ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA- ÁLGEBRA LINEAR

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - ÁLGEBRA LINEAR 
 
Francisco Cristiano da Silva 
Matrícula: 04078680 
Curso: Engenharia de Produção 
 
INTRODUÇÃO 
Este trabalho avaliativo, torna possível observarmos a definição e resultados 
de Cadeias de Markov, através da resolução do case final proposto na atividade 
contextualizada da disciplina Álgebra Linear. 
 
1. Cadeias de Markov 
Ao tratarmos da probabilidade de ocorrência de fatos simultâneos, 
questionamos o quanto esses resultados tem alguma relação com fenômenos sem 
explicação pela matemática. Como exemplo, observamos o seguinte: Será que ao 
retirarmos sucessivamente duas bolas de uma urna que contem inicialmente 7 bolas 
azuis e 3 brancas, essas retiradas serão dependentes? Caso sejam, de que tipo seria 
essa dependência? E se as retiradas fossem simultâneas? (JÚNIOR, 2022). 
Conforme Júnior (2022), podemos considerar que, a teoria de probabilidades, 
tem despertado o interesse de grandes matemáticos como Thomas Bayes, 
Kolmogorov, Fisher, Pearson e muitos outros, essas questões fazem parte da busca 
por respostas a perguntas similares as supracitadas que levaram a contribuírem no 
desvendar do universo das incertezas probabilísticas. 
Conforme o autor supracitado, uma característica que caracteriza a 
propriedade de Markov é a possibilidade de determinar previsões em seu futuro com 
base somente em seu estado atual independente do que aconteceu no passado até 
esse estado atual. Isto significa que, condicional ao estado atual do processo, suas 
evoluções futuras e passadas são independentes. 
Comumente, a aplicabilidade das Cadeias de Markov é representada na teoria 
dos jogos, onde pode-se provar com indiscutível simplicidade o problema da ruína do 
jogador. Por conseguinte, podemos considerar que Andrei Markov foi o precursor no 
estudo da propriedade da perda de memória, propriedade que levou ao 
desenvolvimento da teoria sobre Cadeias de Markov, ferramenta de grande 
aplicabilidade nos mais diversos ramos da ciência (SILVA, 2017). 
Através de estudos de uma bactéria, capaz de combater determinada doença. 
Fez-se possível observar, através do cero genótipo, características necessárias para 
combater a doença. O genótipo desejado é constituído por dois alelos dominantes, ou 
seja, genótipo AA. Assim, através do estudo bioquímico foi desenvolvida uma tabela 
que indica a probabilidade do cruzamento das bactérias que carregam os três 
diferentes genótipos (AA, Aa e aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse 
AA. 
Observe a tabela: 
 
 
GENÓTIPOS DE ORIGEM 
AA x AA AA x Aa AA x aa 
Probabilidade de Genótipo AA 100% 50% 0% 
Probabilidade de Genótipo Aa 0% 50% 100% 
Probabilidade de Genótipo aa 0% 0% 0% 
 
 
Neste sentido, foi denominada a população de indivíduos com o genótipo AA 
de x1, a população de indivíduos Aa de x2 e a população de indivíduos aa de x3. 
Esses dados consistiram na definição de equações que descrevem a probabilidade 
de indivíduos de cada genótipo estarem presente na próxima geração, considerando 
que um dos individuo de origem possui sempre o genótipo AA: 
 
X1(n) = 1 * X1(n-1) + 
1
2
 * X2(n-1) 
X2(n) = 
1
2
 * X2(n-1) 1 * X3(n-1) 
X3(n) = 0 
 
 
 
A resolução consistiu numa equação na forma de transformação linear: 
 
T: ℝ3 → ℝ3 [
x1(n)
x2(n)
x3(n)
] = [
1 1 2⁄ 0
0 1 2⁄ 1
0 0 0
] * [
X1(n − 1) 
X2(n − 1) 
X3(n − 1) 
] 
 
Conforme supracitado, podemos observar que o subscrito (n) indica a geração 
de bactérias à qual estamos nos referindo, enquanto (n-1) se refere à geração anterior. 
Observe que a representação da expressão, indica uma cadeia de Markov. 
Conforme o enunciado proposto no case, além da transformação que descreve 
a proporção de indivíduos através das gerações, sabemos também a proporção inicial 
das bactérias estudadas com os três diferentes genótipos. São elas: X1 = 10%, X2 = 
60% e X3 = 30%. Como resultado obtemos o seguinte vetor: 
 
[
x1(0)
x2(0)
x3(0)
] = [
0,1
0,6
0,3
] 
 
Através da equação que descreve a transformação linear em mãos, faz-se 
possível estimar a população de indivíduos com genótipos AA através das mais 
diversas gerações. 
Para alcançar os resultados das operações é necessário fazer a multiplicação 
das matrizes (linha x coluna), para que seja multiplicada as matrizes, faz-se 
necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas 
da segunda matriz. 
 
1º GERAÇÃO: a equação pode ser resolvida através da multiplicação da matriz pelo 
vetor dado no case (linha x coluna). 
 
 x1 = (1 ∗ 0,1) + (
1
2⁄ ∗ 0,6) + (0 ∗ 0,3) = 0,4 
[
𝟏 𝟏 𝟐⁄ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐⁄ 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
] * [
𝟎, 𝟏
𝟎, 𝟔
𝟎, 𝟑
] = [
x1
x2
x3
] = x2 = (0 ∗ 0,1) + (1 2⁄ ∗ 0,6) + (1 ∗ 0,3) = 𝟎, 𝟔 
 x3 = (0 ∗ 0,1) + (0 ∗ 0,6) + (0 ∗ 0,3) = 0,0 
Genótipos Aa 
X2= 60% 
 
 
2º GERAÇÃO: Na segunda geração a equação é feita da seguinte forma: faz-se a 
multiplicação da matriz pelo vetor resultante da primeira geração (linha x coluna). 
 
 x1 = (1 ∗ 0,4) + (
1
2⁄ ∗ 0,6) + (0 ∗ 0,0) = 0,7 
[
𝟏 𝟏 𝟐⁄ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐⁄ 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
] * [
𝟎, 𝟒
𝟎, 𝟔
𝟎, 𝟎
] = [
x1
x2
x3
] = x2 = (0 ∗ 0,4) + (1 2⁄ ∗ 0,6) + (1 ∗ 0,0) = 𝟎, 𝟑 
 x3 = (0 ∗ 0,4) + (0 ∗ 0,6) + (0 ∗ 0,0) = 0,0 
Genótipos Aa 
X2= 30% 
 
3º GERAÇÃO: Na terceira geração a equação é feita da seguinte forma: multiplica-se 
a matriz pelo vetor resultante da segunda geração (linha x coluna). 
 x1 = (1 ∗ 0,7) + (
1
2⁄ ∗ 0,3) + (0 ∗ 0,0) = 0,85 
[
𝟏 𝟏 𝟐⁄ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐⁄ 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
] * [
𝟎, 𝟕
𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎
] = [
x1
x2
x3
] = x2 = (0 ∗ 0,7) + (1 2⁄ ∗ 0,3) + (1 ∗ 0,0) = 0,15 
 x3 = (0 ∗ 0,7) + (0 ∗ 0,3) + (0 ∗ 0,0) = 𝟎, 𝟎 
Genótipos aa 
X3= 0,0% 
 
 
4º GERAÇÃO: Na quarta geração a equação é feita da seguinte forma: multiplica a 
matriz pelo vetor resultante da terceira geração ( linha x coluna). 
 x1 = (1 ∗ 0,85) + (
1
2⁄ ∗ 0,15) + (0 ∗ 0,0) = 0,92 
[
𝟏 𝟏 𝟐⁄ 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐⁄ 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
] * [
𝟎, 𝟖𝟓
𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟎
] = [
x1
x2
x3
] = x2 = (0 ∗ 0,85) + (1 2⁄ ∗ 0,15) + (1 ∗ 0,0) = 0,07 
 x3 = (0 ∗ 0,85) + (0 ∗ 0,15) + (0 ∗ 0,0) = 𝟎, 𝟎 
Genótipos aa 
X3= 0,0% sem alteração. 
 
 
A fim de sintetizar a atividade, foram propostas as seguintes perguntas: 
 
1- Qual a população de bactéria com genótipo Aa (ou seja, X2) na primeira geração? 
E na segunda geração? 
 
Resolução: A população de bactéria com genótipo Aa (ou seja, X2) na primeira 
geração é de 60%. 
Já na segunda geração a população de bactéria com genótipo Aa (ou seja, X2) é de 
30%. 
 
 
2- Qual a população de bactéria com genótipo aa (ou seja, X3) na terceira geração? 
Essa proporção se altera na quarta geração? 
 
Resolução: A população de bactéria com genótipo aa (ou seja, X3) na terceira 
geração é de 0,0 (zerou). 
Na quarta geração ela não se altera, permanece zerada. 
 
 
3- Em qual geração a população de bactérias com genótipos AA atinge 85% do total? 
 
Resolução: A população de bactérias com genótipos AA atinge 85% do total na 
terceira geração. 
 
 
O gráfico a baixo mostrará a porcentagem da população de bactérias com 
genótipo AA, Aa e aa, na primeira, segunda, terceira e quarta geração. 
 
 
 
 
 
 
✓ A porcentagem da população de bactérias dos genótipos AA inicia na primeira 
geração com 0,4% e chega a 0,92% na quarta geração. 
✓ Nos genótipos Aa a população de bactérias tem 0,6% na primeira geração e diminuipara 0,07% na quarta geração. 
✓ Já o genótipo aa a população de bactérias segue zerada da primeira 
geração até a quarta geração.
1º Geração 2º Geração 3º Geração 4º Geração
X1 = AA 0,4 0,7 0,85 0,92
X2 = Aa 0,6 0,3 0,15 0,07
X3 = aa 0 0 0 0
0,4
0,7
0,85
0,92
0,6
0,3
0,15
0,07
0 0 0 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
P
o
rc
en
ta
ge
m
 (
%
)
População de Bactérias dos Genótipos 
REFERÊNCIAS 
JÚNIOR, Divaldo Portilho Fernandes; JÚNIOR, Valdivino Vargas. CONCEITOS E 
SIMULAÇÃO DE CADEIAS DE MARKOV. Goiás: Universidade Federal de Goiás, 
2022. 
 
SILVA, Larissa Miguez da. Cadeias de Markov e Aplicações. Volta Redonda – RJ: 
Universidade Federal Fluminense, 2017.