AD1 CÁLCULO I 2023.2 - QUESTÕES

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO AD2 – CÁLCULO I – 2/2023
Código da Disciplina: EAD01005/EAD01083
Questão 1 [3 pontos]
Calcule a derivada das seguintes funções:
a) [1 ponto] f(x) = sen (3x) e2x;
b) [1 ponto] g(x) = ln (1 + x) arcsec(2x);
c) [1 ponto] h(x) = cos 3x1 + sen(2x− 1) .
Solução:
a) f(x) = sen (3x) e2x
f ′(x) = 3 cos(3x) e2x + 2 sen (3x) e2x
b) g(x) = ln (1 + x) arcsec(2x)
g′(x) = arcsec(2x)1 + x +
2 ln(1 + x)
|x|
√
x2 − 1
c) h(x) = cos 3x1 + sen(2x− 1)
h′(x) = −3 sen (3x) (1 + sen (2x− 1)) − 2 cos(3x) cos(2x− 1)(1 + sen (2x− 1))2
Questão 2 [3 pontos]
Considere a função definida por f(x) = 1
x
− x
2
2 . Determine:
• O doḿınio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos de coordenadas;
• Os intervalos de crescimento e decrescimento do gráfico de f , assim como eventuais pontos
de máximo e pontos de ḿınimo locais;
• Os intervalos nos quais o gráfico de f tem concavidade para baixo e nos quais tem a concavidade
para cima, assim como eventuais pontos de inflexão;
• As equações das asśıntotas verticais e das asśıntotas horizontais;
Esboce o gráfico de f levado em contas as informações obtidas e determine a sua imagem.
Solução:
• Doḿınio de f(x) = 1
x
− x
2
2 =
2− x3
2x é o conjunto dos números reais não nulos:
Dom(f) = R − { 0 }.
Cálculo I AP3 2
Como 0 /∈ Dom(f), o gráfico de f não intersecta o eixo Oy. Para determinar a interseção com o
eixo Ox devemos resolver a equação f(x) = 0:
f(x) = 1
x
− x
2
2 =
2− x3
2x = 0 ⇐⇒ x =
3
√
2 .
A única interseção com o eixo Ox ocorre no ponto (0, f(0)) = (0, 3
√
2 ).
• Para responder esse item, devemos derivar a função.
f(x) = 1
x
− x
2
2 = x
−1 − x
2
2
f ′(x) = −x−2 − x = −1− x
3
x2
Para a análise de sinais da derivada, basta analisar o sinal do numerador, uma vez que x2 ≥ 0, ∀x ∈ R
e 0 não pertence ao doḿınio da função.
O numerador y = −1 − x3 tem um zero em x = −1, pois 3
√
−1 = −1 e a função cúbica
y = −1− x3, do ponto de vista de sinais, é positiva à direita de x = −1 e é negativa à esquerda de
x = −1:
−1 0
+ + + + + + ++ −−−−−−−−−−−−−−−−
Concluimos que x = −1 é ponto cŕıtico e também um máximo local da função, que é crescente no
intervalo (−∞, −1) e decrescente na região (−1, 0) ∪ (0, +∞).
• Para essa etapa, precisamos derivar a função pela segunda vez:
f(x) = 1
x
− x
2
2 = x
−1 − x
2
2
f ′(x) = −x−2 − x = −1− x
3
x2
f ′′(x) = 2x−3 − 1 = 2− x
3
x3
A análise de sinais da derivada segunda f ′′(x):
0 3
√
2
2− x3 + + + 2 + + + 0 −−−
x3 −−− 0 + + + 2 + + +
f ′(x) + + + @ −−− 0 + + +
^ _ Inflex. ^
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Cálculo I AP3 3
Podemos concluir que na região (−∞, 0) ∪ ( 3
√
2 , +∞) a concavidade do gráfico de f é voltada
para baixo e no intervalo (0, 3
√
2 ) a concavidade do gráfico de f é voltada para cima. Note que
0 /∈ Dom(f) e x = 3
√
2 é o único ponto de inflexão da função.
• Para o estudo das asśıntotas precisamos calcular os limites infinitos e no infinito.
lim
x→±∞
f(x) = lim
x→±∞

�
�
��
0
1
x
−
�
�
���
+∞
x2
2
 = −∞ .
Isso indica que o gráfico de f não admite assintota horizontal.
lim
x→0+

�
�
��
+∞
1
x
−
�
�
���
0
x2
2
 = +∞ e lim
x→0−

�
�
��
−∞
1
x
−
�
�
���
0
x2
2
 = −∞.
Os limites infinitos indicam que o gráfico da função f admite x = 0 como asśıntota vertical.
Esboço do gráfico
O gráfico evidencia que a função é sobrejetora: Im(f) = R.
Questão 3 [2 pontos]
Quais são as dimensões de um retângulo com área de 100m2 cujo peŕımetro seja o menor posśıvel?
Solução:
x
x
y y
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Cálculo I AP3 4
Vamos considerar um retângulo cujas dimensões são de x m por y m.
O peŕımetro do retângulo e sua área são dados, respectivamente por:
P = 2x + 2y e A = x y.
A relação A = 100m2, nos dá y(x) = 100
x
, que substitúındo em P nos dá
P (x) = 2x + 200
x
.
Queremo minimizar o peŕımetro P no intervalo (0, +∞).
Derivando e igualando a zero, para determinar pontos cŕıticos:
P ′(x) = 2− 200
x2
= 2x
2 − 200
x2
= 0 ⇐⇒ x = ±10.
O ponto cŕıtico no intervalo (0, +∞) é x = 10, que é um ponto ḿınimo local, pois
P ′′(x) = 400
x3
=⇒ P ′′(10) = 0, 4 > 0.
Como essa é a única mudança de sinal no intervalo, x = 10 é ponto ḿınimo local e absoluto de P
em (0, +∞) e o retângulo de uma dada área com peŕımetro ḿınimo é o quadrado.
Questão 4 [2 pontos]
A equação x2 − xy − 2y2 = 4 define uma hipérbole cuja figura se encontra a seguir. Determine os
pontos desta hipérbole nos quais as retas tangentes a ela são paralelas à reta definida pela equação
y = 2x− 7.
Solução:
Derivando implicitamente a equação x2 − xy − 2y2 = 4 obteremos informação sobre os coeficientes
angulares das retas tangentes a ela.
x2 − xy − 2y2 = 4
2x− y − xy′ + 4yy′ = 0
(4y − x)y′ = y − 2x
y′ = y − 2x4y − x
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Cálculo I AP3 5
A condição para que a reta tangente a curva seja paralela à reta definida pela equação y = 2x − 7
é y′ = 2:
y′ = y − 2x4y − x = 2 =⇒ y − 2x = 2(4y − x) =⇒ y = 0.
Portanto, os pontos da curva nos quais a reta tangente tem inclinação 2 são os pontos comuns com
o eixo Ox, que são (−2, 0) e (2, 0). As equações que definem essas retas são, respectivamente:
y = 2(x− 2) e y = 2(x + 2); y = 2x− 4 e y = 2x + 4.
A figura a seguir é apenas ilustrativa e não faz parte da resposta.
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