AP1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2022.2 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Geometria Anaĺıtica I - 2022-2
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Considere os pontos A = (1, 1), e B = (−1, 3), e a reta r que passa por eles para responder as
questões 1 e 2:
Questão 1 [1,0 ponto]: Determine o ponto P pertencente à reta r tal que ||
−−→
PB || = ||−−→PA ||.
Questão 2 [1,0 ponto]: Determine as equações paramétricas das retas s1 e s2 que são paralelas à
reta r e distam 2
√
2 da reta r.
Resolução:
(1) Se
−−→
AB = (−2, 2) e (−2, 2) ∥ (−1, 1), então r :
{
x = 1 − t
y = 1 + t , t ∈ R são equações paramétricas
de r. Assim, existe um t real, de forma que:
P = (1 − t, 1 + t),
satisfazendo a relação requerida. Substituindo as coordenadas de P, A e B na equação ||
−−→
PB || =
||
−−→
PA ||, obtemos: √
(−2 + t)2 + (2 − t)2 =
√
t2 + t2
Resolvendo a equação acima, encontramos que t = 1. Substituindo t = 1 nas coordenadas de P
dadas acima, temos
P = (1 − 1, 1 + 1) = (0, 2).
(2) Primeiramente, notemos que, r é paralela ao vetor (−1, 1) e contém o ponto A. Sendo assim,
o vetor (1, 1) é perpendicular à reta r e esta reta possui equação cartesiana da seguinte forma:
x + y = k,
para algum k real. Como A ∈ r, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de k:
1 + 1 = k ⇐⇒ k = 2.
Portanto, a equação cartesiana da reta r é x + y = 2.
Como s1 e s2 são retas paralelas à reta r, então s1 e s2 são paralelas ao vetor (−1, 1) e perpendiculares
ao vetor (1, 1). Logo, as equações de s1 e s2 possuem a seguinte forma:
x + y = c,
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para algum c real. Como a distância de r e s1 (também a distância de r até s2) é 2
√
2, então:
d(r, s1) = 2
√
2 ⇐⇒ |c − 2|√
2
= 2
√
2 ⇐⇒ c = 6 ou c = −2.
Portanto, as equações cartesianas de s1 e s2 são x + y = −2 e x + y = 6.
Considere os pontos A = (−2, 3) e B = (2, 4) para responder as questões 3 e 4:
Questão 3 [1,5 ponto]: Encontre a equação cartesiana da reta r1 que passa por A e B. Faça um
esboço da reta r1 utilizando um sistema cartesiano de eixos coordenados.
Questão 4 [1,5 ponto]: Encontre a equação cartesiana da reta r2 que passa por A e é perpendicular
à reta r3 :
{
x = t + 1
y = 3t − 1 , t ∈ R. Faça um esboço contendo as retas r2 e r3, e também o ponto A,
utilizando um sistema cartesiano de eixos coordenados.
Resolução:
(3) Se
−−→
AB = (4, 1), então o vetor (1, −4) é perpendicular à reta r1. Logo, a equação cartesiana de
r1 possui o seguinte formato:
x − 4y = c
para algum c real. Como A = (−2, 3) ∈ r, então suas coordenadas satisfazem a equação de r1:
−2 − 4(3) = c ⇐⇒ c = −14.
Assim, a equação cartesiana de r1 é x − 4y = −14.
Para fazer o gráfico da reta r1 foi preciso marcar dois de seus pontos, no caso A e B. Veja o gráfico
a seguir.
(4) Note que −→u = (1, 3) é uma vetor paralelo à reta r3. Logo, −→u = (1, 3) é perpendicular à reta
r2 já que r2 e r3 são perpendiculares. Sendo assim, a equação cartesiana de r2 possui o seguinte
formato:
x + 3y = c
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para algum c real. Como A = (−2, 3) ∈ r2, então suas coordenadas satisfazem a equação de r2:
−2 + 3(3) = c ⇐⇒ c = 7.
Assim, a equação cartesiana de r2 é x + 3y = 7.
Para fazer o gráfico das retas r2 e r3 foi preciso marcar dois de pontos de cada uma das retas. Para
r2 foram usados o ponto A e (7, 0). E para a reta r3, foram usados os pontos (0, −4) e (1, −1).
Veja o gráfico a seguir.
Questão 5 [3,0 pontos]: Seja R a região do plano formada pelos pontos que satisfazem o sistema
de inequações a seguir:
R :

x2 − 2x + y2 + 6y < −6
x + y ≤ 0
y ≥ −2
Faça um esboço da região R e marque todos os pontos e curvas que delimitam a região R.
Resolução:
Queremos encontrar a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3, onde
R1 : x2 − 2x + y2 + 6y < −6,
R2 : x + y ≤ 0,
R3 : y ≥ −2.
A região R1 é limitada pela curva C1 : x2 − 2x + y2 + 6y = −6 ⇐⇒ (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4, que
é um ćırculo centrado em (1, −3) e raio 2. Este ćırculo divide o plano em duas regiões, sendo uma
interior ao ćırculo e outra exterior ao ćırculo. Para descobrir qual região buscamos, vamos substituir
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as coordenadas de um ponto pertencente a uma das regiões para verificar se ele pertence a região.
Vejamos se o ponto (1, −3), que é o centro do ćırculo, pertence a região R1:
12 − 2(1) + (−3)2 + 6(−3) < −6 ⇐⇒ −10 < −6.
Como −10 é menor que −6, a região que procuramos é a região que contém o centro (1, −3) do
ćırculo, ou seja, a região interior ao ćırculo. E também podemos notar que o ćırculo C1 não pertence
à região R1.
A região R2 é limitada pela curva C2 : x + y = 0, que é uma reta que passa pela origem. C2 divide o
plano em dois semiplanos, sendo um contendo o ponto (1, −3) (escolhido por ser o centro da curva
C1). Vejamos então se a região R2 contém o ponto (1, −3). Substituindo as coordenadas (1, −3)
do centro de C1 na inequação x + y ≤ 0 obtemos:
1 − 3 ≤ 0 ⇐⇒ −2 ≤ 0.
Como −2 ≤ 0 é uma afirmação falsa, conclúımos que o é o semiplano que contém o centro do ćırculo
C1 que pertence à região procurada. Também podemos notar que a reta C2 pertence à região R2.
A região R3 é limitada pela curva C3 : y = −2, que é uma reta horizontal paralela ao eixo OX. A reta
C3 divide o plano em dois semiplanos, sendo que um deles contém pontos que possuem coordenada
y maior que -2 (acima da reta) e o outro o que possui pontos com coordenadas y menor que -2
(abaixo da reta). Podemos notar que, a região que buscamos é o semiplano que fica acima da reta
y = −2 e isso fica claro se substituirmos o ponto (0, 0), por exemplo, pertencente ao semiplano que
fica acima da reta C3, na inequação R3:
0 ≥ −2.
Como 0 ≥ −2 é uma afirmativa verdadeira, a região que procuramos é a que contém (0, 0). Também
podemos notar que a reta C3 pertence à região R3.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Para isso é necessário
resolver os seguintes sistemas:
(a)
{
(x − 1)2 + (y + 3)2 = 4
x + y = 0 , (b)
{
(x − 1)2 + (y + 3)2 = 4
y = −2 , (c)
{
x + y = 0
y = −2.
Resolvendo o sistema (a) encontramos o pontos A = (1, −1) e B = (3, −3), resolvendo o sistema
(b) encontramos o ponto C = (1 −
√
3, −2) e D = (1 +
√
3, −2) e para o sistema (c) encontramos
E = (2, −2), que estão marcados na figura.
Na figura a seguir, destacamos em azul a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3.
Partes das retas C2 e C3 pertencem à região procurada, mas nenhuma parte do ćırculo R1 pertence
à região procurada.
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Atenção: Os pontos A, B, C e D não pertencem à região R.
Questão 6 [2,0 pontos]: Sejam P = (1, 0) e Q = (1, 1) pontos do plano e r : x + y = 1 uma
reta. Encontre a equação do ćırculo que passa por Q e é tangente à reta r em P .
OBS.: Lembre-se que uma reta tangente à um ćırculo é perpendicular à reta que passa pelo centro
e pelo ponto de tangência do ćırculo.
Resolução:
Seja C o centro e R o raio do ćırculo procurado. Devemos notar que C está sobre uma reta que
chamaremos de s, que é perpendicular r e passa por P . Vamos então encontrar s.
O vetor −→u = (1, 1) é perpendicular à reta r, então −→u é paralelo à reta s. Como P ∈ s, então
s :
{
x = 1 + t
y = t , t ∈ R.
Como C ∈ s, existe um t real de forma que C = (1 + t, t). Além disso, como P e Q pertencem ao
ćırculo procurado, então
d(C, P ) = d(C, Q).
Assim,√
(1 + t − 1)2 + (t − 0)2 =
√
(1 + t − 1)2 + (t − 1)2 ⇐⇒ 2t2 = t2 + (t − 1)2 ⇐⇒ t = 1/2.
Logo, C = (1 + 1/2, 1/2)= (3/2, 1/2).
Ainda falta calcular o raio R do ćırculo procurado para podermos escrever sua equação. Para isso,
baste calcular d(C, P ) ou d(C, Q):
R = d(C, P ) =
√
(3/2 − 1)2 + (1/2 − 0)2 =
√
1/4 + 1/4 =
√
1/2.
Logo, a equação procurada é:
(x − 3/2)2 + (y − 1/2)2 = 1/2.
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