Lista 03

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Lista 3 - Cálculo II
1) Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L. Seja γ uma curva em R2, contínua em t0, com γ(t0) = (x0, y0)
e, para t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) com γ(t) ∈ Df . Prove que
lim
t→t0
f(γ(t)) = L
2) Sejam f(x, y) e g(x, y) contínuas em (x0, y0) e seja k uma constante. Segue das propriedades dos
limites que f + g, kf e fg são, também, contínuas em (x0, y0). Além disso, se g(x0, y0) 6= 0, então
f
g
será, também, contínua em (x0, y0).
3) Represente geometricamente o domínio da função dada.
a)f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 b)f(x, y, z) =
√
1− z
c)f(x, y, z) =
√
1− x− y − z, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 d)f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)
4) Calcule, caso exista.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x sin
(
1
x2 + y2
)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
h) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
5) Sejam f : A ⊂ R2 → R e γ1 e γ2 curvas em R2, contínuas em t0, com γ1(t0) = γ2(t0) = (x0, y0) e,
para t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) e com γ(t) ∈ Df . A a�rmação
“ lim
t→t0
f(γ1(t)) = lim
t→t0
f(γ2(t)) = L⇒ lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L”
é falsa ou verdadeira? Justi�que.
6) Calcule lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
||(h, k)||
, onde f(x, y) = x2 + y.
7) Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a
g(u) = L, com g não-de�nida em a e Imf ⊂ Dg. Prove
que
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a
g(u).
Prove também que o resultado continua válido se supusermos g de�nida em a, com g contínua em a.
(Dica: adeque os passos da demonstração deste resultado no caso de funções de uma variável. Em "UM
CURSO DE CÁLCULO, vol.1 - GUIDORIZZI"encontra a demonstração para o caso de uma variável)
8) Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y2)
x2 + y2
. (Dica: use o exercício 7 ).
9) Seja f(x, y) =
 e
(
1
x2 + y2 + 1
)
, se x2 + y2 < 1
0, se x2 + y2 ≥ 1
. Calcule
lim
(x,y)→
(√
2
2 ,
√
2
2
) f(x, y)x2 + y2 − 1 .
10) Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justi�que a resposta.
a)f(x, y) = 3x2y2− 5xy + 6 b)f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
c)f(x, y) = ln
(
x− y
x2 + y2
)
d)f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2
e)f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
f)f(x, y) =

sin(x2 + y2)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se(x, y) = (0, 0)
11) f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
é contínua em (0, 0)? Justi�que.
12) Seja φ : R → R uma função de uma variável real, diferenciável e tal que φ′(1) = 4. Seja
g(x, y) = φ
(
x
y
)
. Calcule
a)
∂g
∂x
(1, 1) b)
∂g
∂y
(1, 1)
13) A função p = p(V, T ) é dada implicitamente pela equação pV = nRT , onde n e R são constantes
não-nulas. Calcule
∂p
∂V
e
∂p
∂T
.
14) Seja z = eyφ(x− y), onde φ é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= z.
15) Determine uma função f(x, y) tal que

∂f
∂x
= 3x2y2 − 6y
∂f
∂y
= 2x3y − 6x+ y
y2 + 1
.
16) Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
sendo f(x, y) =

x+ y4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
17) Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (t, t, z(t)), t ∈ R, uma curva cuja imagem está contida no
grá�co de f .
a) Determine z(t).
b) Esboce os grá�cos de f e γ.
c) Determine a reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2).
d) Seta T a reta do item c, mostre que T está contida no plano de equação
z − f(1, 1) = ∂f
∂x
(1, 1)(x− 1) + ∂f
∂y
(1, 1)(y − 1).
18) Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico ou estacionário de z = f(x, y) se
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0. Determine(caso existam) os pontos críticos da função dada:
a)f(x, y) = x2 + y2 b)f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y
c)f(x, y) = 3x2 + 8xy2 − 14x− 16y d)f(x, y) = x4 + 4xy + y4
2
19) Calcule as derivadas parciais.
a)f(x, y, z) = xex−y−z b)w = x2arcsen
(y
z
)
c)w =
xyz
x+ y + z
d)f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2)
20) Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e(
x
y−
z
w ). Veri�que que
x
∂s
∂x
+ y
∂s
∂y
+ z
∂s
∂z
+ w
∂s
∂w
= 0
21) Seja φ : R → R uma função diferenciável tal que φ′(3) = 4. Seja g(x, y, z) = φ(x2 + y2 + z2).
Calcule:
a)
∂g
∂x
(1, 1, 1) b)
∂g
∂y
(1, 1, 1) c)
∂g
∂z
(1, 1, 1)
3