ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA ALGEBRA LINEAR - Álgebra Linear I

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31/05/2021 ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA ALGEBRA LINEAR - Álgebra Linear I
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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA ALGEBRA LINEAR
Álgebra Linear I • UNAMA
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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater 
determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as 
características necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é 
constituído por dois alelos dominantes (ou seja, genótipo AA). 
 
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do 
cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e 
aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. 
A tabela é: 
 
Tabela genótipos de origem 
AA x AA AA x Aa AA x aa 
Probabilidade de genótipos AA 100% 50% 0% 
Probabilidade de genótipos Aa 0% 50% 100% 
Probabilidade de genótipos aa 0% 0% 0% 
 
O pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo AA de x1 
a população de indivíduos Aa de x 2 e a população de indivíduos aa de x3. Com 
isso, definiu equações que descrevem a probabilidade de indivíduos de cada 
genótipo estarem presentes em uma próxima geração, considerando que um dos 
indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
 
X1( n ) = 1 • X1( n-1 ) +1/2 • X2(n-1) 
X2( n ) =1/2 • X 2( n-1 )1 • X3( n-1) 
X3( n) = 0 
 
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação 
linear: 
 
T: ℝ 3 → ℝ3;[ 
𝑿𝟏(𝒏)) 
𝑿𝟐(𝒏) 
𝑿𝟑(𝒏) 
] = [ 
𝟏 
𝟏 
𝟐 
𝟎 
𝟎 
𝟏 
𝟐 
𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
] *[ 
𝑿𝟏(𝒏−𝟏)) 
𝑿𝟐(𝒏−𝟏) 
𝑿𝟑(𝒏−𝟏) 
] 
 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias à qual 
Gr
áti
s
4 pág.
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estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere à geração anterior. Se 
analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de Markov. 
 
Adotemos como referência, ainda, o texto a presentado no Case. Além da 
transformação que descreve a proporção de indivíduos através das gerações, 
sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três 
diferentes genótipos. São elas: X1 = 10%, X2 = 60% e X3 = 30%. Temos, portanto 
o seguinte vetor: 
 
[ 
𝑿𝟏(𝟎) 
𝑿𝟐(𝟎) 
𝑿𝟑(𝟎) 
]=[ 
𝟎, 𝟏 
𝟎, 𝟔 
𝟎, 𝟑 
] 
 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos 
capazes de estimar a população de indivíduos c om genótipo AA através das 
mais diversas gerações. A partir disso, v amos propor, então, algumas 
perguntas: 
 
1) Qual a população de bactérias com genótipo Aa (ou se já, x2) na° primeira 
geração? E na segunda geração? 
• Primeira geração 
 
Montagem dos dados e resolução através, da multiplicação de matrizes. 
 
[ 
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎 
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
]*[ 
𝟎, 𝟏 
𝟎, 𝟔 
𝟎, 𝟑 
]=[ 
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟏 ∗ 𝟎, 𝟑 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 
]=[ 
𝟎, 𝟒 
𝟎, 𝟔 
𝟎 
] 
 
Onde na primeira geração x2 irá ficar sendo representado por 0,6*100=60%. 
• Segunda geração 
 
Na segunda geração utilizou-se o mesmo método acima, obtendo-se a matriz: 
 
[ 
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎 
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
]*[ 
𝟎, 𝟒 
𝟎, 𝟔 
𝟎 
]=[ 
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟏 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎 
]=[ 
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑 
𝟎 
] 
 
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Onde na segunda geração x2 irá ficar sendo representado por 0,3*100=30%. 
 
R= Através método da multiplicação de matrizes linha x coluna, podemos 
observar que as populações de bactérias com genótipo Aa na primeira geração 
será de 0,6 ou de 60%, já na segunda geração a população das bactérias 
diminuíram para 0,3 que pode ser representado por 30%. 
Obs. afim de deixar o sistema mais simples para resolver, utilizei números 
decimais aos invéses de fracionados. Onde transformei 1/2 para 0,5. 
 
2) Qual a população de bactérias com gene tipo aa (ou seja, x3) na terceira 
geração? Essa proporção se altera na quarta geração? 
• Terceira geração 
 
[ 
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎 
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
]*[ 
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑 
𝟎 
]=[ 
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟏 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎 
]=[ 
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓 
𝟎 
] 
 
Onde na segunda geração x3 irá ficar sendo representado por 0*100=0%. 
• Quarta geração 
 
[ 
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎 
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
]*[ 
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓 
𝟎 
]=[ 
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟏 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎
]=[ 
𝟎, 𝟗𝟐𝟓 
𝟎, 𝟎𝟕𝟓 
𝟎 
] 
 
R= Podemos observar que na terceira geração a população de bactérias x3 com 
o genótipo aa e de 0% e permanecera inalterada na quarta geração sendo 
representado por 0*100=0%. 
 
3) Em qual geração a população de bactérias com genótipo AA atinge 
85% do total? 
 
[ 
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎 
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏 
𝟎 𝟎 𝟎 
]*[ 
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑 
𝟎 
]=[ 
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟏 ∗ 𝟎 
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎 
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]=[ 
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓 
𝟎 
] 
 
R= Utilizando os dados da matriz da terceira geração podemos obter o valor de 
x1 de 0,85, com esse valor podemos concluir que a população de bactérias com 
o genótipo AA atingira na terceira geração o valor de 0,85*100=85%. 
 
Com o gráfico construído a partir dos dados obtidos podemos observar de forma 
unificada de como as populações de bactérias: X1, X2, X3, se desenvolvem 
durante as gerações de acordo com o seu genótipo. 
 
 
 
 
 
Fontes de pesquisa. 
 
https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/ 
1 2 3 4 5 
Genótipos AA 10% 40% 70% 85% 93% 
Genótipos aa 30% 0% 0% 0% 0% 
Genótipos Aa 60% 60% 30% 15% 8% 
10% 
40% 
70% 
85% 
92,5 
30% 
0% 0% 0% 0% 
60% 60% 
30% 
15% 
7,5% 
-20% 
0% 
20% 
40% 
60% 
80% 
100% 
120% 
P 
R 
O 
B 
A 
B 
IL 
ID 
A 
D 
E 
D 
E 
G 
EN 
Ó 
TI 
P 
O 
S 
CONTEXTUALIZADA ÁLGEBRA LINEAR 
https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/ 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gen%C3%B3tipo 
https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=1AwvT_7x7gc 
https://www.mathway.com/pt/Algebra 
livro matemática fundamental; Giovani Bonjorno volume único. 
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https://www.passeidireto.com/arquivo/87598509/atividade-contextualizada-algebra-linear 5/5
Livro de biologia; Demétrio Gowdak e Neide S. de Mattos volume unico 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gen%C3%B3tipo 
https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=1AwvT_7x7gc 
https://www.mathway.com/pt/Algebra
Página 1
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