Resumo de limites

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CÁLCULO
limites
INTRODUÇÃO AOS LIMITES
LIMITES E SUAS PROPRIEDADES
o limite é o valor do qual uma função se
aproxima, quando a variável tende a um valor.
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
o primeiro passo para resolver um limite é
substituir valor que a variável tende na função.
como no exemplo abaixo:
𝑥 3
lim
→
𝑥2 = 9
● propriedades
(onde K é uma constante)
𝑥 𝑎
lim
→
𝐾 = 𝐾
𝑥 𝑎
lim
→
[𝐾𝑓(𝑥)] = 𝐾𝑓(𝑎) → 𝐾
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐾𝑓(𝑎)
𝑥 𝑎
lim
→
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] →
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥) ±
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥)
𝑥 𝑎
lim
→
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] →
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥)
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) →
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥)
○ propriedades das contínuas
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥))
● indeterminações
○ 000
∞
∞ ∞
○ 00 ∞0 1∞
○ ∞ − ∞
quando chegamos em
indeterminações, precisamos manipular a
função para a indeterminação sumir.
○ operando com ± ∞
■ 𝐾±∞ = 0
■ 0𝐾 = 0
■ ±∞𝐾 =± ∞
LIMITES LATERAIS E EXISTÊNCIA DO LIMITE
No gráfico abaixo, a função
tem tendências𝑓(𝑥) = {𝑥2 → 𝑥 < 0; 𝑒𝑥 → 𝑥 ≥ 0}
diferentes para .𝑥 = 0
Quando x tende a 0 pela esquerda, a
função se aproxima de 0. Já pela direita, se
aproxima de 1.
● limites laterais
𝑥 𝑎±
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
● existência do limite
○ limites laterais não podem explodir
para .± ∞
○ limites laterais devem possuir o
mesmo valor.
𝑥 𝑎−
lim
→
𝑓(𝑥) =
𝑥 𝑎+
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Tendo isso em vista a função
não existe, pois os𝑓(𝑥) = {𝑥2 → 𝑥 < 0; 𝑒𝑥 → 𝑥 ≥ 0}
limites laterais são diferentes.
COMO SAIR DE INDETERMINAÇÕES
QUOCIENTE DE POLINÔMIOS COM 𝑥 → 𝐾
sempre que der indeterminação com x00
tendendo a , quer dizer que é raiz de ambos𝐾 𝐾
os polinômios.
para sair dessa, você precisa fatorar
ambos os polinômios, dividindo cada um por
, onde é o valor da raiz, logo, o valor que x𝑥 − 𝐾 𝐾
está tendendo.
● caso com módulo
se aparecer um módulo, faça os limites
laterais.
|𝑥 − 𝐾| = {− (𝑥 − 𝐾) → 𝑥 < 𝐾; 𝑥 − 𝐾 → 𝑥 ≥ 𝐾}
○ 𝑥 → 𝐾− → − (𝑥 − 𝐾) → 𝑥 < 𝐾
○ 𝑥 → 𝐾+ → 𝑥 − 𝐾 → 𝑥 ≥ 𝐾
@raysantori 1
CÁLCULO
CONJUGADO
se você ver a soma ou subtração de
raízes quadradas, possivelmente pode operar um
conjugado.
multiplique o numerador e o denominador
pelo conjugado do termo que tenha raiz quadrada.
𝑥 +∞
lim
→
𝑥 − 𝑥2 + 3 = ∞ − ∞
depois, multiplica-se o inverso do
conjugado por 1, no caso , ou seja:𝑥+ 𝑥
2+3
𝑥+ 𝑥2+3
𝑥+ 𝑥2+3
𝑥+ 𝑥2+3 𝑥 +∞
lim
→
𝑥 − 𝑥2 + 3
𝑥 +∞
lim
→
(𝑥− 𝑥2+3)(𝑥+ 𝑥2+3)
𝑥+ 𝑥2+3
quando fazemos isso, aparece o produto
da diferença com a soma de dois termos, isso é,
.(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
𝑥 +∞
lim
→
𝑥2−(𝑥2.3)
𝑥+ 𝑥2+3
INDETERMINAÇÃO INFINITO-INFINITO
quando der indeterminação de soma ou
subtração de infinito com infinito, ou seja, ,∞ ± ∞
mexa nas duas funções da operação do limite.
faça mmc e junte duas funções que
tenha, seja soma ou subtração. Depois de ter uma
única função, faça os limites laterais, para que
termine em um ou outro.
QUOCIENTE DE FUNÇÕES COM 𝑥 → ∞
normalmente, vai dar uma
indeterminação do tipo , sendo assim, coloque∞∞
em evidência o termo de maior grau no
numerador e no denominador, depois disso,
simplifique os valores em evidência. após isso, se
houver quando , saiba que o valor vai1
𝑥𝑛
𝑥 → ∞
para zero.
TEOREMA DO CONFRONTO/SANDUÍCHE
se está entre outras duas, e𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥)
e . Então, .
𝑥 𝑎
lim
→
ℎ(𝑥) =
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
ou seja, .𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
logo, .
𝑥 𝑎
lim
→
𝑔(𝑥) ≤
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑎
lim
→
≤ ℎ(𝑥)
portanto, se os limites das pontas forem
iguais, então também será.
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥)
LIMITES FUNDAMENTAIS
LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO
𝑥 0
lim
→
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥 = 1
● propriedades
○ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1
○ 1 + 𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
○ 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
○ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) ∓ 𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑥)
○ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) ∓ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦)
○ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1−𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2
○ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1+𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2
● limite com substituição
𝑥 0
lim
→
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥 → 3𝑥 = 𝑢 → 𝑥 =
𝑢
3
𝑢 0
lim
→
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑢
3
=
𝑢 0
lim
→
3𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑢 = 3
𝑢 0
lim
→
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑢 = 3. 1 = 3
LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL
ou
𝑥 ±∞
lim
→
(1 + 1𝑥 )
𝑥 = 𝑒
𝑥 0
lim
→
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒
@raysantori 2
CÁLCULO
(onde é a base neperiana que vale )𝑒 ≈ 2, 72
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
uma função é contínua em um ponto, se:
𝑥 𝑎
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
para que ela seja totalmente contínua,
esse limite precisa valer para todos os pontos de
.𝑓(𝑥)
descubra se ela é contínua calculando os
limites laterais com x tendendo a certo ponto e,
verificar se eles são iguais e, se são iguais a no𝑓
ponto, caso seja, a função é contínua.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
● para raízes de uma função
o teorema do valor intermediário nos diz
que, se em um intervalo o valor de uma[𝑎, 𝑏]
função contínua troca de sinal, então há uma raiz
real nesse mesmo intervalo.
ou seja, se você tiver uma função
contínua e, calcular o valor de e e obter𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏)
valores com sinais opostos, pode afirmar que há
uma raiz nesse intervalo.
Logo, .𝑎 < 𝑐 < 𝑏 | 𝑓(𝑐) = 0
EXTENSÃO CONTÍNUA
quando houver uma função com ponto de
descontinuidade, mas, após calcular o limite, ver
que ele converge para um valor finito.
por exemplo, na função ,𝑓(𝑥) = 𝑥
2−1
𝑥−1 𝑥 = 1
está fora do domínio. Mas se calcularmos o limite
. fazemos que:
𝑥 1
lim
→
𝑥2−1
𝑥−1 = 2
𝑓(𝑥) = {2 → 𝑥 = 1; 𝑥
2−1
𝑥−1 → 𝑥 ≠ 1}
Se o limite não for para , ou seja, se± ∞
não “explodiu”, não há assíntotas nesse ponto.
ASSÍNTOTAS
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
● assíntota vertical
é uma reta vertical que vai passar por um
ponto, onde a função se aproxima, mas não se
toca.
para descobrir o que se passa em cada
lado da reta, devemos calcular os limites laterais
com , onde é ponto de descontinuidade.𝑥 → 𝑎 𝑎
se houve em um desses limites, ou± ∞
nos dois, há um assíntota vertical.
● assíntota horizontal
quando quisermos saber o que acontece
com uma função quando ela vai para ,± ∞
devemos aplicar os limite laterais, com .𝑥 → ± ∞
caso encontre um valor finito para um dos
limites, ou nos dois, há uma assíntota horizontal.
ASSÍNTOTAS OBLÍQUAS
uma assíntota oblíqua é uma reta
inclinada, onde uma função se aproxima quando
, mas jamais toca.𝑥 → ± ∞
equação da assíntota oblíqua:
, onde:𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
e .𝑚 =
𝑥 ±∞
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑛 =
𝑥 ±∞
lim
→
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥)
nota: não há como ter assíntota horizontal e oblíqua
para o mesmo lado, por isso, descubra se há uma assíntota
horizontal primeiro.
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