TAXA DE VARIAÇÃO

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Por diversas vezes pensamos muito na variação de grandezas, como por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante. De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, x varia de x0 até x0 + Δx (podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).
O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δx considerada.
Dada uma função y = f (x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente da variável independente, podemos considerar algumas situações:
 
 
O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto do domínio será muito mais eficaz.
O conceito de derivada está relacionada à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.
Problemas de taxas relacionadas são problemas aplicados nos quais devemos calcular a taxa na qual uma grandeza muda em relação a outras grandezas cujas taxas são conhecidas.
Imagine que temos o seguinte problema:
O raio r(t) de um círculo está aumentado a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Em determinado instante t0, o raio é de 8 centímetros. Existem duas grandezas mencionadas nesse problema: r(t) é o raio do círculo depois de t segundos. Ele é medido em centímetros. A(t) é a área do círculo depois de t segundos. Ela é medida em centímetros quadrados.
Uma circunferência tem raio r de t e uma área A de t.
O problema também se refere às taxas dessas grandezas. A taxa de variação de cada grandeza é dada por sua derivada: r'(t) é a taxa instantânea na qual o raio muda com o tempo t. Isso é medido em centímetros por segundo. A'(t) é a taxa instantânea na qual a área muda no tempo t. Ela é medida em centímetros quadrados por segundo.
Temos que o raio está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Isso significa que r′(t)=3 para qualquer valor de t.
Também temos que em um determinado instante t0​, o raio é de 8 centímetros. Isso significa que r(t0​)=8. Observe que isso é válido apenas para t0​, e não para qualquer valor de t.
Assim conseguimos calcular a taxa de variação de A(t), no instante t0. Matematicamente, estamos buscando A′(t0​).
Depois que nós entendemos as grandezas relevantes, podemos procurar uma equação, ou fórmula, que as relacione. As grandezas no nosso caso são a área e o raio de um círculo. Essas grandezas são relacionadas usando a fórmula da área de um círculo:
A=πr²
Para calcular A′(t0​) nós temos que derivar os dois lados da equação. Uma vez feito isso, nós poderemos relacionar A′(t0​) com outros valores conhecidos, como r′(t0​) o que nos permite calcular A′(t0​). Como nós não temos as fórmulas explícitas para A(t), usaremos diferenciação implícita:
Esse é o coração da nossa solução: ao relacionar grandezas (ou seja, A e r), nós somos capazes de relacionar suas taxas (ou seja, A' e r') usando diferenciação. Essa é a razão pela qual chamamos esses problemas de "taxas relacionadas".
Na equação que nós obtemos é verdadeira para qualquer valor de t e especificamente para t0. , podemos substituir r(t0​)= e r′(t0​)=3 nessa equação:
Concluindo, nós calculamos que em t0​, a área está aumentando a uma taxa de 48π, centímetros quadrados por segundo.
Outro exemplo:
Se y = f(x) é uma função derivável em x0, o valor de f´(x0) mede o número de unidades de variação de y por unidade de variação de x no instante x0 e, por esse motivo, é chamada de taxa de variação de y em relação à x em x0. A que taxa de variação cresce a área de um círculo em relação ao seu raio, quando o raio é igual a 2, sabemos que a área de um círculo é função do seu raio através da fórmula teremos que Portanto, quando r=2 encontraremos Logo 4 é o valor da taxa de crescimento da área em relação ao raio, quando este é igual a 2 algumas vezes lidamos com a composição e em que se deseja calcular a taxa de variação y em relação a t, num instante t0, conhecendo a taxa de variação de x em relação a t, no mesmo instante to . 
Se y = f(x) é uma função, a razão , pode ser interpretada como a taxa de variação da variável y em relação à variável x, isto é, esta taxa pode ser interpretada como uma forma de medir "quão rápido" a variável y está mudando à medida em que a variável x muda. No caso de funções afim, esta taxa é sempre constante, isto é, a acréscimos constantes em x , correspondem acréscimos constantes em y , isto é, a alteração que ocorre na função y = m x + b, quando x varia de x1 para x2 = x1 + h ( h > 0), não depende de x , mas sim do tamanho h do intervalo considerado.
Dois carros partem de um cruzamento no mesmo momento. Um viaja para o norte a 80 km/h e outro viaja para o leste a 60 km/h . A que taxa aumenta a distância entre os dois carros 2 horas após a partida, Sendo y a distância em relação ao ponto de partida P do carro que foi para o norte e a distância do outro carro que foi para o leste, Logo x e y podem ser colocados em função do tempo através das equações: x=60t e y=80t . Suas velocidades são, respectivamente, Seja S a distância entre os dois carros. Já que o triângulo da figura é retângulo em P, podemos relacionar com e usando o Teorema de Pitágoras, S² = x²+y², para encontrar a taxa de variação de S em relação a t deveremos derivar implicitamente a expressão em relação a t e, assim, teremos:
Portanto, duas horas após a partida, a distância entre os dois carros aumenta a uma velocidade de 100 km/h .