HISTÓRIA-DA-MATEMÁTICA-APOSTILA

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NÚCLEO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 
 
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
Coordenação Pedagógica – IBRA 
 
 
 
DISCIPLINA 
 
 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. A ORIGEM DA NOÇÃO DE NÚMERO ........................................................ 3 
2. ORIGENS DA MATEMÁTICA .................................................................... 10 
3. A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE CLÁSSICA ................................... 20 
4. O NASCIMENTO DO MÉTODO DEDUTIVO E A GEOMETRIA DE 
EUCLIDES ....................................................................................................... 26 
5. A MATEMÁTICA GREGA APÓS EUCLIDES ............................................ 34 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................. 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. A ORIGEM DA NOÇÃO DE NÚMERO 
 
Você já percebeu como os números são importantes em nossa vida? 
Diariamente, e a todo momento, estamos pensando em quantidades numéricas, 
seja para fazer uma medida, seja para fazer um pagamento, seja, até mesmo, 
para ver as horas. Este tópico conta um pouco da história dos números. Faça 
uma leitura atenta e comece a entender de que maneira diversos povos criaram 
seus símbolos para representar as quantidades. 
Você já parou para pensar em como surgiram os números? Em alguns 
momentos da história antiga, quando os seres humanos perceberam a 
necessidade de organizar seu dia a dia, surgiu também a necessidade de contar. 
Acredita-se que, bem antes da criação dos números, essa contagem era feita de 
forma rudimentar, com a utilização de objetos, como pedras. Conta a história 
que, no pastoreio, cada ovelha era representada por uma pedrinha que seu dono 
guardava em um recipiente, tal qual um saco de couro. Assim, ao final de um 
dia, o pastor conseguia identificar se estava faltando ou até mesmo sobrando 
alguma ovelha no seu rebanho, fazendo uma relação de um para um damos o 
nome de correspondência biunívoca. Caso houvesse uma ovelha a mais no 
rebanho, bastava acrescentar uma pedrinha no saco; quando uma ovelha 
morria, bastava retirar uma pedrinha do saco. 
 
Fonte: Superinteressante 
 Outros tipos de marcação, entretanto, sugerem essa noção biunívoca, 
como no caso de desenhos em cavernas, cortes em pedaços de madeira ou 
ossos e mesmo nós em corda, os quais indicam a marcação de quantidades. 
O homem jamais parou de evoluir. No início, sua sobrevivência era 
garantida por aquilo que a natureza oferecia em quantidade e abundância, como 
frutas, peixes e caça. Levava, portanto, vida nômade. Depois, sentindo a 
necessidade de viver em sociedade, passou à vida sedentária e, tendo local fixo 
da moradia, percebeu que precisava produzir a própria alimentação. Surgiram, 
assim, os primeiros povoados e, com eles, a necessidade de registrar as 
quantidades de pessoas, de animais, de alimentos, entre outras. 
Cada povo passou, então, a representar essas quantidades com símbolos 
próprios, dando origem à escrita numérica e aos diferentes sistemas de 
numeração. 
Os egípcios, por exemplo, representavam os algarismos de 1 a 9 por traços 
verticais, com uma lógica representativa. 
A partir do número 10, as representações eram diferentes. Para representar 
o número 10, os egípcios utilizavam o símbolo ∩. Esse símbolo representa um 
calcanhar. Dez calcanhares, que valem 100, eram representados por uma 
espiral que significava um rolo de corda. Dez espirais, que valem 1000, eram 
representadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus. 
Resumidamente, os símbolos utilizados pelos egípcios para compor seu 
sistema de numeração estão indicados no quadro a seguir. 
 
Fonte: Teoria dos números e teoria dos conjuntos 
 
Cada sistema de numeração tem regras próprias, que permitem a 
representação de qualquer número. 
Os maias, por sua vez, tinham o ponto e o traço para a representação dos 
números. Trata-se de um sistema de numeração vigesimal, ou seja, sua base é 
20. O zero é representado por uma concha. De 20 em diante os números têm 
seus algarismos escritos na vertical e são lidos de cima para baixo. 
Os romanos, por sua vez, utilizavam combinações de diferentes símbolos 
para a representação de seu sistema de numeração. Veja a tabela a seguir: 
 
Representação dos algarismos de 1 a 10 pelos romanos 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
I II III IV V VI VII VIII IX X 
 
O sistema de numeração romano, mais sofisticado, é composto pelas letras 
I, V, X, L, C, D, M, todas maiúsculas. O valor que cada uma das letras representa 
está indicado a seguir: 
 I...............1 
 V...............5 
 X...............10 
 L...............50 
 C...............100 
 D...............500 
 M...............1000 
Para a representação de números romanos, é necessário conhecer 
algumas regras: 
a. A letra que está à direita de outra de maior valor é somada. 
Exemplo: LX = 60 
 
b. A letra que está à esquerda de outra de maior valor é subtraída. 
Exemplo: XL = 40 
 
c. Somente três letras podem se repetir e no máximo três vezes. São elas: 
I, X, C. 
Exemplo: XXX = 30 
 
d. As letras X, L, C, D, M são somadas quando colocadas lado a lado. 
Exemplo: MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650 
e. A letra que está entre duas de maior valor tem o seu valor subtraído da 
letra que está à direita. 
Exemplo: CXL = 140. 
 
f. Quando há um traço acima de uma ou mais letras, o valor destas é 
multiplicado por mil. 
Exemplos: LX = 60000 
 M = 1000000 
 
E nós, brasileiros, que sistema de numeração utilizamos? 
Nós representamos os números com a utilização do sistema indo-arábico. 
Por que tem esse nome? 
Porque foi um sistema inventado pelos hindus, no século V, com apenas 
nove símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Somente no final do século VI foi 
introduzido o décimo, o zero. Mais tarde, no século VIII, os árabes adotaram esse 
sistema e o difundiram pelo mundo, a partir da sua utilização pelos povos que 
dominaram. O sistema de numeração indo-arábico é também conhecido como 
sistema decimal de numeração, por constituir-se de dez símbolos para a 
representação de qualquer número. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Há relatos de que a designação de decimal se dá pelo fato de nossas duas 
mãos, juntas, apresentarem dez dados e as pessoas fazerem uso deles para 
pequenas contagens. 
Lembra-se do sistema maia, com base 20? Acredita-se que a base dos 
maias era vigesimal pelo fato de utilizarem os dedos dos pés e os dedos das 
mãos para a contagem. 
O sistema de numeração usado no Brasil, o sistema decimal, é posicional. 
Isso significa que um mesmo algarismo pode assumir diferentes valores, 
dependendo da posição que ele ocupa no numeral. Cada posição ocupada por 
um algarismo é chamada de ordem. 
Assim dizemos que o algarismo de primeira ordem se denomina unidade 
simples, o de segunda, dezena simples e o de terceira, centena simples. 
Observe a representação dessas ordens a seguir: 
Organização dos algarismos em ordens 
3º ordem 2ª ordem 1ª ordem 
Centenas simples Dezenas simples Unidades simples 
 
Preste bastante atenção: a primeira ordem é representada na posição mais 
à direita do número. Por exemplo, o número 839 tem 9 unidades simples, 3 
dezenas simples e 8 centenas simples. A dezena é composta por 10 dez 
unidades, e cada centena é composta por 10 dezenas, ou seja, 100 unidades. 
Assim, o número 839 é igual a 800 + 30 + 9, que é o resultado das seguintes 
operações: 
8 . 100 + 3 . 10 + 9. 
A cada três ordens, temos o que chamamos de classe. Assim, quando um 
número tem mais de três algarismos, temos mais de uma classe. A primeira 
classe é a das unidades simples, a segunda classe é a dos milhares, a terceira 
classe é a dos milhões, a quarta classe é a dos bilhões, a quinta classe é a dos 
trilhões e assim sucessivamente. Observe a tabela a seguir: 
 
Organização dos algarismos em classes e ordens 
3ª classe 
(Milhões) 
2ª classe(Milhares) 
1ª classe 
(Unidades simples) 
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem 
 
Centenas 
de milhão 
Dezenas 
de milhão 
Unidades 
de milhão 
Centenas 
de milhar 
Dezenas 
de milhar 
Unidades 
de milhar 
Centenas 
simples 
Dezenas 
simples 
Unidades 
simples 
 
Como exemplo, analisemos o número 47321108 (lê-se “quarenta e sete 
milhões, trezentos e vinte e um mil cento e oito”). Esse número tem 3 classes e 
8 ordens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ORIGENS DA MATEMÁTICA 
 
 
Fonte: Superinteressante 
No Mesolítico, pelo menos há 6000 anos antes da nossa era, existia já uma 
arte, que só podia resultar do conhecimento muito preciso da geometria. 
A partir de meados do IV milênio antes da nossa era, começou a florescer, 
em algumas regiões do mundo antigo, uma arquitetura monumental, constituída 
por grandes blocos de pedra conhecidos por magálitos. A palavra megálito deriva 
do grego, de mega, que significa grande e de lithos que significa pedras. Estas 
construções grandiosas vão de simples blocos compridos, implantados 
verticalmente no solo, aos designados menirs ou menhirs, aos alinhamentos e 
aos cromeleques, no último caso quando os blocos se agrupam em círculo. Outra 
família de megálitos são os dólmenes, antes ou orcas, que são túmulos coletivos. 
Outras sepulturas colossais são as pirâmides, e os zigurates também com a 
função de templos. Há presentemente referência a megálitos admiráveis, como 
as pirâmides do Egito, da China e da América Central, bem como grandes 
megálitos na Europa Ocidental. A idade de construção destes megálitos varia 
entre 3500 e 1500 anos antes da nossa era. Entre eles sobressai a Grande 
Pirâmide de Quéops, no Egito, e Stonehenge na Grã-Bretanha. A Pirâmide de 
Quéops ocupa uma área de cinco hectares, com cento e quarenta e seis metros 
de altura inicialmente, com duzentos e vinte e oito metros de lado e com seis 
milhões e meio de toneladas de pedra. Stonehenge é um megálito formado por 
círculos concêntricos de pedra, alguns com mais de vinte toneladas de peso, 
construído na planície de Salisbury. Foi construído em três etapas entre 2100 e 
1600 anos a.C. Na opinião de vários cientistas, como o astrônomo Hawkins, as 
pedras encontram-se colocadas de modo tão sofisticado e engenhoso, que se 
torna possível a sua utilização como gigantescas calculadoras, verdadeiros 
computadores megalíticos, com o objetivo de prever o nascimento do Sol e da 
Lua, o que é de enorme utilidade para um povo de agricultores, e também fonte 
de prestígio para a classe dominante. 
Recentemente, arqueólogos descobriram o maior templo da Idade da 
Pedra na Europa, em Stanton Drew, de forma circular, com noventa e cinco 
metros de diâmetro, portanto, seis vezes maior que a construção de Stonehenge. 
Pense-se que o templo teria dez metros de altura e teria sido construído há cerca 
de 5.000 anos. 
Os cerca de cinquenta mil monumentos megalíticos agora conhecidos na 
Europa Ocidental são apenas uma parte dos que devem ter existido no apogeu 
da civilização megalítica. Sabe-se que muitos foram destruídos ao longo do 
tempo por tempestades, erosão, aluimentos de terras e também por atos 
deliberados, por questões religiosas. Muitos ainda apresentam cruzes e foram 
destruídos por cristãos por os considerarem obra do demônio e, por isso, a sua 
destruição seria meritória. Outros foram destruídos, para utilização das pedras, 
como alguns em Averbury, no sul da Inglaterra, para dar lugar às construções 
das povoações circundantes. 
Nas Américas, só no México calcula-se que existam cerca de cem mil 
pirâmides, ou melhor, pirâmides truncadas, idênticas aos zigurates da Suméria, 
por descobrir, cobertas por vegetação densa. 
Não há dúvida, contudo, de que tanto a construção destes megalíticos 
como das pirâmides exigia, já nesse tempo, medições cuidadas e precisas, e a 
construção de figuras geométricas, Era necessário a esses construtores um 
profundo conhecimento de Geometria. 
Estas construções da América Latina, Mesopotâmia, Ásia, Egito e Europa 
são testemunhos mais que evidentes que esta Geometria era praticada por todos 
estes povos na época. 
O lugar de origem da Matemática, muito provavelmente, foi o vale 
compreendido entre os rios Tigre e Eufrates, a terra dos sumérios e dos 
babilônios, que inventaram a escrita cuneiforme e desenvolveram uma das 
civilizações mais avançadas do nosso planeta. 
 
Pelas escavações arqueológicas, já que são escassos os documentos 
escritos, sabe-se que os sumérios dominavam uma cultura muito avançada, com 
a construção de um sistema de canais invejável. Quanto à urbanização, as casas 
eram planeadas, a construção obedecia a regras e eram rodeadas por jardins, 
onde a água era levada por um sistema de canais que assegurava a umidade. 
O sistema social e a organização do Estado eram um dos mais evoluídos. A 
legislação tem por funções fazer prevalecer a justiça, impedir que os fortes 
oprimam os fracos, fazer progredir o país e providenciar no sentido do bem-estar 
crescente do povo. Quem nunca ouviu falar do célebre Código de Hamurabi, rei 
dos babilônios? Quem poderá discordar de um dos seus princípios? Juntamente 
com estes princípios de ordem, justiça social e bem-estar, deu-se o 
desenvolvimento econômico e científico, o que levou a um grande avanço da 
civilização nesta parte do mundo. 
Com o estabelecimento da supremacia dos babilônios, durante a dinastia 
Hamurabi, cerca de 1950 anos antes da nossa era, a cidade transformou-se 
rapidamente num grande centro comercial e como resultado verificou-se, 
também, um melhoramento do sistema de numeração, que foi emergindo 
gradualmente. 
A Aritmética dos babilônios tinha duas bases: o 10 (dez) e o 60 (sessenta). 
A base 10 teve origem na observação dos dedos das mãos e a base 60 
relaciona-se com as observações astronômicas. Os babilônios consideravam o 
ano dividido em 360 dias e, por isso, dividiam, também, a circunferência em 360 
graus. Pensa-se que aprenderam a medir o tempo, medindo a sombra de um 
pauzinho, projetado no terreno. Dividiam a área que continha a sombra em 
ângulos iguais entre si. A partir daí, construíam triângulos equiláteros e obtinham, 
assim, ângulos de 60 graus. A escolha do 6, como divisor da circunferência e 
divisor do tempo, correspondente a um dia, foi rápida. Mas o número 6 foi 
considerado insuficiente e através da combinação com a base 10 chegou-se ao 
número 60. Este número, também combinado com o número 6, chegava de novo 
ao número 360. E estabeleceram que a circunferência do círculo é seis vezes o 
raio do círculo. 
Em 1889, foram encontradas em Nuffar cerca de cinquenta mil bronzes 
com tabelas de multiplicação dos números inteiros até 180.000. Foram também 
encontradas tabelas de divisão em caracteres cuneiformes até o número 12.960. 
Estes povos chegaram a escrever números enormes, tal como o que achegou 
até nós, 195.955.500.000.000. 
Os babilônios conheciam as séries geométricas e aritméticas e tinham já 
alguns conhecimentos no nível das proporções. O seu conhecimento de 
Geometria parece ter sido confinado a regras isoladas, úteis na Astronomia e na 
construção. Construíram canais eficientes para o controle das inundações, e foi 
pelos conhecimentos sobre Geometria Aplicada que este povo pôde construir a 
arquitetura espetacular do Palácio de Bel, com os seus jardins suspensos. 
De uma maneira geral, acredita-se que a Geometria Aplicada tenha nascido 
nas margens do Nilo. Alguns investigares referem que, no antigo Egito, que erigiu 
pirâmides colossais, esta ciência tivera também origem na Babilônia. 
 
Fonte: BBC 
 Aristóteles, filósofo grego, dizia que o Egito era o local do nascimento das 
Matemáticas, porque, aí, a classe dos sacerdotes tinha tempo livre para se poder 
dedicar ao estudo e à investigação. A Geometria teria sido cultivada em solo 
egípcio. A inundação dasterras pelo Nilo obrigava a esse conhecimento. Os 
documentos matemáticos mais antigos datam de 1700 anos a.C., estão 
compilados em papiros de Ahmes. Mas o conhecimento egípcio sobre Geometria 
é certamente muito anterior. Nesses documentos podem já ver-se as regras para 
a construção de figuras planas e para a determinação das suas áreas. 
Os egípcios conseguiriam uma aproximação muito maior da razão da 
circunferência de um círculo, em relação ao seu diâmetro, do que os babilônios. 
Conheciam, o que era algo de enorme importância para a construção de 
pirâmides, que os triângulos, cujos lados têm razões de 3, 4 e 5, formam ângulos 
retos. Os papiros de Ahmes mostram também que os egípcios já conseguiram 
resolver problemas de equações simples. 
Os antigos chineses não tinham uma Álgebra literal, e todo o seu 
envolvimento com problemas algébricos era fundamentado numa notação e 
procedimentos apropriados, para a utilização de varetas de cálculo, instrumento 
que precedeu o conhecido suan pan, ou seja, o ábaco chinês. A dinastia Sung, 
fundada por um general chamado Chao Kuang-Yn, desenvolveu a ciência e a 
tecnologia e foi nesse tempo que foi inventado o ábaco chinês, antigo 
instrumento de cálculo, que ainda hoje é usado. Por volta do ano 100 a.C., 
usavam o triângulo aritmético para o cálculo aproximado de raízes quadradas, 
cúbicas, etc. Chamavam ao triângulo aritmético sistema de tabulação, que servia 
para descobrir coeficientes binomiais e encaixava-se muito bem nesse sistema. 
Num dos livros Chineses mais antigos o Jiuzhang Suanshu, escrito creca do ano 
100 a.C., o seu quarto capítulo é dedicado ao ensino do procedimento da 
extração de raízes quadradas e cúbicas. 
 
Fonte: Revista Galileu 
 Os espantosos conhecimentos adquiridos sobre Aritmética maia mostram 
uma capacidade enorme para um povo primitivo. Como acontece atualmente, a 
posição dos algarismos era fundamental na numeração. Os mais possuíam um 
sistema posicional mais sucinto do que é hoje utilizado. Usavam apenas três 
símbolos, que eram o ponto, o traço e a forma de uma espécie de concha, para 
representar o zero. Possuíam um sistema de base vinte e escreviam os números 
com vários algarismos em colunas que se leem verticalmente de baixo para 
cima. Um número até vinte era representado por um único hieróglifo, combinação 
de pontos e traços, correspondendo cada ponto ao algarismo um, e cada traço 
ao algarismo cinco. Para as datas, forma sob a qual surgem os números mais 
extensos dos maias, o sistema de base vinte foi ligeiramente alterado para tornar 
mais fácil a contagem dos anos. Todas as datações maias têm por base o 
número de dias decorridos a partir do início do seu calendário, data essa que, de 
acordo com alguns investigadores, corresponde a 11 de agosto de 3114 a.C. 
O sistema complexo matemático utilizado pelos mais teve como finalidade 
satisfazer o seu grande interesse pela cronologia. A importância dada ao 
calendário é uma característica das sociedades marcadas pelas festas de índole 
agrícola e religiosa, por meio das quais é necessário um conhecimento exato 
das estações e de período da máxima pluviosidade, para a determinação da 
época das sementeiras e das colheitas. O ano maia era constituído por dezoito 
meses de cinte dias cada um, mais cinco dias extras e designava-se por haab. 
O período de 360 dias ou tun era a base do calendário, existindo ainda uma série 
de múltiplos. 
A Matemática indiana poderá ter-se inciada por volta de 2000 a.C., na 
região da Harappa e Mohenjo Daro. Era muito rudimentar e só com a invasão 
Ariana, por volta de 1500 a.C. passou a resolver problemas de maior 
complexidade. A Matemática veda, era essencialmente geométrica, voltada para 
as construções de altares. Cerca do ano 600 a.C., o vedismo deixa de ser 
dominante e difundem-se outras religiões, o hinduísmo e o janaísmo, ambas 
evidenciando uma atuação contra os sacrifícios rituais védicos. 
A palavra jaina, que deriva do sânscrito significa vitorioso e aplica-se aos 
que obtiveram a vitória sobre os desejos mundanos e que conseguiram controlar, 
pela vontade, os sentidos. Para se atingir essa perfeição, os jainos passavam 
por um treino, sendo o estudo de Ganitanuyoga ou Matemática, o treino 
considerado mais adequado, mais nobre e mais eficaz. 
Nesse tempo, os livros eram feitos em folhas de palmeira, o que levou a 
que poucos deles chegassem aos nossos dias. Além disso, alguns não estavam 
escritos em sânscrito, nem se conhecia a sua autoria. Isso dificulta grandemente 
o nosso conhecimento quanto à Matemática utilizada pelos antigos indianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE CLÁSSICA 
 
 
Fonte: Brasil escola 
Com o desenvolvimento comercial entre o Egito e a Grécia, por volta do 
século VI a.C., o conhecimento dos egípcios tornou-se acessível aos gregos e, 
nas suas mãos, a Matemática assumiu um novo desenvolvimento. 
Aparentemente os gregos foram os primeiros a conceber a ideia da formulação 
e demonstração de teoremas gerais em Geometria. 
Tales de Mileto, filósofo grego da cidade de Mileto, que viveu nos últimos 
decênios do séc. VII e primeira metade do século VI a.C., a os seus discípulos 
Anaximandro (614-550 a.C.), filósofo, geógrafo e engenheiro e Mileto e ainda 
Anaxímenes, filósofo grego de Mileto, que viveu na segunda metade do século 
VI a.C., conheceram muitas das propriedades dos triângulos e do círculo e 
também rudimentos das proporções. Não se conhece muito da vida de Tales. 
Sabe-se que, inicialmente, encaminhado para a vida de comerciante, pôde visitar 
o Egito. A ciência egípcia era exclusiva dos sacerdotes, mas sabe-se que Tales 
de Mileto esteve em contato com eles. Adquiriu os conhecimentos matemáticos, 
que eram patrimônio dos hitistas, dos assírios, dos babilônios e dos egípcios. 
Pode-se dizer que foi o primeiro grego a estudar Matemática entre outras 
ciências por interesse puramente científico. Foi o primeiro filósofo da escola 
Jônica, a escola mais antiga da Grécia. 
Anaxímenes, parece ter pretendido realizar uma síntese de todo o 
conhecimento dos seus predecessores. 
Anaximandro é o que se pode designar como um modelo universal de 
curiosidade do saber. Tal como Tales, perguntava-se quanto ao princípio 
originário e original de todas as coisas. Situando esse princípio no infinito, foi 
protagonista de um avanço de enorme importância na história do pensamento 
Ocidental. Elaborou o primeiro conceito científico do infinito e opera a passagem 
da observação à reflexão. 
Pitágoras, famoso filósofo e matemático grego que viveu no século VI e V 
a.C., fundou uma escola, onde, pela primeira vez, foram abertas as portas às 
mulheres, a Escola Pitagórica. É talvez oportuno recordar que Teano, mulher de 
Pitágoras, escreveu vários tratados sobre Matemática, Física, Medicina e 
Psicologia infantil. Após a morte do marido, Teano e as suas duas filhas 
continuaram a Escola Pitagórica. 
Pitágoras permaneceu longo período no Egito e, ao que parece, teria 
acesso à cultura sacerdotal do Antigo Egito, através de uma tormentosa e 
duradoura iniciação, à qual foi fiel toda a vida. Ao que se sabe, Pitágoras passou 
do Egito para a Babilônia, depois da invasão do Nilo por Cambises, rei dos 
persas e aí teria contato com as doutrinas caldaicas, com os costumes persas e 
as crenças monoteístas hebraicas. De regresso à Grécia, ter-se-á ficado em 
colênias estabelecidas pelos Gregos no sul da Itália, onde fundou em Crotona a 
Escola Pitagórica. Também chamada de Escola Itálica, os seus membros 
formavam uma espécie de grupo ou seita, onde se encontravam os intelectuais 
mais notáveis do tempo. Na concepção pitagórica, há várias curiosidades. Uma 
delas consistia na proibição de ingerir carne. Pitágoras e os seus discípulos 
acreditavam que todos os animais tinham direito à vida, e foram, poranto, talvez 
o primeiro núcleo dos vegetarianos.As lições ministradas eram de algum modo cópias do sistema do 
sacerdócio egípcio, no qual, em simultâneo, imperava a racionalidade grega, que 
veio a constituir a base da civilização Ocidental moderna. Mais tarde, a escola 
acabou por despertar suspeitas e inimizades, e a seita dispersou-se. Mas a 
ciência e os ensinamentos perduraram no tempo. Pitágoras libertou a antiga 
sabedoria Matemática egípcia e babilônica de outros interesses e conceberam 
princípios e generalizações válidos por si mesmos. 
Foi Pitágoras quem dividiu a Matemática em quatro ramos, a Aritmética, a 
Música, a Geometria e a Astronomia, que perdurou até depois da Idade Média. 
Foi Pitágoras quem definiu o ponto como unidade de posição e a classificação 
dos ângulos nas três categorias, que ainda hoje são ensinadas nas escolas. A 
concepção geométrica do espaço, como entidade homogênea, contínua e 
ilimitada, é de sua autoria. 
Para Pitágoras, o número é a essência de todas as coisas, pois existe uma 
ordem mensurável em todos os fenômenos do universo. Este conceito foi de 
grande importância para o desenvolvimento da civilização europeia. Ele mesmo 
tentou associar a Aritmética à Geometria. Distinguiu os números pares dos 
números ímpares. Os números pares eram considerados imperfeitos, já que 
eram divisíveis em duas partes exatamente iguais. 
Pitágoras e os seus discípulos foram os primeiros a desenhar poliedros 
regulares convexos, como o tetraedro, o cubo, o octaedro e o icosaedro. Alguns 
destes poliedros, como o dodecaedro, já eram conhecidos anteriormente por 
povos, como os etruscos, com os quais Pitágoras deve ter contatado na Itália. 
Estas construções exigiam o conhecimento do pentágono regular. No entanto, a 
realização mais conhecida, mais famosa de Pitágoras, é sem dúvida a do célebre 
teorema de Pitágoras que retrata: “a soma dos quadrados dos catetos de um 
triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa”. Esta descoberta notável, 
que é um dos alicerces da Geometria, permitiu ao próprio Pitágoras fazer uma 
nova descoberta, mas que o perturbou profundamente. Pitágoras acreditava que 
tudo na Natureza tinha explicação pelos números e, para ele, os números eram 
inteiros ou fracionários. Mas no caso de um triângulo isósceles (com os lados 
iguais) em que o lado é a unidade, quanto medirá a hipotenusa? Terá que ser 
um número cujo quadrado é dois, e a sua demonstração é um dos mais belos 
raciocínios matemáticos. A lenda conta que Pitágoras ficou tão perturbado com 
sua descoberta, que fez prometer aos seus discípulos que a não divulgassem, 
para que os deuses não fossem irritados com a revelação de tal segredo 
escandaloso. O valor da raiz quadrada de dois pode calcular-se com tantas 
casas decimais quantas se queira, mas nunca se obtém uma dízima periódica. 
Ora as frações dão sempre origem a dízimas periódicas e reciprocamente, 
qualquer dízima periódica pode reduzir-se a uma fração. Então, considerando os 
inteiros e as dízimas finitas como dízimas de período zero, podem chamar-se 
racionais aos números correspondentes a dízimas periódicas, e números 
irracionais àqueles a que correspondem dízimas não periódicas. 
Os babilônios não deviam desconhecer as características de retângulos 
análogos aos da formulação do teorema de Pitágoras. De fato, alguns textos em 
escrita cuneiforme, da dinastia Hamurabi, apresentam cálculos da diagonal de 
um retângulo semelhante. 
Os egípcios deviam também conhecer o assunto, pois que a Câmara dos 
Reis, no interior da Pirâmide de Quéops, encontra-se dentro das proporções três-
quatro-cinco, que segundo Plutarco, representa as divindades egípcias: Osíris, 
Ísis e Hórus. 
Também os sábios hindus conheciam as propriedades do triângulo 
retângulo, mas as relações entre os comprimentos dos lados eram cinco-doze-
treze. É, no entanto, Pitágoras o autor a quem se tem atribuído o enunciado e a 
demonstração do teorema, cuja validade é indiscutível. 
Hipócrates de Quios, matemático grego que viveu no século V a.C., não 
confundir com Hipócrates de Cós, o lendário pai da Medicina, fez um em 
contributo importante para dois dos principais problemas da Geometria antiga: o 
da quadratura do círculo, por meio das chamadas Iunulae Hippocratis e o da 
duplicação do cubo. 
Com Platão (427 – 347 a.C.), os matemáticos começaram a verdadeira 
ciência. Desenvolveu o método analítico e insistiu no rigor lógico em todas as 
provas. Platão era filósofo e foi aluno de Sócrates, tinha feito escola em Atenas, 
que era o berço da civilização, da filosofia e da arte e fizera uma fabulosa viagem 
ao Egito, onde tomara contato direto com a “mística oriental dos números”, que 
tanto influência exercera sobre Pitágoras. 
Arquitas de Tarento, filósofo e matemático da Escola Pitagórica que viveu 
no século IV a.C., foi o primeiro matemático a entender a forma mecânica da 
duplicação do cubo. Arquitas ocupou-se também da política e conseguiu formar 
em Tarento um autêntico governo de filósofos tão poderosos, a ponto de poder 
fazer frente a Dionísio, jovem tirano de Siracusa. Quando Dionísio prendeu 
Platão para manda-lo matar, Arquitas interveio e conseguiu salvar o seu amigo 
filósofo. 
Eudoxo de Cnidos (408-355 a.C.) foi um dos maiores matemáticos e 
astrônomos de todos os tempos. Estudou Geometria e Matemática em Cnidos. 
Aos vinte e dois anos, foi para Atenas onde se tornou discípulo e amigo de 
Platão. Como matemático, inventou o método de exaustão, baseados numa 
rigorosa noção de limite, para medir e comparar as áreas de figuras planas, 
curvilíneas e os volumes de sólidos, como a pirâmide e o cone. Notabilizou-se, 
sobretudo, pela teoria geral das proporções, aplicável a grandezas 
comensuráveis e incomensuráveis, absolutamente necessária desde a 
descoberta dos números irracionais. No entanto, a teoria que o tornou celébre, 
foi a das esferas homocêntricas, com a qual pretendeu dar uma explicação 
matemática das posições dos corpos celestes, o que era difícil, sobretudo por 
causa dos astros errantes, os plantes. 
Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo grego, interessou-se pelas Matemáticas 
como método de raciocínio, fez uma síntese organizada de todo o saber do seu 
tempo e formulou o primeiro sistema de lógica. 
4. O NASCIMENTO DO MÉTODO DEDUTIVO E A GEOMETRIA DE 
EUCLIDES 
 
É muito comum ouvirmos que a geometria surgiu às bordas do Nilo, devido 
às enchentes e à necessidade de medir a área das terras a serem redistribuídas 
entre aqueles que haviam sofrido prejuízos. Esta hipótese tem sua origem nos 
escritos de Herôdoto: 
“[Quando das inundações do Nilo] o rei Sésostris enviava pessoas para 
inspecionar o terreno e medir a diminuição dos mesmos para atribuir ao homem 
uma redução proporcional de impostos. Aí está, creio eu, a origem da geometria 
que migrou, mais tarde, para a Grécia”. (Herôdoto, Oeuvres complètes II 109, 
p.183). 
Por outro lado, Aristóteles afirma que a Matemática surgiu: 
“[...] em lugares nos quais as pessoas dispunham de lazer. Esta é a razão 
de a Matemática ter surgido primeiro no Egito; pois aí a casta dos sacerdotes 
tinha permissão para desfrutar de lazer. ” (Aristóteles, Metafísica, 981b20-25, pp. 
258-259.) 
A história tradicional nos conta que um dos primeiros matemáticos gregos 
foi Tales de Mileto, que teria vivido nos séculos VII e VI a. C. e sido influenciado 
pelos mesopotâmicos e egípcios. Diz-se que um de seus feitos teria sido, 
justamente, o cálculo da altura de uma das pirâmides do Egito, a partir da 
semelhança entre, por um lado, a relação desta altura com sua sombra e, por 
outro, a relação de sua própria altura com sua própria sombra. A Matemática 
pitagórica, datada da primeira metade do século V a. C., teria feito a transição 
entre as épocas de Tales e Euclides. 
É verdade que os povos mesopotâmicos e egípcios realizavam cálculos 
com medidas de comprimentos, áreas e volumes. Contudo, estas práticas são 
bem diferentesda geometria grega. Nas práticas de medida, os problemas 
geométricos são transformados em problemas numéricos. A escolha de uma 
unidade de medida basta para converter um comprimento, uma área ou um 
volume em um número. Sem dúvida, os primeiros matemáticos gregos 
praticavam uma geometria baseada em cálculos de medidas, como os povos 
antigos. Não há, contudo, uma documentação confiável que possa estabelecer 
a transição entre a Matemática mesopotâmica e egípcia e a Matemática grega. 
Também influenciado pela Matemática egípcia, Pitágoras teria introduzido 
um tipo de Matemática abstrata na Grécia. A narrativa histórica tradicional 
enfatiza a transição do tipo de Matemática realizada pelos babilônios e egípcios, 
profundamente marcada por cálculos e algoritmos, para a Matemática teórica, 
praticada pelos gregos, fundada em argumentações consistentes e 
demonstrações. 
O tipo de pensamento que se expressa nesta Matemática tem relação com 
o contexto grego da época, tal como se desenvolveu a partir do século V a. C. 
Por volta do século VII a. C., o crescimento populacional e a dispersão dos 
gregos pela bacia do Mediterrâneo deram origem à mais importante instituição 
da antiguidade grega, que foi determinante para a organização política, 
administrativa, religiosa e militar da Grécia durante os séculos V e IV a. C. Trata-
se da polis – a cidade-estado grega. 
A polis surgiu ao mesmo tempo em que o cidadão passou a ter direito de 
reger sua cidade. Para isto, eram necessários parâmetros, o que alimentava um 
gosto pela discussão. A controvérsia movimentava a polis grega e, como 
contribuía para vencer o debate, a persuasão tornou-se uma habilidade bastante 
valorizada. 
Em seus estudos sobre as origens históricas da razão grega, Jean-Pierre 
Vernant mostra que este universo é marcado pela ligação íntima entre logos, 
razão e atividade política. Tratamos de um período no qual a vida pública 
adquiriu suma importância para os antigos gregos, o que se refletiu no debate 
político na ágora, nas trocas comerciais, na laicização e na expansão das formas 
de religiosidade ao espaço externo (até então assunto privado, restrito ao interior 
do templo) e na organização racional e geométrica do território. 
O pensamento racional foi se constituindo neste contexto e ganhou impulso 
neste novo tipo de organização. Surgiu então, na Grécia, a ideia de que quem 
soubesse persuadir sempre poderia convencer os outros de que sua tese era 
verdadeira. Em sentido oposto, no entanto, essa tentação ao ceticismo deu 
origem a um esforço para mostrar que verdade e verossimilhanças são coisas 
diversas. 
A partir do final do século V a. C., Platão e Aristóteles buscaram propor 
maneiras de selecionar os tipos de afirmação que alguém pode fazer, 
distinguindo os raciocínios falsos dos corretos e estabelecendo critérios de 
verdade. 
Em um mundo no qual as opiniões se multiplicavam, era necessário 
selecionar os argumentos, estabelecer critérios para decidir quem tinha razão. 
Este novo tipo de pensamento, para Platão, devia se fundar em definições claras, 
que distinguem os seres inteligíveis de suas cópias no mundo sensível. Nos 
discursos de Sócrates está presente este modo de argumentação, chamado 
“dialética”, que se servia das ideias para ultrapassar as opiniões. 
A distinção entre retórica e dialética irá marcar a educação do cidadão livre. 
Mais tarde, Aristóteles desenvolverá uma lógica, na qual os critérios de verdade 
estarão mais ligados à pura coerência, ao rigor da demonstração. Ou seja, em 
uma cadeia de conclusões, tudo deve decorrer daquilo que antes foi dito, sem 
que haja contradição no interior do raciocínio. Platão e Aristóteles se serviram 
da Matemática para constituir este novo ideal de pensamento. Mas, na verdade, 
que Matemática era esta? 
Grande parte do conhecimento de que dispomos hoje sobre a Matemática 
da época é indireto, proveniente de escritos como os de Platão, Aristóteles, 
Euclides e Proclus. Além destas obras, há outras evidências em alguns poucos 
fragmentos atribuídos a Eudemo de Rodes, que viveu no século IV. a. C. 
Presume-se que o “catálogo dos geômetras”, contido no comentário de Proclus, 
é proveniente dos escritos deste pupilo de Aristóteles, que mencionava 
proposições e construções que teriam sido realizadas por Tales. 
No final do século VII a. C., diversas realizações tecnológicas podem ter 
contribuído para o desenvolvimento da Matemática. Alguns termos de geometria 
já apareciam, por exemplo, na arquitetura. Há escritos técnicos do século VI a. 
C. tratando de problemas relacionados à astronomia e ao calendário. Neles 
intervinham alguns conceitos geométricos, como círculos e ângulos. Ao menos 
um destes livros ainda estava em circulação na época de Eudemo, e os 
enunciados geométricos aí contidos podem ter ficado conhecidos como sendo 
de Tales. 
No entanto, é difícil estabelecer as bases factuais destas afirmações. O 
papel de Tales foi objeto de algumas controvérsias históricas, descritas por W. 
Burkert. Parece ser fato que, por volta do século V. a. C., seu nome era 
empregado em conexão com resultados geométricos. 
Além disso, Aristóteles menciona Tales, na Metafísica, como o fundador da 
filosofia. Esta honra, somada à circulação da referência a seu nome como 
geômetra, pode ter levado a se atribuir ao filósofo de Mileto importantes 
descobertas geométricas. 
Entre Tales e Euclides, a historiografia da Matemática costuma analisar as 
contribuições da escola pitagórica do século V a. C. Além disso, é frequente 
encontrarmos referências a Pitágoras como um dos primeiros matemáticos 
gregos. 
Mas ambas as afirmações são hoje largamente questionadas. As 
evidências mostram que havia uma Matemática grega antes dos pitagóricos. 
Parecia ser comum a construção de soluções para problemas geométricos e a 
comparação de grandezas geométricas por meio de razões. 
Presume-se que no século V. a. C., em Atenas, a geometria era ensinada, 
apesar de não sabermos exatamente como. Podemos deduzir, das poucas 
evidências, uma intensa prática geométrica na primeira metade do século IV a. 
C. 
Não há sinais de que a Matemática desenvolvida na Grécia durante os 
séculos V e IV a. C. empregasse qualquer precaução no uso de procedimentos 
heurísticos e informais. Há evidências, todavia, de que no meio dos filósofos os 
m´todos usados pelos matemáticos eram questionados. 
Por volta do ano 375 a. C., Platão começa a criticar os geômetras por não 
empregarem critérios de rigor desejáveis nas práticas matemáticas. Não por 
acaso, o trabalho de Eudoxo se desenvolveu no seio da Academia platônica. 
Sendo assim, ainda que não possamos dizer que a transformação dos 
fundamentos da Matemática grega é devida a Platão, ele expressa o 
descontentamento dos filósofos com os métodos empregados e articula o 
trabalho dos pensadores à sua volta para que se dediquem a formalizar os 
conceitos e técnicas utilizadas indiscriminadamente na Matemática da época. 
Os membros da Academia debatiam o modo de descrever as disciplinas 
matemáticas, o que pode ter tido um papel na legitimação deste saber em sua 
forma abstrata e na consolidação da posição da Matemática como uma disciplina 
do pensamento puro. 
No século V a. C., o pensamento geométrico e técnico já estava 
desenvolvido, mas não temos como saber se os pitagóricos contribuíram para 
isto. A geometria grega começou antes deles e continuou depois; como mostra 
Burkert, esta escola não parece ter tido um papel significativo na transformação 
da Matemática de seu tempo. 
Quase todos os livros de história da Matemática a que temos acesso em 
português reproduzem a lenda de que a descoberta dos incomensuráveis 
provocou uma crise nos fundamentos da Matemática grega. Alguns chegam a 
afirmar que esta crise só foi resolvida com a definição rigorosa dos números 
reais, proposta por Cantor e Dedekind no século XIX. Este mito possui 
consequênciasimportantes para o modo como a história da geometria grega se 
estrutura. 
A descoberta das grandezas incomensuráveis, frequentemente atribuída a 
um pitagórico, deve ter tido outras origens. Esta descoberta contribuiu para a 
separação entre a geometria e a aritmética, a primeira devendo se dedicar as 
grandezas geométricas e a segunda, aos números. Esta separação é um dos 
traços marcantes da geometria grega, ao menos na maneira como ela se 
disseminou com Euclides. 
Apesar de questionarmos a validade da tese historiográfica a respeito da 
crise dos incomensuráveis, é inegável que a descoberta de que duas grandezas 
podem não possuir uma medida comum teve consequências importantes. Uma 
delas pode ajudar a explicar o caráter formal e abstrato da geometria, tal como 
exposta nos Elementos de Euclides. O fato de que duas grandezas podem ser 
incomensuráveis desafia o testemunho dos sentidos e foi, talvez, o que motivou 
um novo modo de fazer geometria. 
A necessidade de demonstração surge com os gregos a partir deste 
momento chave da história da geometria. A descoberta dos incomensuráveis 
nos leva a desconfiar dos sentidos, uma vez que eles não permitem “enxergar” 
a possibilidade de dois segmentos não serem comensuráveis. 
E necessário, portanto, demonstrar, fundar a geometria sobre bases mais 
sólidas do que aquelas que podem ser fornecidas pela intuição. Com esta 
transformação, ganha destaque o espaço abstrato sobre o qual fundamos, até 
hoje, a Matemática. 
Com Euclides, a Matemática na Grécia parece ter adquirido uma 
configuração particular, passando a empregar enunciados geométricos gerais, 
que não envolvem somente procedimentos de medida. Os Elementos de 
Euclides representam, neste contexto, o resultado dos esforços de formalização 
da Matemática para apresentar uma geometria consistente e unificada que 
valesse para grandezas quaisquer, fossem elas comensuráveis ou 
incomensuráveis. 
Trataremos a seguir de alguns resultados, dentre os mais significativos que 
se encontram nos Elementos. O papel desta obra na Matemática não pode ser 
superestimado. Em primeiro lugar, ela expõe, de maneira organizada, a 
Matemática elementar que os gregos da época clássica tinham criado e 
desenvolvido. Assim, muito do que sabemos da Matemática grega deve-se a 
esta obra de Euclides. Em segundo lugar, como os Elementos constituem a mais 
antiga exposição organizada de Matemática que nos chegou, eles muito 
influenciaram seu desenvolvimento posterior. 
Antes de analisar os Elementos com mais detalhes, começaremos por 
descrever a concepção particular de número da escola pitagórica, bem como 
alguns princípios básicos de sua filosofia. Nosso objetivo será mostrar que, se 
existiu uma “Matemática pitagórica”, tratava-se de uma prática bastante 
concreta. Mesmo o famoso teorema “de Pitágoras”, em sua compreensão 
geométrica como relação entre medidas dos lados de um triângulo retângulo, 
não parece ter sido particularmente estudado por Pitágoras e sua escola. 
 
 
5. A MATEMÁTICA GREGA APÓS EUCLIDES 
 
É comum afirmarmos que as figuras geométricas aceitas na geometria 
grega deviam ser construídas com régua e compasso. De fato, isto é verdade se 
temos em mente as construções realizadas nos Elementos de Euclides. Dizer 
que o mesmo é verdade para toda a geometria grega significa considerar que o 
conjunto das práticas gregas seguia o padrão de rigor estabelecido por Euclides, 
o que não acontecia. 
As construções com régua e compasso não permitem resolver todos os 
problemas tratados pelos matemáticos gregos antes e depois de Euclides, os 
quais não se furtavam a utilizar outros métodos de construção, ou a empregar 
outras curvas. Com o auxílio destas curvas, foram resolvidos os problemas 
clássicos: a trissecção do ângulo, a quadratura do círculo e a duplicação do cubo. 
Pappus, um dos maiores comentadores dos trabalhos matemáticos de seus 
antecessores gregos, e que viveu no século III d. C., classificou os problemas 
geométricos do seguinte modo: 
“Os antigos consideravam três classes de problemas geométricos, 
chamados ‘planos’, ‘sólidos’ e ‘lineares’. Aqueles que podem ser resolvidos por 
meio de retas e circunferências de círculos são chamados de ‘problemas planos’, 
uma vez que as retas e curvas que os resolvem tem origem no plano. Mas 
problemas cujas soluções são obtidas por meio de uma ou mais seções cônicas 
são denominados ‘problemas sólidos’, uma vez que superfícies de figuras 
sólidas (superfícies cônicas) precisam ser utilizadas. Resta uma terceira classe, 
que é chamada ‘linear’ porque outras ‘linhas’, envolvendo origens diversas, além 
daquelas que acabei de descrever, são requeridas para sua construção. Tais 
linhas são as espirais, a quadratriz, a conchóide, a cissóide, todas com muitas 
propriedades surpreendentes. ” ([147], pp. 38-39). 
O livro no qual encontramos este comentário, A Coleção matemática, é 
uma das fontes principais que nos permite conhecer muitos trabalhos gregos 
cujas fontes originais se perderam. 
O critério usado nesta classificação dos problemas baseia-se nos tipos de 
linhas necessárias à construção, uma vez que os problemas envolvem sempre 
construção. Por exemplo, a conchóide é uma curva construída de modo 
mecânico pelos gregos, da seguinte maneira. 
Sejam um ponto fixo, K, e uma reta AB, também fixa. A conchóide é o lugar 
geométrico dos pontos P tais que o comprimento entre P e S, ponto de 
intersecção de KP com a reta AB, é constante, conforme mostra a figura a seguir: 
 
No entanto, a divisão dos problemas em três tipos só foi explicitada no 
comentário de Pappus, no terceiro século da Era Comum, e podia ser de ordem 
descritiva, mais do que normativa. 
A partir de Arquimedes, podemos estudar m´métodos que marcaram a 
geometria grega e se distinguem dos procedimentos euclidianos. Ele nasceu 
mais ou menos no momento em que Euclides morreu, em torno da segunda 
década do século III a. C. Era de se esperar, portanto, que o trabalho de Euclides 
tivesse uma influência marcante em sua obra. Mas não foi bem assim, 
mostraremos que Arquimedes não pode ser visto como um sucessor de 
Euclides; e seu trabalho não se inscreve, por assim dizer, em uma tradição 
euclidiana. Um exemplo disso é a utilização de métodos mecânicos de 
construção. Arquimedes exprimiria uma tradição alternativa aos Elementos de 
Euclides, ligada aos métodos desenvolvidos por Eudoxo. 
Arquimedes, um dos mais conhecidos matemáticos gregos, chegou a 
defender um método que permitisse entender certas realidades matemáticas 
usando a mecânica, ainda que este método possibilitasse apenas a descoberta 
de propriedades que deveriam ser, em seguida, demonstradas 
geometricamente. Sabemos hoje que alguns dos resultados demonstrados 
dessa maneira por Arquimedes eram obtidos de modo puramente mecânico. 
Haveria, portanto, uma distinção entre métodos de descoberta, que poderiam ser 
mecânicos, e métodos de demonstração, que deveriam ser puramente 
geométricos. 
No início de sua obra sobre a Quadratura da Parábola (pp. 233 - 252), em 
uma carta a Dositeu, Arquimedes afirma que pretende comunicar: 
“[U]m certo teorema geométrico que não foi investigado antes e que foi 
agora investigado por mim e que eu descobri, primeiramente, por meio da 
mecânica e que exibi, em seguida, por meio da geometria. ” 
Este tipo de procedimento fica ainda mais claro na obra, encontrada apenas 
em 1899, O Método dos Teoremas Mecânicos, carta escrita a Eratóstenes, na 
qual Arquimedes explica: 
“ (...) [P]ensei que seria apropriado escrever-lhe neste livro sobre um certo 
método por meio do qual você poderá reconhecer certas questões matemáticas 
com ajuda da mecânica. Estou convencido de que ele não é menos útil para 
encontrar provas para os mesmos teoremas. Algumas coisas, que se tornaram 
claras para mim, em primeiro lugar, pelo método mecânico, foram provadas 
geometricamente em seguida, umavez que a investigação pelo referido método 
não fornece de fato uma demonstração. No entanto, é mais fácil encontrar a 
prova quando adquirimos previamente, pelo método, algum conhecimento das 
questões, do que encontrá-la sem nenhum conhecimento prévio. ” 
O final do século III a. C. foi o período de maior popularidade dos três 
problemas clássicos. Estes problemas constituem o ponto comum dos trabalhos 
de diversos geômetras da época, como Eratóstenes, Nicomedes, Híppias, 
Diocles, Dionisodorus, Perseus e Zenodorus. Apesar da maioria das fontes que 
contêm estes trabalhos não ter sido preservada, há evidências de aplicações da 
geometria a problemas de astronomia, ótica, geografia e mecânica. Além disso, 
estes geômetras parecem ter sofrido influência direta de Arquimedes, o que pode 
ser constatado pelo uso de métodos mecânicos, como a espiral (e outras curvas 
geradas por movimentos mecânicos) e diversos tipos de neuses. Contudo, nota-
se também que estes matemáticos se distanciaram um pouco do estilo de 
Arquimedes, uma vez que se dedicaram à procura de métodos alternativos em 
suas construções. Esta busca poderia indicar uma necessidade de ir além dos 
procedimentos disponíveis na época. Os escritos de Euclides ofereciam uma 
alternativa, mas sua exploração demandava técnicas de natureza muito distinta, 
o que talvez ultrapassasse as possibilidades desta geração imediatamente 
posterior a Arquimedes. 
Na verdade, a busca de novos métodos de construção, inspirados no 
paradigma euclidiano serviu de motivação para os trabalhos de Apolônio, 
desenvolvidos na virada do século III para o século II a. C. Acredita-se que ele 
tenha começado a redigir seu livro mais conhecido, o Cônicas, por volta do ano 
200 a. C. Nesta obra, Apolônio define as seções cônicas do modo mais geral 
possível, como seções de cones, usando métodos muito característicos dos 
Elementos de Euclides. Em particular, aqueles que dizem respeito à aplicação 
de áreas, que deram origem aos nomes dos diferentes tipos de cônicas: 
parábola, hipérbole e elipse. O estilo deste livro também é muito similar ao de 
Euclides, pois Apolônio segue o estilo formal dos Elementos até nos detalhes do 
enunciado de certas proposições. Seus resultados parecem exprimir a tentativa 
de estender e tornar rigorosos os métodos antigos empregados no estudo de 
cônicas, desenvolvidos por Euclides (em sua obra sobre as cônicas) e 
Arquimedes. 
Uma das preocupações de Apolônio era apresentar soluções por meio de 
cônicas para os problemas clássicos, como a duplicação do cubo e a trissecção 
do ângulo, a fim de eliminar as soluções por neuses e por curvas especiais 
usadas por Arquimedes e outros. A diversidade de métodos empregados na 
resolução de problemas geométricos até o século III a. C. mostra que, neste 
estágio do desenvolvimento da Matemática, o importante era resolver os 
problemas por qualquer técnica disponível. Este leitmotiv marca a tradição grega 
de resolução de problemas geométricos. Com Apolônio, este panorama começa 
a se transformar. Mesmo que tenha fornecido, ele mesmo, uma construção da 
duplicação do cubo por meio da neusis, Apolônio preferia claramente soluções 
usando cônicas, com um estilo bem euclidiano, e que dependiam de resultados 
centrais dos Elementos. Por exemplo, as soluções da trissecção do ângulo por 
meio da espiral de Arquimedes e da neusis não eram consideradas satisfatórias, 
e Apolônio propôs uma construção com a hipérbole. Os trabalhos de Arquimedes 
apresentam uma diversidade de aplicações do método da neusis em 
construções que também podiam ser realizadas com régua e compasso. 
A popularidade destas construções por neuses demonstra a vasta 
presença de métodos não-euclidianos nos trabalhos de Arquimedes e seus 
seguidores. Além destas técnicas, a ênfase de Arquimedes na investigação dos 
procedimentos de Eudoxo contrasta com o tipo de pesquisa característico de 
Euclides e Apolônio, marcado pelo estudo de lugares geométricos e pelo uso de 
cônicas. 
Os métodos de resolução de problemas usados por Euclides foram 
consolidados por Apolônio no período seguinte, ao passo que os procedimentos 
de Arquimedes só encontrariam seguidores bem mais tarde, por volta dos 
séculos XVI e XVII. Pode datar da transição entre os séculos III e II a. C. a 
tentativa de regularização dos métodos para resolver problemas geométricos, 
quando os matemáticos teriam buscado construir, somente por métodos planos 
(ou seja, com régua e o compasso), ou por métodos sólidos (usando seções 
cônicas) construções já efetuadas por outros meios. 
Na época de Apolônio, o campo da geometria estava desenvolvido a tal 
ponto que pode ter se tornado interessante regularizar os métodos de resolução 
de problemas e tornar as técnicas de construção mais formais. A consideração 
de classes distintas de problemas – como a dos problemas planos, sólidos e 
lineares – ajudava a compreender o escopo dos métodos usados para tratá-los. 
Isso explicaria o esforço para reduzir outros tipos de construção a um destes 
três. Assim, descrever os tipos de problema existentes podia ser conveniente 
para organizar a pesquisa. 
O início do século II a. C. foi marcado por um declínio na atenção dos 
matemáticos aos problemas geométricos avançados, o que não representou 
uma decadência do campo matemático, mas um deslocamento de interesse em 
direção a outras áreas, como a trigonometria e os métodos numéricos. W. Knorr 
taxa a escola de Alexandria, nos tempos de Arquimedes, de “academicista”. 
Mesmo a composição dos Elementos de Euclides, para ele, se relaciona aos 
ideais da época e, sobretudo, aos seus objetivos pedagógicos. Esta abordagem 
privilegiava uma exposição sintética, que torna inacessível o procedimento 
heurístico da descoberta e menosprezava toda consideração concreta ou 
prática. Ele contrasta esta tendência com outras obras alexandrinas mais tardias, 
como as Métricas de Hierão, o Almagesto de Ptolomeu, e a Aritm´etica de 
Diofanto. 
A exposição de Euclides não dá nenhuma pista sobre a aplicação de seus 
teoremas a problemas práticos. A abordagem teórica, de inspiração euclidiana, 
seria característica do ensino nas escolas filosóficas, pois o estudante devia 
aprender Matemática por meio da contemplação, e não pela prática. 
Knorr chega a atribuir a paralisação do trabalho produtivo da geometria 
grega aos efeitos esclerosantes desta pedagogia, típica da orientação 
escolástica dos pensadores da Alexandria antes do início da era comum. Logo, 
a divisão, proposta por Pappus, entre problemas planos (construídos com régua 
e compasso) e outros, sólidos ou mecânicos, não provém do tempo de Euclides. 
A resolução de problemas era a parte essencial da atividade geométrica na 
época de Euclides, Arquimedes e Apolônio, e a compilação do saber na forma 
de um conjunto de teoremas, uma atividade auxiliar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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