo 
c) Regra da Decomposição Vetorial 
 
 
6.4.1 – Regra do Polígono 
 
 
Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, escolhemos, arbitrariamente, um dos vetores 
como ponto de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a 
extremidade do 1º e assim sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma (S) ou resultante (R) é 
determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor traçado As figuras abaixo representam a 
adição dos vetores a, b, c dados: 
 
 

a 
 

b 
 
 

c 
 
 Ө 
 
 
 
 
O vetor resultante é: 
 
 
 
 
 
 
 
(

R é o vetor resultante da soma dos vetores 

 cba ) 
 

b 

c
 

a 

R 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na determinação do vetor resultante R acima, iniciamos a adição vetorial pelo vetor

a , em seguida 
traçamos o vetor

b , e finalmente, o vetor

c . O vetor R foi determinado pela origem do vetor

a e pela extremidade 
do vetor 

c . 
 
As figuras a seguir nos mostram que, qualquer que seja a ordem adotada, 

 cba , 

 cab ou

 acb , o vetor resultante será o mesmo. 
 
 
 (

 cab ) (

 acb ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dados três vetores 

a , 

b e 

c , sendo: a = 40 u, horizontal para a direita, b = 30 u, vertical para baixo e 
 c = 80 u, horizontal para a esquerda. Determine o vetor resultante e o seu módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Resolução em sala de aula) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

b
 

c
 

R 

a 

a 

b
 

c
 

R 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Nos quadriculados abaixo, temos a representação de alguns vetores. Obtenha o módulo do vetor 
soma em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
 
 
b 
 
 
 
 
 
 
b 
 
 
 
a 
 
 
 
 
c 
 
 
 
 
 
b 
 
 
a 
 
a) 
b) 
c) 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados dois vetores d1 e d2 abaixo, obtenha graficamente o vetor soma e calcule o seu módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um automóvel se desloca 40 km para o sul, a seguir 40 km para o oeste e 10 km para o norte. Determine a 
menor distância que ele deve percorrer para voltar ao ponto de partida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
 

c 
 
a 
 
 
 
 
d 
 
 
a 
 
 
 
c 
 
 
 
 
b 
 
d) 
e) 
GABARITO: 
 
1) a) 5 b) 4 2 ou 5,6 c) 5 d) 0 e) 2 17 ou 8,24 2) 10m 3) 20 13 ou 72,11km 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) A figura abaixo representa os deslocamentos sucessivos de uma pessoa. Calcule o módulo do vetor que liga os 
pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um vetor A possui módulo 10u, encontra-se no quadrante III e forma um ângulo de 30º com o eixo x. Faça um 
esquema representando o vetor descrito. 
 
 
3) Um navio se desloca 36 km para o leste e, em seguida, 48 km para o sul. Determine o módulo do deslocamento 
vetorial do navio. 
 
 
4) Um automóvel se desloca 50 km para o leste, 40 km para norte e 20 km para o oeste. Determine a menor 
distância que ele deve percorrer para voltar ao ponto de partida. 
 
 
5) Na figura a seguir estão representados os vetores X e Y, que representam deslocamentos sucessivos de um 
corpo. A escala, na figura é de 1:1. Qual o módulo do vetor X+Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O esquema abaixo representa os deslocamentos sucessivos de uma pessoa. Obtenha a intensidade do vetor 
deslocamento sofrido por essa pessoa para ir de A até B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Nos quadriculados abaixo, temos a representação de três vetores. Obtenha o módulo do vetor soma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
 
 
 
 
b 
 
 
a 
 
 
 
a 
 
b 
 
 
c 
 
 
 
 
3m 
3m 
GABARITO 
 
1) 13m 2) ---- 3) 60km 4) 50km 5) 5cm 6) 15m 7) 2 2 ou 2,8 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 – Regra do Paralelogramo 
 
Esta regra é utilizada para a adição de dois vetores. Assim, dados dois vetores

a e

b , em módulo, direção 
e sentido, conforme a figura abaixo: 
 
 A 
 

a O β 
 α 

b 
 O B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 

a 
 α 
 O Ө = α + β 
 β 
 

b 
 B 
 
 
A determinação do vetor soma ou resultante é obtida do seguinte modo: 
 
i) Traçamos os vetores a e b com as origens coincidindo no mesmo ponto; 
ii) Pela extremidade do vetor a, traçamos no segmento pontilhado paralelo ao vetor b; 
iii) Pela extremidade do vetor b, um segmento pontilhado paralelo ao vetor a; 
iv) O vetor resultante tem origem coincidente com as origens dos vetores a e b e extremidade no ponto de 
cruzamento dos segmentos pontilhados.
a 
 
 

R 
 O Ө 
 
 

b 
 
 
 
 
 
 
O módulo do vetor R é dado por: 
 
cos...222 babaR  
 
Sendo Ө o ângulo formado pelos vetores

a e 

b 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos particulares: 
 
a) Quando os vetores

a e 

b têm a mesma direção e sentido (Ө = 0º) 
 
 

a 

b 
 e 
 
 

a 

b 
 
 

R 
 
b) Quando os vetores

a e 

b têm a mesma direção e sentidos contrários (Ө = 180º) 
 
 

a 

b 
 e 
 
 

a 
 

b 
 

R 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule o módulo do vetor soma, dos vetores a e b, módulos 6u e 8u, respectivamente, nos seguintes casos: 
 
a) Ө = 0º 
b) Ө = 90º 
c) Ө = 180º 
 
2) Com relação ao exercício anterior, calcule o módulo do vetor soma, quando o ângulo entre os vetores a e b for 
60º (cos 60º = 0,5). 
 
3) Sabendo-se que x = 10 e y = 12, obtenha os possíveis valores do módulo do vetor soma quando os vetores 
tiverem: 
 
a) a mesma direção e sentido; 
b) a mesma direção e sentidos opostos; 
c) o ângulo formado entre eles de 60º. 
 
 
 
 
GABARITO: 1) a) 14u b) 10u c) 2u 2) 2 37 ou 12,16 3) a) 22 b) 2 c) 2 91 ou 19,08 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Determine o módulo do vetor soma de dois vetores que formam entre si um ângulo de 30º e cujos módulos 
medem 4m e 1 m. Dado cos 30º ≈ 0,8 
 
2) Dois homens puxam um caixote, exercendo sobre ele as forças F1 e F2, cujas intensidades, direções e sentidos 
estão indicados na figura abaixo. Determine a resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dois homens puxam horizontalmente um carro por meio de cordas, sendo o ângulo entre elas igual a 45º. 
Sabendo que um dos homens exerce uma força de 75 kgf e o outro, uma força de 50 kgf, determine a 
intensidade da força resultante. Dado cos 45º ≈ 0,7 
 
4) Considerando o esquema abaixo indicando os vetores A, B, C e D, obtenha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O módulo da soma S1 = A + B 
b) O módulo da soma S2 = A + C 
c) O módulo da soma S3 = A + D 
d) O módulo da soma S4 = C + D 
e) O módulo da soma S1 = B + D 
GABARITO 
 
1) 23,4 ou 4,84 
2) 100kgf 
3) 5 535 ou 115,65 
4) a) 5 b) 1 c) 41 ou 6,4 d) 34 ou 5,83 e) 2 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.3 – Regra da Decomposição Vetorial 
 
Inicialmente, analisemos as componentes retangulares de um vetor: 
 
 
“Todo vetor

v , em um plano, pode ser representado por dois outros 
vetores, chamados componentes retangulares”. 
 
 
Dado um vetor

v e duas direções de referência OX e OY, determinamos as componentes retangulares 
do vetor

v através das projeções perpendiculares da origem O e da extremidade do vetor nas direções dadas, 
conforme figura a seguir: 
 
 
 y 
 
 
 
 yv

 

v 
 
 
 
 
 O x 
 xv

 
 
Para determinarmos os módulos das componentes xv

 e yv

devemos usar as relações trigonométricas 
no triângulo retângulo: 
 
 
 y 
 
 
 
 yv

 

v 
 
 
 
 Ө 
 O x 
 xv

 
 
 
 
 
 
yv

é o componente vertical do vetor 

v 
xv

 o componente horizontal do vetor 

v 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 yv

 

v yv

 
 
 
 
 Ө ● 
 O x 
 xv

 
 
Observando o triângulo retângulo, temos: 
 


senvv
v
v
sen
vv
v
v
y
y
x
x
.
cos.cos


 
 
E “de quebra”, podemos “amarrar” esses três valores dos módulos, v, vx e vy, através do “bom e velho” 
Teorema de Pitágoras! 
 
222
yx vvv  
 
Exemplos: 
1) Obtenha os componentes horizontal e vertical do vetor

v cujo módulo vale 10, que pertence ao 1º 
quadrante e tem inclinação de 30º com o eixo x. 
 
Resolução: 
 
 y 
 
 
 
 yv

 10 
 
 
 
 Ө = 30º 
 O x 
 xv

 
55,0.10º30.10.
7,887,0.10º30cos.10cos.


yyyy
xxxx
vvsenvsenvv
vvvvv


 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Obtenha os componentes horizontal e vertical do vetor

v nos seguintes casos: 
 
 a) y Resolução: 
 
 
 
 
 
 10 
 
 O x 
 
 
 
 b) y 
 
 Resolução: 
 
 
 4 
 
 
 O x 
 
 
 
3) Considere o sistema composto pelas forças 321 e ,

FFF com seus respectivos módulos valendo 30N, 20N 
10N representados abaixo. Determine a resultante das forças nesse sistema. 
 
 y 
 
 
 
 

2F 
 
 
 
 Ө = 60° 
 O x 
 
 
 

3F 
 
(Resolução em sala de aula) 
 
 
 
 
 
 
00.10º0.10.
101.10º0cos.10cos.


yyyy
xxxx
vvsenvsenvv
vvvvv


 
41.4º90.4.
00.4º90cos.4cos.


yyyy
xxxx
vvsenvsenvv
vvvvv


 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Num plano xy, encontra-se um vetor

a de módulo 20u, formando um ângulo  com o eixo x. 
Calcule os módulos das componentes do vetor

a . Dados: cos  = 0,6 e sen  = 0,8 
 
2) Dados 3 vetores abaixo, localizados no plano xy, obtenha as componentes x e y de todos os vetores3) Com relação ao exercício anterior, obtenha os vetores soma nos eixos x e y (Sx e Sy). 
 
4) Com relação ao exercício anterior, obtenha o módulo do vetor soma. 
5) Considere o sistema composto pelas forças 4321 e ,,

FFFF com seus respectivos módulos valendo 10N, 
8N, 4N e 6N representados abaixo. Determine a resultante das forças nesse sistema. 
 
 y 
 
 
 
 

1F 
 
 
 
 Ө = 30° 
 O x 
 β = 60° 
 
 

4F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 1) ax = 12 e ay = 16 2) ax = 5 e ay = 3 bx = 0 e by = 3 cx = 0 e cy = 4 
 3) Sx = 5 e Sy = 2 4) 29 ou 5,38 5) 10N (aproximadamente) 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMETARES 
 
1) Calcule a resultante das forças do sistema abaixo: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ө = 60° 
 O x 
 
 
 NF 83 

 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados os vetores

u ,

v e 

w com módulos respectivamente iguais a 4, 6 e 8, determine a resultante em cada 
caso a seguir: 
 
a) y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 45° 
 O x 
 
 
 

w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NF 62 

 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30° 
 O x 
 
 
 

v 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O x 
 60° 
 
 
 
 
 

v 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) 2,44 N 2) a) 9,07N b) 7,3N c) 9,2 N