História do conhecimento matemático na Antiguidade

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História do conhecimento
matemático na Antiguidade
Prof. Rafael Montoito
Descrição
A História da Matemática com o estudo dos conhecimentos
matemáticos das civilizações mesopotâmica, egípcia e greco-romana.
Propósito
Reconhecer que, de diferentes civilizações, recebemos múltiplas
contribuições que ajudaram a matemática a se desenvolver e
contribuíram para a história, é elemento fundamental na formação do
educador matemático.
Objetivos
Módulo 1
Matemática na Mesopotâmia
Reconhecer a contribuição dos povos mesopotâmicos para os
conhecimentos matemáticos.
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Módulo 2
Matemática no Antigo Egito
Identificar as principais contribuições dos egípcios para a História da
Matemática.
Módulo 3
Matemática na Grécia pré-pitagórica
Analisar o período pré-pitagórico grego e o desenvolvimento de
elementos essenciais matemáticos.
Módulo 4
Matemática na Antiguidade clássica greco-
romana
Analisar a contribuição greco-romana da Antiguidade clássica na
constituição da Matemática.
A matemática que estudamos atualmente é o desdobramento de
conhecimentos construídos por diversas civilizações da
Antiguidade. Isso significa dizer que a matemática nem sempre foi
assim e que passou por diversas mudanças, ao longo do tempo,
recebendo contribuições de povos de diferentes culturas, até se
transformar na ciência que hoje conhecemos. Podemos, portanto,
dizer que a matemática é uma aventura humana, uma aventura da
razão e do intelecto.
Em nosso estudo, veremos como três povos antigos –
mesopotâmicos, egípcios e gregos – contribuíram para que a
matemática, em princípio utilizada apenas para atividades práticas
Introdução
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1 - Matemática na Mesopotâmia
Ao �m deste módulo, você será capaz de reconhecer a contribuição dos povos
mesopotâmicos para os conhecimentos matemáticos.
Civilização mesopotâmica
A região e o povo da Mesopotâmia
como contar e medir, se elevasse à ciência da exatidão. Além disso,
veremos que alguns aspectos da matemática desses povos
continuam entre nós, sendo utilizados de forma bastante corriqueira
há mais de vinte séculos.
Orientação sobre unidade de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos
juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o
número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e
demais materiais escritos por você devem seguir o padrão
internacional de separação dos números e das unidades.
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A palavra grega Mesopotâmia significa “entre rios”, motivo pelo qual
entendemos o nome dado à região que, na Antiguidade, se estabeleceu
entre os rios Tigre e Eufrates. Nessa extensão geográfica, ao longo de
vários anos, se constituíram pequenos centros de poder por onde
passavam diversos povos nômades. A história dessa região é cheia de
lutas e conquistas. Por isso, é fácil compreendermos que, em alguma
medida, elementos de uma cultura foram impregnados por elementos de
outra. Com o passar do tempo, essas combinações configuraram
práticas – sociais e matemáticas – que hoje são descobertas e
estudadas pelos historiadores. O mapa a seguir mostra essa região,
composta por partes onde atualmente estão localizados os países Síria,
Iraque, Kuwait e Irã.
Mapa da Mesopotâmia.
Mapa atual da antiga região da Mesopotâmia.
Comecemos nossa retrospectiva historiográfica falando dos sumérios,
povo que lá habitava. Os sumérios foram conquistados por Sargão I, rei
dos acádios, povo de origem semita, por volta de 2350 a.C. Esse rei
estabeleceu a sede do seu reinado na cidade de Ur, a qual foi substituída
mais à frente por uma nova capital, Acádia. Veja a linha do tempo com
as reviravoltas a partir deste acontecimento:
2200 a.C.
A ó t d i S ã I
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Quando os livros se referem à Babilônia, é bom termos em mente que
também ali diferentes povos e culturas se entrecruzaram:
Os semitas são conhecidos como os “antigos
babilônicos” e não devem ser confundidos com
Após a morte do rei Sargão I, os
bárbaros gutianos conquistaram
a região.
2100 a.C.
O rei Erech expulsou os bárbaros
gutianos e retomou o domínio
sumeriano.
2000 a.C.
O povo elemita dominou a
região, destruiu Ur e pôs fim à
Suméria.
1800 a.C.
Os elemitas foram expulsos por
outro povo de origem semita, os
amoritas, que fizeram de
Babilônia a sua capital.
1700 a.C.
O rei Hamurabi, de origem
amorita, criou um código de leis
e elevou a Babilônia a uma
posição de grande destaque e
produção intelectual na região.
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“neobabilônicos”.
Os “neobabilônicos” são os fundadores no Segundo Império Babilônico
(2000 a.C - 1600 a.C.) – período do qual vem a maioria dos tabletes de
argila com registros matemáticos, dos quais falaremos a seguir. Outro
período importante da história dessa região é o da Selêucida, império
que se estabeleceu na Babilônia por volta de 312 a.C., depois da morte
de Alexandre, o Grande.
Arqueólogos e historiadores conseguiram identificar importantes
documentos com registros matemáticos dessa época áurea da
Babilônia. É comum alguns textos apresentarem como “matemática
babilônica” os conhecimentos acumulados antes da criação desse reino
ou depois do seu fim, mas só usaremos essa nomeação quando
estivermos nos referindo especificamente aos tabletes ou matemática da
Babilônia.
De modo geral, dado que algumas práticas matemáticas guardam
semelhanças desde o terceiro milênio da antiguidade até o período
selêucido, a essas nos referiremos como o adjetivo “mesopotâmico”,
como sugere a professora e historiadora da matemática Tatiana Roque.
Atribui-se aos sumérios, com uma data aproximada a 3500 a.C., a
invenção da escrita. Porém, quando falamos aqui de “invenção da
escrita”, é preciso abrir mão da ideia de um processo mágico, que teria
sido inventado de um dia para o outro, bem organizado e concluído.
Grandes marcas históricas como essa são processos que se desdobram
lentamente, passando por múltiplas modificações até atingirem
determinada estabilidade que vem a perdurar no tempo. A invenção da
escrita é passo determinante para o registro dos números e das ações
matemáticas daquele tempo, como veremos a seguir.
Escrita mesopotâmica
A escrita e os registros
Sem a invenção da escrita, o registro de símbolos mesopotâmicos que
representam quantidades numéricas não teria sido possível.
Os registros que sobreviveram ao tempo são exemplos de fontes
históricas feitas de argila, aos quais chamamos de “tabletes”.
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Tablete mesopotâmico.
A versão histórica tradicional supunha que a escrita havia começado de
forma pictográfica, isto é, associada ao registro de figuras que
representavam objetos do cotidiano. A escrita mesopotâmica é chamada
de “escrita cuneiforme” por ter sido produzida com o auxílio de objetos
em forma de cunha, como um estilete.
Essa versão começou a ser contestada por volta de 1930, quando
escavações na região de Uruk, no Iraque, revelaram tabletes dos anos
3000 a.C., aproximadamente. Neles, os historiadores perceberam que as
figuras querepresentavam algum objeto concreto eram exceção.
Encontraram ainda o que parecia revelar a existência de processos de
abstração: figuras ovais, circulares e triangulares.
Décadas mais tarde, a partir da pesquisa de Denise Schmandt-Besserat,
começou-se a propor a tese de que a forma de escrita mais antiga teria
sua origem em dispositivos de contagem. Isso porque algumas
escavações revelavam, seguidamente, pequenos tokens, que são objetos
de argila em diferentes formatos, tais como cones, esferas, discos,
cilindros etc, que eram utilizados para representar medidas. A figura a
seguir mostra algumas de suas formas:
Tokens.
Os tokens eram uma forma de contar bem diferente da que conhecemos,
pois eles não representavam números. Eram instrumentos particulares
que serviam para contar cada tipo de insumo: jarras de óleo
correspondiam a ovoides, pequenas quantidades de grãos a esferas etc.
Além disso, os tokens eram utilizados na relação de um por um: uma
jarra era um ovoide, duas jarras eram dois ovoides etc. Essa
contabilidade era “armazenada” em um invólucro de argila, que recebia,
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em sua forma, representações gráficas do que armazenava, o que era
relativamente prático, pois, caso contrário, quando fosse preciso saber
novamente o que cada invólucro guardava, ele teria de ser quebrado. É o
que podemos ver na figura a seguir.
Invólucro de argila cuja superfície mostra representações de tokens.
Com o tempo, é provável que os povos antigos tenham se dado conta de
que não era preciso inserir os tokens em um invólucro, bastando apenas
representá-los graficamente em um tablete. Por isso, atualmente, muitos
historiadores entendem que a substituição dos tokens por sinais foi o
primeiro passo para a escrita. Isso teria colocado, em algum nível, a
associação de formas geométricas e atividades de contagem à gênese
da escrita cuneiforme.
Com relação à gênese do número (ROQUE, 2012), os primeiros numerais
não eram símbolos criados para representar números abstratos, mas,
sim, sinais impressos que indicavam medidas de grãos. Em um
momento posterior, as marcas passaram a representar quantidades, mas
a elas era preciso acrescentar o ideograma do que estava sendo
contado, caso contrário, não seria possível diferenciar quatro ovelhas de
quatro jarros. Na figura a seguir, é possível vermos marcas em forma de
cunha associadas à representação de ovelha.
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Tablete plano com inscrições da quantidade de ovelhas.
São essas representações e esse sistema embrionário de escrita que
conduziram à organização do sistema numérico mesopotâmico.
Sistema numérico mesopotâmico
Relação entre sistemas numéricos
mesopotâmicos
Neste vídeo, o professor apresenta o sistema numérico mesopotâmico,
demonstrando a relação entre um sistema sexagesimal e decimal.
Se observarmos atentamente abaixo, veremos formas talhadas que
lembram a secção de um cone representando a quantidade de ovelhas
de algum cidadão mesopotâmico. Esse tipo de registro é chamado de
prontocuneiforme, pois antecedeu a escrita cuneiforme.

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Representações numéricas.
Isso significa que o sistema numérico mesopotâmico também foi se
modificando ao longo dos anos, até atingir determinada estabilidade.
Para representar quantidades maiores, os mesopotâmicos utilizavam a
combinação das formas ou as desenhavam em tamanho diferente,
como se pode ver a seguir:
Sistema numérico mesopotâmico.
Como podemos notar, há apenas dois símbolos, um para a unidade e
outro para a dezena. Mas repare que a representação gráfica para 60 é
idêntica à do 1, o que indica que, a partir desse valor, as representações
se repetem: é como se seguíssemos contando por cima da mesma
tabela.
Isso acontece porque o sistema numérico mesopotâmico tem base
sexagesimal. É provável que, no começo, pensar os números desse
modo cause estranhamento, pois estamos acostumados com o nosso
sistema de base 10. Entretanto, ambos são posicionais, isto é, a
representação assume determinado valor dependendo da posição que
ela ocupa. É por isso que o mesmo símbolo mesopotâmico para 1 pode
representar, além do 60, suas potências: 60, 360, 3600, 216000...
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Para representarmos determinado número N na base 60, escrevemos do
seguinte modo:
Os livros sobre a história da matemática adotam “;” para separar a
leitura das partes (unidade, dezena, centena etc.) do número babilônico,
quando vertidas para nosso sistema decimal. Um exemplo é o da
representação <<, que pode ser anotado como 20 (0; 20), conforme a
tabela, ou como (10; 10) – neste caso, o número expresso seria 610,
pois:
Veja, na tabela a seguir, os vários números mesopotâmicos e sua escrita
respectiva em base decimal.
Leitura dos números mesopotâmicos em base decimal.
Preste atenção nos seguintes símbolos:
N = an60n + an− 160n− 1 + an− 260n− 2 + ⋯ + a2602 + a1601 + an60∘
N = an60n + an− 160n− 1 + an− 260n− 2 + ⋯ + a2602 + a1601 + an600
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Pensemos agora na seguinte situação: a representação cuneiforme do
símbolo 1 tanto serve para 23, quanto para 1.203 (20; 3), 1.380 (23; 0),
72.003 (20; 0; 3), 82.800 (23; 0; 0), 4.320.180 (20; 0; 3; 0) e tantos outros
números. O que possibilita essa múltipla interpretação é o fato de que
não havia nenhum símbolo para se registrar a casa vazia, o que não
facilita sabermos se determinado símbolo está sendo tomado como
unidades, dezenas, centenas etc. A compreensão dependia do contexto
das anotações.
Mas na era selêucida, astrônomos, talvez pela necessidade de lidar com
números grandes, introduziram o símbolo 2 para registrar as posições
vagas. Disso não decorre que os mesopotâmicos tenham inventado o
zero, pois esse símbolo era utilizado apenas para marcar posições
vazias, ou seja, com ausência de quantidade, e não poderia ser colocado
no final de um número. Assim, o símbolo 3 continuava representando 1,
60, 3.600 e as demais potências de 60, mas 7.222 poderia, ao invés de
ser cunhado como o símbolo 4, aparecer na forma do símbolo 5 (2; 0;
22).
Os mesopotâmicos utilizavam raciocínios semelhantes e os mesmos
símbolos para trabalhar com números fracionários, dividindo o inteiro
por 60.
Mais matemática mesopotâmica
Outros conhecimentos matemáticos dos
mesopotâmicos
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Acredita-se que as necessidades da vida comum, tais como negociações
e tributos, impulsionaram uma matemática de cunho prático, com
problemas algébricos que representavam situações do dia a dia.
Entretanto, novamente precisamos ter em mente que a álgebra daquele
tempo não é exatamente a que aprendemos hoje!
O historiador J. HØyrup, nos anos 1990, com base em novos estudos e
traduções, mostrou que a álgebra dos babilônicos estava muito
relacionada ao procedimento geométrico de “cortar e colar” e, por isso,
não pode ser descrita tal qual a álgebra que conhecemos, sendo mais
adequado falarmos em um “cálculo com grandezas”.
Tanto mesopotâmicos quanto egípcios faziam essa
espécie de cálculo, efetuando procedimentos de coisas
que podiam ser medidas.
Em alguns tabletes encontrados, podem ser lidos textos que evidenciam
que os babilônios haviam desenvolvido um bom conhecimento de
aritmética e geometria. Tais textos demonstram queeles já sabiam
resolver equações de primeiro e segundo grau pelo método de
completamento de quadrados, conheciam a propriedade geral dos
triângulos retângulos (a que hoje chamamos de "Teorema de Pitágoras"),
conseguiam calcular corretamente certas áreas e volumes, assim como
a diagonal de um quadrado de lado unitário como sendo 1,414213 (uma
excelente aproximação, dado que a diagonal vale , que é um número
irracional).
Com relação ao círculo, eram menos precisos: alguns tabletes apontam
que o comprimento da circunferência equivale a 3 vezes o diâmetro,
enquanto outros falam em . Na sociedade mesopotâmica,
organizavam-se escolas, pois era preciso que se treinassem escribas
para trabalhos comerciais e governamentais. Embora poucas pessoas
tivessem acesso às escolas, elas foram responsáveis por acumular e
propagar os conhecimentos matemáticos daquela época, os quais
resistiram à conquista de outros povos e ao tempo. Sem esses registros
feitos em argila – os "cadernos" antigos –, seria bem difícil para os
historiadores tentarem reconstruir a historiografia daquela região. A
figura a seguir mostra um "livro" babilônico com exercícios de geometria,
datado de mais ou menos 1700 a.C.
√ 2
3 1
8
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Livro babilônico.
Todavia, nada do que permaneceu documentado indica qualquer
preocupação em provar ou justificar o que se afirmava, motivo por que
se entende que os ensinamentos eram transmitidos como se fossem
receitas do tipo “faça isso, depois isso, em seguida isso e dará o
resultado”.
Na época selêucida, por volta de 300 a.C., a astronomia estava bastante
desenvolvida e empregava procedimentos matemáticos sofisticados, o
que mostra que o conhecimento da matemática da antiga Babilônia não
foi perdido desde 1600 a.C. até perto do início da nossa era. A
observação dos corpos celestes cujos registros são encontrados no
primeiro milênio d.C., bem como a aritmética e o sistema posicional
sexagesimal usados nesse contexto (ROQUE, 2012), pode ter
influenciado os estudos dos gregos Hiparco e Ptolomeu. A astronomia
desenvolvida por esses estudiosos no Egito, na virada do milênio, indica
que os cálculos astronômicos e trigonométricos eram feitos por meio do
mesmo sistema que os mesopotâmicos utilizavam, ainda que com
simbologia distinta, o que permaneceu por muitos séculos, até a
introdução do sistema decimal indo-arábico.
Curiosidade
Por mais distantes que os mesopotâmicos estejam de nós no tempo,
ainda temos resquícios das suas práticas matemáticas, mas não nos
damos conta porque elas foram internalizadas e automatizadas: casos
que podem ser citados dizem respeito a medirmos o ângulo de uma
volta em 360º e dividirmos uma hora em 60 minutos, ambos aplicações
de uma base sexagesimal.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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Questão 1
Sítios arqueológicos sobre a civilização mesopotâmica revelaram
aos historiadores alguns dos indícios mais antigos sobre práticas
matemáticas que conhecemos. Sobre a matemática nos primórdios
dessa civilização, é correto afirmar que:
Parabéns! A alternativa E está correta.
A invenção da escrita é passo determinante para a invenção dos
números, que passam a ser registrados e, assim, ganham forma.
Questão 2
O sistema numérico mesopotâmico é bastante diferente do sistema
decimal que estamos acostumados a utilizar. Sobre esse sistema, é
correto afirmar que:
A Está ligada à prática de apenas um povo.
B
Todos os registros sobre a matemática desse
período foram encontrados na Babilônia, devido à
cidade ter sido um grande centro administrativo e de
comércio.
C
A expressão “matemática babilônica” pode ser
utilizada, sem prejuízos de compreensão, de modo
intercambiável com a expressão “matemática
mesopotâmica”.
D
As principais fontes históricas que revelam registros
matemáticos da civilização mesopotâmica são na
forma de papiros.
E
A invenção da escrita pelos sumérios tem implicação
direta na invenção dos números por eles utilizados.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
O sistema tem base sexagesimal e se utiliza apenas de dois
símbolos, um que marca as unidades e outro que marca as dezenas.
Combinados, e em posições distintas, esses símbolos podem
representar qualquer número.
A Até hoje permanece indecifrado.
B
Utiliza apenas dois símbolos que, combinados,
geram todos os números.
C
Combinações de formas ou variações de tamanho
dos símbolos registrados são apenas distorções dos
registros e não representam quantidades diferentes.
D É desenvolvido considerando a base 30.
E
Desde que surgiu, nunca houve variações
significativas nas suas representações.
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2 - Matemática no Antigo Egito
Ao �m deste módulo, você será capaz de identi�car as principais contribuições dos egípcios
para a história da matemática.
Civilização egípcia
O Egito e os egípcios
Enquanto a Mesopotâmia foi uma região muito conturbada devido às
guerras e às invasões de vários povos, o Egito foi um país independente
ao longo de pelo menos três milênios, até ser conquistado pelo rei persa
Cambises, em 525 a.C.
existência de extensos desertos e pela vasta planície banhada pelo rio
Nilo, cujas inundações ajudavam a fecundar as terras às suas margens.
Além disso, o Egito estava bem protegido contra invasões por condições
naturais, o que dificultava que algum povo selvagem africano chegasse
sem ser notado. Desse modo, o Egito desenvolveu-se com pouca
interferência de outros povos.
Os egípcios (BURNS, 1965) foram os primeiros a
instituir um calendário solar, o qual passou a ser
consultado por volta de 4200 a.C; evidência de que a
matemática, e possivelmente as demais ciências, já
haviam alcançado um grau considerável de
desenvolvimento.
Por volta de 3200 a.C., os povos do Baixo Egito (Norte) foram integrados
ao Alto Egito (Sul), cujo soberano, denominado Menés, deu nome a duas
dinastias, às quais nos referimos hoje como sendo do período Arcaico;
as dinastias sucessivas, da terceira à sexta, formam o que conhecemos
como Antigo Império. O Egito que existe ainda hoje é herdeiro, no tempo,
desses acontecimentos.
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Mapa mostrando o Baixo e o Alto Egito.
Do período egípcio, podemos citar várias contribuições, como a
confecção de armas, instrumentos, tecidos de linho, artefatos de
cerâmica etc.
A arte egípcia é reverenciada até hoje, podendo ser observada em
pinturas em câmeras mortuárias, tapeçarias, objetos de cerâmica. As
representações mostram cenas da vida cotidiana: trabalhadores, flora e
fauna, membros de diferentes castas (incluindo, por vezes, o faraó) e até
mesmo alguns de seus deuses dividem espaço com símbolos da escrita
egípcia.
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Tapeçaria egípcia.
Templo de Abul-Simbel.
Os egípcios também foram especialistas no trato da irrigação e no
saneamento de terras pantanosas. A cobrança de imposto, acredita-se,
foi o primeiro imperativo para o desenvolvimento da geometria, pois
embora teoricamente todas as terras e bens fossem do faraó, na prática
os indivíduos tinham imóveis.
Ogoverno determinava os impostos da terra tendo como base a altura
da enchente do ano e a área de superfície das propriedades, por isso era
preciso haver um modo claro e fácil de calcular essas áreas. Assim
também eram feitas as suas famosas grandes construções. O que nos
leva a questionar:
De que outro modo seria possível erguer tamanhas
esculturas e construções se não houvesse alguma
noção de proporção e de quanta matéria bruta deveria
ser utilizada?
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Conhecendo todo esse contexto, fica fácil percebermos que a
matemática egípcia se desenvolveu a partir de necessidades práticas.
A matemática egípcia
Sistema numérico
O sistema numérico egípcio
Neste vídeo, o professor apresenta o sistema numérico egípcio através
de demonstração, bem como os demais conhecimentos egípcios que
contribuíram para a Matemática.
O sistema numérico egípcio já estava bem desenvolvido por volta do ano
3000 a.C. Ele tem base decimal e é posicional, pois a ordem de leitura do
número, realizada da esquerda para a direita, mostra sempre os maiores
valores primeiros, o que facilita sua leitura. Os egípcios utilizavam
elementos da sua cultura em representação hieroglífica – hieróglifo é o
tipo de caractere da linguagem egípcia – para representar os números
(as representações gráficas e os nomes podem variar um pouco de um
livro para outro). Eram usadas barras para representar do 1 ao 9; uma
alça (ou osso do calcanhar) para o 10; uma espiral (ou laço) para o 100;
uma flor de lótus para o 1.000; um dedo para o 10.000; um girino para o
100.000; e um deus com as mãos levantadas para o 1.000.000

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Sistema numérico egípcio.
A leitura de um número é feita facilmente, pois o sistema é aditivo, isto é,
basta somar os valores que cada símbolo representa. Por exemplo:
considerando a sequência a seguir, os números expressos são,
respectivamente, 217; 3.527; 22.126
Representação de vários números.
Algo peculiar nesse sistema é que, às vezes, números maiores, como
, acabam sendo representados com menos símbolos - no
caso, apenas dois deuses. Por outro lado, para escrevermos o número
egípcio equivalente a , precisaríamos de deuses, pois cada
deus vale Sendo assim, esse sistema não é
adequado para números muito grandes. Isso, porém, não significa que
esse sistema numérico era falho, apenas era adequado às suas
necessidades.
Os egípcios também operavam com frações. Algumas delas tinham uma
representação especial, como a de , que era anotada como o hieróglifo,
mas a maioria seguia uma representação bastante uniforme, com uma
oval desenhada sobre a quantidade que hoje chamamos de
denominador.
2.000.000
1 ⋅ 10300 10394
106e 10
300
106
= 10394.
1
2
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Exemplos de frações egípcias.
Precisamos destacar que a representação oval colocada acima do
número não representa o que hoje entendemos como sendo um
numerador. Nas frações que conhecemos, o numerador indica quantas
partes pegamos de uma subdivisão feita em partes (indicada pelo
denominador), o que não corresponde à notação egípcia, que sempre se
refere a uma única parte do todo – isto é, uma "atualização" da notação
egípcia para o nosso sistema nos levaria a escrever frações do tipo 
Se fôssemos egípcios daquele tempo e fizéssemos uma divisão
qualquer em partes, pegaríamos sempre apenas uma parte delas.
Operações no sistema numérico egípcio
Resolver adições no sistema numérico egípcio era bastante fácil, pois
bastava efetuar as adições e trocar os símbolos por outros que
representavam valores maiores. Por exemplo, para resolvermos a adição
de 123 e 48, o primeiro passo é escrevê-los em numerais egípcios.
Exemplo de adição com números egípcios.
n
1
n .
n
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A parte marcada em vermelho mostra que as barras, que representam as
unidades, somadas dão 11, ou seja, precisamos substituí-las por uma
dezena (alça) e por uma. Desse modo, a soma, no valor de 171, ficaria
representada como a seguir:
Exemplo de adição com números egípcios.
Para efetuar multiplicações, os egípcios faziam sempre uma sequência
de multiplicações por 2 ou, para acelerar o processo, por 10. Isso
também era bastante fácil porque a duplicação em um sistema aditivo é
uma operação simples, já que duplicar um número é apenas dobrar sua
escrita e substituí-la por símbolos que representam maior valor, o que
pode ser feito a qualquer momento.
Como exemplo, suponhamos que desejamos saber a quantidade de
jarros a serem distribuídos para 9 egípcios, assumindo que cada um
deveria receber 13 jarros. O desenvolvimento dessa operação
(multiplicação) aparece a seguir:
Multiplicação de 13 por 9, no sistema numérico egípcio.
A coluna da esquerda representa os egípcios, contados de 2 em 2.
Portando, na primeira linha, vemos que um egípcio teria direito a 13
jarros e, na segunda, vemos dois egípcios, cada um com seus 13 jarros, o
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que dá um total de 26 jarros. Na linha seguinte, dobramos o valor
encontrado para contemplarmos 4 egípcios e, depois, repetimos o
processo para chegarmos a 8 egípcios. O resultado da multiplicação
será a soma dos valores encontrados na primeira e na última linha, pois
1 + 8 = 9 egípcios, que era o total de pessoas a quem devíamos distribuir
os jarros. Logo, se uma pessoa fica com 13 jarros e 8 pessoas ficam
com 104 jarros, a quantidade total seria 117 jarros (exatamente 9∙13) ou,
em hieróglifos:
Resultado da multiplicação.
Obviamente, podemos efetuar uma multiplicação com o algoritmo
egípcio, mas utilizando nosso próprio sistema numérico. Por exemplo:
para multiplicarmos 17 por 21, teríamos:
Númeo multiplicado por Representação no sistema decimal
1 17
2 34
4 68
8 136
16 272
Processo de multiplicação, baseado no algoritmo egípcio.
Como queremos o produto por 21, formamos 21 somando os índices da
primeira, da terceira e da última linhas (1 + 4 + 16). Isso nos leva à soma
dos valores respectivos na segunda coluna (17 + 68 + 272), cujo
resultado é 357.
Procedimento semelhante a esse era empregado para se efetuar
divisões, como como podemos ver abaixo (representação da divisão de
130 por 5):
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Número multiplicado por Dividendo
1 5
2 10
4 20
8 40
16 80
Processo de divisão, baseado no algoritmo egípcio.
Aqui precisamos ter cuidado para fazer a leitura começando na segunda
coluna, que mostra a multiplicação sucessiva do divisor. Como
queremos dividir 130, observamos que, se somarmos os valores da
segunda, da quarta e da última linhas do divisor (10 + 40 + 80),
chegamos ao valor. Na primeira coluna, respectivamente, temos 2, 8 e 16,
cuja soma dá 26. Logo, o resultado da divisão de 130 por 5 é 26.
Outros conhecimentos matemáticos
dos egípcios
Sobre operaçôes com frações, os egípcios as tomavam sempre
considerando 1 na posição que hoje chamamos de numerador. Mas
como eles dividiriam, por exemplo, 6 sacos de grãos por 10 pessoas (em
nossa notação: )? A divisão egípcia consistia em um procedimento
realizado em etapas, conforme ilustra a figura a seguir:
6
10
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Representação de uma divisão egípcia.
Pensemoso seguinte: se houvesse apenas 5 sacos, cada egípcio ficaria
com a metade de um deles. No entanto, sobra o sexto saco, cujo
conteúdo precisa ser dividido em 10 partes iguais. Sendo assim, cada
egípcio ganharia meio saco mais um décimo de saco, reafirmando o que
vimos sobre, para os egípcios, uma fração ser sempre composta pela
soma de frações que representavam uma parte do todo: .
O procedimento egípcio pode ser pensado na forma de um algoritmo
com os seguintes passos: (1) multiplique o numerador por um número
que exceda o denominador e cujo resultado seja o mais próximo desse;
(2) subtraia, do valor encontrado, o denominador: (3) repita os
procedimentos anteriores até a subtração dar zero. Lembrando que aqui
estamos utilizando "numerador" denominador" atribuindo às contas
um olhar atual.
Vejamos, a seguir, um exemplo para tentarmos dividir 
Passos do
algoritmo
Resultado Comentários
Multiplique o
numerador por 5
2 . 5 = 10
10 é o primeiro
valor obtido de
multiplicação de
que excede o
denominador, o 
signgicada que
ficamos com 1/
Subtraria, do
resultado, o
denominador
10 - 9 = 1
Sobrou ainda 1
inteiro para ser
dividido em part
Aqui o resultado
multiplicação nã
mostra excesso,
mas exatamente
valor do
denominador.
Representação egípcia de por meio da soma de frações.
6
10
= 1
2
+ 1
10
e′′
2
9
.
2
9
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A questão é que não é a única possibilidade para a
representação de Sabendo disso, os egípcios organizaram grandes
tabelas que eram consultadas quando necessário e facilitavam a
escolha da representação mais adequada para o que precisava ser
resolvido. Os egípcios, ao contrário dos mesopotâmicos, escreviam em
papiros feitos de uma planta perecível, sendo mais suscetíveis à
deterioração. Muitos dos papiros que os arqueólogos encontraram são
como "livros escolares", com exercícios que os aspirantes a escribas
precisavam aprender.
Os egípcios também parecem ter desenvolvido regras práticas para
resolver problemas de geometria. O papiro de Ahmes (chamado assim
por esse ser o nome do escriba que o criou), também conhecido como
papiro de Rhind (por causa do egiptólogo inglês que o encontrou) data
de aproximadamente 1650 a.C. e está exposto no Museu Britânico. Sem
apresentar justificativas, esse papiro ensina que a área de um círculo é o
quadrado de do seu diâmetro , ou seja, Em linguagem
atual, isso equivale a tomarmos , indiscutivelmente uma
aproximação muito boa para aquela época, dado que a ideia formal do 
só foi desenvolvida posteriormente pelos gregos.
Outro elemento interessante que podemos observar no papiro de Ahmes
é que os egípcios já utilizavam símbolos para indicar a adição (duas
perninhas caminhando no sentido da escrita) e a subtração (duas
perninhas caminhando no sentido oposto). Na figura a seguir, é possível
repararmos nessas notações.
Símbolos para adição e subtração no papiro de Ahmes.
Como vimos, a ênfase inicial da matemática egípcia ocorreu na
aritmética e na mensuração das terras. Acredita-se que a necessidade de
lidar com questões práticas (como o cultivo e os impostos) levou os
egípcios a uma “pré-álgebra”, o que paulatinamente foi apontando para a
necessidade do estudo da ciência por si mesma e para a organização de
1
9
+ 1
45
2
9
.
8
9
D A = ( 8
9
D) 2.
π ≅ 3, 1605
π
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um tipo de escola, pois, com a expansão da sociedade, eram necessários
mais escribas e pessoas que entendessem as matemáticas.
Contudo, a sistematização da álgebra e da geometria só viria com os
gregos, que realmente elevaram a matemática do campo prático para o
campo da razão abstrata.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O sistema numérico egípcio era constituído de hieróglifos e utilizava
diferentes figuras para representar alguns números. Sobre esse
sistema, é correto afirmar que:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Apesar de utilizar, para formar os números, representações
diferentes daquelas com hoje que estamos, o sistema egípcio
também é de base decimal; para cada potência de 10, há um
símbolo específico a ser utilizado na escrita do número.
A
Mesmo com representações diferentes, ele foi
herdado do sistema numérico mesopotâmico.
B
Há símbolos diferentes para representar cada
dezena.
C
Tem a mesma base numérica que o sistema
decimal.
D
Os símbolos utilizados não guardam relação com
objetos reais.
E
Por ser aditivo, o sistema não precisa ser posicional,
o que permite que os símbolos sejam
intercambiáveis no momento da escrita do número,
sem que isso cause prejuízo à sua compreensão.
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Questão 2
O sistema de numeração egípcio servia adequadamente às
necessidades daquele povo e possibilitava que operações
aritméticas fossem feitas. Sobre esse sistema, são feitas as
seguintes afirmações:
I. Os egípcios só realizavam operações com números inteiros.
II. Os egípcios calculavam qualquer multiplicação a reduzindo à
multiplicação por 2.
III. Para efetuar divisões, os egípcios utilizavam um método muito
similar ao da multiplicação.
Das afirmativas acima:
Parabéns! A alternativa E está correta.
As operações de multiplicação e divisão eram feitas de forma muito
parecida, pois ambos os processos utilizavam a ideia da
multiplicação por 2, o que era bastante fácil de ser executado com
os símbolos egípcios.
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e II são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
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3 - Matemática na Grécia pré-pitagórica
Ao �m deste módulo, você será capaz de analisar o período pré-pitagórico grego e o
desenvolvimento de elementos essenciais matemáticos.
Civilização grega
Apesar de atribuirmos à Grécia o desenvolvimento do método
axiomático, cujas rigorosas provas dedutivas e encadeamento
sistemático de teoremas demonstrativos dão à Matemática o status de
ciência atual, os primórdios da civilização grega, de meados do segundo
milênio a.C. até por volta do século VI a.C., revelam que, na educação da
aristocracia grega, pouco ou nenhum valor era atribuído ao
conhecimento da escrita ou da matemática. Cuidados com o corpo,
destreza com armas e o estudo de alguns elementos que ressaltavam as
qualidades morais e espirituais constituíam o ideário para a formação
do homem considerado perfeito naquela época, embora essa tendência
não fosse unânime para todos os grupos sociais e mesmo para sua
vasta região.
As fontes históricas que foram localizadas não permitem sabermos, com
clareza, como se deu a transição da matemática mesopotâmica e
egípcia para a Grécia. Contudo, é compreensível que, devido ao
crescimento populacional e à dispersão dos gregos pela bacia do
Mediterrâneo, as diferentes culturas tenham entrado em contato, pois
são geograficamente próximas. Isso sem falarmos nas sucessivas
batalhas e conquistas de territórios.
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Mapa da Antiguidade Clássica.
Apesar de a cultura grega clássica ser reconhecida pelos seus deuses e
mitos, ela é o berço da filosofia e do pensamento racional ocidental. Em
Atenas, principalmente, e em colônias gregas no litoral da Ásia Menor,
como Mileto e Samos, o exercício da vida políticaesteve intimamente
imbricado com a razão (pensamento racional) e perpassava as
principais atividades gregas, como, por exemplo, organização racional e
geométrica do território.
Vários filósofos da escola de Mileto e, posteriormente, os pitagóricos e
os sofistas formularam pensamentos baseados na observação (a
gênese do método científico) para explicar, de modo racional, a
formação do universo a partir de elementos passíveis de racionalidade.
Exemplo
Para Tales e Anaxímenes, ambos de Mileto, a origem de tudo estava,
respectivamente, na água e no ar; para os pitagóricos, o ser de todas as
coisas é o número.
Os gregos tiveram diversos sistemas de numeração, dentre os quais dois
merecem destaque: o ático (ou herodiânico) e o jônico. Ambos eram
associados às letras do alfabeto grego.
Sistema de numeração ático
No sistema ático, I era usado para 1, para 5, para 10, H para 100, X
para 1.000 e M para 10.000. Os números eram compostos a partir da
sobreposição destes caracteres, o que indicava uma multiplicação de
seus valores, considerando a respectiva posição. Na figura a seguir,
Γ Δ
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vemos, respectivamente, os números e
 
Números no sistema grego.
Sistema de numeração jônico
O sistema jônico ganhou popularidade a partir do século IV a.C. As letras
do alfabeto grego foram divididas em três grupos para representarem as
unidades, dezenas e centenas, como podemos ver na tabela a seguir. As
letras cujos nomes aparecem escritos haviam caído em desuso no
alfabeto grego, pois eram do grego arcaico, mas foram recuperadas para
a representação numérica.
Associação entre letras gregas e números
1α ' 10l ' 100p '
2β ' 20k ' 200σ '
3y ' 30λ ' 300 π '
4δ ' 40μ ' 400u '
5ε ' 50v ' 500Φ '
6c ' (stigma) 60ε ' 600x '
7ξ ' 70o ' 700ψ '
8n ' 80π ' 800ω '
9θ ' 90o ' (koppa) 900Ϡ ' (sampi)
Unidades, dezenas e centenas no sistema de numeração grego.
Podemos observar que um pequeno sinal, semelhante ao apóstrofo e
colocado no alto e à direita da sequência de símbolos, avisava que as
letras precedentes eram numerais. Quando o número ultrapassava 
, colocava-se outro pequeno sinal também semelhante ao apóstrofo,
50(5 ⋅ 10), 500(5 ⋅ 100)
10.517(10.000+ 5 ⋅ 100 + 10 + 5 + 2)
( ′)
1.000
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embaixo e à esquerda da sequência de símbolos. Assim, por exemplo,
 e 62786. Nesse sistema, de base 10 e aditivo,
podiam ser representados números até um milhão sem grandes
dificuldades.
Matemáticos gregos
Alguns matemáticos e seus feitos
Quando falamos em matemática grega – aliás, esta palavra é de origem
grega: nuatukń – estamos nos referindo a um conjunto de
conhecimentos que abarcavam a aritmética, a geometria, a astronomia e
a mecânica (os pitagóricos trocaram a mecânica pela música). De igual
modo, o matemático era aquele que pensava vários desses temas a
partir do ponto de vista racional, motivo por que parece, visto de hoje,
que todos os matemáticos gregos eram, também, filósofos.
Veja a seguir uma síntese dos principais nomes e estudos feitos nessa
época, uma amostra da largueza e variedade dos estudos matemáticos
do período grego.
VI a.C.
V a.C.
ρξx ′ = 163 ξβψπc′ =
μαθ
 Tales de Mileto
Tido como o pai da geometria.
 Pitágoras
Tido como o pai da aritmética.
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 Filolaus de Crotona
Astronomia.
 Hipasus de Metapontum
Primeiro a provar a existência dos irracionais.
 Hipócrates de Quios
Quadratura das lúnulas.
 Parmênides de Eleia
Primeiro a discutir que o discurso da verdade estava
associado à lógica.
 Zenão de Eleia
Elaboração de paradoxos.
 Hípias de Élis
Geômetra
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IV a.C.
 Platão
Os sentidos humanos só captam uma
representação dos objetos matemáticos perfeitos
que estão no mundo das ideias.
 Eudoxo de Cnidos
Reformulou a teoria das proporções, passando a
considerar a existência dos irracionais.
 Teodoro de Cirene
Pioneiro no estudo das raízes quadradas de
números inteiros não quadrados.
 Teeteto de Atenas
Especialista no estudo das grandezas
incomensuráveis.
 Arquitas de Tarento
Fundou a mecânica matemática.
 Aristóteles
N át í l d bj t
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III a.C. (considerado o século de ouro da
matemática grega)
Nega o caráter suprassensível dos objetos
matemáticos e oferece como resposta a sua
filosofia empirista da matemática.
 Menêcmo
Atribui-se a ele a descoberta das curvas elipse,
parábola e hipérbole.
 Autólico de Pitane
Estudou a relação entre o nascente e o poente dos
corpos celestes; acredita-se que seu livro A esfera
em movimento é o mais antigo tratado matemático
grego completamente preservado.
 Eudemo de Rodes
Historiador da Matemática e da Geometria.
 Euclides
Autor de Elementos.
 Apolônio de Perga
A t d A Cô i
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II a.C. a I a.C.
Autor de As Cônicas.
 Arquidemes de Siracusa
Um dos maiores físicos de todos os tempos,
descobriu as leis do empuxo e da alavanca.
 Eratóstenes de Cirene
Efetuou a primeira medição rigorosa do
comprimento da circunferência terrestre.
 Hiparco de Niceia
Precursor da trigonometria.
 Teodósio de Bitínia
Autor de Esféricos, um livro sobre a geometria da
esfera para os estudos de Astronomia.
 Heron de Alexandria
Autor de Métrica, que versa sobre a medição de
figuras simples de planos sólidos.
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II a III
IV
 Cláudio Ptolomeu
Geógrafo e astrônomo.
 Nicômano de Gerasa
Autor de um tratado sobre a teoria dos números.
 Téon de Esmirna
Autor de Matemáticas para entender Platão.
 Menelau de Alexandria
Primeiro a escrever a definição de triângulos
esféricos.
 Diofanto de Alexandria
Precursor da álgebra.
 Papo de Alexandria
O i í t d t i d é l
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V a VI
Organizou uma síntese da geometria dos séculos
anteriores; descobriu vários teoremas precursores
da geometria projetiva.
 Téon de Alexandria
Comentador de obras clássicas, produziu, em 390,
uma versão mais elaborada de Elementos de
Euclides, que sobreviveu até os dias atuais.
 Hipátia
Filha de Téon, é a primeira mulher documentada na
história como sendo matemática; foi chefe da
escola platônica em Alexandria.
 Proclo Lício Diadoco de Constantinopla
Escreveu comentários sobre o pensamento
platônico e sobre Elementos de Euclides.
 Eutócius
Comentador de Apolônio e Arquimedes.
 Anício Mânlio Torquato Severino Boécio
Últi t áti d ti id d t d
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Importante destacarmos que termos como “precursor”, “autor” e
“primeiro” devem ser relativizados, afinal, essa reconstituição
historiográfica foi feita a partir das fontes que chegaram até nós, as
quais não dão conta de todo o rico período grego de produção
matemática e intelectual. Vamos destacar dois desses personagens e
compreender um pouco mais de perto por que foram tão brilhantes.
Tales e a altura da pirâmide
Tales e Eratóstenes
Neste vídeo,o professor apresenta a pirâmide de Tales e a circunferência
da Terra, de Eratóstenes.
Tales de Mileto (624 a.C. - 548 a.C.) é considerado o primeiro pensador
da história, no sentido filosófico do verbo. Ele não se interessou muito
pelos números, aplicando-se ao estudo das figuras geométricas,
principalmente de circunferências, retas e triângulos. Foi o primeiro a
considerar o ângulo como um ente matemático e fez dele a quarta
grandeza da geometria, acrescentando-a ao trio comprimento, superfície
e volume.
Tales mostrou que cada triângulo podia corresponder uma
circunferência, a chamada circunferência circunscrita, para a qual
Último matemático da antiguidade; autor de um
tratado que descrevia meticulosamente o
desenvolvimento do sistema musical da Grécia
Antiga e seu modo rigoroso ao tratar das
quantidades numéricas que regiam a música.

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propôs uma construção geral.
Era algo totalmente novo afirmar que quaisquer três
pontos não alinhados definiam, além de um triângulo,
uma circunferência.
Ainda, demonstrou que um triângulo isósceles tinha dois ângulos iguais,
estabelecendo assim um forte vínculo entre os comprimentos e os
ângulos (dois lados iguais, dois ângulos iguais).
Depois de tratar das relações entre circunferências e triângulos e entre
ângulos e lados, Tales abordou as relações entre retas e circunferências.
Tendo pesquisado nas obras dos primórdios da matemática grega,
estudou os três modos que a reta podia se relacionar com a
circunferência (secante, externa ou tangente) e afirmou que, para dividir
a circunferência em partes iguais, a corda deveria obrigatoriamente
passar pelo centro.
Saiba Mais
Apesar de todos esses feitos, Tales é mais conhecido pelo seu teorema
das proporções, de imensa aplicabilidade até os dias de hoje. Foi por
meio desse teorema que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide
egípcia.
Conta-se que, em uma viagem ao Egito, Tales foi desafiado a descobrir o
valor da altura da pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.C,
com base quadrada de 230 metros de lado. Tales viu no Sol o artifício
que precisava. Compenetrando-se na ideia de que ele mantinha com sua
sombra a mesma relação que a pirâmide com a sombra dela, concluiu
que, no instante em que sua altura fosse igual à sua sombra, também a
altura da pirâmide seria a igual à sombra dela. No entanto, Tales estava
certo de que a sombra visível da pirâmide não era a medida real, pois
sendo ela de base muito grande, uma boa parte da sombra desta “caía”
no interior dela mesma. Sabendo que a pirâmide de base quadrada tem
o eixo exatamente no centro, Tales mediu o que faltava por fora da
pirâmide, isto é, metade da base. Logo, a altura era o pedaço da sombra
mais meio lado.
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Representação do experimento de Tales para medir a altura da pirâmide.
Esse raciocínio, hoje simples, exigiu ainda outros conhecimentos e
cuidados fundamentais. Baseando-se no fato de que o Sol está
suficientemente longe e que devido a isso seus raios são paralelos (o
que garantia a mesma proporção entre os corpos e suas sombras), era
preciso ainda encontrar o momento exato em que a sombra da pirâmide
fosse igual à altura.
O fato é que o Sol não está sempre no mesmo lugar. Além disso, na
maioria das vezes, a projeção do eixo seria oblíqua à base, o que
acarretaria um erro na medição. Apenas em um momento particular do
dia a sombra seria perpendicular à base: quando os raios do Sol também
o fossem. Sabendo que a pirâmide fora construída com uma das faces
voltadas para o Sul e tendo conhecimentos de Astronomia, Geodesia e
Geografia, Tales sabia que a sombra seria igual à altura do objeto
quando os raios solares estivessem inclinados a 45o e que seria
perpendicular quando o Sol estivesse no seu zênite, isto é, exatamente
ao meio-dia.
De acordo com os astrônomos, Tales só pôde ter efetuado essa medição
nos dias 21 de novembro ou 20 de janeiro para ter obtido todas essas
condições. Por semelhança de triângulos, Tales determinou que a altura
era de 276,25 côvados da medida local (seu erro foi irrisório para a
época, pois a pirâmide media 280 côvados, cerca de 147 metros).
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Eratóstenes e a circunferência
terrestre
De igual brilhantismo foi o experimento de Eratóstenes (276 a.C. - 194
a.C), que forneceu a primeira medição rigorosa do comprimento da
circunferência terrestre. Eratóstenes primeiro pensou que, se tomasse a
distância entre duas cidades, ela representaria um arco que seria parte
de toda a circunferência terrestre.
Ao menos desde o tempo de Aristóteles já se sabia que
a Terra não é plana!
Para seu experimento, Eratóstenes também contou com o auxílio do Sol.
Ele escolheu realizá-lo considerando as cidades de Siena e de Alexandria,
pois sabia que, no vigésimo primeiro dia de junho, acontecia o solstício
de verão. Nessa data, precisamente ao meio-dia, o Sol brilhava dentro de
um certo poço em Siena e iluminava seu fundo sem que nenhuma
sombra se projetasse em suas paredes. Entretanto, por saber que a Terra
era redonda, tinha conhecimento de que, em Alexandria, exatamente à
mesma hora, havia sombras sendo projetadas. O matemático tinha
alguns conhecimentos sobre ângulos e sombras e sabia que é possível
medir o ângulo do Sol pela sombra projetada pelos objetos. Sabendo de
tudo isso, no dia e horário precisos, colocou em prática seu experimento,
o qual está representado na figura a seguir.
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Representação do experimento de Eratóstenes para medir a circunferência terrestre.
Podemos perceber que Eratóstenes também conhecia um importante
resultado da geometria: que retas paralelas cortadas por uma transversal
determinam ângulos alternos internos de mesma pedida. Portanto, o
ângulo que acharia em Alexandria corresponderia ao ângulo interno à
Terra, algo importante para depois determinar o comprimento do arco
que ligava Siena e Alexandria.
Ele então calculou e, para determinar , provavelmente
consultou alguma tabela trigonométrica, encontrando o ângulo de
{{7,2°}}. Depois, com o auxílio dos bematistas agrimensores do rei,
treinados para caminhar com passos sempre do mesmo tamanho -,
descobriu que a distância entre as cidades era de 5000 estádios (essa
era uma antiga medida de comprimento, equivalente à extensão de um
campo grego de jogos esportivos). Considerando a Terra como um
círculo perfeito com , para calcular o comprimento utilizou
proporção:
A medida de um estádio podia variar levemente, mas Eratóstenes utilizou
a que equivalia a 157 metros e encontrou, para a circunferência terrestre,
t an θ = L
′
L
θ
360∘ C
5.000
C
=
7, 2∘
360∘
⇒ C = 5.000 ⋅ 360
∘
7, 2∘
= 250.000
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o comprimento de 39.250km (um erro de apenas 320km, considerando a
medida que hoje conhecemos).
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A civilização grega desenvolveu uma matemática com aspectos
diferentes daquelas que os historiadores encontraram nas
civilizações mesopotâmica e egípcia. Com relação aos primórdios
da matemática na civilização grega, são feitas as seguintes
afirmações:
I. A vida política da Grécia teve implicações diretas no
desenvolvimentoda matemática grega, sobretudo por conta do uso
do pensamento racional na construção de argumentações.
II. A matemática grega é totalmente independente da mesopotâmica
e da egípcia, ou seja, não guarda nenhuma relação com elas.
III. O pensamento racional utilizado no desenvolvimento da
matemática grega dialoga com a filosofia grega que, também pelo
uso da razão, se propunha a entender o princípio de tudo.
Das afirmações acima:
Parabéns! A alternativa D está correta.
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
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A matemática grega é considerada a primeira a realmente utilizar o
raciocínio lógico na construção de seus elementos, compreensões e
demonstrações. O pensamento lógico é característica fundamental
da civilização grega, pois os gregos foram o primeiro povo a tentar
compreender a origem do mundo desapegado do misticismo e a
construir argumentos lógicos para discussões políticas.
Questão 2
Tales de Mileto é considerado o primeiro “pensador” da história,
filosoficamente falando. Sobre ele, é correto a firmar que:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Uma das contribuições de Tales para a matemática grega foi
considerar o ângulo com o quarto ente da geometria, acrescentando-
A
Foi o primeiro a considerar o ângulo como um objeto
matemático.
B
Desenvolveu toda a sua matemática em território
grego.
C
Boa parte de seus estudos foi dedicada a investigar
as propriedades dos números.
D
Tales é mais conhecido pelo teorema que relaciona,
para os lados de um triângulo retângulo, o quadrado
de sua hipotenusa ser igual à soma dos quadrados
de seus catetos.
E
Tales estudou a posição relativa entre reta e
circunferência e demonstrou que nunca uma reta
consegue intersectar a circunferência de modo a
dividi-la em partes iguais.
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o ao grupo que era formado anteriormente apenas pelo
comprimento, superfície e volume.
4 - Matemática na Antiguidade clássica greco-romana
Ao �m deste módulo, você será capaz de analisar a contribuição greco-romana da
Antiguidade clássica na constituição da matemática.
Pitágoras e sua escola
Vamos, agora, conhecer mais alguns personagens gregos fundamentais
para a matemática, começando por Pitágoras! É provável que o que
sabemos a respeito dele seja, verdade, uma mistura de fatos e lendas.
Não é consenso entre os autores que ele tenha travado contato com
Tales, embora se reconheça que as ideias do matemático de Mileto o
tenham influenciado.
Depois de passar pelo Egito – e, talvez, pela Mesopotâmia –, Pitágoras
estabeleceu-se em Crotona, onde, por volta de 540 a.C., fundou uma
escola voltada ao estudo da filosofia, das ciências naturais e da
matemática, a qual durou 150 anos. Tal escola, que recebeu cerca de
218 discípulos, acabou por se transformar em uma sociedade secreta
com estranhos rituais que vieram a provocar grande suspeição da parte
dos crotonenses.
Saiba Mais
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Apesar da abordagem místico-religiosa, pitagóricos desenvolveram
notáveis estudos na matemática. Embora Tales tenha sido o primeiro a
declarar que as verdades matemáticas devem ser provadas pelo
raciocínio, acredita-se que pitagóricos foram os primeiros a produzir
demonstrações razoavelmente rigorosas e a enxergar a matemática
como algo abstrato, pairando acima da realidade física.
Os pitagóricos sabiam como resolver algumas equaçóes de segundo
grau por meio de construções geométricas. Para, por exemplo, uma
equação do tipo , com e representando medidas de
seguimentos de reta , as raízes e eram obtidas ao se
erguer perpendicularmente ao ponto médio de e traçar um arco, de
comprimento , que intersectasse o comprimento .
Resolução geométrica de uma equação de segundo grau.
Os números para os pitagóricos não eram objetos matemáticos
abstratos, e sim tinham caráter especial e concreto. Os pitagóricos
acabaram descobrindo diversas propriedades dos números, que
ganharam nomes especiais: números perfeitos (os que são iguais à
soma dos seus divisores, exceto eles próprios, como o 6 e o 28); números
amigos (quando cada um é igual à soma dos divisores do outro, como
acontece com o 220 e o 284); e números figurados (quando podem ser
representados por um polígono regular).
Na figura a seguir, podemos observar uma sequência de números
figurados, respectivamente: triangulares, quadrados e pentagonais.
x2 + b2 = ax a b
(b ≤ a
2
) x1 x2
b a
a
2
a
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Alguns números figurados.
Os números pitagóricos eram constituídos de uma multiplicidade de
pontos que remetiam a elementos discretos, como pedrinhas
organizadas segundo determinada configuração. A partir dessa
manipulação visual, chegaram às leis de formação das sequências
desses números, algo importante que marca a origem da teoria dos
números.
Sobre o famoso Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo, alguns
historiadores apontam que ele já era conhecido por diversos povos
anteriores aos gregos e, por isso, chamá-lo de Teorema de Pitágoras
seria uma imprecisão. O que sabemos é que os pitagóricos tinham um
método para determinar triplas pitagóricas, ou seja, triplas formadas por
dois números quadrados e um terceiro número quadrado que fosse a
soma dos dois primeiros. Seu enunciado era mais ou menos assim:
associando um dado número ímpar ao menor dos lados de um triângulo
que formam o ângulo reto, tomamos o seu quadrado, subtraímos a
unidade e dividimos por 2, obtendo o outro lado que forma o ângulo reto;
para obtermos o terceiro lado, somamos a unidade a esse resultado.
Exemplo
Se o menor lado for 3, o outro lado que forma o ângulo reto será 4 (o
dobro de 3 menos 1) e o terceiro lado (a hipotenusa) será 5 (uma
unidade somada ao 4).
Pitágoras via números em todas as partes: para ele, tudo o que existia
podia ser traduzido em números. Foi na música que os descobriu pela
primeira vez: o intervalo de oitava podia ser expresso pela relação , o
de quinta por e o de quarta por .
1
2
2
3
3
4
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Para os pitagóricos, o universo inteiro estava em harmonia, de modo que
a própria ordem dos céus se exprimia por meio de uma escala musical, a
qual Pitágoras chamou cosmos. De modo geral, o projeto dos
pitagóricos era traduzir a natureza para a linguagem numérica e, ao
estudarem os números em si para realizarem esse intento, acabaram
inventando a Aritmética, a ciência dos números, que diferenciaram da
Logística, que tratava do puro cálculo dos mercadores.
Platão e a Academia
A filosofia de Platão marca profundamente a história da civilização
ocidental, sendo amplamente estudada até hoje. Suas obras apresentam
reflexões sobre os mais diversos assuntos, por exemplo sobre o belo, a
sabedoria, a ética, a verdade, a retórica, a política e a gestão das cidades,
o amor, o conhecimento científico etc. Ao contrário de seus
predecessores pré-socráticos, que escreveram em poesia ou prosa, e de
seu mestre Sócrates que, infelizmente, não deixou nenhum escrito,
Platão confiou ao diálogo a expressão e transmissão de sua filosofia,
pois esse tipo de escrita dava forma à dialética socrática e visava
reproduzi-la.
Depois da morte de seu mestre Sócrates, acusado de corromper a
juventude e introduzir novos deuses na cidade de Atenas, Platão,
desiludido, viajou pelo mediterrâneoe aprendeu muitas coisas com
outros filósofos e geômetras. Acredita-se que tenha conhecido os
pitagóricos e aprendido, com eles, muito do que discutiam na escola de
Pitágoras. Anos depois, retornou a Atenas, onde, por volta de 386 a.C,
fundou a célebre Academia de Platão, algo parecido com as
universidades que temos hoje.
Comentário
Platão reconhece a matemática como tendo um papel fundamental
nesse movimento de ascese; em especial, pensa a aritmética como o
principal elemento de conversão da alma, capaz de levá-la à luz que
permitiria não mais contemplar as sombras dos objetos reais, mas a
própria realidade.
Com Platão, temos a matemática sendo concebida como um
conhecimento importante não pelo seu valor prático, como era o
costume até então, mas pela sua capacidade de despertar o pensamento
do homem, que deveria começar a estudá-la já na infância.
Além disso, o filósofo via nas matemáticas uma virtude formadora
profunda que ajudaria a aprender as mais diversas profissões, pois
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entendia que ela ajudava quem a estudava a adquirir desembaraço,
memória e vivacidade. Muitos estudantes não conseguiam avançar no
estudo da matemática e Platão estava ciente do fato de ser difícil
aprendê-la. Para o filósofo, essa era uma característica importante que
permitia fazer uma seleção dos melhores alunos, ou seja, dos homens
mais aptos a atingirem os altos postos da sociedade grega.
Pela primeira vez (MIORIM, 1998) a matemática se colocava como um
elemento fundamental para a seleção dos melhores e a ideia de que
aqueles que a compreendem são mais inteligentes – são espíritos mais
talentosos – que os demais. Infelizmente, essa distorção ainda é
encontrada em nossa sociedade.
Grandes matemáticos passaram pela Academia de Platão. Dentre eles,
podemos destacar Eudoxo de Cnidos, que reformulou a teoria das
proporções de modo a levar em conta a existência dos irracionais e
provou a conjectura do método de exaustão. Segundo essa conjectura, a
área de um círculo pode ser estimada por meio da área de um polígono
nele inscrito, com uma quantidade muito grande de lados.
Esse método é o cerne da teoria dos limites e dos
cálculos diferencial e integral, que só seriam
formulados muitos séculos depois.
A imagem a seguir explica o método de exaustão. É possível
percebermos que, quanto mais lados tiver o polígono, mais próximo o
valor da sua área será do valor da circunferência.
Representação do método de exaustão.
Outro discípulo de Platão, Teeteto, descobriu o octaedro (8 faces) e o
icosaedro (20 faces) que, juntos com os sólidos anteriormente achados
pelos pitagóricos – tetraedro (4 faces), cubo (6 faces) e dodecaedro (12
faces) –, completam o conjunto dos chamados poliedros de Platão.
Poliedros de Platão.
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Os poliedros de Platão são poliedros convexos em que todas as faces
são polígonos regulares e congruentes e em todos os vértices encontra-
se o mesmo número de arestas.
Biblioteca de Alexandria e os
romanos
Por volta de 338 a.C., o rei Felipe II da Macedônia e seu filho Alexandre, o
Grande, subjugaram a Grécia. Depois da morte de seu pai, Alexandre
conquistou o Império Persa, estendendo seu domínio e incorporando nele
o Egito. Ptolomeu I Sóter, general macedônio de Alexandre, virou sátrapa
do Egito no período de 323 a.C a 283 a.C. e, com o ideário de difundir a
cultura grega, deu início à construção da Biblioteca de Alexandria:
estima-se que seu acervo de papiros tenha chegado a setecentos mil
volumes, entre literários, acadêmicos e religiosos.
Acredita-se que o filósofo Demétrio de Falermo foi o idealizador da
Biblioteca de Alexandria e que, por sua indicação, Ptolomeu I, por volta
de 300 a.C., convidou Euclides para morar nela e ensinar geometria.
Convivendo com todo o saber lá disponível, Euclides escreveu Elementos,
obra dividida em treze volumes que contém a geometria plana, a teoria
dos números e a geometria espacial.
Elementos e sua contribuição para a
Matemática
Neste vídeo, o professor apresenta o livro Elementos e mostra, através da
explicação dos Postulados do Livro I, sua importância para a História da
Matemática.

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Na verdade, Euclides não pode ser tomado como autor desse livro, visto
que seu trabalho foi organizar e compilar os conhecimentos anteriores,
mas também não podemos negar que provavelmente tenha interpolado
algumas informações que julgava interessantes.
Papiro com trecho do Livro II, em grego.
O Livro I oferece os fundamentos básicos para o estudo de todos os
tópicos da geometria, começando com as definições de pontos, retas,
círculos, polígonos, ângulos e alguns de seus elementos. Há também as
chamadas noções comuns, que são ideias facilmente compreensíveis
(como, por exemplo, que duas coisas iguais a uma terceira são iguais
entre si e que o todo é maior que suas partes). Já os postulados são
verdades que não podem ser demonstradas forma axiomática; devem
ser aceitos, pois no nível da razão são bastante intuitivos.
Os cinco postulados do Livro I são:
 Fique postulado traçar uma reta a partir de todo
ponto até todo ponto.
 Também prolongar uma reta limitada,
continuamente, sobre uma reta.
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Ao todo, Elementos contém 465 proposições, que basicamente são
problemas que devem ser resolvidos (demonstrados) apenas com o uso
da régua não graduada (que representa a reta) e o compasso (que
representa o círculo). Isso demonstra que os gregos eram bastante
puristas. O Livro I, sobre geometria plana, possui 48 proposições.
Elementos é o ápice da matemática grega e da razão,
pois cada uma das proposições é um resultado
generalizado, que vale para qualquer situação em que
as condições se repliquem.
Exemplo
Podemos citar a proposição I do Livro I: “sobre uma linha reta
determinada descrever um triângulo equilátero". Esse resultado é válido
para um segmento de reta de qualquer comprimento e a demonstração
mostra, passo a passo, como resolver este problema.
A Biblioteca de Alexandria, infelizmente, acabou sendo destruída devido
às sucessivas batalhas entre gregos, romanos e outros povos.
Posteriormente, em 642, as tropas árabes apossaram-se de Alexandria e
os papiros foram reduzidos a pó. As obras de Euclides e de outros só
não foram perdidas para sempre porque os árabes já haviam copiado
muitas delas.
 E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
 Serem iguais entre si todos os ângulos retos.
 Caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os
ângulos interiores e do mesmo lado menores do que
dois retos, sendo prolongadas as duas retas,
ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual
estão os menores do que dois retos.
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Com a expansão do Império Romano, que durou de 27 a.C. a 395 d.C., os
romanos integraram, em sua cultura, muitos aspectos da cultura grega,
inclusive os que haviam organizado sobre a matemática. É por isso que
não ouvimos falar de uma matemática romana, mas vale a pena
ressaltarmos que seu sistema de numeração era diferente do grego,
embora também usasse letras, como podemos ver a seguir:
1 = I 10 = X 100 = C
1000 =
M
10000
= X
2 =
II
20 =
XX
200 =
CC
2000 =
MM
3 =
III
30 =
XXX
300 =
CCC
3000 =
MMM
4 =
IV
40 = XL
400 =
CD
4000 =
MV
5 =
V
50 = L 500 = D 5000 = V
6 =
VI
60 = LX
600 =
DC
6000 =
VI
7 =
VII
70 =
LXX
700 =
DCC7000 =
VII
8 =
VIII
80 =
LXXX
800 =
DCCC
8000 =
VIII
9 =
IX
90 =
XC
900 =
CM
9000 =
IX
Números romanos.
O sistema de numeração romano, utilizado ainda hoje, tem base
decimal. Os números são gerados a partir da soma ou subtração de seus
valores, quando colocados à direita ou à esquerda das letras que os
representam.
Muitas influências da matemática greco-romana chegaram até a
modernidade. Elementos, por exemplo, tornou-se a obra mais famosa da
história da matemática, sendo utilizado como livro didático no mundo
todo até o século XVII – e hoje é objeto histórico de diversas pesquisas
na área da história e da educação matemática.
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O Postulado V do Livro I, conhecido hoje como “postulado das
paralelas”, por ser o menos intuitivo, gerou dúvidas em diversos
matemáticos que, por séculos, tentaram demonstrá-lo como se fosse
uma proposição. Tantas tentativas levaram os matemáticos, no século
XVII, a sistematizarem outras geometrias, chamadas não euclidianas,
como a Geometria Hiperbólica e a Geometria Esférica.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Pitágoras é considerado um grande matemático e filósofo. Ele
fundou a escola pitagórica, que durou mais ou menos 150 anos e
recebeu mais de 200 alunos, os quais ficaram conhecidos como
“pitagóricos”. Sobre essa escola, são feitas as seguintes afirmações:
I. Todos os conteúdos estudados eram abordados de forma
estritamente racional.
II. Acredita-se que nela surgiram as primeiras demonstrações
razoavelmente rigorosas.
III. A escola dedicava-se exclusivamente ao estudo de tópicos de
matemática.
Das afirmações acima:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Apesar de Tales ser considerado o primeiro matemático a dar
primazia à razão para a elaboração de verdades matemáticas, os
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
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historiadores acreditam que foram os pitagóricos os primeiros que
conseguiram, de uma maneira razoavelmente rigorosa, colocar isso
em prática.
Questão 2
A Academia de Platão é reconhecida como a primeira universidade
da civilização ocidental e, nela, algumas ideias filosóficas discutidas
apareciam associadas diretamente à matemática. Sobre a visão de
Platão acerca da matemática, são feitas as seguintes afirmações:
I. O ponto central da filosofia de Platão é o anseio por traduzir tudo o
que existe em representações geométricas.
II. A filosofia de Platão impõe uma separação bem clara entre
matemática e política.
III. Para Platão, a matemática teria um papel importantíssimo para
libertar o espírito humano da ignorância.
Das afirmações acima:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Platão atribui à matemática um papel fundamental no movimento
de ascese; ela compreende que ela ajudaria o homem a perceber as
verdades do mundo inteligível
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
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Considerações �nais
De todo o exposto neste conteúdo, fica fácil percebermos que a
matemática é uma invenção humana, uma aventura da construção do
conhecimento, e que algumas ideias da antiguidade estão conectadas
às descobertas e aos avanços da matemática dos últimos séculos. Isso
nos possibilita pensar que a matemática é uma atividade de homens
comuns, não de deuses ou de espíritos superiores e, por conseguinte,
todos podem aprendê-la – e se encantar com seus mistérios.
Podcast
Agora, o professor encerra abordando os pontos mais importantes do
conteúdo.

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Explore +
Para aprimorar os seus conhecimentos no assunto estudado:
• Assista ao vídeo produzido pela BBC A História da Matemática
completo, disponível no YouTube, e sobre aprenda mais sobre as
civilizações antigas.
• Leia o livro O Teorema do Papagaio, de Denis Guedj (Editora
Companhia das Letras, 1999), que apresenta, de forma romanceada, a
História da Matemática da Antiguidade aos dias atuais.
• Acesse a edição virtual do Livro I de Elementos, disponibilizada pela
Universidade de Coimbra, e conheça a estrutura da obra e as
demonstrações das proposições.
• Assista a Donald no país da Matemágica, um Clássico Disney, de 1959.
Ainda hoje, é uma referência à história da matemática, para crianças e
adultos.
Referências
BURNS, E. M. História da civilização ocidental: do Homem das Cavernas
até a Bomba Atômica. 2. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1965.
GARBI, G. G. A rainha das ciências. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
MIORIM, M. A. Introdução à história da educação matemática. São
Paulo: Atual, 1998.
ROQUE, T. História da matemática: uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos
e Lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
VINAGRE, A.; LUNAZZI, J. Eratóstenes e a medida do diâmetro da Terra.
Campinas: UNICAMP, 2002.
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