AV1 - ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

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CADEIA DE MARKOV – PROBABILIDADE DE GENES
José Ricardo Barbosa Moura
01157901
Engenharia Civil
A Álgebra linear é um segmento da matemática para quem trabalha com estatística e cálculo pois, esses requerem conhecimento prévio uma vez que lidam com equações e funções lineares que são representadas que são representadas através de matrizes e vetores. O estudo de matrizes e dos sistemas lineares são tópicos de álgebra linear estudados no ensino médio, entretanto, existe uma dificuldade na aprendizagem da matemática no ensino básico devido a pouca motivação no estudo de conceitos e definições de teoria matemática.
Essa atividade especificamente solicita que trabalhemos com probabilidades e nesse caso utilizaremos a Cadeia de Markov para apresentar os resultados solicitados conforme dados abaixo:
“Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as características necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é constituído por dois alelos dominantes, ou seja, genótipo AA.”
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. A tabela é:
	
	GENÓTIPOS DE ORIGEM
	
	AA x AA
	AA x Aa
	AA x aa
	Probabilidade genótipo AA
	100%
	50%
	0%
	Probabilidade genótipo Aa
	0%
	50%
	100%
	Probabilidade genótipo aa
	0%
	0%
	0%
Por meio desta pesquisa o pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo AA de x1, a população de indivíduos Aa e x2e a população de indivíduos aa de x3. Com isso definiu equações que descrevem a probabilidade que um dos indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA:
X1(n) = 1 * X1(n-1) + ½ * X2(n-1)
X2(n) = 1/2 * X2(n-1) + 1 * X3(n-1)
X3(n) = 0
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação linear:
 X1(n) 1 ½ 0 X1(n-1) 
 T: R3 R3; X2(n) = 0 ½ 1 X X2(n-1) 
 X3(n) 0 0 0 X3(n-1)
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias a qual estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere à geração anterior. Se analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de markov.
Além da transformação que descreve a proporção de indivíduos através das gerações, sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três diferentes genótipos. São elas: X1= 10%, X2= 60% e X3= 30%. Temos, portanto, o seguinte vetor:
 X1(n) 0,1 
 X2(n) = 0,6 
 X3(n) 0,3
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos capazes de estimar a população de indivíduos com o genótipo AA através das mais diversas gerações. A partir disso, vamos propor, então algumas perguntas: 
1) Qual a população de bactérias com genótipo Aa (ou se já, x2) na primeira geração? E na segunda geração?
2) Qual a população de bactérias com gene tipo aa (ou seja, x3) na terceira geração? Essa proporção se altera na quarta geração?
3) Em qual geração a população de bactérias com genótipo AA atinge 85% do total?
De acordo com os dados fornecidos no texto sobre a população inicial das bactérias e a probabilidade de cruzamento entre os três diferentes genótipos, montamos as matrizes de probabilidades para a primeira geração multiplicando a probabilidade de cruzamento pela proporção inicial das bactérias na forma “linha x coluna”, obtendo a segunda geração.
Dessa forma, vamos repetir o processo de multiplicação da população inicial pelo resultado da proporção de bactérias do passo anterior, conforme aplicação da cadeia de Markov. 
A probabilidade de um evento (X) ocorrer irá depender se o mesmo está dentro do espaço amostral (U) que é definido por:
					P(x)= n(X)/n(U),
onde n(U) é o número de elementos do espaço amostral U, e n(X) é o número de elementos do evento X. Na matriz a ser formada, cada linha deve somar um total igual a 1 que se refere a 100% da probabilidade.
Conforme dados já informados no início podemos, então, podemos notar que a primeira geração é formada pela multiplicação da probabilidade pela proporção inicial, gerando o resultado abaixo.
Primeira geração
De acordo com o resultado obtido, verificamos que a população de bactérias do genótipo “Aa” (X2) permaneceu com a mesma proporção da população inicial, ou seja, 0,6 x 100% = 60%. 
Segunda geração
A obtenção do resultado da segunda geração é feita pela substituição da proporção inicial pelo resultado da primeira geração. Assim observando a população de bactérias do genótipo “Aa” (X2) da primeira geração em relação à segunda geração, verificamos uma proporção menor resultando em uma proporção de 0,3 x 100% = 30%.
Terceira geração
Novamente substituímos o resultado da segunda geração para obter o resultado da terceira geração. Observamos que a população do genótipo “aa” (X3) não obteve nenhuma alteração desde a primeira geração, permanecendo com proporção de 0,0 x 100% = 0%.
Na quarta geração, a população do genótipo “aa” (X3) não tem alteração visto que a geração atual (terceira geração) resultou em 0%, ou seja, para a próxima geração permanecerá em 0%.
Referências bibliográficas
Silva, Carlos Eduardo Vitória da. Aplicações da Álgebra Linear nas Cadeias de Markov [manuscrito] / Carlos Eduardo Vitória da Silva. - 2013. 39 f. : figs;
Lipschutz, Seymour. Álgebra linear [recurso eletrônico] / Seymou Lipschutz,
Marc Lars Lipson ; tradução: Dr. Claus Ivo Doering.–4.ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2011. (Coleção Schaum)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cadeias_de_Markov;
https://www.cienciaedados.com/por-que-voce-deve-aprender-algebra-linear-para-trabalhar-com-machine-learning/;
https://anotacoesdeaula.wordpress.com/2012/10/01/bc1414-cadeias-de-markov-na-biologia/;